১.১ ভূমিকা

আপোনাৰ আগৰ শ্ৰেণীবোৰত, আপুনি সংখ্যাৰেখাৰ বিষয়ে আৰু ইয়াত বিভিন্ন প্ৰকাৰৰ সংখ্যা কেনেকৈ প্ৰতিনিধিত্ব কৰিব পাৰি সেই বিষয়ে শিকিছে (চিত্ৰ ১.১ চাওক)।

চিত্ৰ ১.১ : সংখ্যাৰেখা

কল্পনা কৰক যে আপুনি শূন্যৰ পৰা আৰম্ভ কৰি ধনাত্মক দিশত এই সংখ্যাৰেখাৰ বাবে খোজ কাঢ়ি গৈ আছে। আপোনাৰ চকুৱে যিমানলৈকে দেখিব পাৰে, সিমানলৈকে সংখ্যা, সংখ্যা আৰু সংখ্যাহে আছে!

চিত্ৰ ১.২

এতিয়া ধৰি লওক আপুনি সংখ্যাৰেখাৰ বাবে খোজ কাঢ়িবলৈ আৰম্ভ কৰিছে, আৰু কিছুমান সংখ্যা সংগ্ৰহ কৰি আছে। সাঁচি থবলৈ এটা বেগ সাজু কৰক!

আপুনি কেৱল স্বাভাৱিক সংখ্যা যেনে ১,২,৩ আদি বাছনি কৰি আৰম্ভ কৰিব পাৰে। আপুনি জানে যে এই তালিকাটো অনন্তলৈকে চলি থাকে। (ই কিয় সত্য?) গতিকে, এতিয়া আপোনাৰ বেগত অসীম সংখ্যক স্বাভাৱিক সংখ্যা আছে! মনত পেলাওক যে আমি এই সংগ্ৰহক $\mathbf{N}$ চিহ্নৰে সূচাওঁ।

এতিয়া ঘূৰি গৈ সম্পূৰ্ণ পথটো উভতি আহক, শূন্য বাছনি কৰি বেগটোত ভৰাই দিয়ক। আপোনাৰ হাতত এতিয়া পূৰ্ণ সংখ্যাৰ সংগ্ৰহ আছে যাক $\mathbf{W}$ চিহ্নৰে সূচোৱা হয়।

এতিয়া, আপোনাৰ সন্মুখত বহুতো, বহুতো ঋণাত্মক পূৰ্ণাংক বিস্তৃত হৈ আছে। সকলো ঋণাত্মক পূৰ্ণাংক আপোনাৰ বেগত ভৰাই দিয়ক। আপোনাৰ নতুন সংগ্ৰহটো কি? মনত পেলাওক যে ই হৈছে সকলো পূৰ্ণাংকৰ সংগ্ৰহ, আৰু ইয়াক $\mathbf{Z}$ চিহ্নৰে সূচোৱা হয়।

ৰেখাত আৰু কিছুমান সংখ্যা বাকী আছে নেকি? নিশ্চয়! $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$, বা আনকি $\frac{-2005}{2006}$ৰ দৰে সংখ্যাবোৰ আছে। যদি আপুনি তেনে সকলো সংখ্যাও বেগটোত ভৰাই দিয়ে, তেন্তে ই এতিয়া পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংগ্ৰহ হ’ব।

পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংগ্ৰহক $\mathbf{Q}$ৰে সূচোৱা হয়। ‘Rational’ শব্দটো ‘ratio’ শব্দৰ পৰা আহিছে, আৰু ‘Q’ শব্দটো ‘quotient’ৰ পৰা আহিছে।

আপুনি পৰিমেয় সংখ্যাৰ সংজ্ঞাটো মনত পেলাব পাৰে:

এটা সংখ্যা ‘$r$‘ক পৰিমেয় সংখ্যা বুলি কোৱা হয়, যদি ইয়াক $\frac{p}{q}$ ৰূপত লিখিব পাৰি, য’ত $p$ আৰু $q$ হৈছে পূৰ্ণাংক আৰু $q \neq 0$। (আমি কিয় $q \neq 0$ বুলি জোৰ দিওঁ?)

মন কৰক যে বেগত থকা সকলো সংখ্যাক এতিয়া $\frac{p}{q}$ ৰূপত লিখিব পাৰি, য’ত $p$ আৰু $q$ হৈছে পূৰ্ণাংক আৰু $q \neq 0$। উদাহৰণস্বৰূপে, -25 ক $\frac{-25}{1}$ হিচাপে লিখিব পাৰি; ইয়াত $p=-25$ আৰু $q=1$। গতিকে, পৰিমেয় সংখ্যাবোৰত স্বাভাৱিক সংখ্যা, পূৰ্ণ সংখ্যা আৰু পূৰ্ণাংকবোৰো অন্তৰ্ভুক্ত হয়। আপুনি ইয়াও জানে যে পৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ $\frac{p}{q}$ ৰূপত একক প্ৰতিনিধিত্ব নাথাকে, য’ত $p$ আৰু $q$ হৈছে পূৰ্ণাংক আৰু $q \neq 0$। উদাহৰণস্বৰূপে, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}$ $=\frac{47}{94}$, ইত্যাদি। এইবোৰ সমতুল্য পৰিমেয় সংখ্যা (বা ভগ্নাংশ)। কিন্তু, যেতিয়া আমি কওঁ যে $\frac{p}{q}$ এটা পৰিমেয় সংখ্যা, বা যেতিয়া আমি $\frac{p}{q}$ক সংখ্যাৰেখাত প্ৰতিনিধিত্ব কৰোঁ, আমি ধৰি লওঁ যে $q \neq 0$ আৰু $p$ আৰু $q$ৰ ১ৰ বাহিৰে সাধাৰণ উৎপাদক নাই (অৰ্থাৎ, $p$ আৰু $q$ সহ-মৌলিক)। গতিকে, সংখ্যাৰেখাত, $\frac{1}{2}$ৰ সমতুল্য অসীম সংখ্যক ভগ্নাংশৰ মাজত, আমি সকলোকে প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ $\frac{1}{2}$ বাছনি কৰিম।

এতিয়া, আগৰ শ্ৰেণীবোৰত আপুনি অধ্যয়ন কৰা বিভিন্ন প্ৰকাৰৰ সংখ্যাৰ বিষয়ে কিছুমান উদাহৰণ সমাধান কৰোঁ আহক।

উদাহৰণ ১ : তলৰ উক্তিবোৰ সত্য নে অসত্য? আপোনাৰ উত্তৰৰ কাৰণ দিয়ক।

(i) প্ৰতিটো পূৰ্ণ সংখ্যা এটা স্বাভাৱিক সংখ্যা।

(ii) প্ৰতিটো পূৰ্ণাংক এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

(iii) প্ৰতিটো পৰিমেয় সংখ্যা এটা পূৰ্ণাংক।

সমাধান : (i) অসত্য, কাৰণ শূন্য এটা পূৰ্ণ সংখ্যা কিন্তু স্বাভাৱিক সংখ্যা নহয়।

(ii) সত্য, কাৰণ প্ৰতিটো পূৰ্ণাংক $m$ক $\frac{m}{1}$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, আৰু সেয়েহে ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা। (iii) অসত্য, কাৰণ $\frac{3}{5}$ এটা পূৰ্ণাংক নহয়।

উদাহৰণ ২ : ১ আৰু ২ৰ মাজত পাঁচটা পৰিমেয় সংখ্যা উলিয়াওক।

আমি এই সমস্যাটো অন্ততঃ দুটা উপায়েৰে সমাধান কৰিব পাৰোঁ।

সমাধান ১ : মনত পেলাওক যে $r$ আৰু $s$ৰ মাজত এটা পৰিমেয় সংখ্যা উলিয়াবলৈ, আপুনি $r$ আৰু $s$ যোগ কৰি যোগফলটোক ২ৰে হৰণ কৰিব পাৰে, অৰ্থাৎ $\frac{r+s}{2}$য়ে $r$ আৰু $s$ৰ মাজত থাকে। গতিকে, $\frac{3}{2}$ হৈছে ১ আৰু ২ৰ মাজত থকা এটা সংখ্যা। আপুনি ১ আৰু ২ৰ মাজত আৰু চাৰিটা পৰিমেয় সংখ্যা উলিয়াবলৈ এই ধৰণেৰে আগবাঢ়িব পাৰে। এই চাৰিটা সংখ্যা হৈছে $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$ আৰু $\frac{7}{4}$।

সমাধান ২ : আনটো বিকল্প হ’ল এটা পদক্ষেপতে পাঁচটা পৰিমেয় সংখ্যা উলিওৱা। আমি পাঁচটা সংখ্যা বিচাৰি থকাৰ বাবে, আমি ১ আৰু ২ক হৰ $5+1$ৰ সৈতে পৰিমেয় সংখ্যা হিচাপে লিখোঁ, অৰ্থাৎ $1=\frac{6}{6}$ আৰু $2=\frac{12}{6}$। তেতিয়া আপুনি পৰীক্ষা কৰিব পাৰে যে $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ আৰু $\frac{11}{6}$বোৰ ১ আৰু ২ৰ মাজত থকা পৰিমেয় সংখ্যা। গতিকে, পাঁচটা সংখ্যা হৈছে $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ আৰু $\frac{11}{6}$।

টোকা: মন কৰক যে উদাহৰণ ২ত, আপোনাক ১ আৰু ২ৰ মাজত পাঁচটা পৰিমেয় সংখ্যা উলিয়াবলৈ কোৱা হৈছিল। কিন্তু, আপুনি নিশ্চয় উপলব্ধি কৰিছে যে প্ৰকৃততে ১ আৰু ২ৰ মাজত অসীম সংখ্যক পৰিমেয় সংখ্যা আছে। সাধাৰণতে, যিকোনো দুটা দিয়া পৰিমেয় সংখ্যাৰ মাজত অসীম সংখ্যক পৰিমেয় সংখ্যা থাকে। আকৌ এবাৰ সংখ্যাৰেখালৈ চাওঁ আহক। আপুনি সকলো সংখ্যা বাছনি কৰি উঠিছে নেকি? নাই, এতিয়াও নহয়। প্ৰকৃত কথা হ’ল যে সংখ্যাৰেখাত আৰু অসীম সংখ্যক সংখ্যা বাকী আছে! আপুনি বাছনি কৰা সংখ্যাবোৰৰ স্থানবোৰৰ মাজত খালি ঠাই আছে, আৰু মাত্ৰ এটা বা দুটা নহয় কিন্তু অসীম সংখ্যক। আচৰিত কথাটো হ’ল যে এই খালিবোৰৰ যিকোনো দুটাৰ মাজতো অসীম সংখ্যক সংখ্যা আছে!

গতিকে আমি তলৰ প্ৰশ্নবোৰৰ সৈতে বাকী থাকিলোঁ:

১. সংখ্যাৰেখাত বাকী থকা সংখ্যাবোৰক কি বুলি কোৱা হয়?

২. আমি সিহঁতক কেনেকৈ চিনাক্ত কৰিম? অৰ্থাৎ, আমি সিহঁতক পৰিমেয়বোৰৰ (পৰিমেয় সংখ্যা) পৰা কেনেকৈ পৃথক কৰিম?

এই প্ৰশ্নবোৰৰ উত্তৰ পৰৱৰ্তী বিভাগত দিয়া হ’ব।

১.২ অপৰিমেয় সংখ্যা

আমি আগৰ বিভাগত দেখিছিলোঁ যে সংখ্যাৰেখাত এনে সংখ্যা থাকিব পাৰে যিবোৰ পৰিমেয় নহয়। এই বিভাগত, আমি এই সংখ্যাবোৰৰ অনুসন্ধান কৰিবলৈ ওলাইছোঁ। এতিয়ালৈকে, আপুনি লগ পোৱা সকলো সংখ্যা $\frac{p}{q}$ ৰূপৰ, য’ত $p$ আৰু $q$ হৈছে পূৰ্ণাংক আৰু $q \neq 0$। গতিকে, আপুনি সুধিব পাৰে: এই ৰূপৰ নোহোৱা সংখ্যা আছে নেকি? নিশ্চয় এনে সংখ্যা আছে।

গ্ৰীচৰ পাইথাগোৰিয়ানসকল, বিখ্যাত গণিতজ্ঞ আৰু দাৰ্শনিক পাইথাগোৰাছৰ অনুগামী, প্ৰথমে সেই সংখ্যাবোৰ আৱিষ্কাৰ কৰিছিল যিবোৰ পৰিমেয় নাছিল, প্ৰায় $400 \mathrm{BC}$ত। এই সংখ্যাবোৰক অপৰিমেয় সংখ্যা (irrationals) বুলি কোৱা হয়, কাৰণ ইহঁতক পূৰ্ণাংকৰ অনুপাতৰ ৰূপত লিখিব নোৱাৰি। পাইথাগোৰিয়ান, ক্ৰটনৰ হিপাকাছৰ দ্বাৰা অপৰিমেয় সংখ্যাৰ আৱিষ্কাৰৰ চাৰিওফালে বহুতো কিংবদন্তি আছে। সকলো কিংবদন্তিত, হিপাকাছৰ এটা দুৰ্ভাগ্যজনক শেষ হৈছে, হয় $\sqrt{2}$ অপৰিমেয় বুলি আৱিষ্কাৰ কৰাৰ বাবে বা $\sqrt{2}$ৰ বিষয়ে গোপন পাইথাগোৰিয়ান সম্প্ৰদায়ৰ বাহিৰৰ লোকলৈ গোপন কথা প্ৰকাশ কৰাৰ বাবে!

পাইথাগোৰাছ

(৫৬৯ খ্ৰীষ্টপূৰ্ব - ৪৭৯ খ্ৰীষ্টপূৰ্ব)

চিত্ৰ ১.৩

আমি এই সংখ্যাবোৰ আনুষ্ঠানিকভাৱে সংজ্ঞায়িত কৰোঁ আহক।

এটা সংখ্যা ‘$\mathrm{s}$‘ক অপৰিমেয় বুলি কোৱা হয়, যদি ইয়াক $\frac{p}{q}$ ৰূপত লিখিব নোৱাৰি, য’ত $p$ আৰু $q$ হৈছে পূৰ্ণাংক আৰু $q \neq 0$।

আপুনি ইতিমধ্যে জানে যে অসীম সংখ্যক পৰিমেয় আছে। দেখা গৈছে যে অসীম সংখ্যক অপৰিমেয় সংখ্যাও আছে। কিছুমান উদাহৰণ হ’ল:

$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, 0.10110111011110 \ldots $$

টোকা : মনত পেলাওক যে যেতিয়া আমি $\sqrt{ }$ চিহ্নটো ব্যৱহাৰ কৰোঁ, আমি ধৰি লওঁ যে ই সংখ্যাটোৰ ধনাত্মক বৰ্গমূল। গতিকে $\sqrt{4}=2$, যদিও ২ আৰু -২ দুয়োটা ৪ৰ বৰ্গমূল।

ওপৰত তালিকাভুক্ত কৰা কিছুমান অপৰিমেয় সংখ্যা আপোনাৰ বাবে পৰিচিত। উদাহৰণস্বৰূপে, আপুনি ইতিমধ্যে ওপৰত তালিকাভুক্ত বহুতো বৰ্গমূল আৰু $\pi$ সংখ্যাটোৰ সৈতে পৰিচিত হৈছে।

পাইথাগোৰিয়ানসকলে প্ৰমাণ কৰিছিল যে $\sqrt{2}$ অপৰিমেয়। পাছত প্ৰায় $425 \mathrm{BC}$ত, চাইৰিনৰ থিয়ডোৰাছে দেখুৱাইছিল যে $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$ আৰু $\sqrt{17}$ও অপৰিমেয়। $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ আদিৰ অপৰিমেয়তাৰ প্ৰমাণ দশম শ্ৰেণীত আলোচনা কৰা হ’ব। $\pi$ৰ ক্ষেত্ৰত, ই হাজাৰ হাজাৰ বছৰ ধৰি বিভিন্ন সংস্কৃতিলৈ জনাজাত আছিল, ইয়াক অপৰিমেয় বুলি প্ৰমাণ কৰা হৈছিল লেম্বাৰ্ট আৰু লেজেণ্ড্ৰৰ দ্বাৰা মাত্ৰ $1700 \mathrm{~s}$ৰ শেষৰ ফালে। পৰৱৰ্তী বিভাগত, আমি আলোচনা কৰিম কিয় $0.10110111011110 \ldots$ আৰু $\pi$ অপৰিমেয়।

আহক আমি আগৰ বিভাগৰ শেষত উত্থাপিত প্ৰশ্নবোৰলৈ উভতি যাওঁ। পৰিমেয় সংখ্যাৰ বেগটো মনত পেলাওক। যদি আমি এতিয়া সকলো অপৰিমেয় সংখ্যা বেগটোত ভৰাই দিওঁ, সংখ্যাৰেখাত আৰু কোনো সংখ্যা বাকী থাকিব নেকি? উত্তৰ হ’ল নাই! দেখা গৈছে যে সকলো পৰিমেয় সংখ্যা আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাৰ সংগ্ৰহ একেলগে যাক আমি বাস্তৱ সংখ্যাৰ সংগ্ৰহ বুলি কওঁ,

যাক $\mathbf{R}$ৰে সূচোৱা হয়। গতিকে, এটা বাস্তৱ সংখ্যা হয় পৰিমেয় নহয় অপৰিমেয়। সেয়েহে, আমি ক’ব পাৰোঁ যে প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যাক সংখ্যাৰেখাৰ এটা অনন্য বিন্দুৰে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা হয়। লগতে, সংখ্যাৰেখাৰ প্ৰতিটো বিন্দুৱে এটা অনন্য বাস্তৱ সংখ্যাক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে। সেয়েহে আমি সংখ্যাৰেখাক বাস্তৱ সংখ্যাৰেখা বুলি কওঁ।

আৰ. ডেডেকাইণ্ড (১৮৩১-১৯১৬)

চিত্ৰ ১.৪

১৮৭০ চনৰ দশকত দুগৰাকী জাৰ্মান গণিতজ্ঞ, কেণ্টৰ আৰু ডেডেকাইণ্ডয়ে দেখুৱাইছিল: প্ৰতিটো বাস্তৱ সংখ্যাৰ সৈতে, বাস্তৱ সংখ্যাৰেখাত এটা বিন্দু আছে, আৰু সংখ্যাৰেখাৰ প্ৰতিটো বিন্দুৰ সৈতে, এটা অনন্য বাস্তৱ সংখ্যা আছে।

জি. কেণ্টৰ (১৮৪৫-১৯১৮) চিত্ৰ ১.৫

চাওঁ আহক আমি কেনেকৈ সংখ্যাৰেখাত কিছুমান অপৰিমেয় সংখ্যা স্থানাংকিত কৰিব পাৰোঁ।

উদাহৰণ ৩ : $\sqrt{2}$ক সংখ্যাৰেখাত স্থানাংকিত কৰক।

সমাধান : গ্ৰীকসকলে কেনেকৈ $\sqrt{2}$ আৱিষ্কাৰ কৰিছিল দেখা সহজ। এটা বৰ্গ $\mathrm{OABC}$ বিবেচনা কৰক, যিৰ প্ৰতিটো বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ১ একক (চিত্ৰ ১.৬ চাওক)। তেতিয়া আপুনি পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্যৰ দ্বাৰা দেখিব পাৰে যে $\mathrm{OB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$। আমি $\sqrt{2}$ক সংখ্যাৰেখাত কেনেকৈ প্ৰতিনিধিত্ব কৰোঁ?

চিত্ৰ ১.৬ এইটো সহজ। চিত্ৰ ১.৬ক সংখ্যাৰেখালৈ স্থানান্তৰিত কৰক যাতে শীৰ্ষবিন্দু $\mathrm{O}$ শূন্যৰ সৈতে মিলি যায় (চিত্ৰ ১.৭ চাওক)।

চিত্ৰ ১.৭

আমি এতিয়াই দেখিছোঁ যে $\mathrm{OB}=\sqrt{2}$। কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ আৰু ব্যাসাৰ্ধ $\mathrm{OB}$ৰ সৈতে কম্পাছ এটা ব্যৱহাৰ কৰি, সংখ্যাৰেখাক $P$ বিন্দুত ছেদ কৰা এটা চাপ অঁকা। তেতিয়া $P$য়ে সংখ্যাৰেখাত $\sqrt{2}$ৰ সৈতে মিলে।

উদাহৰণ ৪ : $\sqrt{3}$ক সংখ্যাৰেখাত স্থানাংকিত কৰক।

সমাধান : আহক আমি চিত্ৰ ১.৭লৈ উভতি যাওঁ।

চিত্ৰ ১.৮

$\mathrm{BD}$ দৈৰ্ঘ্যৰ একক $\mathrm{OB}$ৰ লম্ব হিচাপে গঠন কৰক (চিত্ৰ ১.৮ৰ দৰে)। তেতিয়া পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি, আমি দেখোঁ যে $\mathrm{OD}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$। কম্পাছ এটা ব্যৱহাৰ কৰি, কেন্দ্ৰ $\mathrm{O}$ আৰু ব্যাসাৰ্ধ $\mathrm{OD}$ৰ সৈতে, এটা চাপ অঁকা যিয়ে সংখ্যাৰেখাক $\mathrm{Q}$ বিন্দুত ছেদ কৰে। তেতিয়া $\mathrm{Q}$য়ে $\sqrt{3}$ৰ সৈতে মিলে।

একেধৰণে, আপুনি যিকোনো ধনাত্মক পূৰ্ণাংক $n$ৰ বাবে $\sqrt{n}$ স্থানাংকিত কৰিব পাৰে, $\sqrt{n-1}$ স্থানাংকিত হোৱাৰ পিছত।

১.৩ বাস্তৱ সংখ্যা আৰু সিহঁতৰ দশমিক বিস্তৃতি

এই বিভাগত, আমি পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয় সংখ্যাবোৰ ভিন্ন দৃষ্টিকোণৰ পৰা অধ্যয়ন কৰিবলৈ ওলাইছোঁ। আমি বাস্তৱ সংখ্যাবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতিবোৰ চাম আৰু দেখিম যে আমি বিস্তৃতিবোৰ ব্যৱহাৰ কৰি পৰিমেয় আৰু অপৰিমেয়বোৰৰ মাজত পাৰ্থক্য কৰিব পাৰোঁ নেকি। আমি সিহঁতৰ দশমিক বিস্তৃতি ব্যৱহাৰ কৰি সংখ্যাৰেখাত বাস্তৱ সংখ্যাবোৰৰ প্ৰতিনিধিত্ব কেনেকৈ দৃশ্যায়িত কৰিব পাৰি তাকো ব্যাখ্যা কৰিম। পৰিমেয়বোৰ আমাৰ বাবে অধিক পৰিচিত হোৱাৰ বাবে, আহক আমি সিহঁতৰে আৰম্ভ কৰোঁ। আহক আমি তিনিটা উদাহৰণ লওঁ: $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}, \frac{1}{7}$। ভাগশেষবোৰলৈ বিশেষ গুৰুত্ব দি চাওক আৰু চাওক আপুনি কোনো নমুনা পাব পাৰে নেকি।

উদাহৰণ ৫ : $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}$ আৰু $\frac{1}{7}$ৰ দশমিক বিস্তৃতি উলিয়াওক।

সমাধান :

ভাগশেষ : $1,1,1,1,1 \ldots$ ভাজক : ৩

ভাগশেষ : $6,4,0$ ভাজক : ৮ ভাগশেষ: $3,2,6,4,5,1$, $3,2,6,4,5,1, \ldots$

ভাজক : ৭

আপুনি কি লক্ষ্য কৰিছে? আপুনি অন্ততঃ তিনিটা কথা লক্ষ্য কৰিব লাগে:

(i) ভাগশেষবোৰ হয় এটা নিৰ্দিষ্ট স্তৰৰ পিছত ০ হৈ পৰে, নহয় নিজকে পুনৰাবৃত্তি কৰিবলৈ আৰম্ভ কৰে।

(ii) ভাগশেষবোৰৰ পুনৰাবৃত্তি হোৱা শৃংখলাত প্ৰৱেশৰ সংখ্যা ভাজকতকৈ কম ($\frac{10}{3}$ত এটা সংখ্যাই নিজকে পুনৰাবৃত্তি কৰে আৰু ভাজকটো ৩, $\frac{1}{7}$ত ভাগশেষবোৰৰ পুনৰাবৃত্তি হোৱা শৃংখলাত ছটা প্ৰৱেশ ৩২৬৪৫১ আছে আৰু ৭ হৈছে ভাজক)।

(iii) যদি ভাগশেষবোৰে পুনৰাবৃত্তি কৰে, তেন্তে আমি ভাগফলত অংকবোৰৰ এটা পুনৰাবৃত্তি হোৱা খণ্ড পাম ($\frac{10}{3}, 3$ৰ বাবে ভাগফলত ৩ পুনৰাবৃত্তি হয় আৰু $\frac{1}{7}$ৰ বাবে, আমি ভাগফলত ১৪২৮৫৭ পুনৰাবৃত্তি হোৱা খণ্ড পাম)।

যদিও আমি ওপৰৰ উদাহৰণবোৰহে ব্যৱহাৰ কৰি এই নমুনাটো লক্ষ্য কৰিছোঁ, ই $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ ৰূপৰ সকলো পৰিমেয়ৰ বাবে সত্য। $p$ক $q$ৰে হৰণ কৰোঁতে, দুটা মুখ্য ঘটনা ঘটে - হয় ভাগশেষ শূন্য হৈ পৰে নহয় কেতিয়াও শূন্য নহয় আৰু আমি ভাগশেষবোৰৰ এটা পুনৰাবৃত্তি হোৱা শৃংখলা পাওঁ। আহক আমি প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰ পৃথকভাৱে চাওঁ।

ক্ষেত্ৰ (i) : ভাগশেষ শূন্য হৈ পৰে

$\frac{7}{8}$ৰ উদাহৰণত, আমি দেখিলোঁ যে কিছুমান পদক্ষেপৰ পিছত ভাগশেষ শূন্য হৈ পৰে আৰু $\frac{7}{8}=0.875$ৰ দশমিক বিস্তৃতি। আন উদাহৰণবোৰ হ’ল $\frac{1}{2}=0.5, \frac{639}{250}=2.556$। এই সকলোবোৰ ক্ষেত্ৰত, দশমিক বিস্তৃতিটো সসীম সংখ্যক পদক্ষেপৰ পিছত শেষ হয় বা সমাপ্ত হয়। আমি এনে সংখ্যাবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতিক অন্তিম বিস্তৃতি বুলি কওঁ।

ক্ষেত্ৰ (ii) : ভাগশেষ কেতিয়াও শূন্য নহয়

$\frac{10}{3}$ আৰু $\frac{1}{7}$ৰ উদাহৰণবোৰত, আমি লক্ষ্য কৰোঁ যে ভাগশেষবোৰ এটা নিৰ্দিষ্ট স্তৰৰ পিছত পুনৰাবৃত্তি হয় যিয়ে দশমিক বিস্তৃতিটোক অনন্তলৈকে চলাই নিয়ে। অন্য কথাত, আমি ভাগফলত অংকবোৰৰ এটা পুনৰাবৃত্তি হোৱা খণ্ড পাইছোঁ। আমি কওঁ যে এই বিস্তৃতিটো অসীম পুনৰাবৃত্তিমূলক। উদাহৰণস্বৰূপে, $\frac{10}{3}=3.3333 \ldots$ আৰু $\frac{1}{7}=0.142857142857142857 \ldots$

$\frac{10}{3}$ৰ ভাগফলত ৩ পুনৰাবৃত্তি হোৱাটো দেখুৱাবলৈ সাধাৰণ উপায় হ’ল ইয়াক $3 . \overline{3}$ হিচাপে লিখা। একেদৰে, যিহেতু অংকবোৰৰ ১৪২৮৫৭ খণ্ডটোৱে $\frac{1}{7}$ৰ ভাগফলত পুনৰাবৃত্তি কৰে, আমি $\frac{1}{7}$ক $0 . \overline{142857}$ হিচাপে লিখোঁ, য’ত অংকবোৰৰ ওপৰৰ ৰেখাডালে পুনৰাবৃত্তি হোৱা অংকবোৰৰ খণ্ডটো সূচায়। লগতে ৩.৫৭২৭২…ক $3.5 \overline{72}$ হিচাপে লিখিব পাৰি। গতিকে, এই সকলোবোৰ উদাহৰণে আমাক অসীম পুনৰাবৃত্তিমূলক (পুনৰাবৃত্তি হোৱা) দশমিক বিস্তৃতি দিয়ে।

এইদৰে, আমি দেখোঁ যে পৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতিৰ মাত্ৰ দুটা বিকল্প আছে: হয় সিহঁত অন্তিম নহয় অসীম পুনৰাবৃত্তিমূলক।

এতিয়া ধৰি লওক, আনহাতে, সংখ্যাৰেখাৰ ওপৰত আপোনাৰ খোজকাঢ়াৰ সময়ত, আপুনি ৩.১৪২৬৭৮ৰ দৰে সংখ্যা এটাৰ সৈতে লগ পায় যাৰ দশমিক বিস্তৃতি অন্তিম, বা $1.272727 \ldots$ৰ দৰে সংখ্যা, অৰ্থাৎ $1 . \overline{27}$, যাৰ দশমিক বিস্তৃতি অসীম পুনৰাবৃত্তিমূলক, আপুনি ইয়াক পৰিমেয় সংখ্যা বুলি সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰে নেকি? উত্তৰ হ’ল হয়!

আমি ইয়াক প্ৰমাণ নকৰোঁ কিন্তু কেইটামান উদাহৰণৰ সৈতে এই কথাটো দৰ্শাওঁ। অন্তিম বিস্তৃতিৰ ক্ষেত্ৰবোৰ সহজ।

উদাহৰণ ৬ : দেখুওৱা যে ৩.১৪২৬৭৮ এটা পৰিমেয় সংখ্যা। অন্য কথাত, ৩.১৪২৬৭৮ক $\frac{p}{q}$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰক, য’ত $p$ আৰু $q$ হৈছে পূৰ্ণাংক আৰু $q \neq 0$।

সমাধান : আমি $3.142678=\frac{3142678}{1000000}$ পাইছোঁ, আৰু সেয়েহে ই এটা পৰিমেয় সংখ্যা।

এতিয়া, আহক আমি যেতিয়া দশমিক বিস্তৃতিটো অসীম পুনৰাবৃত্তিমূলক সেই ক্ষেত্ৰটো বিবেচনা কৰোঁ।

উদাহৰণ ৭ : দেখুওৱা যে $0.3333 \ldots=0 . \overline{3}$ক $\frac{p}{q}$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত $p$ আৰু $q$ হৈছে পূৰ্ণাংক আৰু $q \neq 0$।

সমাধান : যিহেতু আমি নাজানোঁ $0 . \overline{3}$ কি, আহক আমি ইয়াক ‘$x$’ বুলি কওঁ আৰু সেয়েহে

$$ x=0.3333 \ldots $$

এতিয়া ইয়াত কৌশলটো আহে। চাওক এতিয়া,

$$ 10 x=10 \times(0.333 \ldots)=3.333 \ldots $$

$$ 3.3333 \ldots=3+x \text {, since } x=0.3333 \ldots $$

গতিকে,

$$ 10 x=3+x $$

$x$ৰ বাবে সমাধান কৰি, আমি পাওঁ

$$ 9 x=3 \text {, i.e., } x=\frac{1}{3} $$

উদাহৰণ ৮ : দেখুওৱা যে $1.272727 \ldots=1 . \overline{27}$ক $\frac{p}{q}$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত $p$ আৰু $q$ হৈছে পূৰ্ণাংক আৰু $q \neq 0$।

সমাধান : ধৰি লওক $x=1.272727 \ldots$ যিহেতু দুটা অংক পুনৰাবৃত্তি হৈছে, আমি $x$ক ১০০ৰে পূৰণ কৰোঁ

গতিকে, $$ 100 x=127.2727 \ldots $$

সেয়েহে,

$$ 100 x=126+1.272727 \ldots=126+x $$

$$100 x-x=126$, i.e., $99 x=126$$

অৰ্থাৎ, $$ x=\frac{126}{99}=\frac{14}{11} $$

আপুনি বিপৰীতটো পৰীক্ষা কৰিব পাৰে যে $\frac{14}{11}=1 . \overline{27}$।

উদাহৰণ ৯ : দেখুওৱা যে $0.2353535 \ldots=0.2 \overline{35}$ক $\frac{p}{q}$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত $p$ আৰু $q$ হৈছে পূৰ্ণাংক আৰু $q \neq 0$।

সমাধান : ধৰি লওক $x=0.2 \overline{35}$। ইয়াত, মন কৰক যে ২ পুনৰাবৃত্তি নহয়, কিন্তু ৩৫ খণ্ডটো পুনৰাবৃত্তি হয়। যিহেতু দুটা অংক পুনৰাবৃত্তি হৈছে, আমি $x$ক ১০০ৰে পূৰণ কৰোঁ

$$ \begin{aligned} 100 x & =23.53535 \ldots \\ 100 x & =23.3+0.23535 \ldots=23.3+x \\ 99 x & =23.3 \end{aligned} $$

গতিকে, সেয়েহে, অৰ্থাৎ, $$ 99 x=\frac{233}{10}, \text { which gives } x=\frac{233}{990} $$

আপুনি বিপৰীতটোও পৰীক্ষা কৰিব পাৰে যে $\frac{233}{990}=0.2 \overline{35}$

গতিকে, অসীম পুনৰাবৃত্তিমূলক দশমিক বিস্তৃতি থকা প্ৰতিটো সংখ্যাক $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পাৰি, য’ত $p$ আৰু $q$ হৈছে পূৰ্ণাংক। আহক আমি তলৰ ৰূপত আমাৰ ফলাফলবোৰ সংক্ষেপ কৰোঁ:

পৰিমেয় সংখ্যা এটাৰ দশমিক বিস্তৃতি হয় অন্তিম নহয় অসীম পুনৰাবৃত্তিমূলক। তদুপৰি, যি সংখ্যাৰ দশমিক বিস্তৃতি অন্তিম বা অসীম পুনৰাবৃত্তিমূলক সেইটো পৰিমেয়।

গতিকে, এতিয়া আমি জানো যে পৰিমেয় সংখ্যা এটাৰ দশমিক বিস্তৃতি কি হ’ব পাৰে। অপৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতিৰ বিষয়ে কি? ওপৰত উল্লেখ কৰা ধৰ্মৰ বাবে, আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰোঁ যে সিহঁতৰ দশমিক বিস্তৃতিবোৰ অসীম অপুনৰাবৃত্তিমূলক। গতিকে, অপৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ বাবে ধৰ্মটো, পৰিমেয় সংখ্যাবোৰৰ বাবে উল্লেখ কৰা ধৰ্মটোৰ সৈতে সাদৃশ্যপূৰ্ণ হ’ল

অপৰিমেয় সংখ্যা এটাৰ দশমিক বিস্তৃতি অসীম অপুনৰাবৃত্তিমূলক। তদুপৰি, যি সংখ্যাৰ দশমিক বিস্তৃতি অসীম অপুনৰাবৃত্তিমূলক সেইটো অপৰিমেয়।

আগৰ বিভাগৰ পৰা $s=0.10110111011110 \ldots$ মনত পেলাওক। মন কৰক যে ই অসীম আৰু অপুনৰাবৃত্তিমূলক। সেয়েহে, ওপৰৰ ধৰ্মৰ পৰা, ই অপৰিমেয়