అధ్యాయం 12 గణాంకాలు
12.1 దత్తాంశం యొక్క రేఖాచిత్ర ప్రాతినిధ్యం
పట్టికల ద్వారా దత్తాంశం యొక్క ప్రాతినిధ్యం గురించి ఇప్పటికే చర్చించాం. ఇప్పుడు దత్తాంశం యొక్క మరొక ప్రాతినిధ్యం అంటే, రేఖాచిత్ర ప్రాతినిధ్యం వైపు మన దృష్టిని మరలిద్దాం. ఒక చిత్రం వెయ్యి మాటల కంటే మెరుగైనదని చెప్పడం సర్వసాధారణం. సాధారణంగా వ్యక్తిగత అంశాల మధ్య పోలికలు రేఖాచిత్రాల ద్వారా చూపించడం ఉత్తమం. అప్పుడు ఆ ప్రాతినిధ్యం అసలు దత్తాంశం కంటే అర్థం చేసుకోవడం సులభమవుతుంది. ఈ విభాగంలో మనం ఈ క్రింది రేఖాచిత్ర ప్రాతినిధ్యాలను అధ్యయనం చేస్తాము.
(A) స్తంభ రేఖాచిత్రాలు (బార్ గ్రాఫ్లు)
(B) ఏకరీతి వెడల్పు, మారుతున్న వెడల్పుల హిస్టోగ్రామ్లు
(C) పౌనఃపున్య బహుభుజులు
(A) స్తంభ రేఖాచిత్రాలు (బార్ గ్రాఫ్లు)
మునుపటి తరగతులలో, మీరు ఇప్పటికే స్తంభ రేఖాచిత్రాలను అధ్యయనం చేసి నిర్మించారు. ఇక్కడ మనం వాటిని మరింత అధికారిక విధానం ద్వారా చర్చిద్దాం. స్తంభ రేఖాచిత్రం అనేది దత్తాంశం యొక్క చిత్రాత్మక ప్రాతినిధ్యం అని గుర్తుంచుకోండి, దీనిలో సాధారణంగా ఏకరీతి వెడల్పు గల స్తంభాలు ఒక అక్షం (అంటే, $x$-అక్షం) పై వాటి మధ్య సమాన దూరంతో గీయబడతాయి, ఇది చరరాశిని చూపుతుంది. చరరాశి యొక్క విలువలు మరొక అక్షం (అంటే, $y$-అక్షం) పై చూపబడతాయి మరియు స్తంభాల ఎత్తులు చరరాశి యొక్క విలువలపై ఆధారపడి ఉంటాయి.
ఉదాహరణ 1 : తరగతి IX యొక్క ఒక నిర్దిష్ట విభాగంలో, 40 మంది విద్యార్థులను వారి పుట్టిన నెలల గురించి అడిగారు మరియు అందుకొన్న దత్తాంశం కోసం ఈ క్రింది రేఖాచిత్రం సిద్ధం చేయబడింది:
Fig. 12.1
పైన ఇచ్చిన స్తంభ రేఖాచిత్రాన్ని గమనించి, ఈ క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి:
(i) నవంబర్ నెలలో ఎంత మంది విద్యార్థులు పుట్టారు?
(ii) ఏ నెలలో గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు పుట్టారు?
సాధన : ఇక్కడ చరరాశి ‘పుట్టిన నెల’ అని మరియు చరరాశి విలువ ‘పుట్టిన విద్యార్థుల సంఖ్య’ అని గమనించండి.
(i) 4 మంది విద్యార్థులు నవంబర్ నెలలో పుట్టారు.
(ii) గరిష్ఠ సంఖ్యలో విద్యార్థులు ఆగస్ట్ నెలలో పుట్టారు.
ఈ క్రింది ఉదాహరణను పరిగణనలోకి తీసుకొని ఇప్పుడు ఒక స్తంభ రేఖాచిత్రం ఎలా నిర్మించబడుతుందో గుర్తుకు తెచ్చుకుందాం.
ఉదాహరణ 2 : ₹ 20,000 నెలవారీ ఆదాయం ఉన్న ఒక కుటుంబం వివిధ శీర్షికల క్రింద నెలకు ఈ క్రింది ఖర్చులను ప్రణాళిక చేసింది:
Table 12.1
| శీర్షికలు | ఖర్చు (వెయ్యి రూపాయలలో) |
|---|---|
| కిరాణా సామగ్రి | 4 |
| ఇంటి అద్దె | 5 |
| పిల్లల విద్య | 5 |
| మందులు | 2 |
| ఇంధనం | 2 |
| వినోదం | 1 |
| ఇతరాలు | 1 |
పై దత్తాంశానికి స్తంభ రేఖాచిత్రం గీయండి.
సాధన : ఈ దత్తాంశానికి స్తంభ రేఖాచిత్రాన్ని ఈ క్రింది దశల్లో గీస్తాము. రెండవ నిలువు వరుసలో యూనిట్ వెయ్యి రూపాయలు అని గమనించండి. కాబట్టి, ‘కిరాణా సామగ్రి’కి వ్యతిరేకంగా ‘4’ అంటే ₹4000.
1. మేము శీర్షికలను (చరరాశి) క్షితిజ సమాంతర అక్షంపై ఏదైనా స్కేల్ను ఎంచుకొని ప్రాతినిధ్యం చేస్తాము, ఎందుకంటే స్తంభం యొక్క వెడల్పు ముఖ్యమైనది కాదు. కానీ స్పష్టత కోసం, మేము అన్ని స్తంభాలకు సమాన వెడల్పులు తీసుకొంటాము మరియు వాటి మధ్య సమాన అంతరాలను నిర్వహిస్తాము. ఒక శీర్షికను ఒక యూనిట్ ద్వారా సూచించనివ్వండి.
2. మేము ఖర్చును (విలువ) నిలువు అక్షంపై ప్రాతినిధ్యం చేస్తాము. గరిష్ఠ ఖర్చు ₹ 5000 కాబట్టి, మనం స్కేల్ను 1 యూనిట్ =₹ 1000 గా ఎంచుకోవచ్చు.
3. మన మొదటి శీర్షిక అంటే, కిరాణా సామగ్రిని ప్రాతినిధ్యం చేయడానికి, మేము 1 యూనిట్ వెడల్పు మరియు 4 యూనిట్ల ఎత్తు కలిగిన దీర్ఘచతురస్రాకార స్తంభాన్ని గీస్తాము.
4. అదేవిధంగా, ఇతర శీర్షికలు రెండు వరుస స్తంభాల మధ్య 1 యూనిట్ అంతరం వదిలి ప్రాతినిధ్యం చేయబడతాయి.
స్తంభ రేఖాచిత్రం Fig. 12.2లో గీయబడింది.
Fig. 12.2
ఇక్కడ, మీరు సులభంగా దత్తాంశం యొక్క సాపేక్ష లక్షణాలను ఒక్క నిమిషంలో దృశ్యమానం చేసుకోవచ్చు, ఉదాహరణకు, విద్యపై ఖర్చు వైద్య ఖర్చుల కంటే రెండింతల కంటే ఎక్కువ. అందువల్ల, కొన్ని విధాలుగా ఇది పట్టిక రూపం కంటే దత్తాంశం యొక్క మెరుగైన ప్రాతినిధ్యంగా పనిచేస్తుంది.
కృత్యం 1 : కృత్యం 1 యొక్క అదే నాలుగు గ్రూపులతో కొనసాగి, దత్తాంశాన్ని సరైన స్తంభ రేఖాచిత్రాల ద్వారా ప్రాతినిధ్యం చేయండి.
ఇప్పుడు నిరంతర తరగతి అంతరాల కోసం పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికను రేఖాచిత్రపరంగా ఎలా ప్రాతినిధ్యం చేయవచ్చో చూద్దాం.
(B) హిస్టోగ్రామ్
ఇది స్తంభ రేఖాచిత్రం వంటి ప్రాతినిధ్య రూపం, కానీ ఇది నిరంతర తరగతి అంతరాల కోసం ఉపయోగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఒక తరగతి యొక్క 36 మంది విద్యార్థుల బరువులను సూచించే పౌనఃపున్య విభాజన పట్టిక 12.2ని పరిగణించండి:
Table 12.2
| బరువులు (కిలోలలో) | విద్యార్థుల సంఖ్య |
|---|---|
| $30.5-35.5$ | 9 |
| $35.5-40.5$ | 6 |
| $40.5-45.5$ | 15 |
| $45.5-50.5$ | 3 |
| $50.5-55.5$ | 1 |
| $55.5-60.5$ | 2 |
| మొత్తం | 36 |
పైన ఇచ్చిన దత్తాంశాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రేఖాచిత్రపరంగా ప్రాతినిధ్యం చేద్దాం:
(i) మేము బరువులను సరైన స్కేల్పై క్షితిజ సమాంతర అక్షంపై ప్రాతినిధ్యం చేస్తాము. మనం స్కేల్ను $1 \mathrm{~cm}=5 \mathrm{~kg}$గా ఎంచుకోవచ్చు. అలాగే, మొదటి తరగతి అంతరం 30.5 నుండి ప్రారంభమవుతుంది మరియు సున్నా నుండి కాదు కాబట్టి, మేము దానిని గ్రాఫ్పై అక్షంపై ఒక కింక్ లేదా బ్రేక్ గుర్తు చేయడం ద్వారా చూపిస్తాము.
(ii) మేము విద్యార్థుల సంఖ్యను (పౌనఃపున్యం) సరైన స్కేల్పై నిలువు అక్షంపై ప్రాతినిధ్యం చేస్తాము. గరిష్ఠ పౌనఃపున్యం 15 కాబట్టి, ఈ గరిష్ఠ పౌనఃపున్యాన్ని కలిగి ఉండడానికి మనం స్కేల్ను ఎంచుకోవాలి.
(iii) ఇప్పుడు మనం తరగతి-పరిమాణానికి సమానమైన వెడల్పు మరియు సంబంధిత తరగతి అంతరాల పౌనఃపున్యాల ప్రకారం పొడవులు కలిగిన దీర్ఘచతురస్రాలను (లేదా దీర్ఘచతురస్రాకార స్తంభాలు) గీస్తాము. ఉదాహరణకు, $30.5-35.5$ తరగతి అంతరానికి దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వెడల్పు $1 \mathrm{~cm}$ మరియు పొడవు $4.5 \mathrm{~cm}$ అవుతుంది.
(iv) ఈ విధంగా, మనం Fig. 12.3లో చూపిన విధంగా గ్రాఫ్ను పొందుతాము:
Fig. 12.3
వరుస దీర్ఘచతురస్రాల మధ్య అంతరాలు లేనందున, ఫలితంగా వచ్చే గ్రాఫ్ ఒక ఘన ఆకారం వలె కనిపిస్తుందని గమనించండి. దీనిని హిస్టోగ్రామ్ అంటారు, ఇది నిరంతర తరగతులతో కూడిన సమూహ పౌనఃపున్య విభాజనం యొక్క రేఖాచిత్ర ప్రాతినిధ్యం. అలాగే, స్తంభ రేఖాచిత్రం కాకుండా, స్తంభం యొక్క వెడల్పు దాని నిర్మాణంలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది.
ఇక్కడ, వాస్తవానికి, నిర్మించబడిన దీర్ఘచతురస్రాల వైశాల్యాలు సంబంధిత పౌనఃపున్యాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి. అయితే, దీర్ఘచతురస్రాల వెడల్పులు అన్నీ సమానంగా ఉన్నందున, దీర్ఘచతురస్రాల పొడవులు పౌనఃపున్యాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి. అందుకే, మేము పైన (iii) ప్రకారం పొడవులను గీస్తాము.
ఇప్పుడు, పైన ఉన్న దానికి భిన్నమైన పరిస్థితిని పరిగణించండి.
ఉదాహరణ 3 : ఒక ఉపాధ్యాయురాలు 100 మార్కుల గణిత పరీక్షలో విద్యార్థుల రెండు విభాగాల ప్రదర్శనను విశ్లేషించాలనుకుంది. వారి ప్రదర్శనలను చూస్తే, కొంతమంది విద్యార్థులు 20 మార్కుల కంటే తక్కువ సాధించారని మరియు కొంతమంది 70 మార్కులు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సాధించారని ఆమె కనుగొన్నారు. కాబట్టి ఆమె వాటిని మారుతున్న పరిమాణాల అంతరాలలో ఈ క్రింది విధంగా గ్రూపు చేయాలని నిర్ణయించుకుంది: $0-20,20-30, \ldots, 60-70$, 70 - 100. అప్పుడు ఆమె ఈ క్రింది పట్టికను ఏర్పరచింది:
Table 12.3
| మార్కులు | విద్యార్థుల సంఖ్య |
|---|---|
| $0-20$ | 7 |
| $20-30$ | 10 |
| $30-40$ | 10 |
| $40-50$ | 20 |
| $50-60$ | 20 |
| $60-70$ | 15 |
| $70-$ పైన | 8 |
| మొత్తం | 90 |
ఈ పట్టిక కోసం ఒక విద్యార్థి Fig. 12.4లో చూపిన విధంగా హిస్టోగ్రామ్ను సిద్ధం చేసాడు.
Fig. 12.4
ఈ రేఖాచిత్ర ప్రాతినిధ్యాన్ని జాగ్రత్తగా పరిశీలించండి. ఇది దత్తాంశాన్ని సరిగ్గా ప్రాతినిధ్యం చేస్తుందని మీరు అనుకుంటున్నారా? లేదు, గ్రాఫ్ మనకు తప్పుదారి పట్టించే చిత్రాన్ని ఇస్తోంది. మేము ముందుగానే ప్రస్తావించినట్లుగా, హిస్టోగ్రామ్లో దీర్ఘచతురస్రాల వైశాల్యాలు పౌనఃపున్యాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి. ఇంతకు ముందు ఈ సమస్య ఎదురైనది కాదు, ఎందుకంటే అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల వెడల్పులు సమానంగా ఉండేవి. కానీ ఇక్కడ, దీర్ఘచతురస్రాల వెడల్పులు మారుతున్నందున, పై హిస్టోగ్రామ్ సరైన చిత్రాన్ని ఇవ్వదు. ఉదాహరణకు, ఇది $70-100$ అంతరంలో $60-70$ కంటే ఎక్కువ పౌనఃపున్యాన్ని చూపుతుంది, అది నిజం కాదు.
కాబట్టి, వైశాల్యాలు మళ్లీ పౌనఃపున్యాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉండేలా దీర్ఘచతురస్రాల పొడవులలో కొన్ని మార్పులు చేయాలి.
అనుసరించాల్సిన దశలు ఈ క్రింది విధంగా ఇవ్వబడ్డాయి:
- కనిష్ఠ తరగతి పరిమాణం ఉన్న తరగతి అంతరాన్ని ఎంచుకోండి. పై ఉదాహరణలో, కనిష్ఠ తరగతి-పరిమాణం 10.
- దీర్ఘచతురస్రాల పొడవులు తర్వాత తరగతి-పరిమాణం 10కి అనులోమానుపాతంలో ఉండేలా సవరించబడతాయి.
ఉదాహరణకు, తరగతి-పరిమాణం 20 అయినప్పుడు, దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు 7. కాబట్టి తరగతి-పరిమాణం 10 అయినప్పుడు, దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ అవుతుంది.
అదేవిధంగా, ఈ విధంగా కొనసాగితే, మనకు ఈ క్రింది పట్టిక లభిస్తుంది:
Table 12.4
| మార్కులు | పౌనఃపున్యం | తరగతి యొక్క వెడల్పు |
దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు |
|---|---|---|---|
| $0-20$ | 7 | 20 | $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ |
| $20-30$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $30-40$ | 10 | 10 | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $40-50$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $50-60$ | 20 | 10 | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $60-70$ | 15 | 10 | $\frac{15}{10} \times 10=15$ |
| $70-100$ | 8 | 30 | $\frac{8}{30} \times 10=2.67$ |
ప్రతి సందర్భంలో 10 మార్కుల అంతరానికి మేము ఈ పొడవులను లెక్కించినందున, మనం ఈ పొడవులను “10 మార్కుల అంతరానికి విద్యార్థుల నిష్పత్తి” అని పిలవవచ్చు.
కాబట్టి, మారుతున్న వెడల్పుతో సరైన హిస్టోగ్రామ్ Fig. 12.5లో ఇవ్వబడింది.
Fig. 12.5
(C) పౌనఃపున్య బహుభుజి
పరిమాణాత్మక దత్తాంశం మరియు దాని పౌనఃపున్యాలను ప్రాతినిధ్యం చేయడానికి ఇంకా మరొక దృశ్య మార్గం ఉంది. ఇది ఒక బహుభుజి. మనం ఏమి అర్థం చేసుకుంటున్నామో చూడటానికి, Fig. 12.3 ద్వారా సూచించబడిన హిస్టోగ్రామ్ను పరిగణించండి. ఈ హిస్టోగ్రామ్ యొక్క ప్రక్క ప్రక్క దీర్ఘచతురస్రాల ఎగువ భుజాల మధ్య బిందువులను రేఖా ఖండాల ద్వారా కలుపుదాం. ఈ మధ్య బిందువులను B, C, D, E, F మరియు G అని పిలుద్దాం. రేఖా ఖండాల ద్వారా కలిపినప్పుడు, మనం BCDEFG అనే బొమ్మను పొందుతాము (Fig. 12.6 చూడండి). బహుభుజిని పూర్తి చేయడానికి, మనం 30.5 - 35.5 కి ముందు మరియు 55.5 - 60.5 తర్వాత పౌనఃపున్యం సున్నా ఉన్న తరగతి అంతరం ఉందని భావిస్తాము మరియు వాటి మధ్య బిందువులు వరుసగా $\mathrm{A}$ మరియు $\mathrm{H}$. $\mathrm{ABCDEFGH}$ అనేది Fig. 12.3లో చూపబడిన దత్తాంశానికి అనుగుణంగా ఉండే పౌనఃపున్య బహుభుజి. మేము దీనిని Fig. 12.6లో చూపించాము.
Fig. 12.6
అయినప్పటికీ, అత్యల్ప తరగతికి ముందు మరియు అత్యధిక తరగతికి తర్వాత ఎటువంటి తరగతి లేనప్పటికీ, సున్నా పౌనఃపున్యంతో రెండు తరగతి అంతరాలను జోడించడం వలన పౌనఃపున్య బహుభుజి యొక్క వైశాల్యం హిస్టోగ్రామ్ యొక్క వైశాల్యంతో సమానంగా ఉండేలా చేయడం సాధ్యపడుతుంది. ఇది ఎందుకు? (సూచన : సర్వసమాన త్రిభుజాల లక్షణాలను ఉపయోగించండి.)
ఇప్పుడు, మొదటి తరగతికి ముందు ఎటువంటి తరగతి లేనప్పుడు బహుభుజిని ఎలా పూర్తి చేయాలనే ప్రశ్న ఉద్భవిస్తుంది. అటువంటి పరిస్థితిని పరిగణించండి.
ఉదాహరణ 4 : ఒక పరీక్షలో ఒక తరగతి యొక్క 51 మంది విద్యార్థులు సాధించిన మార్కులను, 100లో, Table 12.5లో ఇవ్వబడింది.
Table 12.5
| మార్కులు | విద్యార్థుల సంఖ్య |
|---|---|
| $0-10$ | 5 |
| $10-20$ | 10 |
| $20-30$ | 4 |
| $30-40$ | 6 |
| $40-50$ | 7 |
| $50-60$ | 3 |
| $60-70$ | 2 |
| $70-80$ | 2 |
| $80-90$ | 3 |
| $90-100$ | 9 |
| మొత్తం | 51 |
ఈ పౌనఃపున్య విభాజన పట్టికకు అనుగుణంగా ఒక పౌనఃపున్య బహుభుజిని గీయండి.
సాధన : ముందుగా ఈ దత్తాంశానికి హిస్టోగ్రామ్ను గీసి, దీర్ఘచతురస్రాల పైభాగాల మధ్య బిందువులను వరుసగా B, C, D, E, F, G, H, I, J, K గా గుర్తించండి. ఇక్కడ, మొదటి తరగతి $0-10$. కాబట్టి, $0-10$కి ముందు తరగతిని కనుగొనడానికి, మనం క్షితిజ సమాంతర అక్షాన్ని ఋణ దిశలో విస్తరించి, ఊహాత్మక తరగతి-అంతరం $(-10)-0$ యొక్క మధ్య బిందువును కనుగొంటాము. మొదటి చివరి బిందువు, అంటే, $\mathrm{B}$ క్షితిజ సమాంతర అక్షం యొక్క ఋణ దిశలో సున్నా పౌనఃపున్యంతో ఈ మధ్య బిందువుకు కలుపబడుతుంది. ఈ రేఖా ఖండం నిలువు అక్షాన్ని కలిసే బిందువు $\mathrm{A}$గా గుర్తించబడుతుంది. ఇచ్చిన దత్తాంశం యొక్క చివరి తరగతికి తర్వాత వచ్చే తరగతి యొక్క మధ్య బిందువు $\mathrm{L}$గా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు OABCDEFGHIJKL అనేది పౌనఃపున్య బహుభుజి, ఇది Fig. 12.7లో చూపబడింది.
Fig. 12.7
హిస్టోగ్రామ్లు గీయకుండానే పౌనఃపున్య బహుభుజులను స్వతంత్రంగా కూడా గీయవచ్చు. దీని కోసం, మనకు దత్తాంశంలో ఉపయోగించిన తరగతి-అంతరాల మధ్య బిందువులు అవసరం. ఈ తరగతి-అంతరాల మధ్య బిందువులను తరగతి-గుర్తులు అంటారు.
తరగతి అంతరం యొక్క తరగతి-గుర్తును కనుగొనడానికి, మనం తరగతి యొక్క ఎగువ పరిమితి మరియు దిగువ పరిమితి మొత్తాన్ని కనుగొని దానిని 2తో భాగిస్తాము. అందువలన,
$$ \text { Class-mark }=\frac{\text { Upper limit }+ \text { Lower limit }}{2} $$
ఒక ఉదాహరణను పరిగణిద్దాం.
ఉదాహరణ 5 : ఒక నగరంలో, జీవన వ్యయ సూచికపై చేసిన వారపు పరిశీలనలు ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి:
Table 12.6
| జీవన వ్యయ సూచిక | వారాల సంఖ్య |
|---|---|
| $140-150$ | 5 |
| $150-160$ | 10 |
| $160-170$ | 20 |
| $170-180$ | 9 |
| $180-190$ | 6 |
| $190-200$ | 2 |
| మొత్తం | 52 |
పై దత్తాంశానికి (హిస్టోగ్రామ్ను నిర్మించకుండా) పౌనఃపున్య బహుభుజిని గీయండి.
సాధన : మనం హిస్టోగ్రామ్ లేకుండా పౌనఃపున్య బహుభుజిన
BETA
