८.१ परिचय

तुम्ही संख्यांचा अभ्यास वस्तू मोजून सुरू केला. या कामासाठी वापरल्या जाणाऱ्या संख्यांना मोजण्याच्या संख्या किंवा नैसर्गिक संख्या म्हणतात. त्या $1,2,3,4, \ldots$ आहेत. नैसर्गिक संख्यांमध्ये ० समाविष्ट करून आपल्याला पूर्ण संख्या मिळाल्या, म्हणजेच $0,1,2,3, \ldots$. नंतर नैसर्गिक संख्यांचे ऋण पूर्ण संख्यांसोबत एकत्र करून पूर्णांक तयार केले. पूर्णांक $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$ आहेत. अशाप्रकारे, आपण संख्या पद्धतीचा विस्तार केला, नैसर्गिक संख्यांपासून पूर्ण संख्यांपर्यंत आणि पूर्ण संख्यांपासून पूर्णांकांपर्यंत.

तुमचा परिचय अपूर्णांकांशीही झाला. हे $\frac{\text{ numerator }}{\text{ denominator }}$ या स्वरूपातील संख्या आहेत, जिथे अंश हा एकतर ० किंवा धन पूर्णांक असतो आणि छेद हा धन पूर्णांक असतो. तुम्ही दोन अपूर्णांकांची तुलना केली, त्यांचे समतुल्य रूप शोधले आणि त्यांवर बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार या चारही मूलभूत क्रियांचा अभ्यास केला.

या प्रकरणात, आपण संख्या पद्धतीचा आणखी विस्तार करू. आपण परिमेय संख्यांची संकल्पना तसेच त्यांच्या बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार क्रिया सादर करू.

८.२ परिमेय संख्यांची गरज

आधी, आपण पाहिले की संख्यांशी संबंधित विरुद्ध परिस्थिती दर्शवण्यासाठी पूर्णांक कसे वापरले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, जर एखाद्या ठिकाणाच्या $3 km$ उजवीकडे असलेले अंतर ३ ने दर्शवले, तर त्याच ठिकाणाच्या $5 km$ डावीकडे असलेले अंतर -५ ने दर्शवता येईल. जर ₹ १५० चा नफा १५० ने दर्शवला, तर ₹ १०० चे नुकसान -१०० असे लिहिता येईल.

वरील परिस्थितींसारख्या अनेक परिस्थिती आहेत ज्यामध्ये अपूर्णांक संख्या समाविष्ट असतात. तुम्ही समुद्रसपाटीपासून $750 m$ वरचे अंतर $\frac{3}{4} km$ म्हणून दर्शवू शकता. आपण समुद्रसपाटीपासून $750 m$ खाली असलेले अंतर $km$ मध्ये दर्शवू शकतो का? समुद्रसपाटीपासून $\frac{3}{4} km$ खाली असलेले अंतर $\frac{-3}{4}$ ने दर्शवू शकतो का? आपण पाहू शकतो की $\frac{-3}{4}$ हा एकतर पूर्णांक नाही किंवा अपूर्णांक संख्या नाही. अशा संख्यांचा समावेश करण्यासाठी आपल्या संख्या पद्धतीचा विस्तार करणे आवश्यक आहे.

८.३ परिमेय संख्या म्हणजे काय?

‘परिमेय’ हा शब्द ‘गुणोत्तर’ या शब्दापासून आला आहे. तुम्हाला माहित आहे की ३:२ सारखे गुणोत्तर $\frac{3}{2}$ असेही लिहिता येते. येथे, ३ आणि २ ह्या नैसर्गिक संख्या आहेत.

त्याचप्रमाणे, दोन पूर्णांक $p$ आणि $q(q \neq 0)$ यांचे गुणोत्तर, म्हणजेच $p: q$ हे $\frac{p}{q}$ या स्वरूपात लिहिता येते. हेच स्वरूप परिमेय संख्या व्यक्त करण्यासाठी वापरले जाते.

परिमेय संख्या ही अशी संख्या म्हणून परिभाषित केली जाते जी $\frac{p}{q}$ या स्वरूपात व्यक्त करता येते, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$.

अशाप्रकारे, $\frac{4}{5}$ ही एक परिमेय संख्या आहे. येथे, $p=4$ आणि $q=5$.

$\frac{-3}{4}$ ही देखील परिमेय संख्या आहे का? होय, कारण $p=-3$ आणि $q=4$ हे पूर्णांक आहेत.

• तुम्ही $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1 \frac{2}{3}$ इत्यादी अनेक अपूर्णांक पाहिले आहेत. सर्व अपूर्णांक हे परिमेय संख्या आहेत. तुम्ही सांगू शकता का का?

०.५, २.३ इत्यादी दशांश संख्यांचं काय? अशा प्रत्येक संख्येला सामान्य अपूर्णांक म्हणून लिहिता येते आणि म्हणून त्या परिमेय संख्या आहेत. उदाहरणार्थ, $0.5=\frac{5}{10}$, $0.333=\frac{333}{1000}$ इत्यादी.

हे करून पहा

१. $\frac{2}{-3}$ ही संख्या परिमेय आहे का? विचार करा.

२. दहा परिमेय संख्यांची यादी करा.

अंश आणि छेद

$\frac{p}{q}$ मध्ये, पूर्णांक $p$ हा अंश आहे आणि पूर्णांक $q(\neq 0)$ हा छेद आहे.

अशाप्रकारे, $\frac{-3}{7}$ मध्ये, अंश -३ आहे आणि छेद ७ आहे.

अशा पाच परिमेय संख्या सांगा ज्यांचा

(अ) अंश हा ऋण पूर्णांक आहे आणि छेद हा धन पूर्णांक आहे.

(ब) अंश हा धन पूर्णांक आहे आणि छेद हा ऋण पूर्णांक आहे.

(क) अंश आणि छेद दोन्ही ऋण पूर्णांक आहेत.

(ड) अंश आणि छेद दोन्ही धन पूर्णांक आहेत.

• पूर्णांक देखील परिमेय संख्या आहेत का?

कोणताही पूर्णांक हा परिमेय संख्या मानला जाऊ शकतो. उदाहरणार्थ, पूर्णांक -५ ही एक परिमेय संख्या आहे, कारण तुम्ही ती $\frac{-5}{1}$ असे लिहू शकता. पूर्णांक ० हा देखील $0=\frac{0}{2}$ किंवा $\frac{0}{7}$ इत्यादी म्हणून लिहिता येतो. म्हणून, ती देखील एक परिमेय संख्या आहे.

अशाप्रकारे, परिमेय संख्यांमध्ये पूर्णांक आणि अपूर्णांक यांचा समावेश होतो.

समतुल्य परिमेय संख्या

एक परिमेय संख्या वेगवेगळ्या अंश आणि छेदांसह लिहिता येते. उदाहरणार्थ, परिमेय संख्या $\frac{-2}{3}$ विचारात घ्या.

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{. आपण पाहतो की } \frac{-2}{3} \text{ हा } \frac{-4}{6} \text{ सारखाच आहे. } \\ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} . \text{ म्हणून, } \frac{-2}{3} \text{ हा } \frac{10}{-15} \text{ सारखाच आहे. } \end{aligned} $

अशाप्रकारे, $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$. एकमेकांशी समान असलेल्या अशा परिमेय संख्यांना एकमेकांच्या समतुल्य म्हटले जाते.

$ \text{ पुन्हा, } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (कसे?) } $

हे करून पहा

खालील चौकटी भरा:

(i) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(ii) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

परिमेय संख्येच्या अंश आणि छेदाला समान शून्येतर पूर्णांकाने गुणून, आपल्याला दिलेल्या परिमेय संख्येच्या समतुल्य दुसरी परिमेय संख्या मिळते. हे नक्कीच समतुल्य अपूर्णांक मिळवण्यासारखे आहे.

गुणाकाराप्रमाणेच, अंश आणि छेदाला समान शून्येतर पूर्णांकाने भागणे देखील समतुल्य परिमेय संख्या देतात. उदाहरणार्थ,

$ \begin{gathered} \frac{10}{-15}=\frac{10 \div(-5)}{-15 \div(-5)}=\frac{-2}{3}, \quad \frac{-12}{24}=\frac{-12 \div 12}{24 \div 12}=\frac{-1}{2} \\ \text{ आपण } \frac{-2}{3} \text{ ला }-\frac{2}{3} \text{ असे लिहितो, } \frac{-10}{15} \text{ ला }-\frac{10}{15} \text{ असे लिहितो, इत्यादी. } \end{gathered} $

८.४ धन आणि ऋण परिमेय संख्या

परिमेय संख्या $\frac{2}{3}$ विचारात घ्या. या संख्येचा अंश आणि छेद दोन्ही धन पूर्णांक आहेत. अशा परिमेय संख्येला धन परिमेय संख्या म्हणतात. म्हणून, $\frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{2}{9}$

हे करून पहा

१. ५ ही धन परिमेय संख्या आहे का?

२. आणखी पाच धन परिमेय संख्यांची यादी करा. इत्यादी ह्या धन परिमेय संख्या आहेत.

$\frac{-3}{5}$ चा अंश हा ऋण पूर्णांक आहे, तर छेद हा धन पूर्णांक आहे. अशा परिमेय संख्येला ऋण परिमेय संख्या म्हणतात. म्हणून, $\frac{-5}{7}, \frac{-3}{8}, \frac{-9}{5}$ इत्यादी ह्या ऋण परिमेय संख्या आहेत.

• $\frac{8}{-3}$ ही ऋण परिमेय संख्या आहे का? आपल्याला माहित आहे की $\frac{8}{-3}=\frac{8 \times-1}{-3 \times-1}=\frac{-8}{3}$, आणि $\frac{-8}{3}$ ही ऋण परिमेय संख्या आहे. म्हणून, $\frac{8}{-3}$ ही ऋण परिमेय संख्या आहे.

त्याचप्रमाणे, $\frac{5}{-7}, \frac{6}{-5}, \frac{2}{-9}$ इत्यादी सर्व ऋण परिमेय संख्या आहेत. लक्षात घ्या की त्यांचे अंश धन आहेत आणि छेद ऋण आहेत.

• संख्या ० ही धन किंवा ऋण परिमेय संख्या नाही.
• $\frac{-3}{-5}$ चं काय?

तुम्हाला असे दिसेल की $\frac{-3}{-5}=\frac{-3 \times(-1)}{-5 \times(-1)}=\frac{3}{5}$. म्हणून, $\frac{-3}{-5}$ ही धन परिमेय संख्या आहे. अशाप्रकारे, $\frac{-2}{-5}, \frac{-5}{-3}$ इत्यादी ह्या धन परिमेय संख्या आहेत.

हे करून पहा

खालीलपैकी कोणत्या ऋण परिमेय संख्या आहेत?

(i) $\frac{-2}{3}$

(ii) $\frac{5}{7}$

(iii) $\frac{3}{-5}$

(iv) ०

(v) $\frac{6}{11}$

(vi) $\frac{-2}{-9}$

८.५ संख्या रेषेवरील परिमेय संख्या

पूर्णांक संख्या रेषेवर कसे दाखवायचे हे तुम्हाला माहित आहे. अशी एक संख्या रेषा काढू.

० च्या उजवीकडील बिंदू + चिन्हाने दर्शवले जातात आणि ते धन पूर्णांक आहेत. ० च्या डावीकडील बिंदू - चिन्हाने दर्शवले जातात आणि ते ऋण पूर्णांक आहेत.

संख्या रेषेवर अपूर्णांक दर्शवणे देखील तुम्हाला माहित आहे.

परिमेय संख्या संख्या रेषेवर कशा दाखवता येतात ते पाहू.

संख्या $-\frac{1}{2}$ संख्या रेषेवर दाखवू.

धन पूर्णांकांच्या बाबतीत केल्याप्रमाणे, धन परिमेय संख्या ० च्या उजवीकडे चिन्हांकित केल्या जातील आणि ऋण परिमेय संख्या ० च्या डावीकडे चिन्हांकित केल्या जातील.

तुम्ही $-\frac{1}{2}$ चिन्हांकित करण्यासाठी ० च्या कोणत्या बाजूला ठेवाल? ऋण परिमेय संख्या असल्याने, ती ० च्या डावीकडे चिन्हांकित केली जाईल.

संख्या रेषेवर पूर्णांक चिन्हांकित करताना, सलग पूर्णांक समान अंतरावर चिन्हांकित केले जातात हे तुम्हाला माहित आहे. तसेच, ० पासून, १ आणि -१ या जोडीचे अंतर समान आहे. २ आणि $-2,3$ आणि -३ या जोड्यांचेही तसेच आहे.

त्याच प्रकारे, परिमेय संख्या $\frac{1}{2}$ आणि $-\frac{1}{2}$ ह्या ० पासून समान अंतरावर असतील. $\frac{1}{2}$ ही परिमेय संख्या कशी चिन्हांकित करायची हे आपल्याला माहित आहे. ती ० आणि १ च्या मध्यभागी अर्ध्या अंतरावर असलेल्या बिंदूवर चिन्हांकित केली जाते. म्हणून, $-\frac{1}{2}$ ही ० आणि -१ च्या मध्यभागी अर्ध्या अंतरावर असलेल्या बिंदूवर चिन्हांकित केली जाईल.

$\frac{3}{2}$ संख्या रेषेवर कशी चिन्हांकित करायची हे आपल्याला माहित आहे. ती ० च्या उजवीकडे चिन्हांकित केली जाते आणि १ आणि २ च्या मध्यभागी अर्ध्या अंतरावर असते. आता $\frac{-3}{2}$ संख्या रेषेवर चिन्हांकित करू. ती ० च्या डावीकडे असते आणि $\frac{3}{2}$ पासून ० पर्यंतच्या अंतराएवढ्याच अंतरावर असते.

उतरत्या क्रमाने, आपल्याकडे $\frac{-1}{2}, \frac{-2}{2}(=-1), \frac{-3}{2}, \frac{-4}{2}(=-2)$ आहे. हे दर्शवते की $\frac{-3}{2}$ ही -१ आणि -२ च्या दरम्यान असते. अशाप्रकारे, $\frac{-3}{2}$ ही -१ आणि -२ च्या मध्यभागी अर्ध्या अंतरावर असते.

त्याचप्रमाणे, $-\frac{1}{3}$ ही शून्याच्या डावीकडे आहे आणि शून्यापासून तितक्याच अंतरावर आहे जितके $\frac{1}{3}$ उजवीकडे आहे. म्हणून वर केल्याप्रमाणे, $-\frac{1}{3}$ संख्या रेषेवर दर्शवता येते. एकदा $-\frac{1}{3}$ संख्या रेषेवर कशी दाखवायची हे कळल्यानंतर, आपण $-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}$ इत्यादी दाखवू शकतो.

८.६ मानक रूपातील परिमेय संख्या

परिमेय संख्या $\frac{3}{5}, \frac{-5}{8}, \frac{2}{7}, \frac{-7}{11}$ लक्षात घ्या.

या परिमेय संख्यांचे छेद धन पूर्णांक आहेत आणि अंश आणि छेद यांच्यातील एकमेव सामाईक अवयव १ आहे. शिवाय, ऋण चिन्ह फक्त अंशामध्ये येते.

अशा परिमेय संख्यांना मानक रूपात असल्याचे म्हटले जाते.

एखादी परिमेय संख्या मानक रूपात आहे असे म्हटले जाते जर तिचा छेद धन पूर्णांक असेल आणि अंश आणि छेद यांच्यात १ व्यतिरिक्त इतर कोणताही सामाईक अवयव नसेल.

जर एखादी परिमेय संख्या मानक रूपात नसेल, तर ती मानक रूपात आणता येते.

अपूर्णांकांना त्यांच्या सर्वात कमी रूपात आणण्यासाठी, आपण अपूर्णांकाच्या अंश आणि छेदाला समान शून्येतर धन पूर्णांकाने भागले हे आठवा. परिमेय संख्यांना त्यांच्या मानक रूपात आणण्यासाठी आपण तीच पद्धत वापरू.

उदाहरण १ $\frac{-45}{30}$ ला मानक रूपात आणा.

उपाय

आपल्याकडे, $\frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 3}{30 \div 3}=\frac{-15}{10}=\frac{-15 \div 5}{10 \div 5}=\frac{-3}{2}$

आपल्याला दोनदा भागाकार करावा लागला. प्रथम ३ ने आणि नंतर ५ ने. हे असेही करता येते

$ \frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 15}{30 \div 15}=\frac{-3}{2} $

या उदाहरणात, लक्षात घ्या की ४५ आणि ३० चा मसावि १५ आहे.

अशाप्रकारे, परिमेय संख्येला तिच्या मानक रूपात आणण्यासाठी, आपण तिच्या अंश आणि छेदाला त्यांच्या मसाविने भागतो, ऋण चिन्ह दुर्लक्षित करून, असल्यास. (ऋण चिन्ह दुर्लक्षित करण्याचे कारण उच्च वर्गांमध्ये शिकले जाईल)

जर छेदामध्ये ऋण चिन्ह असेल, तर ’ $-HCF$ ’ ने भागा.

उदाहरण २ मानक रूपात आणा:

(i) $\frac{36}{-24}$

(ii) $\frac{-3}{-15}$

उपाय

(i) ३६ आणि २४ चा मसावि १२ आहे.

म्हणून, त्याचे मानक रूप -१२ ने भागून मिळेल.

$ \frac{36}{-24}=\frac{36 \div(-12)}{-24 \div(-12)}=\frac{-3}{2} $

(ii) ३ आणि १५ चा मसावि ३ आहे.

म्हणून, $\frac{-3}{-15}=\frac{-3 \div(-2)}{-15 \div(-3)}=\frac{1}{5}$

हे करून पहा

खालीलचे मानक रूप शोधा:

(i) $\frac{-18}{45}$

(ii) $\frac{-12}{18}$

८.७ परिमेय संख्यांची तुलना

दोन पूर्णांक किंवा दोन अपूर्णांकांची तुलना कशी करायची आणि त्यापैकी कोणता लहान किंवा कोणता मोठा आहे हे सांगायचे हे आपल्याला माहित आहे. दोन परिमेय संख्यांची तुलना आपण आता कशी करू शकतो ते पाहू.

• दोन धन परिमेय संख्या, जसे $\frac{2}{3}$ आणि $\frac{5}{7}$ यांची तुलना अपूर्णांकांच्या बाबतीत आधी शिकल्याप्रमाणे करता येते.
• मेरीने संख्या रेषा वापरून दोन ऋण परिमेय संख्या $-\frac{1}{2}$ आणि $-\frac{1}{5}$ यांची तुलना केली. तिला माहित होते की जो पूर्णांक दुसऱ्या पूर्णांकाच्या उजव्या बाजूला असेल तो मोठा पूर्णांक असेल.

उदाहरणार्थ, संख्या रेषेवर ५ हा २ च्या उजव्या बाजूला आहे आणि $5>2$. संख्या रेषेवर -२ हा -५ च्या उजव्या बाजूला आहे आणि $-2>-5$.

तिने परिमेय संख्यांसाठीही ही पद्धत वापरली. परिमेय संख्या संख्या रेषेवर कशा चिन्हांकित करायच्या हे तिला माहित होते. तिने $-\frac{1}{2}$ आणि $-\frac{1}{5}$ खालीलप्रमाणे चिन्हांकित केले:

तिने हे दोन बिंदू योग्यरित्या चिन्हांकित केले आहेत का? तिने $-\frac{1}{2}$ ला $-\frac{5}{10}$ मध्ये आणि $-\frac{1}{5}$ ला $-\frac{2}{10}$ मध्ये कसे आणि का रूपांतरित केले? तिला असे आढळले की $-\frac{1}{5}$ हा $-\frac{1}{2}$ च्या उजव्या बाजूला आहे. अशाप्रकारे, $-\frac{1}{5}>-\frac{1}{2}$ किंवा $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$. तुम्ही $-\frac{3}{4}$ आणि $-\frac{2}{3} ?-\frac{1}{3}$ आणि $-\frac{1}{5}$ यांची तुलना करू शकता का?

अपूर्णांकांच्या अभ्यासावरून आपल्याला माहित आहे की $\frac{1}{5}<\frac{1}{2}$. आणि मेरीला $-\frac{1}{2}$ आणि $-\frac{1}{5}$ साठी काय मिळाले? ते नक्कीच उलट नव्हते का?

तुम्हाला असे आढळेल की, $\frac{1}{2}>\frac{1}{5}$ पण $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$.

$-\frac{3}{4},-\frac{2}{3}$ आणि $-\frac{1}{3},-\frac{1}{5}$ साठी तुम्हाला तेच आढळते का?

मेरीला आठवले की पूर्णांकांच्या अभ्यासात तिने $4>3$ पण $-4<-3,5>2$ पण $-5<-2$ इत्यादी पाहिले होते.

• ऋण परिमेय संख्यांच्या जोड्यांची परिस्थिती समान आहे. दोन ऋण परिमेय संख्यांची तुलना करण्यासाठी, आपण त्यांची ऋण चिन्हे दुर्लक्षित करून तुलना करतो आणि नंतर क्रम उलटा करतो.

उदाहरणार्थ, $-\frac{7}{5}$ आणि $-\frac{5}{3}$ यांची तुलना करण्यासाठी, आपण प्रथम $\frac{7}{5}$ आणि $\frac{5}{3}$ यांची तुलना करतो.

आपल्याला $\frac{7}{5}<\frac{5}{3}$ मिळते आणि निष्कर्ष काढतो की $\frac{-7}{5}>\frac{-5}{3}$.

अशा आणखी पाच जोड्या घ्या आणि त्यांची तुलना करा.

$-\frac{3}{8}$ किंवा $-\frac{2}{7} ? ;-\frac{4}{3}$ किंवा $-\frac{3}{2}$ यापैकी कोणती मोठी आहे?

• ऋण आणि धन परिमेय संख्येची तुलना स्पष्ट आहे. ऋण परिमेय संख्या शून्याच्या डावीकडे असते तर धन परिमेय संख्या संख्या रेषेवर शून्याच्या उजवीकडे असते. म्हणून, ऋण परिमेय संख्या नेहमीच धन परिमेय संख्येपेक्षा लहान असेल.

अशाप्रकारे, $-\frac{2}{7}<\frac{1}{2}$.

• परिमेय संख्या $\frac{-3}{-5}$ आणि $\frac{-2}{-7}$ यांची तुलना करण्यासाठी त्यांना त्यांच्या मानक रूपात आणा आणि नंतर त्यांची तुलना करा.

उदाहरण ३ $\frac{4}{-9}$ आणि $\frac{-16}{36}$ हे समान परिमेय संख्या दर्शवतात का?

उपाय

होय, कारण $\frac{4}{-9}=\frac{4 \times(-4)}{9 \times(-4)}=\frac{-16}{36}$ किंवा $\frac{-16}{36}=\frac{-16+-4}{35 \div-4}=\frac{-4}{-9}$.

८.८ दोन परिमेय संख्यांमधील परिमेय संख्या

रेशमाला ३ आणि १० मधील पूर्ण संख्या मोजायच्या होत्या. तिच्या आधीच्या वर्गांमधून, तिला माहित होते की ३ आणि १० मध्ये नक्कीच ६ पूर्ण संख्या असतील. त्याचप्रमाणे, तिला -३ आणि ३ मधील एकूण पूर्णांकांची संख्या जाणून घ्यायची होती. -३ आणि ३ मधील पूर्णांक $-2,-1,0,1,2$ आहेत. अशाप्रकारे, -३ आणि ३ मध्ये नक्कीच ५ पूर्णांक आहेत.

-३ आणि -२ मध्ये काही पूर्णांक आहेत का? नाही, -३ आणि -२ मध्ये कोणताही पूर्णांक नाही. दोन सलग पूर्णांकांमध्ये पूर्णांकांची संख्या ० असते.

अशाप्रकारे, आपल्याला असे आढळते की दोन पूर्णांकांमधील पूर्णांकांची संख्या मर्यादित (सांत) असते.

परिमेय संख्यांच्या बाबतीतही असेच होईल का?

रेशमाने दोन परिमेय संख्या $\frac{-3}{5}$ आणि $\frac{-1}{3}$ घेतल्या.

तिने त्यांना समान छेद असलेल्या परिमेय संख्यांमध्ये रूपांतरित केले.

म्हणून

$ \frac{-3}{5}=\frac{-9}{15} \text{ आणि } \frac{-1}{3}=\frac{-5}{15} $

आपल्याकडे $\quad \frac{-9}{15}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-5}{15}$ किंवा $\frac{-3}{5}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3}$ आहे

तिला $\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}$ ह्या परिमेय संख्या $\frac{-3}{5}$ आणि $\frac{-1}{3}$ यांच्यामध्ये सापडल्या.

$\frac{-8}{15}, \frac{-7}{15}, \frac{-6}{15}$ ह्या संख्या $-\frac{3}{5}$ आणि $-\frac{1}{3}$ यांच्यामध्ये असलेल्या एकमेव परिमेय संख्या आहेत का?

आपल्याकडे $\quad \frac{-3}{5}<\frac{-18}{30}$ आणि $\frac{-8}{15}<\frac{-16}{30}$ आहेत

आणि

म्हणून

$ \frac{-18}{30}<\frac{-17}{30}<\frac{-16}{30} \text{. म्हणजेच, } \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15} $

$ \frac{-3}{5}<\frac{-17}{30}<\frac{-8}{15}<\frac{-7}{15}<\frac{-6}{15}<\frac{-1}{3} $

म्हणून, आपल्याला $\frac{-3}{5}$ आणि $\frac{-1}{3}$ यांच्यामध्ये आणखी एक परिमेय संख्या सापडली.

ही पद्धत वापरून, तुम्ही दोन भिन्न परिमेय संख्यांमध्ये इच्छित तितक्या परिमेय संख्या घालू शकता.

हे करून पहा

$\frac{-5}{7}$ आणि $\frac{-3}{8}$ यांच्यामध्ये पाच परिमेय संख्या शोधा. उदाहरणार्थ, $\quad \frac{-3}{5}=\frac{-3 \times 30}{5 \times 30}=\frac{-90}{150}$ आणि $\frac{-1}{3}=\frac{-1 \times 50}{3 \times 50}=\frac{-50}{150}$

आपल्याला ३९ परिमेय संख्या $(\frac{-89}{150}, \ldots, \frac{-51}{150})$ $\frac{-90}{150}$ आणि $\frac{-50}{150}$ यांच्यामध्ये मिळतात म्हणजेच $\frac{-3}{5}$ आणि $\frac{-1}{3}$ यांच्यामध्ये. तुम्हाला असे आढळेल की यादी अंतहीन आहे.

तुम्ही $\frac{-5}{3}$ आणि $\frac{-8}{7}$ यांच्यामध्ये पाच परिमेय संख्यांची यादी करू शकता का?

कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांमध्ये अमर्यादित संख्येने परिमेय संख्या असतात.

उदाहरण ४ -२ आणि -१ यांच्यामध्ये तीन परिमेय संख्यांची यादी करा.

उपाय

-१ आणि -२ ला छेद ५ असलेल्या परिमेय संख्या म्हणून लिहू. (का?)

आपल्याकडे, $-1=\frac{-5}{5}$ आणि $-2=\frac{-10}{5}$ आहेत

म्हणून, $\quad \frac{-10}{5}<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<\frac{-5}{5}$ किंवा $-2<\frac{-9}{5}<\frac{-8}{5}<\frac{-7}{5}<\frac{-6}{5}<-1$

-२ आणि -१ यांच्यामध्ये तीन परिमेय संख्या असतील, $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}$

(तुम्ही $\frac{-9}{5}, \frac{-8}{5}, \frac{-7}{5}, \frac{-6}{5}$ यापैकी कोणत्याही तीन घेऊ शकता)

उदाहरण ५ खालील नमुन्यात आणखी चार संख्या लिहा:

$ \frac{-1}{3}, \frac{-2}{6}, \frac{-3}{9}, \frac{-4}{12}, \ldots $

उपाय

आपल्याकडे,

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{6}=\frac{-1 \times 2}{3 \times 2}, \frac{-3}{9}=\frac{-1 \times 3}{3 \times 3}, \frac{-4}{12}=\frac{-1 \times 4}{3 \times 4} \\ & \frac{-1 \times 1}{3 \times 1}=\frac{-1}{3}, \frac{-1 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-2}{6}, \frac{-1 \times 3}{3 \times 3}=\frac{-3}{9}, \frac