8.1 تعارف

آپ نے اعداد کا مطالعہ اپنے اردگرد موجود چیزوں کو گن کر شروع کیا۔ اس مقصد کے لیے استعمال ہونے والے اعداد کو گنتی کے اعداد یا قدرتی اعداد کہا جاتا تھا۔ یہ ہیں $1,2,3,4, \ldots$ قدرتی اعداد میں 0 شامل کرنے سے ہمیں مکمل اعداد ملے، یعنی $0,1,2,3, \ldots$ قدرتی اعداد کے منفی اعداد کو پھر مکمل اعداد کے ساتھ ملا کر صحیح اعداد بنائے گئے۔ صحیح اعداد ہیں $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$ اس طرح ہم نے عددی نظام کو قدرتی اعداد سے مکمل اعداد تک اور مکمل اعداد سے صحیح اعداد تک وسعت دی۔

آپ کا تعارف کسور سے بھی کرایا گیا تھا۔ یہ $\frac{\text{ numerator }}{\text{ denominator }}$ کی شکل کے اعداد ہیں، جہاں عدد یا تو 0 یا ایک مثبت صحیح عدد ہوتا ہے اور حاصل تقسیم، ایک مثبت صحیح عدد ہوتا ہے۔ آپ نے دو کسور کا موازنہ کیا، ان کی مساوی شکلیں تلاش کیں اور ان پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے چاروں بنیادی عملیات کا مطالعہ کیا۔

اس باب میں، ہم عددی نظام کو مزید وسعت دیں گے۔ ہم ناطق اعداد کا تصور ان کی جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے عملیات کے ساتھ متعارف کرائیں گے۔

8.2 ناطق اعداد کی ضرورت

پہلے، ہم نے دیکھا تھا کہ صحیح اعداد کو اعداد سے متعلق مخالف حالات کو ظاہر کرنے کے لیے کیسے استعمال کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر کسی مقام کے $3 km$ دائیں طرف فاصلہ 3 سے ظاہر کیا جاتا تھا، تو اسی مقام کے $5 km$ بائیں طرف فاصلہ -5 سے ظاہر کیا جا سکتا تھا۔ اگر ₹ 150 کے منافع کو 150 سے ظاہر کیا جاتا تھا تو ₹ 100 کے نقصان کو -100 لکھا جا سکتا تھا۔

مذکورہ بالا حالات کے مشابہ بہت سے حالات ہیں جن میں کسری اعداد شامل ہیں۔ آپ سطح سمندر سے $750 m$ اوپر فاصلے کو $\frac{3}{4} km$ کے طور پر ظاہر کر سکتے ہیں۔ کیا ہم سطح سمندر سے $750 m$ نیچے کو $km$ میں ظاہر کر سکتے ہیں؟ کیا ہم سطح سمندر سے $\frac{3}{4} km$ نیچے فاصلے کو $\frac{-3}{4}$ سے ظاہر کر سکتے ہیں؟ ہم دیکھ سکتے ہیں $\frac{-3}{4}$ نہ تو ایک صحیح عدد ہے، نہ ہی ایک کسری عدد۔ ہمیں اپنے عددی نظام کو ایسے اعداد شامل کرنے کے لیے وسعت دینے کی ضرورت ہے۔

8.3 ناطق اعداد کیا ہیں؟

لفظ ‘ناطق’ ‘نسبت’ کی اصطلاح سے پیدا ہوتا ہے۔ آپ جانتے ہیں کہ 3:2 جیسی نسبت کو $\frac{3}{2}$ کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے۔ یہاں، 3 اور 2 قدرتی اعداد ہیں۔

اسی طرح، دو صحیح اعداد $p$ اور $q(q \neq 0)$ کی نسبت، یعنی $p: q$ کو $\frac{p}{q}$ کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ یہ وہ شکل ہے جس میں ناطق اعداد کو ظاہر کیا جاتا ہے۔

ایک ناطق عدد کو ایسے عدد کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے جسے $\frac{p}{q}$ کی شکل میں ظاہر کیا جا سکے، جہاں $p$ اور $q$ صحیح اعداد ہوں اور $q \neq 0$۔

اس طرح، $\frac{4}{5}$ ایک ناطق عدد ہے۔ یہاں، $p=4$ اور $q=5$۔

کیا $\frac{-3}{4}$ بھی ایک ناطق عدد ہے؟ ہاں، کیونکہ $p=-3$ اور $q=4$ صحیح اعداد ہیں۔

• آپ نے $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1 \frac{2}{3}$ وغیرہ جیسی بہت سی کسور دیکھی ہیں۔ تمام کسریں ناطق اعداد ہیں۔ آپ بتا سکتے ہیں کیوں؟

اعشاریہ اعداد جیسے 0.5، 2.3 وغیرہ کا کیا حال ہے؟ ایسے ہر عدد کو ایک عام کسر کے طور پر لکھا جا سکتا ہے اور اس لیے، ناطق اعداد ہیں۔ مثال کے طور پر، $0.5=\frac{5}{10}$، $0.333=\frac{333}{1000}$ وغیرہ۔

یہ کریں

1. کیا عدد $\frac{2}{-3}$ ناطق ہے؟ اس کے بارے میں سوچیں۔

2. دس ناطق اعداد کی فہرست بنائیں۔

عدد اور حاصل تقسیم

$\frac{p}{q}$ میں، صحیح عدد $p$ عدد ہے، اور صحیح عدد $q(\neq 0)$ حاصل تقسیم ہے۔

اس طرح، $\frac{-3}{7}$ میں، عدد -3 ہے اور حاصل تقسیم 7 ہے۔

پانچ ناطق اعداد کا ذکر کریں جن میں سے ہر ایک کا

(الف) عدد ایک منفی صحیح عدد ہے اور حاصل تقسیم ایک مثبت صحیح عدد ہے۔

(ب) عدد ایک مثبت صحیح عدد ہے اور حاصل تقسیم ایک منفی صحیح عدد ہے۔

(ج) عدد اور حاصل تقسیم دونوں منفی صحیح اعداد ہیں۔

(د) عدد اور حاصل تقسیم دونوں مثبت صحیح اعداد ہیں۔

• کیا صحیح اعداد بھی ناطق اعداد ہیں؟

کوئی بھی صحیح عدد ایک ناطق عدد کے طور پر سوچا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، صحیح عدد -5 ایک ناطق عدد ہے، کیونکہ آپ اسے $\frac{-5}{1}$ کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔ صحیح عدد 0 کو $0=\frac{0}{2}$ یا $\frac{0}{7}$ وغیرہ کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے۔ اس لیے، یہ بھی ایک ناطق عدد ہے۔

اس طرح، ناطق اعداد میں صحیح اعداد اور کسریں شامل ہیں۔

مساوی ناطق اعداد

ایک ناطق عدد کو مختلف اعداد اور حاصل تقسیم کے ساتھ لکھا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، ناطق عدد $\frac{-2}{3}$ پر غور کریں۔

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{. ہم دیکھتے ہیں کہ } \frac{-2}{3} \text{ اور } \frac{-4}{6} \text{ ایک جیسے ہیں} \\ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} . \text{ لہذا، } \frac{-2}{3} \text{ اور } \frac{10}{-15} \text{ بھی ایک جیسے ہیں} \end{aligned} $

اس طرح، $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$۔ ایسے ناطق اعداد جو ایک دوسرے کے برابر ہوں، ایک دوسرے کے مساوی کہلاتے ہیں۔

$ \text{ پھر، } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (کیسے؟) } $

یہ کریں

خانے بھریں:

(i) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(ii) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

ایک ناطق عدد کے عدد اور حاصل تقسیم کو ایک ہی غیر صفر صحیح عدد سے ضرب دے کر، ہمیں دئیے گئے ناطق عدد کے مساوی ایک اور ناطق عدد ملتا ہے۔ یہ بالکل مساوی کسریں حاصل کرنے کی طرح ہے۔

جیسے ضرب، عدد اور حاصل تقسیم کو ایک ہی غیر صفر صحیح عدد سے تقسیم کرنے سے بھی مساوی ناطق اعداد ملتے ہیں۔ مثال کے طور پر،

$ \begin{gathered} \frac{10}{-15}=\frac{10 \div(-5)}{-15 \div(-5)}=\frac{-2}{3}, \quad \frac{-12}{24}=\frac{-12 \div 12}{24 \div 12}=\frac{-1}{2} \\ \text{ ہم } \frac{-2}{3} \text{ کو }-\frac{2}{3} \text{ کے طور پر لکھتے ہیں، } \frac{-10}{15} \text{ کو }-\frac{10}{15} \text{ کے طور پر، وغیرہ۔ } \end{gathered} $

8.4 مثبت اور منفی ناطق اعداد

ناطق عدد $\frac{2}{3}$ پر غور کریں۔ اس عدد کا عدد اور حاصل تقسیم دونوں مثبت صحیح اعداد ہیں۔ ایسے ناطق عدد کو مثبت ناطق عدد کہا جاتا ہے۔ لہذا، $\frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{2}{9}$

یہ کریں

1. کیا 5 ایک مثبت ناطق عدد ہے؟

2. مزید پانچ مثبت ناطق اعداد کی فہرست بنائیں۔ وغیرہ مثبت ناطق اعداد ہیں۔

$\frac{-3}{5}$ کا عدد ایک منفی صحیح عدد ہے، جبکہ حاصل تقسیم ایک مثبت صحیح عدد ہے۔ ایسے ناطق عدد کو منفی ناطق عدد کہا جاتا ہے۔ لہذا، $\frac{-5}{7}, \frac{-3}{8}, \frac{-9}{5}$ وغیرہ منفی ناطق اعداد ہیں۔

• کیا $\frac{8}{-3}$ ایک منفی ناطق عدد ہے؟ ہم جانتے ہیں کہ $\frac{8}{-3}=\frac{8 \times-1}{-3 \times-1}=\frac{-8}{3}$، اور $\frac{-8}{3}$ ایک منفی ناطق عدد ہے۔ لہذا، $\frac{8}{-3}$ ایک منفی ناطق عدد ہے۔

اسی طرح، $\frac{5}{-7}, \frac{6}{-5}, \frac{2}{-9}$ وغیرہ سب منفی ناطق اعداد ہیں۔ نوٹ کریں کہ ان کے اعداد مثبت ہیں اور ان کے حاصل تقسیم منفی ہیں۔

• عدد 0 نہ تو ایک مثبت ہے اور نہ ہی ایک منفی ناطق عدد۔
• $\frac{-3}{-5}$ کا کیا حال ہے؟

آپ دیکھیں گے کہ $\frac{-3}{-5}=\frac{-3 \times(-1)}{-5 \times(-1)}=\frac{3}{5}$۔ لہذا، $\frac{-3}{-5}$ ایک مثبت ناطق عدد ہے۔ اس طرح، $\frac{-2}{-5}, \frac{-5}{-3}$ وغیرہ مثبت ناطق اعداد ہیں۔

یہ کریں

ان میں سے کون سے منفی ناطق اعداد ہیں؟

(i) $\frac{-2}{3}$

(ii) $\frac{5}{7}$

(iii) $\frac{3}{-5}$

(iv) 0

(v) $\frac{6}{11}$

(vi) $\frac{-2}{-9}$

8.5 عددی لکیر پر ناطق اعداد

آپ جانتے ہیں کہ صحیح اعداد کو عددی لکیر پر کیسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ آئیے ایسی ایک عددی لکیر بناتے ہیں۔

0 کے دائیں طرف کے نقاط + علامت سے ظاہر کیے جاتے ہیں اور مثبت صحیح اعداد ہیں۔ 0 کے بائیں طرف کے نقاط - علامت سے ظاہر کیے جاتے ہیں اور منفی صحیح اعداد ہیں۔

کسور کو عددی لکیر پر ظاہر کرنا بھی آپ کو معلوم ہے۔

آئیے دیکھتے ہیں کہ ناطق اعداد کو عددی لکیر پر کیسے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

آئیے عدد $-\frac{1}{2}$ کو عددی لکیر پر ظاہر کریں۔

جیسا کہ مثبت صحیح اعداد کے معاملے میں کیا گیا تھا، مثبت ناطق اعداد 0 کے دائیں طرف نشان زد کیے جائیں گے اور منفی ناطق اعداد 0 کے بائیں طرف نشان زد کیے جائیں گے۔

آپ $-\frac{1}{2}$ کو 0 کے کس طرف نشان زد کریں گے؟ ایک منفی ناطق عدد ہونے کی وجہ سے، اسے 0 کے بائیں طرف نشان زد کیا جائے گا۔

آپ جانتے ہیں کہ عددی لکیر پر صحیح اعداد کو نشان زد کرتے وقت، متواتر صحیح اعداد کو مساوی وقفوں پر نشان زد کیا جاتا ہے۔ نیز، 0 سے، جوڑا 1 اور -1 مساوی فاصلے پر ہے۔ اسی طرح جوڑے 2 اور $-2,3$ اور -3 ہیں۔

اسی طرح، ناطق اعداد $\frac{1}{2}$ اور $-\frac{1}{2}$ 0 سے مساوی فاصلے پر ہوں گے۔ ہم جانتے ہیں کہ ناطق عدد $\frac{1}{2}$ کو کیسے نشان زد کیا جاتا ہے۔ یہ اس نقطے پر نشان زد کیا جاتا ہے جو 0 اور 1 کے درمیان آدھے فاصلے پر ہے۔ لہذا، $-\frac{1}{2}$ کو اس نقطے پر نشان زد کیا جائے گا جو 0 اور -1 کے درمیان آدھے فاصلے پر ہے۔

ہم جانتے ہیں کہ $\frac{3}{2}$ کو عددی لکیر پر کیسے نشان زد کیا جاتا ہے۔ یہ 0 کے دائیں طرف نشان زد ہے اور 1 اور 2 کے درمیان آدھے راستے پر واقع ہے۔ آئیے اب $\frac{-3}{2}$ کو عددی لکیر پر نشان زد کریں۔ یہ 0 کے بائیں طرف واقع ہے اور 0 سے اسی فاصلے پر ہے جتنا $\frac{3}{2}$ ہے۔

کم ہوتی ترتیب میں، ہمارے پاس ہے، $\frac{-1}{2}, \frac{-2}{2}(=-1), \frac{-3}{2}, \frac{-4}{2}(=-2)$۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ $\frac{-3}{2}$ -1 اور -2 کے درمیان واقع ہے۔ اس طرح، $\frac{-3}{2}$ -1 اور -2 کے درمیان آدھے راستے پر واقع ہے۔

اسی طرح، $-\frac{1}{3}$ صفر کے بائیں طرف ہے اور صفر سے اسی فاصلے پر ہے جتنا $\frac{1}{3}$ دائیں طرف ہے۔ لہذا جیسا کہ اوپر کیا گیا، $-\frac{1}{3}$ کو عددی لکیر پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ایک بار جب ہم جانتے ہیں کہ $-\frac{1}{3}$ کو عددی لکیر پر کیسے ظاہر کیا جائے، تو ہم $-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}$ وغیرہ کو ظاہر کرتے چلے جا سکتے ہیں۔

8.6 معیاری شکل میں ناطق اعداد

ناطق اعداد $\frac{3}{5}, \frac{-5}{8}, \frac{2}{7}, \frac{-7}{11}$ کا مشاہدہ کریں۔

ان ناطق اعداد کے حاصل تقسیم مثبت صحیح اعداد ہیں اور اعداد اور حاصل تقسیم کے درمیان 1 واحد مشترک عامل ہے۔ مزید، منفی علامت صرف عدد میں آتی ہے۔

ایسے ناطق اعداد کو معیاری شکل میں کہا جاتا ہے۔

ایک ناطق عدد کو معیاری شکل میں کہا جاتا ہے اگر اس کا حاصل تقسیم ایک مثبت صحیح عدد ہو اور عدد اور حاصل تقسیم میں 1 کے علاوہ کوئی مشترک عامل نہ ہو۔

اگر کوئی ناطق عدد معیاری شکل میں نہیں ہے، تو اسے معیاری شکل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔

یاد رکھیں کہ کسور کو ان کی کم ترین شکل میں لانے کے لیے، ہم نے کسر کے عدد اور حاصل تقسیم کو ایک ہی غیر صفر مثبت صحیح عدد سے تقسیم کیا تھا۔ ہم ناطق اعداد کو ان کی معیاری شکل میں لانے کے لیے اسی طریقے کا استعمال کریں گے۔

مثال 1 $\frac{-45}{30}$ کو معیاری شکل میں لائیں۔

حل

ہمارے پاس ہے، $\frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 3}{30 \div 3}=\frac{-15}{10}=\frac{-15 \div 5}{10 \div 5}=\frac{-3}{2}$

ہمیں دو بار تقسیم کرنا پڑا۔ پہلی بار 3 سے اور پھر 5 سے۔ یہ اس طرح بھی کیا جا سکتا تھا

$ \frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 15}{30 \div 15}=\frac{-3}{2} $

اس مثال میں، نوٹ کریں کہ 45 اور 30 کا HCF 15 ہے۔

اس طرح، ناطق عدد کو اس کی معیاری شکل میں لانے کے لیے، ہم اس کے عدد اور حاصل تقسیم کو ان کے HCF سے تقسیم کرتے ہیں، منفی علامت کو نظر انداز کرتے ہوئے، اگر کوئی ہو۔ (منفی علامت کو نظر انداز کرنے کی وجہ اعلیٰ جماعتوں میں پڑھائی جائے گی)

اگر حاصل تقسیم میں منفی علامت ہے، تو ‘$-HCF$’ سے تقسیم کریں۔

مثال 2 معیاری شکل میں لائیں:

(i) $\frac{36}{-24}$

(ii) $\frac{-3}{-15}$

حل

(i) 36 اور 24 کا HCF 12 ہے۔

اس طرح، اس کی معیاری شکل -12 سے تقسیم کر کے حاصل ہوگی۔

$ \frac{36}{-24}=\frac{36 \div(-12)}{-24 \div(-12)}=\frac{-3}{2} $

(ii) 3 اور 15 کا HCF 3 ہے۔

اس طرح، $\frac{-3}{-15}=\frac{-3 \div(-2)}{-15 \div(-3)}=\frac{1}{5}$

یہ کریں

معیاری شکل تلاش کریں

(i) $\frac{-18}{45}$

(ii) $\frac{-12}{18}$

8.7 ناطق اعداد کا موازنہ

ہم جانتے ہیں کہ دو صحیح اعداد یا دو کسور کا موازنہ کیسے کیا جاتا ہے اور ان میں سے کون سا چھوٹا ہے یا کون سا بڑا ہے۔ آئیے اب دیکھتے ہیں کہ ہم دو ناطق اعداد کا موازنہ کیسے کر سکتے ہیں۔

• دو مثبت ناطق اعداد، جیسے $\frac{2}{3}$ اور $\frac{5}{7}$ کا موازنہ کسور کے معاملے میں پہلے پڑھے گئے طریقے سے کیا جا سکتا ہے۔
• میری نے دو منفی ناطق اعداد $-\frac{1}{2}$ اور $-\frac{1}{5}$ کا موازنہ عددی لکیر کا استعمال کرتے ہوئے کیا۔ وہ جانتی تھی کہ صحیح عدد جو دوسرے صحیح عدد کے دائیں طرف ہوتا ہے، وہ بڑا صحیح عدد ہوتا ہے۔

مثال کے طور پر، 5 عددی لکیر پر 2 کے دائیں طرف ہے اور $5>2$۔ صحیح عدد -2 عددی لکیر پر -5 کے دائیں طرف ہے اور $-2>-5$۔

اس نے ناطق اعداد کے لیے بھی یہی طریقہ استعمال کیا۔ وہ جانتے تھے کہ ناطق اعداد کو عددی لکیر پر کیسے نشان زد کیا جاتا ہے۔ اس نے $-\frac{1}{2}$ اور $-\frac{1}{5}$ کو اس طرح نشان زد کیا:

کیا اس نے دونوں نقاط کو صحیح طریقے سے نشان زد کیا ہے؟ اس نے $-\frac{1}{2}$ کو $-\frac{5}{10}$ میں اور $-\frac{1}{5}$ کو $-\frac{2}{10}$ میں کیسے اور کیوں تبدیل کیا؟ اس نے پایا کہ $-\frac{1}{5}$، $-\frac{1}{2}$ کے دائیں طرف ہے۔ اس طرح، $-\frac{1}{5}>-\frac{1}{2}$ یا $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$۔ کیا آپ $-\frac{3}{4}$ اور $-\frac{2}{3} ?-\frac{1}{3}$ اور $-\frac{1}{5}$ کا موازنہ کر سکتے ہیں؟

ہم کسور کے اپنے مطالعے سے جانتے ہیں کہ $\frac{1}{5}<\frac{1}{2}$۔ اور میری کو $-\frac{1}{2}$ اور $-\frac{1}{5}$ کے لیے کیا ملا؟ کیا یہ بالکل الٹ نہیں تھا؟

آپ پائیں گے کہ، $\frac{1}{2}>\frac{1}{5}$ لیکن $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$۔

کیا آپ $-\frac{3}{4},-\frac{2}{3}$ اور $-\frac{1}{3},-\frac{1}{5}$ کے لیے بھی یہی مشاہدہ کرتے ہیں؟

میری کو یاد آیا کہ صحیح اعداد میں اس نے پڑھا تھا $4>3$ لیکن $-4<-3,5>2$ لیکن $-5<-2$ وغیرہ۔

• منفی ناطق اعداد کے جوڑوں کا معاملہ مشابہ ہے۔ دو منفی ناطق اعداد کا موازنہ کرنے کے لیے، ہم ان کے منفی علامات کو نظر انداز کرتے ہوئے ان کا موازنہ کرتے ہیں اور پھر ترتیب کو الٹ دیتے ہیں۔

مثال کے طور پر، $-\frac{7}{5}$ اور $-\frac{5}{3}$ کا موازنہ کرنے کے لیے، ہم پہلے $\frac{7}{5}$ اور $\frac{5}{3}$ کا موازنہ کرتے ہیں۔

ہمیں ملتا ہے $\frac{7}{5}<\frac{5}{3}$ اور نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ $\frac{-7}{5}>\frac{-5}{3}$۔

ایسے مزید پانچ جوڑے لیں اور ان کا موازنہ کریں۔

$-\frac{3}{8}$ یا $-\frac{2}{7} ? ;-\frac{4}{3}$ یا $-\frac{3}{2}$ میں سے کون سا بڑا ہے؟

• ایک منفی اور ایک مثبت ناطق عدد کا موازنہ واضح ہے۔ ایک منفی ناطق عدد صفر کے بائیں طرف ہوتا ہے جبکہ ایک مثبت ناطق عدد عددی لکیر پر صفر کے دائیں طرف ہوتا ہے۔ لہذا، ایک منفی ناطق عدد ہمیشہ ایک مثبت ناطق عدد سے کم ہوگا۔

اس طرح، $-\frac{2}{7}<\frac{1}{2}$۔

• ناطق اعداد $\frac{-3}{-5}$ اور $\frac{-2}{-7}$ کا موازنہ کرنے کے لیے انہیں ان کی معیاری شکلوں میں تبدیل کریں اور پھر ان کا موازنہ کریں۔

مثال 3 کیا $\frac{4}{-9}$ اور $\frac{-16}{36}$ ایک ہی ناطق عدد کو ظاہر کرتے ہیں؟

حل

ہاں، کیونکہ $\frac{4}{-9}=\frac{4 \times(-4)}{9 \times(-4)}=\frac{-16}{36}$ یا $\frac{-16}{36}=\frac{-16+-4}{35 \div-4}=\frac{-4}{-9}$۔

8.8 دو ناطق اعداد کے درمیان ناطق اعداد

رشما 3 اور 10 کے درمیان مکمل اعداد کو گننا چاہتی تھی۔ اپنی پچھلی جماعتوں سے، وہ جانتی تھی کہ 3 اور 10 کے درمیان بالکل 6 مکمل اعداد ہوں گے۔ اسی طرح، وہ -3 اور 3 کے درمیان صحیح اعداد کی کل تعداد جاننا چاہتی تھی۔ -3 اور 3 کے درمیان صحیح اعداد ہیں $-2,-1,0,1,2$۔ اس طرح، -3 اور 3 کے درمیان بالکل 5 صحیح اعداد ہیں۔

کیا -3 اور -2 کے درمیان کوئی صحیح اعداد ہیں؟ نہیں، -3 اور -2 کے درمیان کوئی صحیح عدد نہیں ہے۔ دو متواتر صحیح اعداد کے درمیان صحیح اعداد کی تعداد 0 ہے۔

اس طرح، ہم پاتے ہیں کہ دو صحیح اعداد کے درمیان صحیح اعداد کی تعداد محدود (متناهی) ہوتی ہے۔

کیا ناطق اعداد کے معاملے میں بھی ایسا ہی ہوگا؟

رشما نے دو ناطق اعداد $\frac{-3}{5}$ اور $\frac{-1}{3}$ لیے۔

اس نے انہیں ایک ہی حاصل تقسیم والے ناطق اعداد میں تبدیل کیا۔

لہذا

$ \frac{-3}{5}=\frac{-9}{15} \text{ اور } \frac{-1}{3}=\frac{-5}{15} $

ہمارے پاس ہے $\quad \frac{-9}{15}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-5}{15}$ یا $\frac{-3}{5}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3}$

اسے ناطق اعداد $\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}$ $\frac{-3}{5}$ اور $\frac{-1}{3}$ کے درمیان مل سکے۔

کیا اعداد $\frac{-8}{15}, \frac{-7}{15}, \frac{-6}{15}$ ہی صرف ناطق اعداد ہیں جو $-\frac{3}{5}$ اور $-\frac{1}{3}$ کے درمیان ہیں؟

ہمارے پاس ہے $\quad \frac{-3}{5}<\frac{-18}{30}$ اور $\frac{-8}{15}<\frac{-16}{30}$

اور

لہذا

$ \frac{-18}{30}<\frac{-17}{30}<\frac{-16}{30} \text{. یعنی، } \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15} $

$ \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3} $

لہذا، ہم $\frac{-3}{5}$ اور $\frac{-1}{3}$ کے درمیان ایک اور ناطق عدد تلاش کر سکے۔

اس طریقے کا استعمال کرتے ہوئے، آپ دو مختلف ناطق اعداد کے درمیان جتنے چاہیں ناطق اعداد داخل کر سکتے ہیں۔

یہ کریں

$\frac{-5}{7}$ اور $\frac{-3}{8}$ کے درمیان پانچ ناطق اعداد تلاش کریں۔ مثال کے طور پر، $\quad \frac{-3}{5}=\frac{-3 \times 30}{5 \times 30}=\frac{-90}{150}$ اور $\frac{-1}{3}=\frac{-1 \times 50}{3 \times 50}=\frac{-50}{150}$

ہمیں 39 ناطق اعداد ملتے ہیں $(\frac{-89}{150}, \ldots, \frac{-51}{150})$ $\frac{-90}{150}$ اور $\frac{-50}{150}$ کے درمیان یعنی $\frac{-3}{5}$ اور $\frac{-1}{3}$ کے درمیان۔ آپ دیکھیں گے کہ فہرست لامتناہی ہے۔

کیا آپ $\frac{-5}{3}$ اور $\frac{-8}{7}$ کے درمیان پانچ ناطق اعداد کی فہرست بنا سکتے ہیں؟

ہم کسی بھی دو ناطق اعداد کے درمیان ناطق اعداد کی لامحدود تعداد تلاش کر سکتے ہیں۔

مثال 4 -2 اور -1 کے درمیان تین ناطق اعداد کی فہرست بنائیں۔

حل

آئیے -1 اور -2 کو حاصل تقسیم 5 والے ناطق اعداد کے طور پر لکھیں۔ (کیوں؟)

ہمارے پاس ہے، $-1=\frac{-5}{5}$ اور $-2=\frac{-10}{5}$

لہذا، $\quad \frac{-10}{5}<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<\frac{-5}{5}$ یا $-2<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<-1$

-2 اور -1 کے درمیان تین ناطق اعداد ہوں گے، $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}$

(آپ $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}, \frac{-6}{5}$ میں سے کوئی بھی تین لے سکتے ہیں)

مثال 5 درج ذیل نمونے میں مزید چار اعداد لکھیں:

$ \frac{-1}{3}, \frac{-2}{6}, \frac{-3}{9}, \frac{-4}{12}, \ldots $

حل

ہمارے پاس ہے،

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{6}=\frac{-1 \times 2}{3 \times 2}, \frac{-3}{9}=\frac{-1 \times 3}{3 \times 3}, \frac{-4}{12}=\frac{-1 \times 4}{3 \times 4} \\ & \frac{-1 \times 1}{3 \times 1}=\frac{-1}{3}, \frac{-1 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-2}{6}, \frac{-1 \times 3}{3 \times 3}=\frac{-3}{9}, \frac{-1 \times 4}{3 \times 4}=\frac{-4}{12} \end{aligned} $

یا

$ \text{ ان اعداد میں ایک نمونہ دیکھیں۔ } $

دیگر اعداد ہوں گے $\frac{-1 \times 5}{3 \times 5}=\frac{-5}{15}, \frac{-1 \times 6}{3 \times 6}=\frac{-6}{18}, \frac{-1 \times 7}{3 \times 7}=\frac{-7}{21}$۔

مشق 8.1

1. درج ذیل کے درمیان پانچ ناطق اعداد کی فہرست بنائیں:

(i) -1 اور 0

(ii) -2 اور -1

(iii) $\frac{-4}{5}$ اور $\frac{-2}{3}$

(iv) $-\frac{1}{2}$ اور $\frac{2}{3}$

2. درج ذیل نمونوں میں سے ہر ایک میں مزید چار ناطق اعداد لکھیں:

(i) $\frac{-3}{5}, \frac{-6}{10}, \frac{-9}{15}, \frac{-12}{20}, \ldots$.

(ii) $\frac{-1}{4}, \frac{-2}{8}, \frac{-3}{12}, \ldots$.

(iii) $\frac{-1}{6}, \frac{2}{-12}, \frac{3}{-18}, \frac{4}{-24}, \ldots .$.

(iv) $\frac{-2}{3}, \frac{2}{-3}, \frac{4}{-6}, \frac{6}{-9}, \ldots$.

3. درج ذیل کے مساوی چار ناطق اعداد دیں:

(i) $\frac{-2}{7}$

(ii) $\frac{5}{-3}$

(iii) $\frac{4}{9}$

4. عددی لکیر بنائیں اور اس پر درج ذیل ناطق اعداد کو ظاہر کریں:

(i) $\frac{3}{4}$

(ii) $\frac{-5}{8}$

(iii) $\frac{-7}{4}$

(iv) $\frac{7}{8}$

5. عددی لکیر پر نقاط $P, Q, R, S, T, U, A$ اور $B$ اس طرح ہیں کہ، $TR=RS=SU$ اور $AP=PQ=QB$۔ $P, Q, R$ اور $S$ سے ظاہر ہونے والے ناطق اعداد کے نام بتائیں۔

6. درج ذیل میں سے کون سا جوڑا ایک ہی ناطق عدد کو ظاہر کرتا ہے؟

(i) $\frac{-7}{21}$ اور $\frac{3}{9}$

(ii) $\frac{-16}{20}$ اور $\frac{20}{-25}$

(iii) $\frac{-2}{-3}$ اور $\frac{2}{3}$

(iv) $\frac{-3}{5}$ اور $\frac{-12}{20}$

(v) $\frac{8}{-5}$ اور $\frac{-24}{15}$

(vi) $\frac{1}{3}$ اور $\frac{-1}{9}$

(vii) $\frac{-5}{-9}$ اور $\frac{5}{-9}$

7. درج ذیل ناطق اعداد کو آسان ترین شکل میں دوبارہ لکھیں:

(i) $\frac{-8}{6}$

(ii) $\frac{25}{45}$

(iii) $\frac{-44}{72}$

(iv) $\frac{-8}{10}$

8. خانے درج ذیل علامات $>,<$، اور $=$ میں سے صحیح علامت سے بھریں۔

(i) $\frac{-5}{7} \square \frac{2}{3}$

(ii) $\frac{-4}{5} \square \frac{-5}{7}$

(iii) $\frac{-7}{8} \square \frac{14}{-16}$

(iv) $\frac{-8}{5} \square \frac{-7}{4}$

(v) $\frac{1}{-3} \square \frac{-1}{4}$

(vi) $\frac{5}{-11} \square \frac{-5}{11}$

(vii) $0 \square \frac{-7}{6}$

9. درج ذیل میں سے ہر ایک میں کون سا بڑا ہے:

(i) $\frac{2}{3}, \frac{5}{2}$

(ii) $\frac{-5}{6}, \frac{-4}{3}$

(iii) $\frac{-3}{4}, \frac{2}{-3}$

(iv) $\frac{-1}{4}, \frac{1}{4}$

(v) $-3 \frac{2}{7},-3 \frac{4}{5}$

10. درج ذیل ناطق اعداد کو چڑھتی ترتیب میں لکھیں:

(i) $\frac{-3}{5}, \frac{-2}{5}, \frac{-1}{5}$

(ii) $\frac{-1}{3}, \frac{-2}{9}, \frac{-4}{3}$

(iii) $\frac{-3}{7}, \frac{-3}{2}, \frac{-3}{4}$

8.9 ناطق اعداد پر عملیات

آپ جانتے ہیں کہ صحیح اعداد کے ساتھ ساتھ کسور کو کیسے جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کیا جاتا ہے۔ آئیے اب ناطق اعداد پر یہ بنیادی عملیات کا مطالعہ کریں۔

8.9.1 جمع

• آئیے دو ناطق اعداد کو ایک ہی حاصل تقسیم کے ساتھ جمع کریں، فرض کریں $\frac{7}{3}$ اور $\frac{-5}{3}$۔

ہم پاتے ہیں $\frac{7}{3}+(\frac{-5}{3})$

عدد لکیر پر، ہمارے پاس ہے:

دو متواتر نقاط کے درمیان فاصلہ $\frac{1}{3}$ ہے۔ لہذا $\frac{-5}{3}$ کو $\frac{7}{3}$ میں جمع کرنے کا مطلب ہوگا، $\frac{7}{3}$ کے بائیں طرف حرکت کرنا، 5 چھلانگیں لگانا۔ ہم کہاں پہنچتے ہیں؟ ہم $\frac{2}{3}$ پر پہنچتے ہیں۔

لہذا، $\quad \frac{7}{3}+(\frac{-5}{3})=\frac{2}{3}$۔

آئیے اب اس طرح کوشش کریں:

$ \frac{7}{3}+\frac{(-5)}{3}=\frac{7+(-5)}{3}=\frac{2}{3} $

ہمیں وہی جواب ملتا ہے۔

$\frac{6}{5}+\frac{(-2)}{5}, \frac{3}{7}+\frac{(-5)}{7}$ دونوں طریقوں سے تلاش کریں اور چیک کریں کہ کیا آپ کو وہی جواب ملتے ہیں۔

آپ کو ک