৮.১ পৰিচয়

আপুনি সংখ্যাৰ অধ্যয়ন আৰম্ভ কৰিছিল চাৰিওফালৰ বস্তুবোৰ গণনা কৰি। এই উদ্দেশ্যে ব্যৱহৃত সংখ্যাবোৰক গণনা সংখ্যা বা স্বাভাৱিক সংখ্যা বুলি কোৱা হৈছিল। সেইবোৰ হৈছে $1,2,3,4, \ldots$। স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ লগত 0 ক অন্তৰ্ভুক্ত কৰি আমি পোৱা সংখ্যাবোৰ হৈছে পূৰ্ণ সংখ্যা, অৰ্থাৎ $0,1,2,3, \ldots$। তাৰ পিছত স্বাভাৱিক সংখ্যাবোৰৰ ঋণাত্মক সংখ্যাবোৰক পূৰ্ণ সংখ্যাৰ লগত একেলগ কৰি পূৰ্ণাংক (ইণ্টেজাৰ) বনোৱা হ’ল। পূৰ্ণাংকবোৰ হৈছে $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$। এনেদৰে আমি সংখ্যা প্ৰণালীটোক স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ পৰা পূৰ্ণ সংখ্যালৈ আৰু পূৰ্ণ সংখ্যাৰ পৰা পূৰ্ণাংকলৈ সম্প্ৰসাৰিত কৰিলো।

আপুনি ভগ্নাংশৰ সৈতেও পৰিচিত হৈছিল। এইবোৰ হৈছে $\frac{\text{ numerator }}{\text{ denominator }}$ ৰূপৰ সংখ্যা, য’ত লৱটো হয় 0 বা এটা ধনাত্মক পূৰ্ণাংক আৰু হৰটো এটা ধনাত্মক পূৰ্ণাংক। আপুনি দুটা ভগ্নাংশ তুলনা কৰিছিল, সেইবোৰৰ সমতুল্য ৰূপ বিচাৰিছিল আৰু সেইবোৰৰ যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আৰু হৰণৰ চাৰিওটা মৌলিক ক্ৰিয়া অধ্যয়ন কৰিছিল।

এই অধ্যায়ত, আমি সংখ্যা প্ৰণালীটোক আৰু সম্প্ৰসাৰিত কৰিম। আমি পৰিমেয় সংখ্যাৰ ধাৰণাটোৰ সৈতে সেইবোৰৰ যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আৰু হৰণৰ ক্ৰিয়াবোৰৰ পৰিচয় দিম।

৮.২ পৰিমেয় সংখ্যাৰ প্ৰয়োজনীয়তা

ইতিপূৰ্বত, আমি দেখিছিলো যে কিভাবে পূৰ্ণাংকবোৰক সংখ্যাৰ বিপৰীত অৱস্থা বুজাবলৈ ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি এটা স্থানৰ সোঁফালে $3 km$ দূৰত্বক 3 ৰে বুজোৱা হয়, তেন্তে একে স্থানৰ বাঁওফালে $5 km$ দূৰত্বক -5 ৰে বুজাব পাৰি। যদি ₹ 150 ৰ লাভক 150 ৰে বুজোৱা হয়, তেন্তে ₹ 100 ৰ লোকচানক -100 ৰে লিখিব পাৰি।

ওপৰৰ দৰে বহুতো অৱস্থা আছে যিবোৰত ভগ্নাংশ সংখ্যা জড়িত হৈ থাকে। আপুনি সমুদ্ৰ পৃষ্ঠৰ ওপৰত $750 m$ দূৰত্বক $\frac{3}{4} km$ ৰে বুজাব পাৰে। আমি সমুদ্ৰ পৃষ্ঠৰ তলত $750 m$ ক $km$ ৰে বুজাব পাৰোনে? আমি সমুদ্ৰ পৃষ্ঠৰ তলত $\frac{3}{4} km$ দূৰত্বক $\frac{-3}{4}$ ৰে বুজাব পাৰোনে? আমি দেখিব পাৰো যে $\frac{-3}{4}$ এটা পূৰ্ণাংকও নহয়, ভগ্নাংশ সংখ্যাও নহয়। আমাৰ সংখ্যা প্ৰণালীটোক এনে সংখ্যাবোৰ অন্তৰ্ভুক্ত কৰিবলৈ সম্প্ৰসাৰিত কৰাৰ প্ৰয়োজন।

৮.৩ পৰিমেয় সংখ্যা কি?

‘পৰিমেয়’ (ৰেচনেল) শব্দটো ‘অনুপাত’ (ৰেচিঅ’) শব্দৰ পৰা আহিছে। আপুনি জানে যে 3:2 ৰ দৰে এটা অনুপাতক $\frac{3}{2}$ ৰূপেও লিখিব পাৰি। ইয়াত, 3 আৰু 2 স্বাভাৱিক সংখ্যা।

একেদৰে, দুটা পূৰ্ণাংক $p$ আৰু $q(q \neq 0)$ ৰ অনুপাত, অৰ্থাৎ $p: q$ ক $\frac{p}{q}$ ৰূপত লিখিব পাৰি। এইটোৱেই হৈছে ৰূপ য’ত পৰিমেয় সংখ্যাবোৰ প্ৰকাশ কৰা হয়।

এটা পৰিমেয় সংখ্যাক এনে এটা সংখ্যা হিচাপে সংজ্ঞায়িত কৰা হয় যাক $\frac{p}{q}$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত $p$ আৰু $q$ পূৰ্ণাংক আৰু $q \neq 0$।

গতিকে, $\frac{4}{5}$ এটা পৰিমেয় সংখ্যা। ইয়াত, $p=4$ আৰু $q=5$।

$\frac{-3}{4}$ও এটা পৰিমেয় সংখ্যানে? হয়, কাৰণ $p=-3$ আৰু $q=4$ পূৰ্ণাংক।

• আপুনি $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1 \frac{2}{3}$ আদিৰ দৰে বহুতো ভগ্নাংশ দেখিছে। সকলো ভগ্নাংশেই পৰিমেয় সংখ্যা। আপুনি ক’ব পাৰেনে কিয়?

দশমিক সংখ্যাবোৰ যেনে 0.5, 2.3 আদিৰ কথা কি? এনে প্ৰতিটো সংখ্যাক সাধাৰণ ভগ্নাংশ হিচাপে লিখিব পাৰি, গতিকে সেইবোৰ পৰিমেয় সংখ্যা। উদাহৰণস্বৰূপে, $0.5=\frac{5}{10}$, $0.333=\frac{333}{1000}$ আদি।

চেষ্টা কৰক

১. $\frac{2}{-3}$ সংখ্যাটো পৰিমেয়নে? এই বিষয়ে চিন্তা কৰক।

২. দহটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ তালিকা কৰক।

লৱ আৰু হৰ

$\frac{p}{q}$ ত, পূৰ্ণাংক $p$ হৈছে লৱ, আৰু পূৰ্ণাংক $q(\neq 0)$ হৈছে হৰ।

গতিকে, $\frac{-3}{7}$ ত, লৱ হৈছে -3 আৰু হৰ হৈছে 7।

প্ৰতিটোৰ বাবে পাঁচটা পৰিমেয় সংখ্যা উল্লেখ কৰা য’ত

(ক) লৱ এটা ঋণাত্মক পূৰ্ণাংক আৰু হৰ এটা ধনাত্মক পূৰ্ণাংক।

(খ) লৱ এটা ধনাত্মক পূৰ্ণাংক আৰু হৰ এটা ঋণাত্মক পূৰ্ণাংক।

(গ) লৱ আৰু হৰ দুয়োটা ঋণাত্মক পূৰ্ণাংক।

(ঘ) লৱ আৰু হৰ দুয়োটা ধনাত্মক পূৰ্ণাংক।

• পূৰ্ণাংকবোৰও পৰিমেয় সংখ্যানে?

যিকোনো পূৰ্ণাংকক এটা পৰিমেয় সংখ্যা হিচাপে ভাবিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, পূৰ্ণাংক -5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা, কাৰণ আপুনি ইয়াক $\frac{-5}{1}$ ৰূপে লিখিব পাৰে। পূৰ্ণাংক 0 ক $0=\frac{0}{2}$ বা $\frac{0}{7}$ আদি ৰূপেও লিখিব পাৰি। গতিকে, ইয়ো এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

এনেদৰে, পৰিমেয় সংখ্যাবোৰত পূৰ্ণাংক আৰু ভগ্নাংশ অন্তৰ্ভুক্ত হয়।

সমতুল্য পৰিমেয় সংখ্যা

এটা পৰিমেয় সংখ্যাক বিভিন্ন লৱ আৰু হৰৰ সৈতে লিখিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, $\frac{-2}{3}$ পৰিমেয় সংখ্যাটো বিবেচনা কৰক।

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{. আমি দেখো যে } \frac{-2}{3} \text{ আৰু } \frac{-4}{6} \text{ একে } \\ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} . \text{ গতিকে, } \frac{-2}{3} \text{ আৰু } \frac{10}{-15} \text{ও একে } \end{aligned} $

এনেদৰে, $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$। এনেবোৰ পৰিমেয় সংখ্যা যিবোৰ ইটোৱে সিটোৰ সমান, সেইবোৰক ইটোৰ সৈতে সিটো সমতুল্য বুলি কোৱা হয়।

$ \text{ আকৌ, } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (কেনেকৈ?) } $

চেষ্টা কৰক

বাকচবোৰ পূৰণ কৰক:

(i) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(ii) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

এটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ লৱ আৰু হৰক একে অশূন্য পূৰ্ণাংকৰে পূৰণ কৰি, আমি দিয়া পৰিমেয় সংখ্যাটোৰ সমতুল্য আন এটা পৰিমেয় সংখ্যা পাম। এইটো হুবহু সমতুল্য ভগ্নাংশ পোৱাৰ দৰেই।

পূৰণৰ দৰেই, লৱ আৰু হৰক একে অশূন্য পূৰ্ণাংকৰে হৰণ কৰিলেও সমতুল্য পৰিমেয় সংখ্যা পোৱা যায়। উদাহৰণস্বৰূপে,

$ \begin{gathered} \frac{10}{-15}=\frac{10 \div(-5)}{-15 \div(-5)}=\frac{-2}{3}, \quad \frac{-12}{24}=\frac{-12 \div 12}{24 \div 12}=\frac{-1}{2} \\ \text{ আমি } \frac{-2}{3} \text{ ক }-\frac{2}{3} \text{ ৰূপে লিখো, } \frac{-10}{15} \text{ ক }-\frac{10}{15} \text{ ৰূপে লিখো, ইত্যাদি। } \end{gathered} $

৮.৪ ধনাত্মক আৰু ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা

$\frac{2}{3}$ পৰিমেয় সংখ্যাটো বিবেচনা কৰক। এই সংখ্যাটোৰ লৱ আৰু হৰ দুয়োটা ধনাত্মক পূৰ্ণাংক। এনে পৰিমেয় সংখ্যাক ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা বুলি কোৱা হয়। গতিকে, $\frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{2}{9}$

চেষ্টা কৰক

১. 5 এটা ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যানে?

২. আৰু পাঁচটা ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যাৰ তালিকা কৰক। আদি ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা।

$\frac{-3}{5}$ ৰ লৱটো এটা ঋণাত্মক পূৰ্ণাংক, আনহাতে হৰটো ধনাত্মক পূৰ্ণাংক। এনে পৰিমেয় সংখ্যাক ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা বুলি কোৱা হয়। গতিকে, $\frac{-5}{7}, \frac{-3}{8}, \frac{-9}{5}$ আদি ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা।

• $\frac{8}{-3}$ এটা ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যানে? আমি জানো যে $\frac{8}{-3}=\frac{8 \times-1}{-3 \times-1}=\frac{-8}{3}$, আৰু $\frac{-8}{3}$ এটা ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা। গতিকে, $\frac{8}{-3}$ এটা ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা।

একেদৰে, $\frac{5}{-7}, \frac{6}{-5}, \frac{2}{-9}$ আদি সকলোৱে ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা। মন কৰক যে সেইবোৰৰ লৱবোৰ ধনাত্মক আৰু হৰবোৰ ঋণাত্মক।

• 0 সংখ্যাটো ধনাত্মকও নহয়, ঋণাত্মকও নহয়।
• $\frac{-3}{-5}$ ৰ কথা কি?

আপুনি দেখিব যে $\frac{-3}{-5}=\frac{-3 \times(-1)}{-5 \times(-1)}=\frac{3}{5}$। গতিকে, $\frac{-3}{-5}$ এটা ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা। এনেদৰে, $\frac{-2}{-5}, \frac{-5}{-3}$ আদি ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা।

চেষ্টা কৰক

ইয়াৰ কোনবোৰ ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা?

(i) $\frac{-2}{3}$

(ii) $\frac{5}{7}$

(iii) $\frac{3}{-5}$

(iv) 0

(v) $\frac{6}{11}$

(vi) $\frac{-2}{-9}$

৮.৫ সংখ্যা ৰেখাত পৰিমেয় সংখ্যা

আপুনি জানে যে কিভাবে সংখ্যা ৰেখাত পূৰ্ণাংকবোৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। আহক এনে এটা সংখ্যা ৰেখা আঁকো।

0 ৰ সোঁফালৰ বিন্দুবোৰ + চিহ্নৰে আৰু ধনাত্মক পূৰ্ণাংক হিচাপে বুজোৱা হয়। 0 ৰ বাঁওফালৰ বিন্দুবোৰ - চিহ্নৰে আৰু ঋণাত্মক পূৰ্ণাংক হিচাপে বুজোৱা হয়।

সংখ্যা ৰেখাত ভগ্নাংশবোৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰাটোও আপোনাৰ জনা কথা।

আহক চাওঁ কিভাবে পৰিমেয় সংখ্যাবোৰক সংখ্যা ৰেখাত প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি।

$-\frac{1}{2}$ সংখ্যাটো সংখ্যা ৰেখাত প্ৰতিনিধিত্ব কৰোঁ আহক।

ধনাত্মক পূৰ্ণাংকৰ ক্ষেত্ৰত কৰাৰ দৰে, ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যাবোৰ 0 ৰ সোঁফালে আৰু ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যাবোৰ 0 ৰ বাঁওফালে চিহ্নিত কৰা হ’ব।

আপুনি $-\frac{1}{2}$ ক 0 ৰ কোনফালে চিহ্নিত কৰিব? ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা হোৱা হেতুকে ইয়াক 0 ৰ বাঁওফালে চিহ্নিত কৰা হ’ব।

আপুনি জানে যে সংখ্যা ৰেখাত পূৰ্ণাংকবোৰ চিহ্নিত কৰোঁতে, ক্ৰমিক পূৰ্ণাংকবোৰ সমান ব্যৱধানত চিহ্নিত কৰা হয়। আৰু, 0 ৰ পৰা, 1 আৰু -1 ৰ যোৰটো সমদূৰত্বত থাকে। 2 আৰু $-2,3$ আৰু -3 ৰ যোৰবোৰও তেনেকুৱা।

একেদৰে, পৰিমেয় সংখ্যা $\frac{1}{2}$ আৰু $-\frac{1}{2}$ 0 ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকিব। আমি $\frac{1}{2}$ পৰিমেয় সংখ্যাটো কেনেকৈ চিহ্নিত কৰিব লাগে জানো। ইয়াক এটা বিন্দুত চিহ্নিত কৰা হয় যিটো 0 আৰু 1 ৰ মাজৰ দূৰত্বৰ আধা। গতিকে, $-\frac{1}{2}$ ক 0 আৰু -1 ৰ মাজৰ দূৰত্বৰ আধা বিন্দুত চিহ্নিত কৰা হ’ব।

আমি জানো যে কিভাবে সংখ্যা ৰেখাত $\frac{3}{2}$ চিহ্নিত কৰিব লাগে। ইয়াক 0 ৰ সোঁফালে চিহ্নিত কৰা হয় আৰু 1 আৰু 2 ৰ মাজৰ আধা দূৰত্বত থাকে। আহক এতিয়া $\frac{-3}{2}$ ক সংখ্যা ৰেখাত চিহ্নিত কৰোঁ। ই 0 ৰ বাঁওফালে থাকে আৰু $\frac{3}{2}$ 0 ৰ পৰা যিমান দূৰত্বত থাকে, সিমান দূৰত্বত থাকে।

অৱৰোহণ ক্ৰমত, আমি পাইছো, $\frac{-1}{2}, \frac{-2}{2}(=-1), \frac{-3}{2}, \frac{-4}{2}(=-2)$। এইটোৱে দেখুৱায় যে $\frac{-3}{2}$ -1 আৰু -2 ৰ মাজত থাকে। গতিকে, $\frac{-3}{2}$ -1 আৰু -2 ৰ মাজৰ আধা দূৰত্বত থাকে।

একেদৰে, $-\frac{1}{3}$ 0 ৰ বাঁওফালে থাকে আৰু 0 ৰ পৰা যিমান দূৰত্বত থাকে, $\frac{1}{3}$ সিমান দূৰত্বত 0 ৰ সোঁফালে থাকে। গতিকে ওপৰত কৰাৰ দৰে, $-\frac{1}{3}$ ক সংখ্যা ৰেখাত প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি। যেতিয়া আমি জ্ঞান হ’ব যে কিভাবে সংখ্যা ৰেখাত $-\frac{1}{3}$ প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব লাগে, তেতিয়া আমি $-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}$ আদি প্ৰতিনিধিত্ব কৰি যাব পাৰিম।

৮.৬ প্ৰমাণিত ৰূপত পৰিমেয় সংখ্যা

$\frac{3}{5}, \frac{-5}{8}, \frac{2}{7}, \frac{-7}{11}$ পৰিমেয় সংখ্যাবোৰ লক্ষ্য কৰক।

এই পৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ হৰবোৰ ধনাত্মক পূৰ্ণাংক আৰু লৱ আৰু হৰৰ মাজত 1 হৈছে একমাত্ৰ সাধাৰণ উৎপাদক। ইয়াৰ উপৰি, ঋণাত্মক চিহ্নটো কেৱল লৱতহে থাকে।

এনে পৰিমেয় সংখ্যাবোৰক প্ৰমাণিত ৰূপত থকা বুলি কোৱা হয়।

এটা পৰিমেয় সংখ্যাক প্ৰমাণিত ৰূপত বুলি কোৱা হয় যদি ইয়াৰ হৰটো এটা ধনাত্মক পূৰ্ণাংক হয় আৰু লৱ আৰু হৰৰ 1 ৰ বাহিৰে আন কোনো সাধাৰণ উৎপাদক নাথাকে।

যদি এটা পৰিমেয় সংখ্যা প্ৰমাণিত ৰূপত নাথাকে, তেন্তে ইয়াক প্ৰমাণিত ৰূপলৈ হ্ৰাস কৰিব পাৰি।

মনত পেলাওক যে ভগ্নাংশবোৰক ইয়াৰ নিম্নতম ৰূপলৈ হ্ৰাস কৰিবলৈ, আমি ভগ্নাংশটোৰ লৱ আৰু হৰক একে অশূন্য ধনাত্মক পূৰ্ণাংকৰে হৰণ কৰিছিলো। পৰিমেয় সংখ্যাবোৰক ইয়াৰ প্ৰমাণিত ৰূপলৈ হ্ৰাস কৰিবলৈ আমি একে পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিম।

উদাহৰণ ১ $\frac{-45}{30}$ ক প্ৰমাণিত ৰূপলৈ হ্ৰাস কৰক।

সমাধান

আমাৰ আছে, $\frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 3}{30 \div 3}=\frac{-15}{10}=\frac{-15 \div 5}{10 \div 5}=\frac{-3}{2}$

আমাক দুবাৰ হৰণ কৰিবলগীয়া হৈছিল। প্ৰথমবাৰ 3 ৰে আৰু তাৰ পিছত 5 ৰে। এইটো এনেকৈও কৰিব পাৰি

$ \frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 15}{30 \div 15}=\frac{-3}{2} $

এই উদাহৰণত, মন কৰক যে 15 হৈছে 45 আৰু 30 ৰ গ.সা.উ.।

গতিকে, পৰিমেয় সংখ্যাটো ইয়াৰ প্ৰমাণিত ৰূপলৈ হ্ৰাস কৰিবলৈ, আমি ইয়াৰ লৱ আৰু হৰক ইয়াৰ গ.সা.উ. ৰে হৰণ কৰো, ঋণাত্মক চিহ্ন থাকিলে ইয়াক উপেক্ষা কৰি। (ঋণাত্মক চিহ্ন উপেক্ষা কৰাৰ কাৰণ উচ্চ শ্ৰেণীত অধ্যয়ন কৰা হ’ব)

যদি হৰত ঋণাত্মক চিহ্ন থাকে, ‘$-HCF$’ ৰে হৰণ কৰক।

উদাহৰণ ২ প্ৰমাণিত ৰূপলৈ হ্ৰাস কৰক:

(i) $\frac{36}{-24}$

(ii) $\frac{-3}{-15}$

সমাধান

(i) 36 আৰু 24 ৰ গ.সা.উ. হৈছে 12।

গতিকে, ইয়াৰ প্ৰমাণিত ৰূপ পাবলৈ -12 ৰে হৰণ কৰা হ’ব।

$ \frac{36}{-24}=\frac{36 \div(-12)}{-24 \div(-12)}=\frac{-3}{2} $

(ii) 3 আৰু 15 ৰ গ.সা.উ. হৈছে 3।

গতিকে, $\frac{-3}{-15}=\frac{-3 \div(-2)}{-15 \div(-3)}=\frac{1}{5}$

চেষ্টা কৰক

প্ৰমাণিত ৰূপ উলিয়াওক

(i) $\frac{-18}{45}$

(ii) $\frac{-12}{18}$

৮.৭ পৰিমেয় সংখ্যাৰ তুলনা

আমি জানো যে কিভাবে দুটা পূৰ্ণাংক বা দুটা ভগ্নাংশ তুলনা কৰি কোনটো সৰু বা কোনটো ডাঙৰ কোৱা যায়। আহক এতিয়া চাওঁ কিভাবে দুটা পৰিমেয় সংখ্যা তুলনা কৰিব পাৰি।

• দুটা ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা, যেনে $\frac{2}{3}$ আৰু $\frac{5}{7}$ ক ভগ্নাংশৰ ক্ষেত্ৰত ইতিপূৰ্বত অধ্যয়ন কৰাৰ দৰে তুলনা কৰিব পাৰি।
• মেৰীয়ে দুটা ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা $-\frac{1}{2}$ আৰু $-\frac{1}{5}$ সংখ্যা ৰেখা ব্যৱহাৰ কৰি তুলনা কৰিছিল। তাই জানে যে আনটো পূৰ্ণাংকৰ সোঁফালে থকা পূৰ্ণাংকটোৱেই আছিল ডাঙৰ পূৰ্ণাংক।

উদাহৰণস্বৰূপে, সংখ্যা ৰেখাত 5, 2 ৰ সোঁফালে থাকে আৰু $5>2$। সংখ্যা ৰেখাত -2, -5 ৰ সোঁফালে থাকে আৰু $-2>-5$।

তাই পৰিমেয় সংখ্যাৰ বাবেও এই পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰিছিল। তাই জানে যে কিভাবে সংখ্যা ৰেখাত পৰিমেয় সংখ্যা চিহ্নিত কৰিব লাগে। তাই $-\frac{1}{2}$ আৰু $-\frac{1}{5}$ ক তলত দিয়া ধৰণে চিহ্নিত কৰিছিল:

তাই দুয়োটা বিন্দু শুদ্ধকৈ চিহ্নিত কৰিছেনে? তাই কেনেকৈ আৰু কিয় $-\frac{1}{2}$ ক $-\frac{5}{10}$ লৈ আৰু $-\frac{1}{5}$ ক $-\frac{2}{10}$ লৈ ৰূপান্তৰিত কৰিছিল? তাই দেখিলে যে $-\frac{1}{5}$, $-\frac{1}{2}$ ৰ সোঁফালে থাকে। গতিকে, $-\frac{1}{5}>-\frac{1}{2}$ বা $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$। আপুনি $-\frac{3}{4}$ আৰু $-\frac{2}{3} ?-\frac{1}{3}$ আৰু $-\frac{1}{5}$ তুলনা কৰিব পাৰেনে?

ভগ্নাংশৰ অধ্যয়নৰ পৰা আমি জানো যে $\frac{1}{5}<\frac{1}{2}$। আৰু মেৰীয়ে $-\frac{1}{2}$ আৰু $-\frac{1}{5}$ ৰ বাবে কি পালে? ইয়াৰ বিপৰীতটোৱে নাছিল নেকি?

আপুনি দেখিব যে, $\frac{1}{2}>\frac{1}{5}$ কিন্তু $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$।

আপুনি $-\frac{3}{4},-\frac{2}{3}$ আৰু $-\frac{1}{3},-\frac{1}{5}$ ৰ বাবে একে কথা লক্ষ্য কৰেনে?

মেৰীয়ে মনত পেলালে যে পূৰ্ণাংকত তাই অধ্যয়ন কৰিছিল যে $4>3$ কিন্তু $-4<-3,5>2$ কিন্তু $-5<-2$ আদি।

• ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যাৰ যোৰবোৰৰ ক্ষেত্ৰটো একে। দুটা ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা তুলনা কৰিবলৈ, আমি ইয়াৰ ঋণাত্মক চিহ্নবোৰ উপেক্ষা কৰি তুলনা কৰো আৰু তাৰ পিছত ক্ৰমটো বিপৰীত কৰো।

উদাহৰণস্বৰূপে, $-\frac{7}{5}$ আৰু $-\frac{5}{3}$ তুলনা কৰিবলৈ, আমি প্ৰথমে $\frac{7}{5}$ আৰু $\frac{5}{3}$ তুলনা কৰো।

আমি পাইছো $\frac{7}{5}<\frac{5}{3}$ আৰু সিদ্ধান্ত লওঁ যে $\frac{-7}{5}>\frac{-5}{3}$।

এনে আৰু পাঁচটা যোৰ লওক আৰু সেইবোৰ তুলনা কৰক।

কোনটো ডাঙৰ $-\frac{3}{8}$ নে $-\frac{2}{7} ? ;-\frac{4}{3}$ নে $-\frac{3}{2}$?

• এটা ঋণাত্মক আৰু এটা ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যাৰ তুলনা স্পষ্ট। এটা ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা সংখ্যা ৰেখাত 0 ৰ বাঁওফালে থাকে আনহাতে এটা ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা 0 ৰ সোঁফালে থাকে। গতিকে, এটা ঋণাত্মক পৰিমেয় সংখ্যা সদায় ধনাত্মক পৰিমেয় সংখ্যাতকৈ সৰু হ’ব।

এনেদৰে, $-\frac{2}{7}<\frac{1}{2}$।

• পৰিমেয় সংখ্যা $\frac{-3}{-5}$ আৰু $\frac{-2}{-7}$ তুলনা কৰিবলৈ সেইবোৰক ইয়াৰ প্ৰমাণিত ৰূপলৈ হ্ৰাস কৰি তাৰ পিছত তুলনা কৰক।

উদাহৰণ ৩ $\frac{4}{-9}$ আৰু $\frac{-16}{36}$ য়ে একে পৰিমেয় সংখ্যাটো প্ৰতিনিধিত্ব কৰেনে?

সমাধান

হয়, কাৰণ $\frac{4}{-9}=\frac{4 \times(-4)}{9 \times(-4)}=\frac{-16}{36}$ বা $\frac{-16}{36}=\frac{-16+-4}{35 \div-4}=\frac{-4}{-9}$।

৮.৮ দুটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ মাজৰ পৰিমেয় সংখ্যা

ৰেশমাই 3 আৰু 10 ৰ মাজৰ পূৰ্ণ সংখ্যাবোৰ গণনা কৰিব বিচাৰিছিল। তাইৰ আগৰ শ্ৰেণীৰ পৰা, তাই জানিছিল যে 3 আৰু 10 ৰ মাজত ঠিক 6 টা পূৰ্ণ সংখ্যা থাকিব। একেদৰে, তাই -3 আৰু 3 ৰ মাজৰ মুঠ পূৰ্ণাংকৰ সংখ্যা জানিব বিচাৰিছিল। -3 আৰু 3 ৰ মাজৰ পূৰ্ণাংকবোৰ হৈছে $-2,-1,0,1,2$। গতিকে, -3 আৰু 3 ৰ মাজত ঠিক 5 টা পূৰ্ণাংক আছে।

-3 আৰু -2 ৰ মাজত কোনো পূৰ্ণাংক আছে নেকি? নাই, -3 আৰু -2 ৰ মাজত কোনো পূৰ্ণাংক নাই। দুটা ক্ৰমিক পূৰ্ণাংকৰ মাজত পূৰ্ণাংকৰ সংখ্যা 0।

এনেদৰে, আমি দেখো যে দুটা পূৰ্ণাংকৰ মাজত পূৰ্ণাংকৰ সংখ্যা সীমিত (সান্ত)।

পৰিমেয় সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰতো একে ঘটনা ঘটিবনে?

ৰেশমাই দুটা পৰিমেয় সংখ্যা $\frac{-3}{5}$ আৰু $\frac{-1}{3}$ ল’লে।

তাই সেইবোৰক একে হৰৰ সৈতে পৰিমেয় সংখ্যালৈ ৰূপান্তৰিত কৰিলে।

গতিকে

$ \frac{-3}{5}=\frac{-9}{15} \text{ আৰু } \frac{-1}{3}=\frac{-5}{15} $

আমাৰ আছে $\quad \frac{-9}{15}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-5}{15}$ বা $\frac{-3}{5}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3}$

তাই $\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}$ পৰিমেয় সংখ্যাবোৰ $\frac{-3}{5}$ আৰু $\frac{-1}{3}$ ৰ মাজত বিচাৰি পাইছিল।

$\frac{-8}{15}, \frac{-7}{15}, \frac{-6}{15}$ সংখ্যাবোৰেই নেকি $-\frac{3}{5}$ আৰু $-\frac{1}{3}$ ৰ মাজৰ একমাত্ৰ পৰিমেয় সংখ্যা?

আমাৰ আছে $\quad \frac{-3}{5}<\frac{-18}{30}$ আৰু $\frac{-8}{15}<\frac{-16}{30}$

আৰু

গতিকে

$ \frac{-18}{30}<\frac{-17}{30}<\frac{-16}{30} \text{. অৰ্থাৎ, } \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15} $

$ \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3} $

গতিকে, আমি $\frac{-3}{5}$ আৰু $\frac{-1}{3}$ ৰ মাজত আৰু এটা পৰিমেয় সংখ্যা বিচাৰি পাইছিলো।

এই পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি, আপুনি দুটা ভিন্ন পৰিমেয় সংখ্যাৰ মাজত যিমান খুজে সিমান পৰিমেয় সংখ্যা সন্নিৱিষ্ট কৰিব পাৰে।

চেষ্টা কৰক

$\frac{-5}{7}$ আৰু $\frac{-3}{8}$ ৰ মাজত পাঁচটা পৰিমেয় সংখ্যা উলিয়াওক। উদাহৰণস্বৰূপে, $\quad \frac{-3}{5}=\frac{-3 \times 30}{5 \times 30}=\frac{-90}{150}$ আৰু $\frac{-1}{3}=\frac{-1 \times 50}{3 \times 50}=\frac{-50}{150}$

আমি 39 টা পৰিমেয় সংখ্যা $(\frac{-89}{150}, \ldots, \frac{-51}{150})$ পাইছো $\frac{-90}{150}$ আৰু $\frac{-50}{150}$ ৰ মাজত অৰ্থাৎ $\frac{-3}{5}$ আৰু $\frac{-1}{3}$ ৰ মাজত। আপুনি দেখিব যে তালিকাটো অন্তহীন।

আপুনি $\frac{-5}{3}$ আৰু $\frac{-8}{7}$ ৰ মাজত পাঁচটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ তালিকা কৰিব পাৰেনে?

যিকোনো দুটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ মাজত অসীম সংখ্যক পৰিমেয় সংখ্যা পোৱা যায়।

উদাহৰণ ৪ -2 আৰু -1 ৰ মাজত তিনিটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ তালিকা কৰক।

সমাধান

আহক -1 আৰু -2 ক হৰ 5 ৰ সৈতে পৰিমেয় সংখ্যা হিচাপে লিখো। (কিয়?)

আমাৰ আছে, $-1=\frac{-5}{5}$ আৰু $-2=\frac{-10}{5}$

গতিকে, $\quad \frac{-10}{5}<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<\frac{-5}{5}$ বা $-2<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<-1$

-2 আৰু -1 ৰ মাজৰ তিনিটা পৰিমেয় সংখ্যা হ’ব, $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}$

(আপুনি $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}, \frac{-6}{5}$ ৰ যিকোনো তিনিটা ল’ব পাৰে)

উদাহৰণ ৫ তলৰ নমুনাত আৰু চাৰিটা সংখ্যা লিখক:

$ \frac{-1}{3}, \frac{-2}{6}, \frac{-3}{9}, \frac{-4}{12}, \ldots $

সমাধান

আমাৰ আছে,

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{6}=\frac{-1 \times 2}{3 \times 2}, \frac{-3}{9}=\frac{-1 \times 3}{3 \times 3}, \frac{-4}{12}=\frac{-1 \times 4}{3 \times 4} \\ & \frac{-1 \times 1}{3 \times 1}=\frac{-1}{3}, \frac{-1 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-2}{6}, \frac{-1 \times 3}{3 \times 3}=\frac{-3}{9}, \frac{-1 \times 4}{3 \times 4}=\frac{-4}{12} \end{aligned} $

বা

$ \text{ এই সংখ্যাবোৰত এটা নমুনা দেখা যায়। } $

বাকী সংখ্যাবোৰ হ’ব $\frac{-1 \times 5}{3 \times 5}=\frac{-5}{15}, \frac{-1 \times 6}{3 \times 6}=\frac{-6}{18}, \frac{-1 \times 7}{3 \times 7}=\frac{-7}{21}$।

অনুশীলনী ৮.১

১. তলত দিয়া প্ৰতিটোৰ মাজত পাঁচটা পৰিমেয় সংখ্যাৰ তালিকা কৰক:

(i) -1 আৰু 0

(ii) -2 আৰু -1

(iii) $\frac{-4}{5}$ আৰু $\frac{-2}{3}$

(iv) $-\frac{1}{2}$ আৰু $\frac{2}{3}$

২. তলৰ প্ৰতিটো নমুনাত আৰু চাৰিটা পৰিমেয় সংখ্যা লিখক:

(i) $\frac{-3}{5}, \frac{-6}{10}, \frac{-9}{15}, \frac{-12}{20}, \ldots$.

(ii) $\frac{-1}{4}, \frac{-2}{8}, \frac{-3}{12}, \ldots$.

(iii) $\frac{-1}{6}, \frac{2}{-12}, \frac{3}{-18}, \frac{4}{-24}, \ldots .$.

(iv) $\frac{-2}{3}, \frac{2}{-3}, \frac{4}{-6}, \frac{6}{-9}, \ldots$.

৩. তলত দিয়াবোৰৰ সমতুল্য চাৰিটা পৰিমেয় সংখ্যা দিয়ক:

(i) $\frac{-2}{7}$

(ii) $\frac{5}{-3}$

(iii) $\frac{4}{9}$

৪. সংখ্যা ৰেখা আঁকি তলৰ পৰিম