8.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤੁਸੀਂ ਆਪਣੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਪੜ੍ਹਾਈ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਆਪਣੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਗਿਣ ਕੇ ਕੀਤੀ ਸੀ। ਇਸ ਉਦੇਸ਼ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਗਿਣਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਸੀ। ਇਹ ਹਨ $1,2,3,4, \ldots$ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ 0 ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ, ਭਾਵ, $0,1,2,3, \ldots$ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਰਿਣਾਤਮਕਾਂ ਨੂੰ ਫਿਰ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲਾ ਕੇ ਪੂਰਨਾਕ ਬਣਾਏ ਗਏ। ਪੂਰਨਾਕ ਹਨ $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੋਂ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੋਂ ਪੂਰਨਾਕਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਸਤਾਰਿਤ ਕੀਤਾ।

ਤੁਹਾਨੂੰ ਭਿੰਨਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਜਾਣੂ ਕਰਵਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਹ $\frac{\text{ numerator }}{\text{ denominator }}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਅੰਸ਼ 0 ਜਾਂ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ, ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕੀਤੀ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਲੱਭੇ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਉੱਤੇ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਚਾਰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੋਰ ਵਿਸਤਾਰਿਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਕਿਰਿਆਵਾਂ ਸਮੇਤ ਪੇਸ਼ ਕਰਾਂਗੇ।

8.2 ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ

ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਪੂਰਨਾਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਵਿਰੋਧੀ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸਥਾਨ ਦੇ $3 km$ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ, ਤਾਂ ਉਸੇ ਸਥਾਨ ਦੇ $5 km$ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ -5 ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਸੀ। ਜੇਕਰ ₹ 150 ਦੇ ਲਾਭ ਨੂੰ 150 ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ ਤਾਂ ₹ 100 ਦੇ ਘਾਟੇ ਨੂੰ -100 ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਸੀ।

ਉਪਰੋਕਤ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਰਗੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਭਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਸਮੁੰਦਰ ਤਲ ਤੋਂ $750 m$ ਉੱਪਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ $\frac{3}{4} km$ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਕੀ ਅਸੀਂ ਸਮੁੰਦਰ ਤਲ ਤੋਂ $750 m$ ਹੇਠਾਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ $km$ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਕੀ ਅਸੀਂ ਸਮੁੰਦਰ ਤਲ ਤੋਂ $\frac{3}{4} km$ ਹੇਠਾਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ $\frac{-3}{4}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\frac{-3}{4}$ ਨਾ ਤਾਂ ਇੱਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਇੱਕ ਭਿੰਨ ਸੰਖਿਆ। ਅਸੀਂ ਆਪਣੀ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਸਤਾਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।

8.3 ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਕੀ ਹਨ?

‘ਰੇਸ਼ਨਲ’ ਸ਼ਬਦ ‘ਰੇਸ਼ੀਓ’ ਸ਼ਬਦ ਤੋਂ ਉਤਪੰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ 3:2 ਵਰਗਾ ਅਨੁਪਾਤ $\frac{3}{2}$ ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ, 3 ਅਤੇ 2 ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੋ ਪੂਰਨਾਕਾਂ $p$ ਅਤੇ $q(q \neq 0)$ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ, ਭਾਵ, $p: q$ ਨੂੰ $\frac{p}{q}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਹ ਰੂਪ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ $\frac{p}{q}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $p$ ਅਤੇ $q$ ਪੂਰਨਾਕ ਹਨ ਅਤੇ $q \neq 0$।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{4}{5}$ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇੱਥੇ, $p=4$ ਅਤੇ $q=5$।

ਕੀ $\frac{-3}{4}$ ਵੀ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ? ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ $p=-3$ ਅਤੇ $q=4$ ਪੂਰਨਾਕ ਹਨ।

• ਤੁਸੀਂ $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1 \frac{2}{3}$ ਵਰਗੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਦੇਖੀਆਂ ਹਨ। ਸਾਰੀਆਂ ਭਿੰਨਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿਉਂ?

ਦਸ਼ਮਲਵ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਿਵੇਂ 0.5, 2.3, ਆਦਿ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਅਜਿਹੀਆਂ ਹਰੇਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਧਾਰਨ ਭਿੰਨ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $0.5=\frac{5}{10}$, $0.333=\frac{333}{1000}$ ਆਦਿ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. ਕੀ ਸੰਖਿਆ $\frac{2}{-3}$ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ? ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ।

2. ਦਸ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ।

ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ

$\frac{p}{q}$ ਵਿੱਚ, ਪੂਰਨਾਕ $p$ ਅੰਸ਼ ਹੈ, ਅਤੇ ਪੂਰਨਾਕ $q(\neq 0)$ ਹਰ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{-3}{7}$ ਵਿੱਚ, ਅੰਸ਼ -3 ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ 7 ਹੈ।

ਉਹ ਪੰਜ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੱਸੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ

(ਉ) ਅੰਸ਼ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹੈ।

(ਅ) ਅੰਸ਼ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹੈ।

(ੲ) ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵੇਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹਨ।

(ਸ) ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵੇਂ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹਨ।

• ਕੀ ਪੂਰਨਾਕ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ?

ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨਾਕ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਪੂਰਨਾਕ -5 ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਤੁਸੀਂ ਇਸਨੂੰ $\frac{-5}{1}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਪੂਰਨਾਕ 0 ਨੂੰ ਵੀ $0=\frac{0}{2}$ ਜਾਂ $\frac{0}{7}$ ਆਦਿ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਵੀ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਪੂਰਨਾਕ ਅਤੇ ਭਿੰਨਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸਮਾਨ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ $\frac{-2}{3}$ ਨੂੰ ਲਓ।

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{. ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ } \frac{-2}{3} \text{ ਉਹੀ ਹੈ ਜੋ } \frac{-4}{6} \\ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} . \text{ ਇਸ ਲਈ, } \frac{-2}{3} \text{ ਵੀ ਉਹੀ ਹੈ ਜੋ } \frac{10}{-15} \end{aligned} $

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$। ਅਜਿਹੀਆਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

$ \text{ ਫਿਰ, } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (ਕਿਵੇਂ?) } $

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਬਕਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਭਰੋ:

(i) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(ii) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਉਸੇ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਪੂਰਨਾਕ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਇੱਕ ਹੋਰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਬਿਲਕੁਲ ਸਮਾਨ ਭਿੰਨਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਰਗਾ ਹੈ।

ਜਿਵੇਂ ਗੁਣਾ, ਉਸੇ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਪੂਰਨਾਕ ਨਾਲ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ ਭਾਗ ਵੀ, ਸਮਾਨ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,

$ \begin{gathered} \frac{10}{-15}=\frac{10 \div(-5)}{-15 \div(-5)}=\frac{-2}{3}, \quad \frac{-12}{24}=\frac{-12 \div 12}{24 \div 12}=\frac{-1}{2} \\ \text{ ਅਸੀਂ } \frac{-2}{3} \text{ ਨੂੰ }-\frac{2}{3}, \frac{-10}{15} \text{ ਨੂੰ }-\frac{10}{15}, \text{ ਆਦਿ ਵਜੋਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। } \end{gathered} $

8.4 ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ $\frac{2}{3}$ ਨੂੰ ਲਓ। ਇਸ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦੋਵੇਂ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹਨ। ਅਜਿਹੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਧਨਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $\frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{2}{9}$

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. ਕੀ 5 ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ?

2. ਪੰਜ ਹੋਰ ਧਨਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਓ। ਆਦਿ ਧਨਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।

$\frac{-3}{5}$ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹੈ, ਜਦਕਿ ਹਰ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $\frac{-5}{7}, \frac{-3}{8}, \frac{-9}{5}$ ਆਦਿ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।

• ਕੀ $\frac{8}{-3}$ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ? ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\frac{8}{-3}=\frac{8 \times-1}{-3 \times-1}=\frac{-8}{3}$, ਅਤੇ $\frac{-8}{3}$ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $\frac{8}{-3}$ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{5}{-7}, \frac{6}{-5}, \frac{2}{-9}$ ਆਦਿ ਸਾਰੀਆਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਧਨਾਤਮਕ ਹਨ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹਰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹਨ।

• ਸੰਖਿਆ 0 ਨਾ ਤਾਂ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
• $\frac{-3}{-5}$ ਬਾਰੇ ਕੀ?

ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ $\frac{-3}{-5}=\frac{-3 \times(-1)}{-5 \times(-1)}=\frac{3}{5}$। ਇਸ ਲਈ, $\frac{-3}{-5}$ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{-2}{-5}, \frac{-5}{-3}$ ਆਦਿ ਧਨਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀਆਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ?

(i) $\frac{-2}{3}$

(ii) $\frac{5}{7}$

(iii) $\frac{3}{-5}$

(iv) 0

(v) $\frac{6}{11}$

(vi) $\frac{-2}{-9}$

8.5 ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਪੂਰਨਾਕਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਅਜਿਹੀ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੀਏ।

0 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂ + ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹਨ। 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂ - ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹਨ।

ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਭਿੰਨਾਂ ਦਾ ਨਿਰੂਪਣ ਵੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਪਤਾ ਹੈ।

ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਆਓ ਸੰਖਿਆ $-\frac{1}{2}$ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਦਰਸਾਈਏ।

ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਗਏ ਅਨੁਸਾਰ, ਧਨਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 0 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅੰਕਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਣਗੀਆਂ ਅਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅੰਕਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਣਗੀਆਂ।

ਤੁਸੀਂ $-\frac{1}{2}$ ਨੂੰ 0 ਦੇ ਕਿਸ ਪਾਸੇ ਅੰਕਿਤ ਕਰੋਗੇ? ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣ ਕਰਕੇ, ਇਹ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅੰਕਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ।

ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਪੂਰਨਾਕਾਂ ਨੂੰ ਅੰਕਿਤ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨਾਕਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ‘ਤੇ ਅੰਕਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, 0 ਤੋਂ, ਜੋੜਾ 1 ਅਤੇ -1 ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ। ਜੋੜੇ 2 ਅਤੇ $-2,3$ ਅਤੇ -3 ਵੀ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹਨ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $\frac{1}{2}$ ਅਤੇ $-\frac{1}{2}$ 0 ਤੋਂ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ $\frac{1}{2}$ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਅੰਕਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੋ 0 ਅਤੇ 1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧੀ ਦੂਰੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $-\frac{1}{2}$ ਨੂੰ 0 ਅਤੇ -1 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਅੰਕਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\frac{3}{2}$ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਕਿਵੇਂ ਅੰਕਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਹ 0 ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਅੰਕਿਤ ਹੈ ਅਤੇ 1 ਅਤੇ 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧੇ ਰਸਤੇ ‘ਤੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਆਓ ਹੁਣ $\frac{-3}{2}$ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਅੰਕਿਤ ਕਰੀਏ। ਇਹ 0 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ 0 ਤੋਂ ਉੱਤੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ ਜਿੰਨੀ $\frac{3}{2}$ ਹੈ।

ਘਟਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $\frac{-1}{2}, \frac{-2}{2}(=-1), \frac{-3}{2}, \frac{-4}{2}(=-2)$। ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $\frac{-3}{2}$ -1 ਅਤੇ -2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੈਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{-3}{2}$ -1 ਅਤੇ -2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅੱਧੇ ਰਸਤੇ ‘ਤੇ ਪੈਂਦੀ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $-\frac{1}{3}$ ਸਿਫ਼ਰ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਤੋਂ ਉੱਤੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ ਜਿੰਨੀ $\frac{1}{3}$ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਜਿਵੇਂ ਉਪਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, $-\frac{1}{3}$ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਜਾਣ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $-\frac{1}{3}$ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਰੇਖਾ ਉੱਤੇ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ $-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}$ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ ਦਰਸਾਉਣਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

8.6 ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $\frac{3}{5}, \frac{-5}{8}, \frac{2}{7}, \frac{-7}{11}$ ਨੂੰ ਵੇਖੋ।

ਇਨ੍ਹਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹਰ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹਨ ਅਤੇ 1 ਅੰਸ਼ਾਂ ਅਤੇ ਹਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇਕਲੌਤਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਰਿਣਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸਿਰਫ਼ ਅੰਸ਼ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।

ਅਜਿਹੀਆਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਹਰ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਦਾ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਭਿੰਨਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਘੱਟ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਭਿੰਨ ਦੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਉਸੇ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨਾਕ ਨਾਲ ਵੰਡਦੇ ਸੀ। ਅਸੀਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਉਹੀ ਵਿਧੀ ਵਰਤਾਂਗੇ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 $\frac{-45}{30}$ ਨੂੰ ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ।

ਹੱਲ

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $\frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 3}{30 \div 3}=\frac{-15}{10}=\frac{-15 \div 5}{10 \div 5}=\frac{-3}{2}$

ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਵੰਡਣਾ ਪਿਆ। ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ 3 ਨਾਲ ਅਤੇ ਫਿਰ 5 ਨਾਲ। ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੀ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਸੀ

$ \frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 15}{30 \div 15}=\frac{-3}{2} $

ਇਸ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ, ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ 45 ਅਤੇ 30 ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. 15 ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮ.ਸ.ਵ. ਨਾਲ ਵੰਡਦੇ ਹਾਂ, ਰਿਣਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੋਵੇ। (ਰਿਣਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰਨ ਦੇ ਕਾਰਨ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਉੱਚ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ)

ਜੇਕਰ ਹਰ ਵਿੱਚ ਰਿਣਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੈ, ਤਾਂ ‘$-HCF$’ ਨਾਲ ਵੰਡੋ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘਟਾਓ:

(i) $\frac{36}{-24}$

(ii) $\frac{-3}{-15}$

ਹੱਲ

(i) 36 ਅਤੇ 24 ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. 12 ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਸਦਾ ਮਾਨਕ ਰੂਪ -12 ਨਾਲ ਵੰਡ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।

$ \frac{36}{-24}=\frac{36 \div(-12)}{-24 \div(-12)}=\frac{-3}{2} $

(ii) 3 ਅਤੇ 15 ਦਾ ਮ.ਸ.ਵ. 3 ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\frac{-3}{-15}=\frac{-3 \div(-2)}{-15 \div(-3)}=\frac{1}{5}$

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਦਾ ਮਾਨਕ ਰੂਪ ਲੱਭੋ

(i) $\frac{-18}{45}$

(ii) $\frac{-12}{18}$

8.7 ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਪੂਰਨਾਕਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਭਿੰਨਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦੱਸਣਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀ ਛੋਟੀ ਹੈ ਜਾਂ ਕਿਹੜੀ ਵੱਡੀ ਹੈ। ਆਓ ਹੁਣ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਿਵ