8.1 పరిచయం

మీరు మీ చుట్టూ ఉన్న వస్తువులను లెక్కించడం ద్వారా సంఖ్యల అధ్యయనాన్ని ప్రారంభించారు. ఈ ప్రయోజనం కోసం ఉపయోగించిన సంఖ్యలను లెక్కింపు సంఖ్యలు లేదా సహజ సంఖ్యలు అని పిలిచారు. అవి $1,2,3,4, \ldots$. సహజ సంఖ్యలకు 0ని చేర్చడం ద్వారా, మనకు పూర్ణ సంఖ్యలు లభించాయి, అనగా $0,1,2,3, \ldots$. సహజ సంఖ్యల ఋణాత్మకాలను అప్పుడు పూర్ణ సంఖ్యలతో కలిపి పూర్ణాంకాలను తయారు చేశారు. పూర్ణాంకాలు $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots$. అందువలన, మనం సంఖ్యా వ్యవస్థను సహజ సంఖ్యల నుండి పూర్ణ సంఖ్యలకు మరియు పూర్ణ సంఖ్యల నుండి పూర్ణాంకాలకు విస్తరించాము.

మీరు భిన్నాలతో కూడా పరిచయం పొందారు. ఇవి $\frac{\text{ numerator }}{\text{ denominator }}$ రూపంలోని సంఖ్యలు, ఇక్కడ లవం 0 లేదా ధన పూర్ణాంకం మరియు హారం, ఒక ధన పూర్ణాంకం. మీరు రెండు భిన్నాలను పోల్చారు, వాటి సమాన రూపాలను కనుగొన్నారు మరియు వాటిపై సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు భాగహారం అనే నాలుగు ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను అధ్యయనం చేశారు.

ఈ అధ్యాయంలో, మనం సంఖ్యా వ్యవస్థను మరింత విస్తరిస్తాము. మేము అకరణీయ సంఖ్యల భావనను వాటి సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు భాగహారం కార్యకలాపాలతో పాటు పరిచయం చేస్తాము.

8.2 అకరణీయ సంఖ్యల అవసరం

ముందుగా, సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న వ్యతిరేక పరిస్థితులను సూచించడానికి పూర్ణాంకాలను ఎలా ఉపయోగించవచ్చో మనం చూశాము. ఉదాహరణకు, ఒక స్థలం యొక్క $3 km$ కుడి వైపున ఉన్న దూరాన్ని 3 ద్వారా సూచిస్తే, అదే స్థలం యొక్క $5 km$ ఎడమ వైపున ఉన్న దూరాన్ని -5 ద్వారా సూచించవచ్చు. ₹ 150 లాభాన్ని 150 ద్వారా సూచిస్తే, ₹ 100 నష్టాన్ని -100 గా వ్రాయవచ్చు.

పై పరిస్థితులకు సమానమైన అనేక పరిస్థితులు ఉన్నాయి, అవి భిన్న సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి. మీరు సముద్ర మట్టానికి $750 m$ పైన ఉన్న దూరాన్ని $\frac{3}{4} km$గా సూచించవచ్చు. మనం సముద్ర మట్టానికి $750 m$ క్రింద ఉన్న దూరాన్ని $km$లో సూచించగలమా? సముద్ర మట్టానికి $\frac{3}{4} km$ క్రింద ఉన్న దూరాన్ని $\frac{-3}{4}$ ద్వారా సూచించగలమా? మనం చూడగలిగినట్లుగా $\frac{-3}{4}$ ఒక పూర్ణాంకం కాదు, భిన్న సంఖ్య కాదు. అటువంటి సంఖ్యలను చేర్చడానికి మన సంఖ్యా వ్యవస్థను విస్తరించాల్సిన అవసరం ఉంది.

8.3 అకరణీయ సంఖ్యలు అంటే ఏమిటి?

‘అకరణీయ’ అనే పదం ‘నిష్పత్తి’ అనే పదం నుండి ఉద్భవించింది. 3:2 వంటి నిష్పత్తిని $\frac{3}{2}$గా కూడా వ్రాయవచ్చని మీకు తెలుసు. ఇక్కడ, 3 మరియు 2 సహజ సంఖ్యలు.

అదేవిధంగా, రెండు పూర్ణాంకాల $p$ మరియు $q(q \neq 0)$ యొక్క నిష్పత్తి, అనగా $p: q$ని $\frac{p}{q}$ రూపంలో వ్రాయవచ్చు. ఇది అకరణీయ సంఖ్యలు వ్యక్తీకరించబడే రూపం.

ఒక సంఖ్యను $\frac{p}{q}$ రూపంలో వ్యక్తీకరించగలిగితే, దానిని అకరణీయ సంఖ్య అంటారు, ఇక్కడ $p$ మరియు $q$ పూర్ణాంకాలు మరియు $q \neq 0$.

అందువలన, $\frac{4}{5}$ ఒక అకరణీయ సంఖ్య. ఇక్కడ, $p=4$ మరియు $q=5$.

$\frac{-3}{4}$ కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్యా? అవును, ఎందుకంటే $p=-3$ మరియు $q=4$ పూర్ణాంకాలు.

• మీరు $\frac{3}{8}, \frac{4}{8}, 1 \frac{2}{3}$ వంటి అనేక భిన్నాలను చూశారు. అన్ని భిన్నాలు అకరణీయ సంఖ్యలు. మీరు ఎందుకు అని చెప్పగలరా?

0.5, 2.3 మొదలైన దశాంశ సంఖ్యలు ఎలా ఉంటాయి? అటువంటి ప్రతి సంఖ్యను సాధారణ భిన్నంగా వ్రాయవచ్చు మరియు అందువలన, అవి అకరణీయ సంఖ్యలు. ఉదాహరణకు, $0.5=\frac{5}{10}$, $0.333=\frac{333}{1000}$ మొదలైనవి.

ఇవి చేయండి

1. $\frac{2}{-3}$ సంఖ్య అకరణీయమా? దాని గురించి ఆలోచించండి.

2. పది అకరణీయ సంఖ్యలను జాబితా చేయండి.

లవం మరియు హారం

$\frac{p}{q}$లో, పూర్ణాంకం $p$ లవం, మరియు పూర్ణాంకం $q(\neq 0)$ హారం.

అందువలన, $\frac{-3}{7}$లో, లవం -3 మరియు హారం 7.

ఐదు అకరణీయ సంఖ్యలను పేర్కొనండి, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి

(ఎ) లవం ఒక ఋణ పూర్ణాంకం మరియు హారం ఒక ధన పూర్ణాంకం.

(బి) లవం ఒక ధన పూర్ణాంకం మరియు హారం ఒక ఋణ పూర్ణాంకం.

(సి) లవం మరియు హారం రెండూ ఋణ పూర్ణాంకాలు.

(డి) లవం మరియు హారం రెండూ ధన పూర్ణాంకాలు.

• పూర్ణాంకాలు కూడా అకరణీయ సంఖ్యలా?

ఏదైనా పూర్ణాంకాన్ని ఒక అకరణీయ సంఖ్యగా భావించవచ్చు. ఉదాహరణకు, పూర్ణాంకం -5 ఒక అకరణీయ సంఖ్య, ఎందుకంటే మీరు దానిని $\frac{-5}{1}$గా వ్రాయవచ్చు. పూర్ణాంకం 0ని కూడా $0=\frac{0}{2}$ లేదా $\frac{0}{7}$ మొదలైనవిగా వ్రాయవచ్చు. అందువలన, ఇది కూడా ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

అందువలన, అకరణీయ సంఖ్యలలో పూర్ణాంకాలు మరియు భిన్నాలు ఉంటాయి.

సమాన అకరణీయ సంఖ్యలు

ఒక అకరణీయ సంఖ్యను వేర్వేరు లవాలు మరియు హారాలతో వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, అకరణీయ సంఖ్య $\frac{-2}{3}$ని పరిగణించండి.

$ \begin{aligned} & \frac{-2}{3}=\frac{-2 \times 2}{3 \times 2}=\frac{-4}{6} \text{. మేము చూస్తాము } \frac{-2}{3} \text{ అనేది } \frac{-4}{6} \text{ తో సమానం } \\ & \frac{-2}{3}=\frac{(-2) \times(-5)}{3 \times(-5)}=\frac{10}{-15} . \text{ కాబట్టి, } \frac{-2}{3} \text{ కూడా } \frac{10}{-15} \text{ తో సమానం } \end{aligned} $

అందువలన, $\frac{-2}{3}=\frac{-4}{6}=\frac{10}{-15}$. ఒకదానికొకటి సమానమైన అటువంటి అకరణీయ సంఖ్యలు ఒకదానికొకటి సమానమైనవి అని చెప్పబడతాయి.

$ \text{ మళ్ళీ, } \quad \frac{10}{-15}=\frac{-10}{15} \text{ (ఎలా?) } $

ఇవి చేయండి

బాక్సులను పూరించండి:

(i) $\frac{5}{4}=\frac{\square}{16}=\frac{25}{\square}=\frac{-15}{\square}$

(ii) $\frac{-3}{7}=\frac{\square}{14}=\frac{9}{\square}=\frac{-6}{\square}$

ఒక అకరణీయ సంఖ్య యొక్క లవం మరియు హారాన్ని ఒకే సున్నా కాని పూర్ణాంకంతో గుణించడం ద్వారా, మనం ఇచ్చిన అకరణీయ సంఖ్యకు సమానమైన మరొక అకరణీయ సంఖ్యను పొందుతాము. ఇది సమాన భిన్నాలను పొందడం వలెనే ఉంటుంది.

గుణకారం వలెనే, లవం మరియు హారాన్ని ఒకే సున్నా కాని పూర్ణాంకంతో భాగించడం కూడా సమాన అకరణీయ సంఖ్యలను ఇస్తుంది. ఉదాహరణకు,

$ \begin{gathered} \frac{10}{-15}=\frac{10 \div(-5)}{-15 \div(-5)}=\frac{-2}{3}, \quad \frac{-12}{24}=\frac{-12 \div 12}{24 \div 12}=\frac{-1}{2} \\ \text{ మేము } \frac{-2}{3} \text{ ను }-\frac{2}{3} \text{ గా, } \frac{-10}{15} \text{ ను }-\frac{10}{15} \text{ గా, మొదలైనవిగా వ్రాస్తాము. } \end{gathered} $

8.4 ధన మరియు ఋణ అకరణీయ సంఖ్యలు

అకరణీయ సంఖ్య $\frac{2}{3}$ని పరిగణించండి. ఈ సంఖ్య యొక్క లవం మరియు హారం రెండూ ధన పూర్ణాంకాలు. అటువంటి అకరణీయ సంఖ్యను ధన అకరణీయ సంఖ్య అంటారు. కాబట్టి, $\frac{3}{8}, \frac{5}{7}, \frac{2}{9}$

ఇవి చేయండి

1. 5 ఒక ధన అకరణీయ సంఖ్యా?

2. ఐదు ధన అకరణీయ సంఖ్యలను జాబితా చేయండి. మొదలైనవి ధన అకరణీయ సంఖ్యలు.

$\frac{-3}{5}$ యొక్క లవం ఒక ఋణ పూర్ణాంకం, అయితే హారం ఒక ధన పూర్ణాంకం. అటువంటి అకరణీయ సంఖ్యను ఋణ అకరణీయ సంఖ్య అంటారు. కాబట్టి, $\frac{-5}{7}, \frac{-3}{8}, \frac{-9}{5}$ మొదలైనవి ఋణ అకరణీయ సంఖ్యలు.

• $\frac{8}{-3}$ ఒక ఋణ అకరణీయ సంఖ్యా? మనకు తెలుసు $\frac{8}{-3}=\frac{8 \times-1}{-3 \times-1}=\frac{-8}{3}$, మరియు $\frac{-8}{3}$ ఒక ఋణ అకరణీయ సంఖ్య. కాబట్టి, $\frac{8}{-3}$ ఒక ఋణ అకరణీయ సంఖ్య.

అదేవిధంగా, $\frac{5}{-7}, \frac{6}{-5}, \frac{2}{-9}$ మొదలైనవి అన్నీ ఋణ అకరణీయ సంఖ్యలు. వాటి లవాలు ధనాత్మకంగా మరియు వాటి హారాలు ఋణాత్మకంగా ఉన్నాయని గమనించండి.

• సంఖ్య 0 ఒక ధన అకరణీయ సంఖ్య కాదు లేదా ఋణ అకరణీయ సంఖ్య కాదు.
• $\frac{-3}{-5}$ గురించి ఏమిటి?

మీరు చూస్తారు $\frac{-3}{-5}=\frac{-3 \times(-1)}{-5 \times(-1)}=\frac{3}{5}$. కాబట్టి, $\frac{-3}{-5}$ ఒక ధన అకరణీయ సంఖ్య. అందువలన, $\frac{-2}{-5}, \frac{-5}{-3}$ మొదలైనవి ధన అకరణీయ సంఖ్యలు.

ఇవి చేయండి

ఈ వాటిలో ఏవి ఋణ అకరణీయ సంఖ్యలు?

(i) $\frac{-2}{3}$

(ii) $\frac{5}{7}$

(iii) $\frac{3}{-5}$

(iv) 0

(v) $\frac{6}{11}$

(vi) $\frac{-2}{-9}$

8.5 సంఖ్యా రేఖపై అకరణీయ సంఖ్యలు

సంఖ్యా రేఖపై పూర్ణాంకాలను ఎలా సూచించాలో మీకు తెలుసు. అటువంటి ఒక సంఖ్యా రేఖను గీయండి.

0 కి కుడి వైపున ఉన్న బిందువులు + గుర్తుతో సూచించబడతాయి మరియు ధన పూర్ణాంకాలు. 0 కి ఎడమ వైపున ఉన్న బిందువులు - గుర్తుతో సూచించబడతాయి మరియు ఋణ పూర్ణాంకాలు.

సంఖ్యా రేఖపై భిన్నాల ప్రాతినిధ్యం కూడా మీకు తెలుసు.

సంఖ్యా రేఖపై అకరణీయ సంఖ్యలను ఎలా సూచించవచ్చో చూద్దాం.

సంఖ్య $-\frac{1}{2}$ని సంఖ్యా రేఖపై సూచించండి.

ధన పూర్ణాంకాల విషయంలో చేసినట్లుగా, ధన అకరణీయ సంఖ్యలు 0 కి కుడి వైపున మరియు ఋణ అకరణీయ సంఖ్యలు 0 కి ఎడమ వైపున గుర్తించబడతాయి.

0 యొక్క ఏ వైపుకు మీరు $-\frac{1}{2}$ని గుర్తించాలి? ఋణ అకరణీయ సంఖ్యగా ఉండడం వలన, అది 0 కి ఎడమ వైపున గుర్తించబడుతుంది.

సంఖ్యా రేఖపై పూర్ణాంకాలను గుర్తించేటప్పుడు, వరుస పూర్ణాంకాలు సమాన అంతరాలలో గుర్తించబడతాయని మీకు తెలుసు. అలాగే, 0 నుండి, జత 1 మరియు -1 సమాన దూరంలో ఉంటాయి. జతలు 2 మరియు $-2,3$ మరియు -3 కూడా అలానే ఉంటాయి.

అదే విధంగా, అకరణీయ సంఖ్యలు $\frac{1}{2}$ మరియు $-\frac{1}{2}$ 0 నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి. అకరణీయ సంఖ్య $\frac{1}{2}$ని ఎలా గుర్తించాలో మనకు తెలుసు. ఇది 0 మరియు 1 మధ్య సగం దూరంలో ఉన్న బిందువు వద్ద గుర్తించబడుతుంది. కాబట్టి, $-\frac{1}{2}$ 0 మరియు -1 మధ్య సగం దూరంలో ఉన్న బిందువు వద్ద గుర్తించబడుతుంది.

సంఖ్యా రేఖపై $\frac{3}{2}$ని ఎలా గుర్తించాలో మనకు తెలుసు. ఇది 0 కి కుడి వైపున గుర్తించబడుతుంది మరియు 1 మరియు 2 మధ్య సగం దూరంలో ఉంటుంది. ఇప్పుడు $\frac{-3}{2}$ని సంఖ్యా రేఖపై గుర్తించండి. ఇది 0 కి ఎడమ వైపున ఉంటుంది మరియు $\frac{3}{2}$ 0 నుండి ఉన్న దూరంతో సమాన దూరంలో ఉంటుంది.

తగ్గుతున్న క్రమంలో, మనకు ఉంది, $\frac{-1}{2}, \frac{-2}{2}(=-1), \frac{-3}{2}, \frac{-4}{2}(=-2)$. ఇది $\frac{-3}{2}$ -1 మరియు -2 మధ్య ఉందని చూపిస్తుంది. అందువలన, $\frac{-3}{2}$ -1 మరియు -2 మధ్య సగం దూరంలో ఉంటుంది.

అదేవిధంగా, $-\frac{1}{3}$ సున్నా కి ఎడమ వైపున ఉంటుంది మరియు $\frac{1}{3}$ కుడి వైపున ఉన్న దూరంతో సమాన దూరంలో సున్నా నుండి ఉంటుంది. కాబట్టి పైన చేసినట్లుగా, $-\frac{1}{3}$ని సంఖ్యా రేఖపై సూచించవచ్చు. ఒకసారి సంఖ్యా రేఖపై $-\frac{1}{3}$ని ఎలా సూచించాలో తెలుసుకున్న తర్వాత, మనం $-\frac{2}{3},-\frac{4}{3},-\frac{5}{3}$ మొదలైనవాటిని సూచించడం కొనసాగించవచ్చు.

8.6 ప్రామాణిక రూపంలో అకరణీయ సంఖ్యలు

అకరణీయ సంఖ్యలను $\frac{3}{5}, \frac{-5}{8}, \frac{2}{7}, \frac{-7}{11}$ గమనించండి.

ఈ అకరణీయ సంఖ్యల హారాలు ధన పూర్ణాంకాలు మరియు లవాలు మరియు హారాల మధ్య 1 మాత్రమే సామాన్య కారణాంకం. ఇంకా, ఋణ గుర్తు లవంలో మాత్రమే కనిపిస్తుంది.

అటువంటి అకరణీయ సంఖ్యలు ప్రామాణిక రూపంలో ఉన్నాయని చెప్పబడుతుంది.

ఒక అకరణీయ సంఖ్య యొక్క హారం ఒక ధన పూర్ణాంకం అయితే మరియు లవం మరియు హారానికి 1 తప్ప ఇతర సామాన్య కారణాంకం లేకుంటే, అది ప్రామాణిక రూపంలో ఉందని చెప్పబడుతుంది.

ఒక అకరణీయ సంఖ్య ప్రామాణిక రూపంలో లేకపోతే, అది ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించబడుతుంది.

భిన్నాలను వాటి అత్యల్ప రూపాలకు తగ్గించడానికి, మేము భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారాన్ని ఒకే సున్నా కాని ధన పూర్ణాంకంతో భాగించామని గుర్తుంచుకోండి. అకరణీయ సంఖ్యలను వాటి ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించడానికి మేము అదే పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము.

ఉదాహరణ 1 $\frac{-45}{30}$ని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించండి.

పరిష్కారం

మనకు ఉంది, $\frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 3}{30 \div 3}=\frac{-15}{10}=\frac{-15 \div 5}{10 \div 5}=\frac{-3}{2}$

మేము రెండుసార్లు భాగించవలసి వచ్చింది. మొదటిసారి 3 తో మరియు తర్వాత 5 తో. ఇది ఇలా కూడా చేయవచ్చు

$ \frac{-45}{30}=\frac{-45 \div 15}{30 \div 15}=\frac{-3}{2} $

ఈ ఉదాహరణలో, 45 మరియు 30 ల యొక్క గ.సా.భా 15 అని గమనించండి.

అందువలన, అకరణీయ సంఖ్యను దాని ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించడానికి, మనం దాని లవం మరియు హారాన్ని వాటి గ.సా.భా తో భాగిస్తాము, ఋణ గుర్తును విస్మరిస్తాము, ఏదైనా ఉంటే. (ఋణ గుర్తును విస్మరించడానికి కారణం ఉన్నత తరగతులలో అధ్యయనం చేయబడుతుంది)

హారంలో ఋణ గుర్తు ఉంటే, ‘$-HCF$’ తో భాగించండి.

ఉదాహరణ 2 ప్రామాణిక రూపానికి తగ్గించండి:

(i) $\frac{36}{-24}$

(ii) $\frac{-3}{-15}$

పరిష్కారం

(i) 36 మరియు 24 ల యొక్క గ.సా.భా 12.

అందువలన, దాని ప్రామాణిక రూపం -12 తో భాగించడం ద్వారా లభిస్తుంది.

$ \frac{36}{-24}=\frac{36 \div(-12)}{-24 \div(-12)}=\frac{-3}{2} $

(ii) 3 మరియు 15 ల యొక్క గ.సా.భా 3.

అందువలన, $\frac{-3}{-15}=\frac{-3 \div(-2)}{-15 \div(-3)}=\frac{1}{5}$

ఇవి చేయండి

ప్రామాణిక రూపాన్ని కనుగొనండి

(i) $\frac{-18}{45}$

(ii) $\frac{-12}{18}$

8.7 అకరణీయ సంఖ్యల పోలిక

రెండు పూర్ణాంకాలు లేదా రెండు భిన్నాలను ఎలా పోల్చాలో మరియు వాటిలో ఏది చిన్నది లేదా ఏది పెద్దది అని చెప్పాలో మనకు తెలుసు. ఇప్పుడు రెండు అకరణీయ సంఖ్యలను ఎలా పోల్చవచ్చో చూద్దాం.

• రెండు ధన అకరణీయ సంఖ్యలు, $\frac{2}{3}$ మరియు $\frac{5}{7}$ వంటివి, భిన్నాల విషయంలో ముందుగా అధ్యయనం చేసినట్లుగా పోల్చవచ్చు.
• మేరీ రెండు ఋణ అకరణీయ సంఖ్యలను $-\frac{1}{2}$ మరియు $-\frac{1}{5}$ సంఖ్యా రేఖను ఉపయోగించి పోల్చింది. ఇతర పూర్ణాంకం కుడి వైపున ఉన్న పూర్ణాంకం, పెద్ద పూర్ణాంకం అని ఆమెకు తెలుసు.

ఉదాహరణకు, 5 సంఖ్యా రేఖపై 2 కి కుడి వైపున ఉంటుంది మరియు $5>2$. పూర్ణాంకం -2 సంఖ్యా రేఖపై -5 కి కుడి వైపున ఉంటుంది మరియు $-2>-5$.

ఆమె అకరణీయ సంఖ్యల కోసం కూడా ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించింది. సంఖ్యా రేఖపై అకరణీయ సంఖ్యలను ఎలా గుర్తించాలో ఆమెకు తెలుసు. ఆమె $-\frac{1}{2}$ మరియు $-\frac{1}{5}$ను ఈ క్రింది విధంగా గుర్తించింది:

ఆమె రెండు బిందువులను సరిగ్గా గుర్తించిందా? ఆమె $-\frac{1}{2}$ని $-\frac{5}{10}$గా మరియు $-\frac{1}{5}$ని $-\frac{2}{10}$గా ఎలా మరియు ఎందుకు మార్చింది? ఆమె కనుగొన్నది $-\frac{1}{5}$ $-\frac{1}{2}$ కి కుడి వైపున ఉంది. అందువలన, $-\frac{1}{5}>-\frac{1}{2}$ లేదా $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$. మీరు $-\frac{3}{4}$ మరియు $-\frac{2}{3} ?-\frac{1}{3}$ మరియు $-\frac{1}{5}$ని పోల్చగలరా?

భిన్నాలపై మన అధ్యయనం నుండి మనకు తెలుసు $\frac{1}{5}<\frac{1}{2}$. మరియు మేరీ $-\frac{1}{2}$ మరియు $-\frac{1}{5}$ కోసం ఏమి పొందింది? ఇది సరిగ్గా వ్యతిరేకం కాదా?

మీరు కనుగొంటారు, $\frac{1}{2}>\frac{1}{5}$ కానీ $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{5}$.

$-\frac{3}{4},-\frac{2}{3}$ మరియు $-\frac{1}{3},-\frac{1}{5}$ కోసం కూడా మీరు అదే గమనించారా?

మేరీ గుర్తుంచుకుంది పూర్ణాంకాలలో ఆమె అధ్యయనం చేసింది $4>3$ కానీ $-4<-3,5>2$ కానీ $-5<-2$ మొదలైనవి.

• ఋణ అకరణీయ సంఖ్యల జతల విషయం కూడా ఇదే. రెండు ఋణ అకరణీయ సంఖ్యలను పోల్చడానికి, మేము వాటి ఋణ గుర్తులను విస్మరించి పోల్చి, తర్వాత క్రమాన్ని తిరగగొడతాము.

ఉదాహరణకు, $-\frac{7}{5}$ మరియు $-\frac{5}{3}$ని పోల్చడానికి, మేము మొదట $\frac{7}{5}$ మరియు $\frac{5}{3}$ని పోల్చండి.

మనకు లభిస్తుంది $\frac{7}{5}<\frac{5}{3}$ మరియు నిర్ధారణకు వస్తాము $\frac{-7}{5}>\frac{-5}{3}$.

అటువంటి ఐదు జతలను తీసుకుని వాటిని పోల్చండి.

ఏది పెద్దది $-\frac{3}{8}$ లేదా $-\frac{2}{7} ? ;-\frac{4}{3}$ లేదా $-\frac{3}{2}$ ?

• ఋణ మరియు ధన అకరణీయ సంఖ్యల పోలిక స్పష్టంగా ఉంటుంది. ఋణ అ