8.1 ആമുഖം

നിങ്ങൾ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ആരംഭിച്ചത് നിങ്ങളുടെ ചുറ്റുമുള്ള വസ്തുക്കൾ എണ്ണിക്കൊണ്ടാണ്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന സംഖ്യകളെ എണ്ണൽ സംഖ്യകൾ അല്ലെങ്കിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു. അവ $1,2,3,4, \ldots$ ആണ്. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളോട് 0 ഉൾപ്പെടുത്തിയതോടെ നമുക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ലഭിച്ചു, അതായത് $0,1,2,3, \ldots$. തുടർന്ന് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ നെഗറ്റീവുകളെ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമായി ചേർത്ത് പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കി. പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$ ആണ്. അങ്ങനെ, സംഖ്യാ വ്യവസ്ഥയെ നാം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണസംഖ്യകളിലേക്കും പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണാങ്കങ്ങളിലേക്കും വിപുലീകരിച്ചു.

നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെക്കുറിച്ചും പരിചയപ്പെടുത്തി. ഇവ $\frac{\text{ numerator }}{\text{ denominator }}$ എന്ന രൂപത്തിലുള്ള സംഖ്യകളാണ്, ഇവിടെ ന്യൂമറേറ്റർ 0 അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയുമാണ്. നിങ്ങൾ രണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകൾ താരതമ്യം ചെയ്തു, അവയുടെ തുല്യ രൂപങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, അവയുടെ കൂട്ടൽ, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, ഹരണം എന്നീ നാല് അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങളും പഠിച്ചു.

ഈ അധ്യായത്തിൽ, നാം സംഖ്യാ വ്യവസ്ഥയെ കൂടുതൽ വിപുലീകരിക്കും. യുക്തിസംഖ്യകളുടെ ആശയവും അവയുടെ കൂട്ടൽ, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, ഹരണം എന്നീ പ്രവർത്തനങ്ങളും നാം പരിചയപ്പെടുത്തും.

8.2 യുക്തിസംഖ്യകളുടെ ആവശ്യകത

മുമ്പ്, സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന വിപരീത സാഹചര്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് നാം കണ്ടിട്ടുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്ഥലത്തിന്റെ $3 km$ വലത്തോട്ടുള്ള ദൂരം 3 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചാൽ, അതേ സ്ഥലത്തിന്റെ $5 km$ ഇടത്തോട്ടുള്ള ദൂരം -5 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം. ₹ 150 ലാഭം 150 കൊണ്ട് പ്രതിനിധീകരിച്ചാൽ, ₹ 100 നഷ്ടം -100 എന്ന് എഴുതാം.

മുകളിലെ സാഹചര്യങ്ങൾക്ക് സമാനമായി ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്ന നിരവധി സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്. $750 m$ കടലിനു മുകളിലുള്ള ദൂരം $\frac{3}{4} km$ ആയി നിങ്ങൾക്ക് പ്രതിനിധീകരിക്കാം. $750 m$ കടലിനു താഴെയുള്ള ദൂരം $km$ ൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാമോ? $\frac{3}{4} km$ കടലിനു താഴെയുള്ള ദൂരം $\frac{-3}{4}$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാമോ? $\frac{-3}{4}$ ഒരു പൂർണ്ണാങ്കമോ ഭിന്നസംഖ്യയോ അല്ലെന്ന് നമുക്ക് കാണാം. അത്തരം സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുത്താൻ നമ്മുടെ സംഖ്യാ വ്യവസ്ഥ വിപുലീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

8.3 യുക്തിസംഖ്യകൾ എന്താണ്?

‘യുക്തി’ എന്ന വാക്ക് ‘അനുപാതം’ എന്ന പദത്തിൽ നിന്നാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്. 3:2 പോലുള്ള ഒരു അനുപാതം $\frac{3}{2}$ എന്നും എഴുതാമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഇവിടെ, 3 ഉം 2 ഉം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്.

അതുപോലെ, രണ്ട് പൂർണ്ണാങ്കങ്ങളായ $p$, $q(q \neq 0)$ എന്നിവയുടെ അനുപാതം, അതായത് $p: q$, $\frac{p}{q}$ എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാം. യുക്തിസംഖ്യകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് ഈ രൂപത്തിലാണ്.

$\frac{p}{q}$ എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യയെ യുക്തിസംഖ്യ എന്ന് നിർവചിക്കുന്നു, ഇവിടെ $p$, $q$ എന്നിവ പൂർണ്ണാങ്കങ്ങളാണ്, കൂടാതെ $q \neq 0$.

അതിനാൽ, $\frac{4}{5}$ ഒരു യുക്തിസംഖ്യയാണ്. ഇവിടെ, $p=4$, $q=5$.

$\frac{-3}{4}$ ഒരു യുക്തിസംഖ്യയാണോ? അതെ, കാരണം $p=-3$, $q=4$ എന്നിവ പൂർണ്ണാങ്കങ്ങളാണ്.

• $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1 \frac{2}{3}$ തുടങ്ങിയ നിരവധി ഭിന്നസംഖ്യകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടിട്ടുണ്ട്. എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും യുക്തിസംഖ്യകളാണ്. എന്തുകൊണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പറയാമോ?

0.5, 2.3 തുടങ്ങിയ ദശാംശ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചോ? അത്തരം ഓരോ സംഖ്യയും ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായി എഴുതാം, അതിനാൽ അവ യുക്തിസംഖ്യകളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, $0.5=\frac{5}{10}$, $0.333=\frac{333}{1000}$ തുടങ്ങിയവ.

ഇവ ചെയ്തുനോക്കൂ

1. $\frac{2}{-3}$ എന്ന സംഖ്യ യുക്തിസംഖ്യയാണോ? ചിന്തിക്കുക.

2. പത്ത് യുക്തിസംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക തയ്യാറാക്കുക.

ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും

$\frac{p}{q}$ ൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യ $p$ ന്യൂമറേറ്ററും, പൂർണ്ണസംഖ്യ $q(\neq 0)$ ഡിനോമിനേറ്ററുമാണ്.

അതിനാൽ, $\frac{-3}{7}$ ൽ, ന്യൂമറേറ്റർ -3 ഉം ഡിനോമിനേറ്റർ 7 ഉം ആണ്.

ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഓരോന്നിനും അഞ്ച് യുക്തിസംഖ്യകൾ പറയുക:

(എ) ന്യൂമറേറ്റർ ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും ആയവ.

(ബി) ന്യൂമറേറ്റർ ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും ആയവ.

(സി) ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും രണ്ടും നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളായവ.

(ഡി) ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും രണ്ടും പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളായവ.

• പൂർണ്ണാങ്കങ്ങളും യുക്തിസംഖ്യകളാണോ?

ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യയെയും ഒരു യുക്തിസംഖ്യയായി കരുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്, പൂർണ്ണസംഖ്യ -5 ഒരു യുക്തിസംഖ്യയാണ്, കാരണം നിങ്ങൾക്ക് അത് $\frac{-5}{1}$ എന്ന് എഴുതാം. പൂർണ്ണസംഖ്യ 0 നെയും $0=\frac{0}{2}$ അല്ലെങ്കിൽ $\frac{0}{7}$ തുടങ്ങിയവയായി എഴുതാം. അതിനാൽ, അതും ഒരു യുക്തിസംഖ്യയാണ്.

അങ്ങനെ, യുക്തിസംഖ്യകളിൽ പൂർണ്ണാങ്കങ്ങളും ഭിന്നസംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നു.

തുല്യ യുക്തിസംഖ്യകൾ

ഒരു യുക്തിസംഖ്യ വ്യത്യസ്ത ന്യൂമറേറ്ററുകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്, യുക്തിസംഖ്യ $\frac{-2}{3}$ പരിഗണിക്കുക.

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{. } \frac{-2}{3} \text{ എന്നത് } \frac{-4}{6} \text{ ന് തുല്യമാണെന്ന് നാം കാണുന്നു. } \\ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} . \text{ അതിനാൽ, } \frac{-2}{3} \text{ എന്നത് } \frac{10}{-15} \text{ നും തുല്യമാണ്. } \end{aligned} $

അങ്ങനെ, $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$. പരസ്പരം തുല്യമായ അത്തരം യുക്തിസംഖ്യകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

$ \text{ വീണ്ടും, } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (എങ്ങനെ?) } $

ഇവ ചെയ്തുനോക്കൂ

ബോക്സുകൾ പൂരിപ്പിക്കുക:

(i) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(ii) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

ഒരു യുക്തിസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന യുക്തിസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായ മറ്റൊരു യുക്തിസംഖ്യ നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഇത് തുല്യ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഭിക്കുന്നതിന് സമാനമാണ്.

ഗുണനം പോലെ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാലും തുല്യ യുക്തിസംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്,

$ \begin{gathered} \frac{10}{-15}=\frac{10 \div(-5)}{-15 \div(-5)}=\frac{-2}{3}, \quad \frac{-12}{24}=\frac{-12 \div 12}{24 \div 12}=\frac{-1}{2} \\ \text{ നാം } \frac{-2}{3} \text{ എന്നത് }-\frac{2}{3} \text{ എന്നും } \frac{-10}{15} \text{ എന്നത് }-\frac{10}{15} \text{ എന്നും എഴുതുന്നു. } \end{gathered} $

8.4 പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യകൾ

യുക്തിസംഖ്യ $\frac{2}{3}$ പരിഗണിക്കുക. ഈ സംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്. അത്തരമൊരു യുക്തിസംഖ്യയെ പോസിറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, $\frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{2}{9}$

ഇവ ചെയ്തുനോക്കൂ

1. 5 ഒരു പോസിറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യയാണോ?

2. അഞ്ച് പോസിറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക തയ്യാറാക്കുക. തുടങ്ങിയവ പോസിറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യകളാണ്.

$\frac{-3}{5}$ ന്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, എന്നാൽ ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. അത്തരമൊരു യുക്തിസംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, $\frac{-5}{7}, \frac{-3}{8}, \frac{-9}{5}$ തുടങ്ങിയവ നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യകളാണ്.

• $\frac{8}{-3}$ ഒരു നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യയാണോ? $\frac{8}{-3}=\frac{8 \times-1}{-3 \times-1}=\frac{-8}{3}$ എന്നും $\frac{-8}{3}$ ഒരു നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യയാണെന്നും നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, $\frac{8}{-3}$ ഒരു നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യയാണ്.

അതുപോലെ, $\frac{5}{-7}, \frac{6}{-5}, \frac{2}{-9}$ തുടങ്ങിയവയെല്ലാം നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യകളാണ്. അവയുടെ ന്യൂമറേറ്ററുകൾ പോസിറ്റീവും ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ നെഗറ്റീവുമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

• സംഖ്യ 0 ഒരു പോസിറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യയോ നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യയോ അല്ല.
• $\frac{-3}{-5}$ എന്നതിനെക്കുറിച്ചോ?

$\frac{-3}{-5}=\frac{-3 \times(-1)}{-5 \times(-1)}=\frac{3}{5}$ എന്ന് നിങ്ങൾ കാണും. അതിനാൽ, $\frac{-3}{-5}$ ഒരു പോസിറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യയാണ്. അങ്ങനെ, $\frac{-2}{-5}, \frac{-5}{-3}$ തുടങ്ങിയവ പോസിറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യകളാണ്.

ഇവ ചെയ്തുനോക്കൂ

ഇവയിൽ ഏതൊക്കെ നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യകളാണ്?

(i) $\frac{-2}{3}$

(ii) $\frac{5}{7}$

(iii) $\frac{3}{-5}$

(iv) 0

(v) $\frac{6}{11}$

(vi) $\frac{-2}{-9}$

8.5 സംഖ്യാരേഖയിലെ യുക്തിസംഖ്യകൾ

സംഖ്യാരേഖയിൽ പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം. അത്തരമൊരു സംഖ്യാരേഖ വരയ്ക്കാം.

0 ന്റെ വലതുവശത്തുള്ള പോയിന്റുകൾ + ചിഹ്നം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുകയും അവ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാവുകയും ചെയ്യുന്നു. 0 ന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള പോയിന്റുകൾ - ചിഹ്നം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുകയും അവ നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാവുകയും ചെയ്യുന്നു.

സംഖ്യാരേഖയിൽ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ പ്രതിനിധാനവും നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം.

യുക്തിസംഖ്യകൾ സംഖ്യാരേഖയിൽ എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

സംഖ്യ $-\frac{1}{2}$ സംഖ്യാരേഖയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, പോസിറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യകൾ 0 ന്റെ വലതുവശത്തും നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യകൾ 0 ന്റെ ഇടതുവശത്തും അടയാളപ്പെടുത്തും.

$-\frac{1}{2}$ നെ 0 ന്റെ ഏത് വശത്താണ് നിങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക? ഒരു നെഗറ്റീവ് യുക്തിസംഖ്യ ആയതിനാൽ, അത് 0 ന്റെ ഇടതുവശത്ത് അടയാളപ്പെടുത്തും.

സംഖ്യാരേഖയിൽ പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, തുടർച്ചയായ പൂർണ്ണാങ്കങ്ങൾ തുല്യ ഇടവേളകളിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം. കൂടാതെ, 0 ൽ നിന്ന്, 1 ഉം -1 ഉം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ജോഡി സമദൂരത്തിലാണ്. 2 ഉം $-2,3$ ഉം -3 ഉം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ജോഡികളും അങ്ങനെ തന്നെ.

അതേ രീതിയിൽ, യുക്തിസംഖ്യകൾ $\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2}$ എന്നിവ 0 ൽ നിന്ന് തുല്യ ദൂരത്തിലാണ്. യുക്തിസംഖ്യ $\frac{1}{2}$ എങ്ങനെ അടയാളപ്പെടുത്താമെന്ന് നമുക്കറിയാം. 0 ഉം 1 ഉം തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ പകുതി ദൂരത്തിൽ ഒരു പോയിന്റിൽ അത് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, $-\frac{1}{2}$ 0 ഉം -1 ഉം തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ പകുതി ദൂരത്തിൽ ഒരു പോയിന്റിൽ അടയാളപ്പെടുത്തും.

$\frac{3}{2}$ സംഖ്യാരേഖയിൽ എങ്ങനെ അടയാളപ്പെടുത്താമെന്ന് നമുക്കറിയാം. അത് 0 ന്റെ വലതുവശത്ത് അടയാളപ്പെടുത്തുകയും 1 ഉം 2 ഉം തമ്മിൽ പകുതി ദൂരത്തിൽ കിടക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇപ്പോൾ $\frac{-3}{2}$ സംഖ്യാരേഖയിൽ അടയാളപ്പെടുത്താം. അത് 0 ന്റെ ഇടതുവശത്ത് കിടക്കുകയും $\frac{3}{2}$ 0 ൽ നിന്നുള്ള അതേ ദൂരത്തിലാവുകയും ചെയ്യുന്നു.

കുറയുന്ന ക്രമത്തിൽ, നമുക്കുള്ളത് $\frac{-1}{2}, \frac{-2}{2}(=-1), \frac{-3}{2}, \frac{-4}{2}(=-2)$ ആണ്. ഇത് $\frac{-3}{2}$ -1 ഉം -2 ഉം തമ്മിലാണെന്ന് കാണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, $\frac{-3}{2}$ -1 ഉം -2 ഉം തമ്മിലുള്ള പകുതി ദൂരത്തിലാണ്.

അതുപോലെ, $-\frac{1}{3}$ പൂജ്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്താണ്, $\frac{1}{3}$ പൂജ്യത്തിൽ നിന്നുള്ള അതേ ദൂരത്തിൽ വലതുവശത്താണ്. അതിനാൽ മുകളിൽ ചെയ്തതുപോലെ, $-\frac{1}{3}$ സംഖ്യാരേഖയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. $-\frac{1}{3}$ സംഖ്യാരേഖയിൽ എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്ന് അറിയുമ്പോൾ, നമുക്ക് $-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}$ തുടങ്ങിയവ പ്രതിനിധീകരിക്കാനാകും.

8.6 സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലുള്ള യുക്തിസംഖ്യകൾ

യുക്തിസംഖ്യകൾ $\frac{3}{5}, \frac{-5}{8}, \frac{2}{7}, \frac{-7}{11}$ നിരീക്ഷിക്കുക.

ഈ യുക്തിസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ ന്യൂമറേറ്ററുകളും ഡിനോമിനേറ്ററുകളും തമ്മിലുള്ള ഏക സാധാരണ ഘടകം 1 ആണ്. കൂടുതലായി, നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം ന്യൂമറേറ്ററിൽ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.

അത്തരം യുക്തിസംഖ്യകൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ഒരു യുക്തിസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിലും ന്യൂമറേറ്ററിനും ഡിനോമിനേറ്ററിനും 1 ഒഴികെയുള്ള പൊതു ഘടകങ്ങളില്ലെങ്കിലും അത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ഒരു യുക്തിസംഖ്യ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലല്ലെങ്കിൽ, അത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം.

ഭിന്നസംഖ്യകളെ അവയുടെ ഏറ്റവും താഴ്ന്ന രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നതിന്, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ പൂജ്യമല്ലാത്ത പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചുവെന്ന് ഓർക്കുക. യുക്തിസംഖ്യകളെ അവയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നതിന് നാം അതേ രീതി ഉപയോഗിക്കും.

ഉദാഹരണം 1 $\frac{-45}{30}$ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുക.

പരിഹാരം

നമുക്കുള്ളത്, $\frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 3}{30 \div 3}=\frac{-15}{10}=\frac{-15 \div 5}{10 \div 5}=\frac{-3}{2}$

രണ്ടുതവണ ഹരിക്കേണ്ടിവന്നു. ആദ്യം 3 കൊണ്ടും പിന്നെ 5 കൊണ്ടും. ഇത് ഇങ്ങനെയും ചെയ്യാം:

$ \frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 15}{30 \div 15}=\frac{-3}{2} $

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, 45, 30 എന്നിവയുടെ ഉസാഘ 15 ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

അതിനാൽ, ഒരു യുക്തിസംഖ്യയെ അതിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ, അതിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും അവയുടെ ഉസാഘ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് അവഗണിക്കുന്നു. (നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം അവഗണിക്കുന്നതിന്റെ കാരണം ഉയർന്ന ക്ലാസുകളിൽ പഠിക്കും)

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ‘$-HCF$’ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം 2 സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്ക