அத்தியாயம் 12 புள்ளிவிவரங்கள்
12.1 தரவுகளின் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவம்
அட்டவணைகள் மூலம் தரவுகளைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவது ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்டுள்ளது. இப்போது தரவுகளின் மற்றொரு பிரதிநிதித்துவத்திற்கு, அதாவது வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவத்திற்கு நமது கவனத்தைத் திருப்புவோம். ஒரு படம் ஆயிரம் சொற்களை விட சிறந்தது என்று நன்கு சொல்லப்படுகிறது. பொதுவாக தனிப்பட்ட உருப்படிகளுக்கிடையேயான ஒப்பீடுகள் வரைபடங்கள் மூலம் சிறப்பாகக் காட்டப்படுகின்றன. அப்போது பிரதிநிதித்துவம் உண்மையான தரவுகளை விட புரிந்துகொள்வது எளிதாகிறது. இந்தப் பிரிவில் பின்வரும் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவங்களைப் படிப்போம்.
(அ) பட்டை வரைபடங்கள்
(ஆ) சீரான அகலம் மற்றும் மாறுபட்ட அகலங்கள் கொண்ட நிகழ்வெண் செவ்வகப்படங்கள் (Histograms)
(இ) நிகழ்வெண் பல்கோணங்கள் (Frequency polygons)
(அ) பட்டை வரைபடங்கள்
முந்தைய வகுப்புகளில், நீங்கள் ஏற்கனவே பட்டை வரைபடங்களைப் படித்து கட்டமைத்துள்ளீர்கள். இங்கே நாம் அவற்றை மிகவும் முறையான அணுகுமுறை மூலம் விவாதிப்போம். ஒரு பட்டை வரைபடம் என்பது தரவுகளின் ஒரு படவடிவப் பிரதிநிதித்துவம் என்பதை நினைவுகூருங்கள். இதில் பொதுவாக சீரான அகலம் கொண்ட பட்டைகள் ஒரு அச்சில் (எடுத்துக்காட்டாக, $x$-அச்சு) மாறியைக் குறிக்கும் வகையில் அவற்றுக்கிடையே சம இடைவெளியுடன் வரையப்படுகின்றன. மாறியின் மதிப்புகள் மற்றொரு அச்சில் (எடுத்துக்காட்டாக, $y$-அச்சு) காட்டப்படுகின்றன மற்றும் பட்டைகளின் உயரங்கள் மாறியின் மதிப்புகளைப் பொறுத்திருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு 1 : ஒன்பதாம் வகுப்பின் ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில், 40 மாணவர்களை அவர்களின் பிறந்த மாதங்கள் குறித்து கேட்கப்பட்டது மற்றும் பெறப்பட்ட தரவுகளுக்கு பின்வரும் வரைபடம் தயாரிக்கப்பட்டது:
படம் 12.1
மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள பட்டை வரைபடத்தைக் கவனித்து பின்வரும் கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்கவும்:
(i) நவம்பர் மாதத்தில் எத்தனை மாணவர்கள் பிறந்தனர்?
(ii) எந்த மாதத்தில் அதிக எண்ணிக்கையிலான மாணவர்கள் பிறந்தனர்?
தீர்வு : இங்கு மாறி ‘பிறந்த மாதம்’ என்பதும், மாறியின் மதிப்பு ‘பிறந்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை’ என்பதும் கவனிக்கவும்.
(i) நவம்பர் மாதத்தில் 4 மாணவர்கள் பிறந்தனர்.
(ii) அதிகபட்ச எண்ணிக்கையிலான மாணவர்கள் ஆகஸ்ட் மாதத்தில் பிறந்தனர்.
இப்போது பின்வரும் எடுத்துக்காட்டைக் கருத்தில் கொண்டு ஒரு பட்டை வரைபடம் எவ்வாறு கட்டமைக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவுபடுத்துவோம்.
எடுத்துக்காட்டு 2 : ₹ 20,000 மாத வருமானம் கொண்ட ஒரு குடும்பம், பல்வேறு தலைப்புகளின் கீழ் மாதாந்திர செலவுகளை பின்வருமாறு திட்டமிட்டுள்ளது:
அட்டவணை 12.1
| தலைப்புகள் | செலவு (ஆயிரம் ரூபாய்களில்) |
|---|---|
| மளிகைப் பொருட்கள் | 4 |
| வாடகை | 5 |
| குழந்தைகளின் கல்வி | 5 |
| மருந்து | 2 |
| எரிபொருள் | 2 |
| பொழுதுபோக்கு | 1 |
| இதர செலவுகள் | 1 |
மேலே உள்ள தரவுகளுக்கு ஒரு பட்டை வரைபடம் வரையவும்.
தீர்வு : இந்தத் தரவுகளுக்கான பட்டை வரைபடத்தை பின்வரும் படிகளில் வரைகிறோம். இரண்டாவது நெடுவரிசையில் அலகு ஆயிரம் ரூபாய் என்பதைக் கவனிக்கவும். எனவே, ‘மளிகை’க்கு எதிராக உள்ள ‘4’ என்பது ₹4000 ஐக் குறிக்கிறது.
1. தலைப்புகளை (மாறி) கிடை அச்சில் எந்த அளவுகோலையும் தேர்ந்தெடுத்து குறிக்கிறோம், ஏனெனில் பட்டையின் அகலம் முக்கியமல்ல. ஆனால் தெளிவுக்காக, அனைத்து பட்டைகளுக்கும் சம அகலங்களை எடுத்துக்கொண்டு, அவற்றுக்கிடையே சம இடைவெளிகளை பராமரிக்கிறோம். ஒரு தலைப்பு ஒரு அலகால் குறிக்கப்படட்டும்.
2. செலவினத்தை (மதிப்பு) செங்குத்து அச்சில் குறிக்கிறோம். அதிகபட்ச செலவு ₹ 5000 ஆக இருப்பதால், நாம் அளவுகோலை 1 அலகு =₹ 1000 என தேர்ந்தெடுக்கலாம்.
3. நமது முதல் தலைப்பான மளிகைப் பொருட்களைக் குறிக்க, 1 அலகு அகலமும் 4 அலகுகள் உயரமும் கொண்ட ஒரு செவ்வக பட்டையை வரைகிறோம்.
4. இதேபோல், மற்ற தலைப்புகளும் இரண்டு தொடர்ச்சியான பட்டைகளுக்கு இடையே 1 அலகு இடைவெளி விட்டு குறிக்கப்படுகின்றன.
பட்டை வரைபடம் படம் 12.2 இல் வரையப்பட்டுள்ளது.
படம் 12.2
இங்கே, நீங்கள் தரவுகளின் ஒப்பீட்டுப் பண்புகளை ஒரு பார்வையில் எளிதாகக் கற்பனை செய்யலாம், எ.கா., கல்விச் செலவு மருத்துவச் செலவை விட இரண்டு மடங்குக்கும் அதிகமாக உள்ளது. எனவே, சில வழிகளில் இது அட்டவணை வடிவத்தை விட தரவுகளின் சிறந்த பிரதிநிதித்துவமாக செயல்படுகிறது.
நடவடிக்கை 1 : நடவடிக்கை 1 இன் அதே நான்கு குழுக்களைத் தொடர்ந்து, தரவுகளை பொருத்தமான பட்டை வரைபடங்களால் குறிக்கவும்.
தொடர்ச்சியான வகுப்பு இடைவெளிகளுக்கான நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணையை எவ்வாறு வரைபடமாகக் குறிக்க முடியும் என்பதை இப்போது பார்ப்போம்.
(ஆ) நிகழ்வெண் செவ்வகப்படம் (Histogram)
இது பட்டை வரைபடம் போன்ற ஒரு பிரதிநிதித்துவ வடிவமாகும், ஆனால் இது தொடர்ச்சியான வகுப்பு இடைவெளிகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணமாக, ஒரு வகுப்பின் 36 மாணவர்களின் எடைகளைக் குறிக்கும் நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணை 12.2 ஐக் கவனியுங்கள்:
அட்டவணை 12.2
| எடைகள் (கிகி-இல்) | மாணவர்களின் எண்ணிக்கை |
|---|---|
| $30.5-35.5$ | 9 |
| $35.5-40.5$ | 6 |
| $40.5-45.5$ | 15 |
| $45.5-50.5$ | 3 |
| $50.5-55.5$ | 1 |
| $55.5-60.5$ | 2 |
| மொத்தம் | 36 |
மேலே கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளை பின்வருமாறு வரைபடமாகக் குறிப்போம்:
(i) பொருத்தமான அளவுகோலில் எடைகளை கிடை அச்சில் குறிக்கிறோம். நாம் அளவுகோலை $1 \mathrm{~cm}=5 \mathrm{~kg}$ என தேர்ந்தெடுக்கலாம். மேலும், முதல் வகுப்பு இடைவெளி பூஜ்ஜியத்திலிருந்து அல்ல, 30.5 இலிருந்து தொடங்குவதால், அச்சில் ஒரு வளைவு அல்லது முறிவைக் குறிப்பதன் மூலம் அதை வரைபடத்தில் காட்டுகிறோம்.
(ii) மாணவர்களின் எண்ணிக்கையை (நிகழ்வெண்) பொருத்தமான அளவுகோலில் செங்குத்து அச்சில் குறிக்கிறோம். அதிகபட்ச நிகழ்வெண் 15 ஆக இருப்பதால், இந்த அதிகபட்ச நிகழ்வெண்ணை ஏற்கும் வகையில் அளவுகோலைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.
(iii) இப்போது நாம் வகுப்பு அளவுக்கு சமமான அகலமும், தொடர்புடைய வகுப்பு இடைவெளிகளின் நிகழ்வெண்களுக்கு ஏற்ப நீளமும் கொண்ட செவ்வகங்களை (அல்லது செவ்வக பட்டைகளை) வரைகிறோம். எடுத்துக்காட்டாக, $30.5-35.5$ என்ற வகுப்பு இடைவெளிக்கான செவ்வகம் $1 \mathrm{~cm}$ அகலமும் $4.5 \mathrm{~cm}$ நீளமும் கொண்டிருக்கும்.
(iv) இந்த வழியில், படம் 12.3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி வரைபடத்தைப் பெறுகிறோம்:
படம் 12.3
தொடர்ச்சியான செவ்வகங்களுக்கு இடையில் இடைவெளிகள் இல்லாததால், விளைந்த வரைபடம் ஒரு திட உருவம் போல் தோன்றுகிறது என்பதைக் கவனிக்கவும். இது நிகழ்வெண் செவ்வகப்படம் (Histogram) என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது தொடர்ச்சியான வகுப்புகளைக் கொண்ட தொகுக்கப்பட்ட நிகழ்வெண் பரவலின் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவமாகும். மேலும், பட்டை வரைபடத்தைப் போலல்லாமல், பட்டையின் அகலம் அதன் கட்டுமானத்தில் குறிப்பிடத்தக்க பங்கு வகிக்கிறது.
இங்கே, உண்மையில், எழுப்பப்பட்ட செவ்வகங்களின் பரப்புகள் தொடர்புடைய நிகழ்வெண்களுக்கு விகிதாசாரமாகும். இருப்பினும், செவ்வகங்களின் அகலங்கள் அனைத்தும் சமமாக இருப்பதால், செவ்வகங்களின் நீளங்கள் நிகழ்வெண்களுக்கு விகிதாசாரமாகும். அதனால்தான், மேலே (iii) இல் கூறியபடி நீளங்களை வரைகிறோம்.
இப்போது, மேலே உள்ளதிலிருந்து வேறுபட்ட ஒரு சூழ்நிலையைக் கவனியுங்கள்.
எடுத்துக்காட்டு 3 : ஒரு ஆசிரியர் 100 மதிப்பெண்கள் கொண்ட கணிதத் தேர்வில் மாணவர்களின் இரண்டு பிரிவுகளின் செயல்திறனை பகுப்பாய்வு செய்ய விரும்பினார். அவர்களின் செயல்திறனைப் பார்த்தபோது, சில மாணவர்கள் 20 மதிப்பெண்களுக்குக் கீழ் பெற்றதையும், சிலர் 70 மதிப்பெண்கள் அல்லது அதற்கு மேல் பெற்றதையும் கண்டார். எனவே அவர் அவர்களை மாறுபட்ட அளவுகளின் இடைவெளிகளாக பின்வருமாறு தொகுக்க முடிவு செய்தார்: $0-20,20-30, \ldots, 60-70$, 70 - 100. பின்னர் அவர் பின்வரும் அட்டவணையை உருவாக்கினார்:
அட்டவணை 12.3
| மதிப்பெண்கள் | மாணவர்களின் எண்ணிக்கை |
|---|---|
| $0-20$ | 7 |
| $20-30$ | 10 |
| $30-40$ | 10 |
| $40-50$ | 20 |
| $50-60$ | 20 |
| $60-70$ | 15 |
| $70-$ மேல் | 8 |
| மொத்தம் | 90 |
இந்த அட்டவணைக்கான ஒரு நிகழ்வெண் செவ்வகப்படம் ஒரு மாணவரால் படம் 12.4 இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி தயாரிக்கப்பட்டது.
படம் 12.4
இந்த வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவத்தை கவனமாக ஆராயுங்கள். இது தரவுகளை சரியாகக் குறிக்கிறது என்று நீங்கள் நினைக்கிறீர்களா? இல்லை, வரைபடம் நமக்கு ஒரு தவறான படத்தைத் தருகிறது. நாம் முன்பே குறிப்பிட்டது போல், ஒரு நிகழ்வெண் செவ்வகப்படத்தில் செவ்வகங்களின் பரப்புகள் நிகழ்வெண்களுக்கு விகிதாசாரமாகும். முன்பு இந்த சிக்கல் எழவில்லை, ஏனெனில் அனைத்து செவ்வகங்களின் அகலங்களும் சமமாக இருந்தன. ஆனால் இங்கே, செவ்வகங்களின் அகலங்கள் மாறுபடுவதால், மேலே உள்ள நிகழ்வெண் செவ்வகப்படம் சரியான படத்தைத் தரவில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, இது $70-100$ இடைவெளியில் $60-70$ ஐ விட அதிக நிகழ்வெண்ணைக் காட்டுகிறது, இது உண்மையில் அப்படி இல்லை.
எனவே, பரப்புகள் மீண்டும் நிகழ்வெண்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் வகையில் செவ்வகங்களின் நீளங்களில் சில மாற்றங்களைச் செய்ய வேண்டும்.
பின்பற்ற வேண்டிய படிகள் பின்வருமாறு:
- குறைந்தபட்ச வகுப்பு அளவு கொண்ட ஒரு வகுப்பு இடைவெளியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், குறைந்தபட்ச வகுப்பு அளவு 10 ஆகும்.
- செவ்வகங்களின் நீளங்கள் பின்னர் வகுப்பு அளவு 10 க்கு விகிதாசாரமாக மாற்றியமைக்கப்படுகின்றன.
எடுத்துக்காட்டாக, வகுப்பு அளவு 20 ஆக இருக்கும் போது, செவ்வகத்தின் நீளம் 7 ஆகும். எனவே வகுப்பு அளவு 10 ஆக இருக்கும் போது, செவ்வகத்தின் நீளம் $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ ஆக இருக்கும்.
இதேபோல் தொடர்ந்து, பின்வரும் அட்டவணையைப் பெறுகிறோம்:
அட்டவணை 12.4
| மதிப்பெண்கள் | நிகழ்வெண் | வகுப்பின் அகலம் |
செவ்வகத்தின் நீளம் |
|---|---|---|---|
| $0-20$ | 7 | 20 | $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ |
| $20-30$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $30-40$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $40-50$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $50-60$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $60-70$ | 15 | 10 | $\frac{15}{10} \times 10=15$ |
| $70-100$ | 8 | 30 | $\frac{8}{30} \times 10=2.67$ |
ஒவ்வொரு வழக்கிலும் 10 மதிப்பெண்கள் இடைவெளிக்கு இந்த நீளங்களைக் கணக்கிட்டுள்ளதால், இந்த நீளங்களை “10 மதிப்பெண்கள் இடைவெளிக்கு மாணவர்களின் விகிதாசாரம்” என்று அழைக்கலாம்.
எனவே, மாறுபட்ட அகலம் கொண்ட சரியான நிகழ்வெண் செவ்வகப்படம் படம் 12.5 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
படம் 12.5
(இ) நிகழ்வெண் பல்கோணம் (Frequency Polygon)
அளவு தரவு மற்றும் அதன் நிகழ்வெண்களைக் குறிக்கும் மற்றொரு காட்சி வழி உள்ளது. இது ஒரு பல்கோணமாகும். நாம் என்ன சொல்கிறோம் என்பதைப் பார்க்க, படம் 12.3 ஆல் குறிக்கப்படும் நிகழ்வெண் செவ்வகப்படத்தைக் கவனியுங்கள். இந்த நிகழ்வெண் செவ்வகப்படத்தின் அருகிலுள்ள செவ்வகங்களின் மேல் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை கோட்டுத்துண்டுகள் மூலம் இணைப்போம். இந்த நடுப்புள்ளிகளை B, C, D, E, F மற்றும் G என்று அழைப்போம். கோட்டுத்துண்டுகளால் இணைக்கப்படும் போது, BCDEFG என்ற உருவத்தைப் பெறுகிறோம் (படம் 12.6 ஐப் பார்க்கவும்). பல்கோணத்தை முடிக்க, 30.5 - 35.5 க்கு முன்னும், 55.5 - 60.5 க்குப் பின்னும் பூஜ்ஜிய நிகழ்வெண் கொண்ட ஒரு வகுப்பு இடைவெளி உள்ளது என்று கருதுகிறோம், மேலும் அவற்றின் நடுப்புள்ளிகள் முறையே $\mathrm{A}$ மற்றும் $\mathrm{H}$ ஆகும். $\mathrm{ABCDEFGH}$ என்பது படம் 12.3 இல் காட்டப்பட்டுள்ள தரவுகளுக்கு ஒத்திருக்கும் நிகழ்வெண் பல்கோணமாகும். இதை படம் 12.6 இல் காட்டியுள்ளோம்.
படம் 12.6
மிகக் குறைந்த வகுப்புக்கு முன்னதாகவும், மிக உயர்ந்த வகுப்புக்குப் பின்னதாகவும் வகுப்பு இல்லை என்றாலும், பூஜ்ஜிய நிகழ்வெண் கொண்ட இரண்டு வகுப்பு இடைவெளிகளைச் சேர்ப்பது, நிகழ்வெண் பல்கோணத்தின் பரப்பளவை நிகழ்வெண் செவ்வகப்படத்தின் பரப்பளவுக்கு சமமாக மாற்ற உதவுகிறது. இது ஏன்? (குறிப்பு : ஒத்த முக்கோணங்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும்.)
இப்போது, முதல் வகுப்புக்கு முன்னால் எந்த வகுப்பும் இல்லாதபோது பல்கோணத்தை எவ்வாறு முடிப்பது என்ற கேள்வி எழுகிறது. அத்தகைய சூழ்நிலையைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
எடுத்துக்காட்டு 4 : ஒரு வகுப்பின் 51 மாணவர்கள் ஒரு தேர்வில் பெற்ற 100க்கு மதிப்பெண்களை அட்டவணை 12.5 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
அட்டவணை 12.5
| மதிப்பெண்கள் | மாணவர்களின் எண்ணிக்கை |
|---|---|
| $0-10$ | 5 |
| $10-20$ | 10 |
| $20-30$ | 4 |
| $30-40$ | 6 |
| $40-50$ | 7 |
| $50-60$ | 3 |
| $60-70$ | 2 |
| $70-80$ | 2 |
| $80-90$ | 3 |
| $90-100$ | 9 |
| மொத்தம் | 51 |
இந்த நிகழ்வெண் பரவல் அட்டவணைக்கு ஒத்த நிகழ்வெண் பல்கோணம் வரையவும்.
தீர்வு : முதலில் இந்தத் தரவுக்கு ஒரு நிகழ்வெண் செவ்வகப்படம் வரைந்து, செவ்வகங்களின் மேற்பகுதிகளின் நடுப்புள்ளிகளை முறையே B, C, D, E, F, G, H, I, J, K எனக் குறிப்போம். இங்கே, முதல் வகுப்பு $0-10$ ஆகும். எனவே, $0-10$ க்கு முந்தைய வகுப்பைக் கண்டறிய, கிடை அச்சை எதிர்மறை திசையில் நீட்டி, கற்பனையான வகுப்பு இடைவெளி $(-10)-0$ இன் நடுப்புள்ளியைக் காண்கிறோம். முதல் முனைப்புள்ளி, அதாவது $\mathrm{B}$, கிடை அச்சின் எதிர்மறை திசையில் பூஜ்ஜிய நிகழ்வெண் கொண்ட இந்த நடுப்புள்ளியுடன் இணைக்கப்படுகிறது. இந்த கோட்டுத்துண்டு செங்குத்து அச்சைச் சந்திக்கும் புள்ளி $\mathrm{A}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட தரவின் கடைசி வகுப்புக்குப் பிந்தைய வகுப்பின் நடுப்புள்ளி $\mathrm{L}$ ஆக இருக்கட்டும். பின்னர் OABCDEFGHIJKL என்பது நிகழ்வெண் பல்கோணமாகும், இது படம் 12.7 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது.
படம் 12.7
நிகழ்வெண் செவ்வகப்படங்களை வரையாமலும் நிகழ்வெண் பல்கோணங்களை சுயாதீனமாக வரையலாம். இதற்கு, தரவில் பயன்படுத்தப்படும் வகுப்பு இடைவெளிகளின் நடுப்புள்ளிகள் நமக்குத் தேவை. இந்த வகுப்பு இடைவெளிகளின் நடுப்புள்ளிகள் வகுப்புக் குறிகள் (class-marks) என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
ஒரு வகுப்பு இடைவெளியின் வகுப்புக் குறியைக் கண்டறிய, ஒரு வகுப்பின் மேல் வரம்பு மற்றும் கீழ் வரம்பின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிந்து அதை 2 ஆல் வகுக்கிறோம். இவ்வாறு,
$$ \text { Class-mark }=\frac{\text { Upper limit }+ \text { Lower limit }}{2} $$
ஒரு எடுத்துக்காட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
எடுத்துக்காட்டு 5 : ஒரு நகரத்தில், வாழ்க்கைச் செலவு குறியீட்டில் (cost of living index) மேற்கொள்ளப்பட்ட வாராந்திர கண்காணிப்புகள் பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
அட்டவணை 12.6
| வாழ்க்கைச் செலவு குறியீடு | வாரங்களின் எண்ணிக்கை |
|---|---|
| $140-150$ | 5 |
| $150-160$ | 10 |
| $160-170$ | 20 |
| $170-180$ | 9 |
| $180-190$ | 6 |
| $190-200$ | 2 |
| மொத்தம் | 52 |
மேலே உள்ள தரவுகளுக்கு (நிகழ்வெண் செவ்வகப்படம் கட்டாமல்) ஒரு நிகழ்வெண் பல்கோணம் வரையவும்.
தீர்வு : நிகழ்வெண் செவ்வகப்படம் இல்லாமல் ஒரு நிகழ்வெண் பல்கோணத்தை வரைய விரும்புவதால், மேலே கொடுக்கப்பட்ட வகுப்புகளின் வகுப்புக் குறிகளைக் கண்டறியலாம், அதாவது $140-150,150-160, \ldots$.
$140-150$ க்கு, மேல் வரம்பு $=150$, மற்றும் கீழ் வரம்பு $=140$
எனவே, வகுப்புக் குறி $=\frac{150+140}{2}=\frac{290}{2}=145$.
அதே முறையில் தொடர்ந்து, மற்ற வகுப்புகளின் வகுப்புக் குறிகளையும் காண்கிறோம். எனவே, பெறப்பட்ட புதிய அட்டவணை பின்வரும் அட்டவணையில் காட்டப்பட்டுள்ளது:
அட்டவணை 12.7
| வகுப்புகள் | வகுப்புக் குறிகள் | நிகழ்வெண் |
|---|---|---|
| $140-150$ | 145 | 5 |
| $150-160$ | 155 | 10 |
| $160-170$ | 165 | 20 |
| $170-180$ | 175 | 9 |
| $180-190$ | 185 | 6 |
| $190-200$ | 195 | 2 |
| மொத்தம் | 52 |
வகுப்புக் குறிகளை கிடை அச்சில், நிகழ்வெண்களை செங்குத்து அச்சில் வைத்து, பின்னர் புள்ளிகள் $\mathrm{B}(145,5), \mathrm{C}(155,10), \mathrm{D}(165,20), \mathrm{E}(175,9), \mathrm{F}(185,6)$ மற்றும் $\mathrm{G}(195,2)$ ஐக் குறித்து கோட்டுத்துண்டுகளால் இணைப்பதன் மூலம் இப்போது ஒரு நிகழ்வெண் பல்கோணத்தை வரையலாம். மிகக் குறைந்த வகுப்பான 140 - 150 க்கு முன்னதாக உள்ள வகுப்பு 130 - 140 இன் வகுப்புக் குறிக்கு ஒத்த புள்ளியை பூஜ்ஜிய நிகழ்வெண்ணுடன், அதாவது $\mathrm{A}(135,0)$, மற்றும் புள்ளி $\mathrm{H}(205,0)$ ஆகியவற்றைக் குறிக்க மறக்கக்கூடாது. $\mathrm{G}(195,2)$ க்குப் பிறகு உடனடியாக நிகழ்கிறது. எனவே, விளைந்த நிகழ்வெண் பல்கோணம் ABCDEFGH ஆக இருக்கும் (படம் 12.8 ஐப் பார்க்கவும்).
படம் 12.8
தரவு தொடர்ச்சியாகவும் மிகப் பெரியதாகவும் இருக்கும்போது நிகழ்வெண் பல்கோணங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரே தன்மையிலான இரண்டு வெவ்வேறு தரவுத் தொகுப்புகளை ஒப்பிடுவதற்கு இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரே வகுப்பின் இரண்டு வெவ்வேறு பிரிவுகளின் செயல்திறனை ஒப்பிடுதல்.
12.2 சுருக்கம்
இந்த அத்தியாயத்தில், நீங்கள் பின்வரும் புள்ளிகளைப் படித்துள்ளீர்கள்:
1. தரவுகளை பட்டை வரைபடங்கள், நிகழ்வெண் செவ்வகப்படங்கள் மற்றும் நிகழ்வெண் பல்கோணங்கள் வடிவில் எவ்வாறு வரைகலை முறையில் வழங்கலாம்.
BETA
