೮.೧ ಪರಿಚಯ

ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದಿರಿ. ಈ ಉದ್ದೇಶಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಕೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಥವಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವು $1,2,3,4, \ldots$. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ 0 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ, $0,1,2,3, \ldots$. ನಂತರ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಋಣಾತ್ಮಕಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಸಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲಾಯಿತು. ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$. ಹೀಗೆ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ನಿಮಗೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಪರಿಚಯವೂ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಇವು $\frac{\text{ numerator }}{\text{ denominator }}$ ರೂಪದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ ಅಂಶವು 0 ಅಥವಾ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಅವುಗಳ ಸಮಾನ ರೂಪಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರದ ನಾಲ್ಕು ಮೂಲಭೂತ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

೮.೨ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಗತ್ಯ

ಹಿಂದೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿರುದ್ಧ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಸ್ಥಳದಿಂದ $3 km$ ಬಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು 3 ರಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಅದೇ ಸ್ಥಳದಿಂದ $5 km$ ಎಡಕ್ಕೆ ಇರುವ ದೂರವನ್ನು -5 ರಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ₹ 150 ಲಾಭವನ್ನು 150 ರಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ₹ 100 ನಷ್ಟವನ್ನು -100 ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಹೋಲುವ ಅನೇಕ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿವೆ, ಅವು ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ನೀವು ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟದಿಂದ $750 m$ ಮೇಲಿರುವ ದೂರವನ್ನು $\frac{3}{4} km$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟದಿಂದ $750 m$ ಕೆಳಗಿರುವ ದೂರವನ್ನು $km$ ರಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಬಹುದೇ? ಸಮುದ್ರ ಮಟ್ಟದಿಂದ $\frac{3}{4} km$ ಕೆಳಗಿರುವ ದೂರವನ್ನು $\frac{-3}{4}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಬಹುದೇ? ನಾವು ನೋಡಬಹುದು $\frac{-3}{4}$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವೂ ಅಲ್ಲ, ಭಿನ್ನರಾಶಿ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ನಮ್ಮ ಸಂಖ್ಯಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

೮.೩ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು?

‘ಭಾಗಲಬ್ಧ’ ಎಂಬ ಪದವು ‘ಅನುಪಾತ’ ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದೆ. 3:2 ನಂತಹ ಅನುಪಾತವನ್ನು $\frac{3}{2}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, 3 ಮತ್ತು 2 ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಅಂತೆಯೇ, ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತ $p$ ಮತ್ತು $q(q \neq 0)$, ಅಂದರೆ, $p: q$ ಅನ್ನು $\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು $\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $p$ ಮತ್ತು $q$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $q \neq 0$.

ಹೀಗೆ, $\frac{4}{5}$ ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಇಲ್ಲಿ, $p=4$ ಮತ್ತು $q=5$.

$\frac{-3}{4}$ ಕೂಡ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? ಹೌದು, ಏಕೆಂದರೆ $p=-3$ ಮತ್ತು $q=4$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು.

• ನೀವು $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1 \frac{2}{3}$ ಮುಂತಾದ ಅನೇಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಿ. ಎಲ್ಲಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಏಕೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?

0.5, 2.3, ಇತ್ಯಾದಿ ದಶಮಾಂಶ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಅಂತಹ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $0.5=\frac{5}{10}$, $0.333=\frac{333}{1000}$ ಇತ್ಯಾದಿ.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. $\frac{2}{-3}$ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಭಾಗಲಬ್ಧವೇ? ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ.

2. ಹತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ

$\frac{p}{q}$ ರಲ್ಲಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ $p$ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕ $q(\neq 0)$ ಛೇದವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗೆ, $\frac{-3}{7}$ ರಲ್ಲಿ, ಅಂಶ -3 ಮತ್ತು ಛೇದ 7 ಆಗಿದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಅಂಶ ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಛೇದ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುವ ಐದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತಿಳಿಸಿ.

(ಎ) ಅಂಶವು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(ಬಿ) ಅಂಶವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

(ಸಿ) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡೂ ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

(ಡಿ) ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡೂ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

• ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಕೂಡ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ?

ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ -5 ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಅದನ್ನು $\frac{-5}{1}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಪೂರ್ಣಾಂಕ 0 ಅನ್ನು ಕೂಡ $0=\frac{0}{2}$ ಅಥವಾ $\frac{0}{7}$ ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಕೂಡ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಹೀಗೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ.

ಸಮಾನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ $\frac{-2}{3}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{. ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ } \frac{-2}{3} \text{ ಎಂಬುದು } \frac{-4}{6} \text{ ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ } \\ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} . \text{ ಆದ್ದರಿಂದ, } \frac{-2}{3} \text{ ಎಂಬುದು } \frac{10}{-15} \text{ ನಂತೆಯೂ ಇರುತ್ತದೆ } \end{aligned} $

ಹೀಗೆ, $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$. ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಂತಹ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

$ \text{ ಮತ್ತೆ, } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (ಹೇಗೆ?) } $

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ತುಂಬಿಸಿ:

(i) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(ii) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಇನ್ನೊಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಸಮಾನ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ.

ಗುಣಾಕಾರದಂತೆಯೇ, ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದರಿಂದಲೂ ಸಮಾನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$ \begin{gathered} \frac{10}{-15}=\frac{10 \div(-5)}{-15 \div(-5)}=\frac{-2}{3}, \quad \frac{-12}{24}=\frac{-12 \div 12}{24 \div 12}=\frac{-1}{2} \\ \text{ ನಾವು } \frac{-2}{3} \text{ ಅನ್ನು }-\frac{2}{3} \text{ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, } \frac{-10}{15} \text{ ಅನ್ನು }-\frac{10}{15} \text{ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. } \end{gathered} $

೮.೪ ಧನ ಮತ್ತು ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ $\frac{2}{3}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡೂ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಅಂತಹ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಧನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{2}{9}$

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. 5 ಒಂದು ಧನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ?

2. ಇನ್ನೂ ಐದು ಧನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ. ಇತ್ಯಾದಿ ಧನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

$\frac{-3}{5}$ ನ ಅಂಶವು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಛೇದವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\frac{-5}{7}, \frac{-3}{8}, \frac{-9}{5}$ ಇತ್ಯಾದಿ ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

• $\frac{8}{-3}$ ಒಂದು ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ? ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $\frac{8}{-3}=\frac{8 \times-1}{-3 \times-1}=\frac{-8}{3}$, ಮತ್ತು $\frac{-8}{3}$ ಒಂದು ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\frac{8}{-3}$ ಒಂದು ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅಂತೆಯೇ, $\frac{5}{-7}, \frac{6}{-5}, \frac{2}{-9}$ ಇತ್ಯಾದಿ ಎಲ್ಲವೂ ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

• ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಧನ ಅಥವಾ ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ.
• $\frac{-3}{-5}$ ಬಗ್ಗೆ ಏನು?

ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ $\frac{-3}{-5}=\frac{-3 \times(-1)}{-5 \times(-1)}=\frac{3}{5}$. ಆದ್ದರಿಂದ, $\frac{-3}{-5}$ ಒಂದು ಧನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ. ಹೀಗೆ, $\frac{-2}{-5}, \frac{-5}{-3}$ ಇತ್ಯಾದಿ ಧನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುವು ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು?

(i) $\frac{-2}{3}$

(ii) $\frac{5}{7}$

(iii) $\frac{3}{-5}$

(iv) 0

(v) $\frac{6}{11}$

(vi) $\frac{-2}{-9}$

೮.೫ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕೆಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅಂತಹ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.

0 ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು + ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. 0 ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು - ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವಿಕೆಯೂ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಸಂಖ್ಯೆ $-\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ.

ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ, ಧನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 0 ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 0 ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$-\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು 0 ನ ಯಾವ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸುವಿರಿ? ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು 0 ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವಾಗ, ಸತತ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹಾಗೆಯೇ, 0 ರಿಂದ, ಜೋಡಿ 1 ಮತ್ತು -1 ಸಮದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. 2 ಮತ್ತು $-2,3$ ಮತ್ತು -3 ಜೋಡಿಗಳೂ ಹಾಗೆಯೇ.

ಅದೇ ರೀತಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\frac{1}{2}$ ಮತ್ತು $-\frac{1}{2}$ 0 ರಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ $\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅದು 0 ಮತ್ತು 1 ರ ನಡುವಿನ ಅರ್ಧ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $-\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು 0 ಮತ್ತು -1 ರ ನಡುವಿನ ಅರ್ಧ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

$\frac{3}{2}$ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅದನ್ನು 0 ನ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವೆ ಅರ್ಧದಾರಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ $\frac{-3}{2}$ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸೋಣ. ಅದು 0 ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು $\frac{3}{2}$ 0 ರಿಂದ ಇರುವಂತೆಯೇ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ.

ಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, $\frac{-1}{2}, \frac{-2}{2}(=-1), \frac{-3}{2}, \frac{-4}{2}(=-2)$. ಇದು $\frac{-3}{2}$ -1 ಮತ್ತು -2 ರ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ, $\frac{-3}{2}$ -1 ಮತ್ತು -2 ರ ನಡುವೆ ಅರ್ಧದಾರಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, $-\frac{1}{3}$ ಶೂನ್ಯದ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು $\frac{1}{3}$ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅದೇ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲೆ ಮಾಡಿದಂತೆ, $-\frac{1}{3}$ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. $-\frac{1}{3}$ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದ ನಂತರ, ನಾವು $-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}$ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿಸಬಹುದು.

೮.೬ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು $\frac{3}{5}, \frac{-5}{8}, \frac{2}{7}, \frac{-7}{11}$ ಗಮನಿಸಿ.

ಈ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಛೇದಗಳು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಗಳ ನಡುವೆ 1 ಮಾತ್ರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಇನ್ನಷ್ಟು, ಋಣ ಚಿಹ್ನೆಯು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಛೇದವು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದಗಳು 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ.

ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬಹುದು.

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಕನಿಷ್ಠ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲು, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಒಂದೇ ಶೂನ್ಯೇತರ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತಿದ್ದೆವು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲು ನಾವು ಅದೇ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 $\frac{-45}{30}$ ಅನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, $\frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 3}{30 \div 3}=\frac{-15}{10}=\frac{-15 \div 5}{10 \div 5}=\frac{-3}{2}$

ನಾವು ಎರಡು ಬಾರಿ ಭಾಗಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು. ಮೊದಲ ಬಾರಿ 3 ರಿಂದ ಮತ್ತು ನಂತರ 5 ರಿಂದ. ಇದನ್ನು ಹೀಗೆಯೂ ಮಾಡಬಹುದು

$ \frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 15}{30 \div 15}=\frac{-3}{2} $

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, 45 ಮತ್ತು 30 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ. 15 ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ.

ಹೀಗೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲು, ನಾವು ಅದರ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಅವುಗಳ ಮ.ಸಾ.ಅ. ಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತೇವೆ, ಋಣ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ, ಇದ್ದರೆ. (ಋಣ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸುವ ಕಾರಣವನ್ನು ಉನ್ನತ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುವುದು)

ಛೇದದಲ್ಲಿ ಋಣ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ, ‘$-HCF$’ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿ:

(i) $\frac{36}{-24}$

(ii) $\frac{-3}{-15}$

ಪರಿಹಾರ

(i) 36 ಮತ್ತು 24 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ. 12 ಆಗಿದೆ.

ಹೀಗೆ, ಅದರ ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು -12 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

$ \frac{36}{-24}=\frac{36 \div(-12)}{-24 \div(-12)}=\frac{-3}{2} $

(ii) 3 ಮತ್ತು 15 ರ ಮ.ಸಾ.ಅ. 3 ಆಗಿದೆ.

ಹೀಗೆ, $\frac{-3}{-15}=\frac{-3 \div(-2)}{-15 \div(-3)}=\frac{1}{5}$

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೂಪವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(i) $\frac{-18}{45}$

(ii) $\frac{-12}{18}$

೮.೭ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಹೋಲಿಕೆ

ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಅಥವಾ ಎರಡು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೋಲಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಚಿಕ್ಕದು ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡದು ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಈಗ ಎರಡು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

• ಎರಡು ಧನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, $\frac{2}{3}$ ಮತ್ತು $\frac{5}{7}$ ನಂತಹವುಗಳನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದಂತೆ ಹೋಲಿಸಬಹುದು.
• ಮೇರಿ ಎರಡು ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು $-\frac{1}{2}$ ಮತ್ತು $-\frac{1}{5}$ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಹೋಲಿಸಿದಳು. ಇನ್ನೊಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ದೊಡ್ಡ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ 2 ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು $5>2$. ಪೂರ್ಣಾಂಕ -2 ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ -5 ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು $-2>-5$.

ಅವಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿದಳು. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸಬೇಕೆಂದು ಅವಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಅವಳು $-\frac{1}{2}$ ಮತ್ತು $-\frac{1}{5}$ ಅನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಗುರುತಿಸಿದಳು:

ಅವಳು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಗುರುತಿಸಿದ್ದಾಳೆಯೇ? $-\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು $-\frac{5}{10}$ ಗೆ ಮತ್ತು $-\frac{1}{5}$ ಅನ್ನು $-\frac{2}{10}$ ಗೆ ಹೇಗೆ ಮತ್ತು ಏಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಿದಳು? $-\frac{1}{5}$ $-\frac{1}{2}$ ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅವಳು ಕಂಡುಕೊಂಡಳು. ಹೀಗೆ, $-\frac{1}{5}>-\frac{1}{2}$ ಅಥವಾ $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$. ನೀವು $-\frac{3}{4}$ ಮತ್ತು $-\frac{2}{3} ?-\frac{1}{3}$ ಮತ್ತು $-\frac{1}{5}$ ಅನ್ನು ಹೋಲಿಸಬಲ್ಲಿರಾ?

ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ $\frac{1}{5}<\frac{1}{2}$. ಮತ್ತು ಮೇರಿಗೆ $-\frac{1}{2}$ ಮತ್ತು $-\frac{1}{5}$ ಗೆ ಏನು ಸಿಕ್ಕಿತು? ಅದು ನಿಖರವಾಗಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರಲಿಲ್ಲವೇ?

ನೀವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ, $\frac{1}{2}>\frac{1}{5}$ ಆದರೆ $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$.

$-\frac{3}{4},-\frac{2}{3}$ ಮತ್ತು $-\frac{1}{3},-\frac{1}{5}$ ಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಇದೆಯೇ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಾ?

ಮೇರಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದಳು $4>3$ ಆದರೆ $-4<-3,5>2$ ಆದರೆ $-5<-2$ ಇತ್ಯಾದಿ.

• ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಸಂದರ್ಭವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಋಣ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು, ನಾವು ಅವುಗಳ ಋಣ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಲಕ್ಷಿಸಿ ಹೋಲಿಸಿ, ನಂತರ ಕ್ರಮವನ್ನು ತಿರುಗಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $-\frac{7}{5}$ ಮತ್ತು $-\frac{5}{3}$ ಅನ್ನು ಹೋಲಿಸಲು, ನಾವು ಮೊದಲು $\frac{7}{5}$ ಮತ್ತು $\frac{5}{3}$ ಅನ್ನು ಹೋಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ $\frac{7}{5}<\frac{5}{3}$ ಮತ್ತು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ $\frac{-7}{5}>\frac{-5}{3}$.

ಅಂತಹ ಐದು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ.

ಯಾವುದು ದೊಡ್ಡದು $-\frac{3}{8}$ ಅಥವಾ $-\frac{2}{7} ? ;-\frac{4}{3}$ ಅಥವಾ $-\frac{3}{2}$ ?

• ಋಣ ಮತ್ತು ಧನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹೋಲಿಕೆಯು