৮.১ ভূমিকা

তুমি তোমার চারপাশের বস্তু গণনা করে সংখ্যা অধ্যয়ন শুরু করেছিলে। এই উদ্দেশ্যে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলোকে গণনা সংখ্যা বা স্বাভাবিক সংখ্যা বলা হত। সেগুলো হল $1,2,3,4, \ldots$। স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে ০ কে অন্তর্ভুক্ত করে আমরা পূর্ণ সংখ্যা পেয়েছি, অর্থাৎ $0,1,2,3, \ldots$। তারপর স্বাভাবিক সংখ্যার ঋণাত্মকগুলিকে পূর্ণ সংখ্যার সাথে একত্র করে পূর্ণসংখ্যা গঠন করা হয়েছে। পূর্ণসংখ্যা হল $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$। এইভাবে আমরা সংখ্যা পদ্ধতিকে স্বাভাবিক সংখ্যা থেকে পূর্ণ সংখ্যায় এবং পূর্ণ সংখ্যা থেকে পূর্ণসংখ্যায় সম্প্রসারিত করেছি।

তোমাকে ভগ্নাংশের সঙ্গেও পরিচয় করানো হয়েছিল। এগুলি হল $\frac{\text{ numerator }}{\text{ denominator }}$ আকারের সংখ্যা, যেখানে লবটি হয় 0 অথবা একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং হরটি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তুমি দুটি ভগ্নাংশের তুলনা করেছ, তাদের সমতুল্য রূপ খুঁজে পেয়েছ এবং তাদের উপর যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ—এই চারটি মৌলিক ক্রিয়ার সবকটিই অধ্যয়ন করেছ।

এই অধ্যায়ে, আমরা সংখ্যা পদ্ধতিকে আরও সম্প্রসারিত করব। আমরা মূলদ সংখ্যার ধারণা সহ তাদের যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের ক্রিয়াগুলি উপস্থাপন করব।

৮.২ মূলদ সংখ্যার প্রয়োজনীয়তা

পূর্বে, আমরা দেখেছি কিভাবে বিপরীত পরিস্থিতি বোঝাতে পূর্ণসংখ্যা ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি স্থানের $3 km$ ডানদিকের দূরত্ব 3 দ্বারা নির্দেশিত হয়, তাহলে একই স্থানের $5 km$ বামদিকের দূরত্ব -5 দ্বারা নির্দেশিত হতে পারে। যদি ₹ 150 লাভ 150 দ্বারা প্রকাশিত হয়, তাহলে ₹ 100 ক্ষতি -100 হিসাবে লেখা যেতে পারে।

উপরের পরিস্থিতিগুলির অনুরূপ অনেক পরিস্থিতি আছে যেগুলোতে ভগ্নাংশিক সংখ্যা জড়িত। তুমি সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে $750 m$ উপরের দূরত্বকে $\frac{3}{4} km$ হিসাবে উপস্থাপন করতে পার। আমরা কি সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে $750 m$ নিচের দূরত্বকে $km$ এ উপস্থাপন করতে পারি? আমরা কি সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে $\frac{3}{4} km$ নিচের দূরত্ব $\frac{-3}{4}$ দ্বারা নির্দেশ করতে পারি? আমরা দেখতে পাচ্ছি $\frac{-3}{4}$ একটি পূর্ণসংখ্যা নয়, আবার একটি ভগ্নাংশিক সংখ্যাও নয়। আমাদের সংখ্যা পদ্ধতিকে এই ধরনের সংখ্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য সম্প্রসারিত করতে হবে।

৮.৩ মূলদ সংখ্যা কী?

‘মূলদ’ শব্দটি ‘অনুপাত’ শব্দ থেকে উদ্ভূত। তুমি জান যে 3:2 এর মতো একটি অনুপাত $\frac{3}{2}$ হিসাবেও লেখা যেতে পারে। এখানে, 3 এবং 2 স্বাভাবিক সংখ্যা।

একইভাবে, দুটি পূর্ণসংখ্যা $p$ এবং $q(q \neq 0)$ এর অনুপাত, অর্থাৎ $p: q$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যেতে পারে। মূলদ সংখ্যাগুলি এই আকারে প্রকাশিত হয়।

একটি মূলদ সংখ্যাকে এমন একটি সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$।

সুতরাং, $\frac{4}{5}$ একটি মূলদ সংখ্যা। এখানে, $p=4$ এবং $q=5$।

$\frac{-3}{4}$ কি একটি মূলদ সংখ্যা? হ্যাঁ, কারণ $p=-3$ এবং $q=4$ পূর্ণসংখ্যা।

• তুমি $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1 \frac{2}{3}$ ইত্যাদির মতো অনেক ভগ্নাংশ দেখেছ। সমস্ত ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা। তুমি বলতে পার কেন?

দশমিক সংখ্যা যেমন 0.5, 2.3 ইত্যাদির কী হবে? এই ধরনের প্রতিটি সংখ্যাকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে লেখা যেতে পারে এবং তাই, সেগুলি মূলদ সংখ্যা। উদাহরণস্বরূপ, $0.5=\frac{5}{10}$, $0.333=\frac{333}{1000}$ ইত্যাদি।

এগুলি চেষ্টা করো

1. $\frac{2}{-3}$ সংখ্যাটি কি মূলদ? এটা নিয়ে ভাবো।

2. দশটি মূলদ সংখ্যার তালিকা করো।

লব এবং হর

$\frac{p}{q}$ এ, পূর্ণসংখ্যা $p$ হল লব, এবং পূর্ণসংখ্যা $q(\neq 0)$ হল হর।

সুতরাং, $\frac{-3}{7}$ এ, লব হল -3 এবং হর হল 7।

পাঁচটি মূলদ সংখ্যার উল্লেখ করো যাদের প্রত্যেকের

(ক) লব একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং হর একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

(খ) লব একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং হর একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

(গ) লব এবং হর উভয়ই ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

(ঘ) লব এবং হর উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

• পূর্ণসংখ্যাগুলিও কি মূলদ সংখ্যা?

যেকোনো পূর্ণসংখ্যাকে একটি মূলদ সংখ্যা হিসাবে ভাবা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যা -5 একটি মূলদ সংখ্যা, কারণ তুমি এটিকে $\frac{-5}{1}$ হিসাবে লিখতে পার। পূর্ণসংখ্যা 0 কেও $0=\frac{0}{2}$ বা $\frac{0}{7}$ ইত্যাদি হিসাবে লেখা যেতে পারে। সুতরাং, এটিও একটি মূলদ সংখ্যা।

এইভাবে, মূলদ সংখ্যাগুলিতে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ অন্তর্ভুক্ত থাকে।

সমতুল্য মূলদ সংখ্যা

একটি মূলদ সংখ্যা বিভিন্ন লব এবং হর দিয়ে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, মূলদ সংখ্যা $\frac{-2}{3}$ বিবেচনা করো।

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{. আমরা দেখি যে } \frac{-2}{3} \text{ এবং } \frac{-4}{6} \text{ একই} \\ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} . \text{ সুতরাং, } \frac{-2}{3} \text{ এবং } \frac{10}{-15} \text{ও একই} \end{aligned} $

এইভাবে, $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$। এই ধরনের মূলদ সংখ্যাগুলি যেগুলি পরস্পরের সমান, তাদের একে অপরের সমতুল্য বলা হয়।

$ \text{ আবার, } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (কিভাবে?) } $

এগুলি চেষ্টা করো

বাক্সগুলি পূরণ করো:

(i) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(ii) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

একটি মূলদ সংখ্যার লব এবং হরকে একই অশূন্য পূর্ণসংখ্যা দিয়ে গুণ করে, আমরা প্রদত্ত মূলদ সংখ্যার সমতুল্য আরেকটি মূলদ সংখ্যা পাই। এটি ঠিক সমতুল্য ভগ্নাংশ পাওয়ার মতো।

ঠিক যেমন গুণন, একই অশূন্য পূর্ণসংখ্যা দ্বারা লব এবং হরকে ভাগ করলেও সমতুল্য মূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ,

$ \begin{gathered} \frac{10}{-15}=\frac{10 \div(-5)}{-15 \div(-5)}=\frac{-2}{3}, \quad \frac{-12}{24}=\frac{-12 \div 12}{24 \div 12}=\frac{-1}{2} \\ \text{ আমরা } \frac{-2}{3} \text{ কে }-\frac{2}{3} \text{ হিসাবে লিখি, } \frac{-10}{15} \text{ কে }-\frac{10}{15} \text{ হিসাবে লিখি, ইত্যাদি। } \end{gathered} $

৮.৪ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা

মূলদ সংখ্যা $\frac{2}{3}$ বিবেচনা করো। এই সংখ্যার লব এবং হর উভয়ই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এই ধরনের মূলদ সংখ্যাকে ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা বলা হয়। সুতরাং, $\frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{2}{9}$

এগুলি চেষ্টা করো

1. 5 কি একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা?

2. আরও পাঁচটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার তালিকা করো। ইত্যাদি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা।

$\frac{-3}{5}$ এর লব একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, অন্যদিকে হর একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এই ধরনের মূলদ সংখ্যাকে ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা বলা হয়। সুতরাং, $\frac{-5}{7}, \frac{-3}{8}, \frac{-9}{5}$ ইত্যাদি ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা।

• $\frac{8}{-3}$ কি একটি ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা? আমরা জানি যে $\frac{8}{-3}=\frac{8 \times-1}{-3 \times-1}=\frac{-8}{3}$, এবং $\frac{-8}{3}$ একটি ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা। সুতরাং, $\frac{8}{-3}$ একটি ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা।

একইভাবে, $\frac{5}{-7}, \frac{6}{-5}, \frac{2}{-9}$ ইত্যাদি সবই ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা। লক্ষ্য করো যে তাদের লবগুলি ধনাত্মক এবং হরগুলি ঋণাত্মক।

• সংখ্যা 0 একটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা নয়।
• $\frac{-3}{-5}$ এর কী হবে?

তুমি দেখবে যে $\frac{-3}{-5}=\frac{-3 \times(-1)}{-5 \times(-1)}=\frac{3}{5}$। সুতরাং, $\frac{-3}{-5}$ একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা। এইভাবে, $\frac{-2}{-5}, \frac{-5}{-3}$ ইত্যাদি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা।

এগুলি চেষ্টা করো

নিচের কোনগুলি ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা?

(i) $\frac{-2}{3}$

(ii) $\frac{5}{7}$

(iii) $\frac{3}{-5}$

(iv) 0

(v) $\frac{6}{11}$

(vi) $\frac{-2}{-9}$

৮.৫ সংখ্যারেখায় মূলদ সংখ্যা

তুমি জান কিভাবে সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যা উপস্থাপন করতে হয়। আসুন আমরা একটি এমন সংখ্যারেখা আঁকি।

0 এর ডানদিকের বিন্দুগুলি + চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত হয় এবং সেগুলি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। 0 এর বামদিকের বিন্দুগুলি - চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত হয় এবং সেগুলি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

সংখ্যারেখায় ভগ্নাংশের উপস্থাপনাও তোমার জানা আছে।

আসুন দেখি কিভাবে মূলদ সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখায় উপস্থাপন করা যায়।

সংখ্যা $-\frac{1}{2}$ কে সংখ্যারেখায় উপস্থাপন করি।

ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে যেমন করা হয়েছিল, ধনাত্মক মূলদ সংখ্যাগুলি 0 এর ডানদিকে এবং ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যাগুলি 0 এর বামদিকে চিহ্নিত করা হবে।

তুমি $-\frac{1}{2}$ কে 0 এর কোন দিকে চিহ্নিত করবে? এটি একটি ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা হওয়ায়, এটিকে 0 এর বামদিকে চিহ্নিত করা হবে।

তুমি জান যে সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যা চিহ্নিত করার সময়, পরপর পূর্ণসংখ্যাগুলি সমান ব্যবধানে চিহ্নিত করা হয়। আর, 0 থেকে, 1 এবং -1 জোড়াটি সমদূরত্বে থাকে। 2 এবং $-2,3$ এবং -3 জোড়াগুলিও একই।

একইভাবে, মূলদ সংখ্যা $\frac{1}{2}$ এবং $-\frac{1}{2}$ 0 থেকে সমান দূরত্বে থাকবে। আমরা মূলদ সংখ্যা $\frac{1}{2}$ চিহ্নিত করতে জানি। এটি এমন একটি বিন্দুতে চিহ্নিত করা হয় যা 0 এবং 1 এর মধ্যবর্তী দূরত্বের অর্ধেক। সুতরাং, $-\frac{1}{2}$ কে 0 এবং -1 এর মধ্যবর্তী দূরত্বের অর্ধেক বিন্দুতে চিহ্নিত করা হবে।

আমরা জানি কিভাবে $\frac{3}{2}$ কে সংখ্যারেখায় চিহ্নিত করতে হয়। এটি 0 এর ডানদিকে চিহ্নিত করা হয় এবং 1 এবং 2 এর মধ্যবর্তী অর্ধেক পথে অবস্থিত। এখন $\frac{-3}{2}$ কে সংখ্যারেখায় চিহ্নিত করি। এটি 0 এর বামদিকে অবস্থিত এবং $\frac{3}{2}$ থেকে 0 পর্যন্ত যত দূরত্ব, ঠিক ততটাই দূরত্বে আছে।

হ্রাসমান ক্রমে, আমাদের আছে, $\frac{-1}{2}, \frac{-2}{2}(=-1), \frac{-3}{2}, \frac{-4}{2}(=-2)$। এটি দেখায় যে $\frac{-3}{2}$ -1 এবং -2 এর মধ্যে অবস্থিত। এইভাবে, $\frac{-3}{2}$ -1 এবং -2 এর মধ্যবর্তী অর্ধেক পথে অবস্থিত।

একইভাবে, $-\frac{1}{3}$ শূন্যের বামদিকে এবং শূন্য থেকে যত দূরত্বে, $\frac{1}{3}$ ঠিক তত দূরত্বে ডানদিকে। সুতরাং উপরের মতো করে, $-\frac{1}{3}$ কে সংখ্যারেখায় উপস্থাপন করা যেতে পারে। একবার আমরা $-\frac{1}{3}$ কে সংখ্যারেখায় উপস্থাপন করতে শিখলে, আমরা $-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}$ ইত্যাদি উপস্থাপন করতে পারি।

৮.৬ প্রমিত আকারে মূলদ সংখ্যা

মূলদ সংখ্যা $\frac{3}{5}, \frac{-5}{8}, \frac{2}{7}, \frac{-7}{11}$ লক্ষ্য করো।

এই মূলদ সংখ্যাগুলির হরগুলি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং লব ও হরের মধ্যে 1 হল একমাত্র সাধারণ গুণনীয়ক। আরও, ঋণাত্মক চিহ্নটি শুধুমাত্র লবে দেখা যায়।

এই ধরনের মূলদ সংখ্যাগুলিকে প্রমিত আকারে বলা হয়।

একটি মূলদ সংখ্যাকে প্রমিত আকারে বলা হয় যদি এর হর একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় এবং লব ও হরের মধ্যে 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক না থাকে।

যদি একটি মূলদ সংখ্যা প্রমিত আকারে না থাকে, তবে এটিকে প্রমিত আকারে হ্রাস করা যেতে পারে।

মনে করো যে ভগ্নাংশগুলিকে তাদের সর্বনিম্ন আকারে হ্রাস করার জন্য, আমরা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে একই অশূন্য ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দিয়ে ভাগ করতাম। মূলদ সংখ্যাগুলিকে তাদের প্রমিত আকারে হ্রাস করার জন্য আমরা একই পদ্ধতি ব্যবহার করব।

উদাহরণ 1 $\frac{-45}{30}$ কে প্রমিত আকারে হ্রাস করো।

সমাধান

আমাদের আছে, $\frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 3}{30 \div 3}=\frac{-15}{10}=\frac{-15 \div 5}{10 \div 5}=\frac{-3}{2}$

আমাদের দুবার ভাগ করতে হয়েছিল। প্রথমবার 3 দিয়ে এবং তারপর 5 দিয়ে। এটিও এভাবে করা যেতে পারে

$ \frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 15}{30 \div 15}=\frac{-3}{2} $

এই উদাহরণে, লক্ষ্য করো যে 15 হল 45 এবং 30 এর গ.সা.গু.

সুতরাং, মূলদ সংখ্যাটিকে তার প্রমিত আকারে হ্রাস করতে, আমরা এর লব এবং হরকে তাদের গ.সা.গু. দিয়ে ভাগ করি, ঋণাত্মক চিহ্ন উপেক্ষা করে, যদি থাকে। (ঋণাত্মক চিহ্ন উপেক্ষা করার কারণ উচ্চতর শ্রেণীতে অধ্যয়ন করা হবে)

যদি হরে ঋণাত্মক চিহ্ন থাকে, তাহলে ’ $-HCF$ ’ দিয়ে ভাগ করো।

উদাহরণ 2 প্রমিত আকারে হ্রাস করো:

(i) $\frac{36}{-24}$

(ii) $\frac{-3}{-15}$

সমাধান

(i) 36 এবং 24 এর গ.সা.গু. হল 12।

সুতরাং, এর প্রমিত আকার পাওয়া যাবে -12 দিয়ে ভাগ করে।

$ \frac{36}{-24}=\frac{36 \div(-12)}{-24 \div(-12)}=\frac{-3}{2} $

(ii) 3 এবং 15 এর গ.সা.গু. হল 3।

সুতরাং, $\frac{-3}{-15}=\frac{-3 \div(-2)}{-15 \div(-3)}=\frac{1}{5}$

এগুলি চেষ্টা করো

প্রমিত আকার নির্ণয় করো:

(i) $\frac{-18}{45}$

(ii) $\frac{-12}{18}$

৮.৭ মূলদ সংখ্যার তুলনা

আমরা জানি কিভাবে দুটি পূর্ণসংখ্যা বা দুটি ভগ্নাংশের তুলনা করতে হয় এবং তাদের মধ্যে কোনটি ছোট বা কোনটি বড় তা বলতে হয়। আসুন এখন দেখি কিভাবে আমরা দুটি মূলদ সংখ্যার তুলনা করতে পারি।

• দুটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা, যেমন $\frac{2}{3}$ এবং $\frac{5}{7}$ কে ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে যেমন আগে অধ্যয়ন করা হয়েছিল, সেভাবে তুলনা করা যেতে পারে।
• মেরি সংখ্যারেখা ব্যবহার করে দুটি ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা $-\frac{1}{2}$ এবং $-\frac{1}{5}$ এর তুলনা করেছিল। সে জানত যে যে পূর্ণসংখ্যাটি অন্য পূর্ণসংখ্যার ডানদিকে থাকে, সেটিই বড় পূর্ণসংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যারেখায় 5, 2 এর ডানদিকে এবং $5>2$। সংখ্যারেখায় -2, -5 এর ডানদিকে এবং $-2>-5$।

সে মূলদ সংখ্যার জন্যও এই পদ্ধতি ব্যবহার করেছিল। সে জানত কিভাবে মূলদ সংখ্যাগুলিকে সংখ্যারেখায় চিহ্নিত করতে হয়। সে $-\frac{1}{2}$ এবং $-\frac{1}{5}$ কে নিম্নরূপ চিহ্নিত করেছিল:

সে কি দুটি বিন্দু সঠিকভাবে চিহ্নিত করেছে? কিভাবে এবং কেন সে $-\frac{1}{2}$ কে $-\frac{5}{10}$ এ এবং $-\frac{1}{5}$ কে $-\frac{2}{10}$ এ রূপান্তরিত করেছিল? সে দেখেছিল যে $-\frac{1}{5}$, $-\frac{1}{2}$ এর ডানদিকে। এইভাবে, $-\frac{1}{5}>-\frac{1}{2}$ বা $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$। তুমি কি $-\frac{3}{4}$ এবং $-\frac{2}{3} ?-\frac{1}{3}$ এবং $-\frac{1}{5}$ এর তুলনা করতে পার?

ভগ্নাংশ অধ্যয়ন থেকে আমরা জানি যে $\frac{1}{5}<\frac{1}{2}$। আর মেরি $-\frac{1}{2}$ এবং $-\frac{1}{5}$ এর জন্য কী পেয়েছিল? সেটি কি ঠিক বিপরীত ছিল না?

তুমি দেখবে যে, $\frac{1}{2}>\frac{1}{5}$ কিন্তু $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$।

$-\frac{3}{4},-\frac{2}{3}$ এবং $-\frac{1}{3},-\frac{1}{5}$ এর জন্যও কি তুমি একই পর্যবেক্ষণ করো?

মেরি মনে করেছিল যে পূর্ণসংখ্যা অধ্যয়নে সে পড়েছিল $4>3$ কিন্তু $-4<-3,5>2$ কিন্তু $-5<-2$ ইত্যাদি।

• ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যার জোড়ার ক্ষেত্রেও একই রকম। দুটি ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যার তুলনা করতে, আমরা তাদের ঋণাত্মক চিহ্ন উপেক্ষা করে তুলনা করি এবং তারপর ক্রমটি উল্টে দিই।

উদাহরণস্বরূপ, $-\frac{7}{5}$ এবং $-\frac{5}{3}$ এর তুলনা করতে, আমরা প্রথমে $\frac{7}{5}$ এবং $\frac{5}{3}$ এর তুলনা করি।

আমরা পাই $\frac{7}{5}<\frac{5}{3}$ এবং সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে $\frac{-7}{5}>\frac{-5}{3}$।

এরকম আরও পাঁচটি জোড়া নাও এবং তাদের তুলনা করো।

$-\frac{3}{8}$ এবং $-\frac{2}{7} ? ;-\frac{4}{3}$ এবং $-\frac{3}{2}$ এর মধ্যে কোনটি বড়?

• একটি ঋণাত্মক এবং একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার তুলনা স্পষ্ট। একটি ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা সংখ্যারেখায় শূন্যের বামদিকে থাকে যেখানে একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা শূন্যের ডানদিকে থাকে। সুতরাং, একটি ঋণাত্মক মূলদ সংখ্যা সর্বদা একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা থেকে ছোট হবে।

এইভাবে, $-\frac{2}{7}<\frac{1}{2}$।

• মূলদ সংখ্যা $\frac{-3}{-5}$ এবং $\frac{-2}{-7}$ এর তুলনা করতে, সেগুলিকে তাদের প্রমিত আকারে হ্রাস করো এবং তারপর তুলনা করো।

উদাহরণ 3 $\frac{4}{-9}$ এবং $\frac{-16}{36}$ কি একই মূলদ সংখ্যাকে নির্দেশ করে?

সমাধান

হ্যাঁ, কারণ $\frac{4}{-9}=\frac{4 \times(-4)}{9 \times(-4)}=\frac{-16}{36}$ বা $\frac{-16}{36}=\frac{-16+-4}{35 \div-4}=\frac{-4}{-9}$।

৮.৮ দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা

রেশমা 3 এবং 10 এর মধ্যবর্তী পূর্ণ সংখ্যাগুলি গণনা করতে চেয়েছিল। তার আগের শ্রেণী থেকে, সে জানত যে 3 এবং 10 এর মধ্যে ঠিক 6টি পূর্ণ সংখ্যা থাকবে। একইভাবে, সে -3 এবং 3 এর মধ্যবর্তী মোট পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা জানতে চেয়েছিল। -3 এবং 3 এর মধ্যবর্তী পূর্ণসংখ্যাগুলি হল $-2,-1,0,1,2$। এইভাবে, -3 এবং 3 এর মধ্যে ঠিক 5টি পূর্ণসংখ্যা আছে।

-3 এবং -2 এর মধ্যে কি কোনো পূর্ণসংখ্যা আছে? না, -3 এবং -2 এর মধ্যে কোনো পূর্ণসংখ্যা নেই। দুটি পরপর পূর্ণসংখ্যার মধ্যে পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা 0।

এইভাবে, আমরা দেখি যে দুটি পূর্ণসংখ্যার মধ্যবর্তী পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা সীমিত (সান্ত)।

মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রেও কি একই ঘটবে?

রেশমা দুটি মূলদ সংখ্যা $\frac{-3}{5}$ এবং $\frac{-1}{3}$ নিয়েছিল।

সে সেগুলিকে একই হরযুক্ত মূলদ সংখ্যায় রূপান্তরিত করেছিল।

সুতরাং

$ \frac{-3}{5}=\frac{-9}{15} \text{ এবং } \frac{-1}{3}=\frac{-5}{15} $

আমাদের আছে $\quad \frac{-9}{15}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-5}{15}$ বা $\frac{-3}{5}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3}$

সে $\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}$ মূলদ সংখ্যা $\frac{-3}{5}$ এবং $\frac{-1}{3}$ এর মধ্যে খুঁজে পেতে পারল।

$\frac{-8}{15}, \frac{-7}{15}, \frac{-6}{15}$ সংখ্যাগুলি কি $-\frac{3}{5}$ এবং $-\frac{1}{3}$ এর মধ্যবর্তী একমাত্র মূলদ সংখ্যা?

আমাদের আছে $\quad \frac{-3}{5}<\frac{-18}{30}$ এবং $\frac{-8}{15}<\frac{-16}{30}$

এবং

সুতরাং

$ \frac{-18}{30}<\frac{-17}{30}<\frac{-16}{30} \text{. অর্থাৎ, } \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15} $

$ \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3} $

সুতরাং, আমরা $\frac{-3}{5}$ এবং $\frac{-1}{3}$ এর মধ্যে আরও একটি মূলদ সংখ্যা খুঁজে পেতে পারলাম।

এই পদ্ধতি ব্যবহার করে, তুমি দুটি ভিন্ন মূলদ সংখ্যার মধ্যে যত খুশি মূলদ সংখ্যা সন্নিবেশ করতে পারো।

এগুলি চেষ্টা করো

$\frac{-5}{7}$ এবং $\frac{-3}{8}$ এর মধ্যে পাঁচটি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় করো। উদাহরণস্বরূপ, $\quad \frac{-3}{5}=\frac{-3 \times 30}{5 \times 30}=\frac{-90}{150}$ এবং $\frac{-1}{3}=\frac{-1 \times 50}{3 \times 50}=\frac{-50}{150}$

আমরা $(\frac{-89}{150}, \ldots, \frac{-51}{150})$ 39টি মূলদ সংখ্যা পাই $\frac{-90}{150}$ এবং $\frac{-50}{150}$ এর মধ্যে অর্থাৎ $\frac{-3}{5}$ এবং $\frac{-1}{3}$ এর মধ্যে। তুমি দেখবে যে তালিকাটি শেষহীন।

তুমি কি $\frac{-5}{3}$ এবং $\frac{-8}{7}$ এর মধ্যে পাঁচটি মূলদ সংখ্যার তালিকা করতে পারো?

যেকোনো দুটি মূলদ সংখ্যার মধ্যে আমরা অসীম সংখ্যক মূলদ সংখ্যা পেতে পারি।

উদাহরণ 4 -2 এবং -1 এর মধ্যবর্তী তিনটি মূলদ সংখ্যার তালিকা করো।

সমাধান

আসুন -1 এবং -2 কে হর 5 সহ মূলদ সংখ্যা হিসাবে লিখি। (কেন?)

আমাদের আছে, $-1=\frac{-5}{5}$ এবং $-2=\frac{-10}{5}$

সুতরাং, $\quad \frac{-10}{5}<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<\frac{-5}{5}$ বা $-2<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<-1$

-2 এবং -1 এর মধ্যবর্তী তিনটি মূলদ সংখ্যা হবে, $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}$

(তুমি $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}, \frac{-6}{5}$ এর যেকোনো তিনটি নিতে পারো)

উদাহরণ 5 নিম্নলিখিত ধাঁচে আরও চারটি সংখ্যা লেখো:

$ \frac{-1}{3}, \frac{-2}{6}, \frac{-3}{9}, \frac{-4}{12}, \ldots $

সমাধান

আমাদের আছে,

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{6}=\frac{-1 \times 2}{3 \times 2}, \frac{-3}{9}=\frac{-1 \times 3}{3 \times 3}, \frac{-4}{12}=\frac{-1 \times 4}{3 \times 4} \\ & \frac{-1 \times 1}{3 \times 1}=\frac{-1}{3}, \frac{-1 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-2}{6}, \frac{-1 \times 3}{3 \times 3}=\frac{-3}{9}, \frac{-1 \times 4}{3 \times 4}=\frac{-4}{12} \end{aligned} $

বা

$ \text{ এই সংখ্যাগুলিতে একটি ধাঁচ লক্ষ্য করো। } $

অন্য সংখ্যাগুলি হবে $\frac{-1 \times 5}{3 \times 5}=\frac{-5}{15}, \frac{-1 \times 6}{3 \times 6}=\frac{-6}{18}, \frac{-1 \times 7}{3 \times 7}=\frac{-7}{21}$।

অনুশীলনী ৮.১

1. নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে পাঁচটি মূলদ সংখ্যার তালিকা করো:

(i) -1 এবং 0

(ii) -2 এবং -1

(iii) $\frac{-4}{5}$ এবং $\frac{-2}{3}$

(iv) $-\frac{1}{2}$ এবং $\frac{2}{3}$

2. নিম্নলিখিত প্রতিটি ধাঁচে আরও চারটি মূলদ সংখ্যা লেখো:

(i) $\frac{-3}{5}, \frac{-6}{10}, \frac{-9}{15}, \frac{-12}{20}, \ldots$।

(ii) $\frac{-1}{4}, \frac{-2}{8}, \frac{-3}{12}, \ldots$।

(iii) $\frac{-1}{6}, \frac{2}{-12}, \frac{3}{-18}, \frac{4}{-24}, \ldots .$।

(iv) $\frac{-2}{3}, \frac{2}{-3}, \frac{4}{-6}, \frac{6}{-9}, \ldots$।

3. নিম্নলিখিতগুলির সমতুল্য চারটি মূলদ সংখ্যা দাও:

(i) $\frac{-2}{7}$

(ii) $\frac{5}{-3}$

(iii) $\frac{4}{9}$

4. সংখ্যারেখা আঁকো এবং নিম্নলিখিত মূলদ সংখ্যাগুলি এতে উপস্থাপন করো:

(i) $\frac{3}{4}$

(ii) $\frac{-5}{8}$

(iii) $\frac{-7}{4}$

(iv) $\frac{7}{8}$

5. সংখ্যারেখার বিন্দুগুলি $P, Q, R, S, T, U, A$ এবং $B$ এমন যে, $TR=RS=SU$ এবং $AP=PQ=QB$। $P, Q, R$ এবং $S$ দ্বারা নির্দেশিত মূলদ সংখ্যাগুলির নাম করো।

6. নিম্নলিখিত কোন জোড়া একই মূলদ সংখ্যাকে নির্দেশ করে?

(i) $\frac{-7}{21}$ এবং $\frac{3}{9}$

(ii) $\frac{-16}{20}$ এবং $\frac{20}{-25}$

(iii) $\frac{-2}{-3}$ এবং $\frac{2}{3}$

(iv) $\frac{-3}{5}$ এবং $\frac{-12}{20}$

(v) $\frac{8}{-5}$ এবং $\frac{-24}{15}$

(vi) $\frac{1}{3}$ এবং $\frac{-1}{9}$

(vii) $\frac{-5}{-9}$ এবং $\frac{5}{-9}$

7. নিম্নলিখিত মূলদ সংখ্যাগুলিকে সরলতম আকারে পুনরায় লেখো:

(i) $\frac{-8}{6}$

(ii) $\frac{25}{45}$

(iii) $\frac{-44}{72}$

(iv) $\frac{-8}{10}$

8. বাক্সগুলি $>,<$, এবং $=$ এর মধ্যে সঠিক চিহ্ন দিয়ে পূরণ করো।

(i) $\frac{-5}{7} \square \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{-4}{5} \square \frac{-5}{7}$

(iii) $\frac{-7}{8} \square \frac{14}{-16}$

(iv) $\frac{-8}{5} \square \frac{-7}{4}$

(v) $\frac{1}{-3} \square \frac{-1}{4}$

(vi) $\frac{5}{-11} \square \frac{-5}{11}$

(vii) $0 \square \frac{-7}{6}$

9. নিম্নলিখিত প্রতিটিতে কোনটি বড়:

(i) $\frac{2}{3}, \frac{5}{2}$

(ii) $\frac{-5}{6}, \frac{-4}{3}$

(iii) $\frac{-3}{4}, \frac{2}{-3}$

(iv) $\frac{-1}{4}, \frac{1}{4}$

(v) $-3 \frac{2}{7},-3 \frac{4}{5}$

10. নিম্নলিখিত মূলদ সংখ্যাগুলি ঊর্ধ্বক্রমে লেখো:

(i) $\frac{-3}{5}, \frac{-2}{5}, \frac{-1}{5}$

(ii) $\frac{-1}{3}, \frac{-2}{9}, \frac{-4}{3}$

(iii) $\frac{-3}{7}, \frac{-3}{2}, \frac{-3}{4}$

৮.৯ মূলদ সংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপ

তুমি জান কিভাবে পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ করতে হয়। আসুন এখন মূলদ সংখ্যার উপর এই মৌলিক ক্রিয়াগুলি অধ্যয়ন করি।

৮.৯.১ যোগ

• আসুন একই হরযুক্ত দুটি মূলদ সংখ্যা যোগ করি, যেমন $\frac{7}{3}$ এবং $\frac{-5}{3}$।

আমরা পাই $\frac{7}{3}+(\frac{-5}{3})$

সংখ্যারেখায়, আমাদের আছে:

পরপর দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হল $\frac{1}{3}$। সুতরাং $\frac{-5}{3}$ কে $\frac{7}{3}$ এর সাথে যোগ করলে এর অর্থ হবে, $\frac{7}{3}$ এর বামদিকে 5 লাফ দিয়ে যাওয়া। আমরা কোথায় পৌঁছাই? আমরা $\frac{2}{3}$ এ পৌঁছাই।

সুতরাং, $\quad \frac{7}{3}+(\frac{-5}{3})=\frac{2}{3}$।

আসুন এখন এইভাবে চেষ্টা করি:

$ \frac{7}{3}+\frac{(-5)}{3}=\frac{7+(-5)}{3}=\frac{2}{3} $

আমরা একই উত্তর পাই।

$\frac{6}{5}+\frac{(-2)}{5}, \frac{3}{7}+\frac{(-5)}{7}$ উভয় পদ্ধতিতে নির্ণয় করো এবং দেখো তুমি কি একই উত্তর পাচ্ছ।

তুমি কী পেলে?

আর, $\quad \frac{-7}{8}+\frac{5}{8}=\frac{-7+5}{8}=$? দুটি মান কি একই?

এগুলি চেষ্টা করো

নির্ণয় করো: $\frac{-13}{7}+\frac{6}{7}, \frac{19}{5}+(\frac{-7}{5})$

সুতরাং, আমরা দেখি যে একই হরযুক্ত মূলদ সংখ্যা যোগ করার সময়, আমরা হর একই রেখে লবগুলি যোগ করি।

এইভাবে,

$ \frac{-11}{5}+\frac{7}{5}=\frac{-11+7}{5}=\frac{-4}{5} $

• কিভাবে আমরা ভিন্ন হরযুক্ত মূলদ সংখ্যা যোগ করব? ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে যেমন, আমরা প্রথমে দুটি হরের ল.সা.গু. নির্ণয় করি। তারপর, আমরা প্রদত্ত মূলদ সংখ্যাগুলির সমতুল্য মূলদ সংখ্যা খুঁজে পাই যাদের হর এই ল.সা.গু.। তারপর, দুটি মূলদ সংখ্যা যোগ করি।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন $\frac{-7}{5}$ এবং $\frac{-2}{3}$ যোগ করি।

5 এবং 3 এর ল.সা.গু. হল 15।

সুতরাং, $\frac{-7}{5}=\frac{-21}{15}$ এবং $\frac{-2}{3}=\frac{-10}{15}$

এইভাবে, $\frac{-7}{5}+\frac{(-2)}{3}=\frac{-21}{15}+\frac{(-10)}{15}=\frac{-31}{15}$

এগুলি চেষ্টা করো

নির্ণয় করো:

(i) $\frac{-3}{7}+\frac{2}{3}$

যোগাত্মক বিপরীত

(ii) $\frac{-5}{6}+\frac{-3}{11}$

$\frac{-4}{7}+\frac{4}{7}=?$ কী হবে

$ \frac{-4}{7}+\frac{4}{7}=\frac{-4+4}{7}=0 \text{. আরও, } \frac{4}{7}+(\frac{-4}{7})=0 \text{. } $

একইভাবে, $\frac{-2}{3}+\frac{2}{3}=0=\frac{2}{3}+(\frac{-2}{3})$।

$\frac{4}{7}$ এর যোগাত্মক বিপরীত এবং $\frac{4}{7}$ কে $\frac{-4}{7}$ এর যোগাত্মক বিপরীত হিসাবে। একইভাবে,

$\frac{-2}{3}$ হল $\frac{2}{3}$ এর যোগাত্মক বিপরীত এবং $\frac{2}{3}$ হল $\frac{-2}{3}$ এর যোগাত্মক বিপরীত।

এগুলি চেষ্টা করো

$\frac{-3}{9} ?, \frac{-9}{11} ?, \frac{5}{7}$ এর যোগাত্মক বিপরীত কী হবে?

উদাহরণ 6 সৎপাল একটি স্থান P থেকে পূর্ব দিকে $\frac{2}{3} km$ হাঁটে এবং তারপর সেখান থেকে

$ 1 \frac{5}{7} km \text{ পশ্চিম দিকে। সে এখন P থেকে কোথায় থাকবে? } $

সমাধান

আসুন পূর্ব দিকে ভ্রমণ করা দূরত্বকে ধনাত্মক চিহ্ন দ্বারা নির্দেশ করি। সুতরাং, পশ্চিম দিকের দূরত্বগুলি ঋণাত