1.1 परिचय

अपनी पिछली कक्षाओं में, आपने संख्या रेखा के बारे में सीखा है और उस पर विभिन्न प्रकार की संख्याओं को कैसे निरूपित किया जाता है (चित्र 1.1 देखें)।

चित्र 1.1 : संख्या रेखा

कल्पना कीजिए कि आप शून्य से शुरू करते हैं और इस संख्या रेखा पर धनात्मक दिशा में चलते जाते हैं। जहाँ तक आपकी आँखें देख सकती हैं, वहाँ संख्याएँ, संख्याएँ और संख्याएँ हैं!

चित्र 1.2

अब मान लीजिए कि आप संख्या रेखा के साथ चलना शुरू करते हैं, और कुछ संख्याएँ इकट्ठा करते हैं। उन्हें संग्रहीत करने के लिए एक थैला तैयार कर लीजिए!

आप शायद केवल प्राकृतिक संख्याएँ जैसे 1,2,3, इत्यादि उठाना शुरू करें। आप जानते हैं कि यह सूची अनंत तक चलती है। (यह क्यों सत्य है?) तो, अब आपके थैले में अनंत प्राकृतिक संख्याएँ हैं! याद रखिए कि हम इस संग्रह को प्रतीक $\mathbf{N}$ से निरूपित करते हैं।

अब पीछे मुड़िए और वापस पूरे रास्ते चलिए, शून्य को उठाइए और थैले में डाल दीजिए। अब आपके पास पूर्ण संख्याओं का संग्रह है जिसे प्रतीक $\mathbf{W}$ से निरूपित किया जाता है।

अब, आपके सामने बहुत सारी ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएँ फैली हुई हैं। सभी ऋणात्मक पूर्णांकों को अपने थैले में डाल दीजिए। आपका नया संग्रह क्या है? याद रखिए कि यह सभी पूर्णांकों का संग्रह है, और इसे प्रतीक $\mathbf{Z}$ से निरूपित किया जाता है।

क्या रेखा पर कुछ संख्याएँ अभी भी बची हैं? बिल्कुल! $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$, या $\frac{-2005}{2006}$ जैसी संख्याएँ हैं। यदि आप ऐसी सभी संख्याओं को भी थैले में डाल देंगे, तो अब यह परिमेय संख्याओं का संग्रह होगा।

परिमेय संख्याओं के संग्रह को $\mathbf{Q}$ से निरूपित किया जाता है। ‘Rational’ शब्द ‘ratio’ से आया है, और Q शब्द ‘quotient’ से आया है।

आपको परिमेय संख्याओं की परिभाषा याद हो सकती है:

एक संख्या ‘$r$’ परिमेय संख्या कहलाती है, यदि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$। (हम $q \neq 0$ पर जोर क्यों देते हैं?)

ध्यान दीजिए कि अब थैले में मौजूद सभी संख्याओं को $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$। उदाहरण के लिए, -25 को $\frac{-25}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है; यहाँ $p=-25$ और $q=1$। इसलिए, परिमेय संख्याओं में प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक भी शामिल हैं। आप यह भी जानते हैं कि परिमेय संख्याओं का $\frac{p}{q}$ के रूप में अद्वितीय निरूपण नहीं होता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$। उदाहरण के लिए, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}$ $=\frac{47}{94}$, इत्यादि। ये तुल्य परिमेय संख्याएँ (या भिन्न) हैं। हालाँकि, जब हम कहते हैं कि $\frac{p}{q}$ एक परिमेय संख्या है, या जब हम $\frac{p}{q}$ को संख्या रेखा पर निरूपित करते हैं, तो हम मान लेते हैं कि $q \neq 0$ और $p$ और $q$ में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हैं (अर्थात, $p$ और $q$ सह-अभाज्य हैं)। तो, संख्या रेखा पर, $\frac{1}{2}$ के तुल्य अनंत भिन्नों में से, हम उन सभी को निरूपित करने के लिए $\frac{1}{2}$ चुनेंगे।

अब, आइए कुछ उदाहरणों को हल करें जो विभिन्न प्रकार की संख्याओं के बारे में हैं, जिनका आपने पिछली कक्षाओं में अध्ययन किया है।

उदाहरण 1 : निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य? अपने उत्तरों के कारण दीजिए।

(i) प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है।

(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होती है।

(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्णांक होती है।

हल : (i) असत्य, क्योंकि शून्य एक पूर्ण संख्या है लेकिन प्राकृतिक संख्या नहीं है।

(ii) सत्य, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक $m$ को $\frac{m}{1}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और इसलिए यह एक परिमेय संख्या है। (iii) असत्य, क्योंकि $\frac{3}{5}$ एक पूर्णांक नहीं है।

उदाहरण 2 : 1 और 2 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हम इस समस्या को कम से कम दो तरीकों से हल कर सकते हैं।

हल 1 : याद रखिए कि $r$ और $s$ के बीच एक परिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए, आप $r$ और $s$ को जोड़ सकते हैं और योग को 2 से विभाजित कर सकते हैं, अर्थात $\frac{r+s}{2}$, $r$ और $s$ के बीच स्थित है। तो, $\frac{3}{2}$, 1 और 2 के बीच एक संख्या है। आप 1 और 2 के बीच चार और परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने के लिए इसी तरह आगे बढ़ सकते हैं। ये चार संख्याएँ $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$ और $\frac{7}{4}$ हैं।

हल 2 : दूसरा विकल्प सभी पाँच परिमेय संख्याओं को एक ही चरण में ज्ञात करना है। चूँकि हमें पाँच संख्याएँ चाहिए, हम 1 और 2 को हर $5+1$ वाली परिमेय संख्याओं के रूप में लिखते हैं, अर्थात, $1=\frac{6}{6}$ और $2=\frac{12}{6}$। फिर आप जाँच सकते हैं कि $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ और $\frac{11}{6}$ सभी 1 और 2 के बीच की परिमेय संख्याएँ हैं। तो, पाँच संख्याएँ $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ और $\frac{11}{6}$ हैं।

टिप्पणी: ध्यान दीजिए कि उदाहरण 2 में, आपसे 1 और 2 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करने को कहा गया था। लेकिन, आपको अहसास हो गया होगा कि वास्तव में 1 और 2 के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ हैं। सामान्यतः, किन्हीं दो दी गई परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं। आइए फिर से संख्या रेखा पर एक नज़र डालें। क्या आपने सभी संख्याएँ उठा ली हैं? अभी नहीं। तथ्य यह है कि संख्या रेखा पर बहुत सारी, अनंत संख्याएँ बची हैं! आपके द्वारा उठाई गई संख्याओं के स्थानों के बीच अंतराल हैं, और केवल एक या दो नहीं बल्कि अनंत। आश्चर्यजनक बात यह है कि इनमें से किन्हीं दो अंतरालों के बीच भी अनंत संख्याएँ स्थित हैं!

इसलिए हमारे सामने निम्नलिखित प्रश्न हैं:

1. उन संख्याओं को क्या कहा जाता है, जो संख्या रेखा पर बची हैं?

2. हम उन्हें कैसे पहचानें? अर्थात, हम उन्हें परिमेय संख्याओं से कैसे अलग करें?

इन प्रश्नों के उत्तर अगले भाग में दिए जाएँगे।

1.2 अपरिमेय संख्याएँ

हमने पिछले भाग में देखा कि संख्या रेखा पर ऐसी संख्याएँ हो सकती हैं जो परिमेय नहीं हैं। इस भाग में, हम इन संख्याओं की जाँच करने जा रहे हैं। अब तक, आपके सामने आई सभी संख्याएँ $\frac{p}{q}$ के रूप की हैं, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$। तो, आप पूछ सकते हैं: क्या ऐसी संख्याएँ हैं जो इस रूप की नहीं हैं? वास्तव में ऐसी संख्याएँ हैं।

ग्रीस में पाइथागोरस के अनुयायी, प्रसिद्ध गणितज्ञ और दार्शनिक पाइथागोरस के अनुयायी, लगभग $400 \mathrm{BC}$ के आसपास, पहले ऐसी संख्याओं की खोज करने वाले थे जो परिमेय नहीं थीं। इन संख्याओं को अपरिमेय संख्याएँ (irrationals) कहा जाता है, क्योंकि उन्हें पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता। पाइथागोरस के अनुयायी, हिप्पाकस ऑफ क्रोटन द्वारा अपरिमेय संख्याओं की खोज के आसपास कई मिथक हैं। सभी मिथकों में, हिप्पाकस का दुर्भाग्यपूर्ण अंत होता है, या तो $\sqrt{2}$ के अपरिमेय होने की खोज के लिए या $\sqrt{2}$ के बारे में गुप्त पाइथागोरस सम्प्रदाय के बाहर के लोगों को बताने के लिए!

पाइथागोरस

(569 ईसा पूर्व - 479 ईसा पूर्व)

चित्र 1.3

आइए हम इन संख्याओं को औपचारिक रूप से परिभाषित करें।

एक संख्या ‘$\mathrm{s}$’ अपरिमेय कहलाती है, यदि इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

आप पहले से ही जानते हैं कि अनंत परिमेय संख्याएँ हैं। यह पता चलता है कि अपरिमेय संख्याएँ भी अनंत हैं। कुछ उदाहरण हैं:

$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, 0.10110111011110 \ldots $$

टिप्पणी : याद रखिए कि जब हम प्रतीक $\sqrt{ }$ का उपयोग करते हैं, तो हम मान लेते हैं कि यह संख्या का धनात्मक वर्गमूल है। तो $\sqrt{4}=2$, हालाँकि 2 और -2 दोनों 4 के वर्गमूल हैं।

ऊपर सूचीबद्ध कुछ अपरिमेय संख्याएँ आपके लिए परिचित हैं। उदाहरण के लिए, आप पहले ही ऊपर सूचीबद्ध कई वर्गमूलों और संख्या $\pi$ के साथ आ चुके हैं।

पाइथागोरस ने सिद्ध किया कि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है। बाद में लगभग $425 \mathrm{BC}$ में, थियोडोरस ऑफ साइरीन ने दिखाया कि $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$ और $\sqrt{17}$ भी अपरिमेय हैं। $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$, आदि की अपरिमेयता के प्रमाण कक्षा X में चर्चा किए जाएँगे। $\pi$ के लिए, यह हजारों वर्षों से विभिन्न संस्कृतियों को ज्ञात था, इसे लैम्बर्ट और लेजेंड्रे ने केवल $1700 \mathrm{~s}$ के अंत में अपरिमेय सिद्ध किया। अगले भाग में, हम चर्चा करेंगे कि $0.10110111011110 \ldots$ और $\pi$ अपरिमेय क्यों हैं।

आइए हम पिछले भाग के अंत में उठाए गए प्रश्नों पर वापस लौटें। परिमेय संख्याओं के थैले को याद रखिए। यदि अब हम सभी अपरिमेय संख्याओं को थैले में डाल दें, तो क्या संख्या रेखा पर कोई संख्या बची रहेगी? उत्तर है नहीं! यह पता चलता है कि सभी परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं का संग्रह मिलकर वह बनाता है जिसे हम वास्तविक संख्याओं का संग्रह कहते हैं,

जिसे $\mathbf{R}$ से निरूपित किया जाता है। इसलिए, एक वास्तविक संख्या या तो परिमेय होती है या अपरिमेय। तो, हम कह सकते हैं कि प्रत्येक वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु द्वारा निरूपित किया जाता है। साथ ही, संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक अद्वितीय वास्तविक संख्या को निरूपित करता है। इसीलिए हम संख्या रेखा को वास्तविक संख्या रेखा कहते हैं।

आर. डेडेकाइंड (1831-1916)

चित्र 1.4

1870 के दशक में दो जर्मन गणितज्ञों, कैंटर और डेडेकाइंड ने दिखाया: प्रत्येक वास्तविक संख्या के संगत, वास्तविक संख्या रेखा पर एक बिंदु होता है, और संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु के संगत, एक अद्वितीय वास्तविक संख्या मौजूद होती है।

जी. कैंटर (1845-1918) चित्र 1.5

आइए देखें कि हम संख्या रेखा पर कुछ अपरिमेय संख्याओं को कैसे स्थित कर सकते हैं।

उदाहरण 3 : संख्या रेखा पर $\sqrt{2}$ को स्थित कीजिए।

हल : यह देखना आसान है कि यूनानियों ने $\sqrt{2}$ की खोज कैसे की होगी। एक वर्ग $\mathrm{OABC}$ पर विचार कीजिए, जिसकी प्रत्येक भुजा 1 इकाई लंबाई की है (चित्र 1.6 देखें)। तब आप पाइथागोरस प्रमेय द्वारा देख सकते हैं कि $\mathrm{OB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$। हम $\sqrt{2}$ को संख्या रेखा पर कैसे निरूपित करें?

चित्र 1.6 यह आसान है। चित्र 1.6 को संख्या रेखा पर इस प्रकार स्थानांतरित कीजिए कि शीर्ष $\mathrm{O}$ शून्य के साथ संपाती हो (चित्र 1.7 देखें)।

चित्र 1.7

हमने अभी देखा है कि $\mathrm{OB}=\sqrt{2}$। केंद्र $\mathrm{O}$ और त्रिज्या $\mathrm{OB}$ वाले एक परकार का उपयोग करते हुए, एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करे। तब $P$, संख्या रेखा पर $\sqrt{2}$ के संगत है।

उदाहरण 4 : संख्या रेखा पर $\sqrt{3}$ को स्थित कीजिए।

हल : आइए हम चित्र 1.7 पर वापस लौटें।

चित्र 1.8

$\mathrm{BD}$ इकाई लंबाई का लंब रेखाखंड $\mathrm{OB}$ पर खींचिए (जैसा कि चित्र 1.8 में है)। फिर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि $\mathrm{OD}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$। केंद्र $\mathrm{O}$ और त्रिज्या $\mathrm{OD}$ वाले परकार का उपयोग करते हुए, एक चाप खींचिए जो संख्या रेखा को बिंदु $\mathrm{Q}$ पर प्रतिच्छेद करे। तब $\mathrm{Q}$, $\sqrt{3}$ के संगत है।

इसी तरह, आप किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $\sqrt{n}$ को स्थित कर सकते हैं, बशर्ते कि $\sqrt{n-1}$ पहले स्थित कर लिया गया हो।

1.3 वास्तविक संख्याएँ और उनके दशमलव प्रसार

इस भाग में, हम परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का एक अलग दृष्टिकोण से अध्ययन करने जा रहे हैं। हम वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार को देखेंगे और देखेंगे कि क्या हम परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच अंतर करने के लिए प्रसारों का उपयोग कर सकते हैं। हम यह भी समझाएँगे कि उनके दशमलव प्रसारों का उपयोग करके संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं के निरूपण को कैसे कल्पना करें। चूँकि परिमेय संख्याएँ हमारे लिए अधिक परिचित हैं, आइए उनसे शुरू करें। आइए तीन उदाहरण लें: $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}, \frac{1}{7}$। शेषफलों पर विशेष ध्यान दीजिए और देखिए कि क्या आप कोई पैटर्न पा सकते हैं।

उदाहरण 5 : $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}$ और $\frac{1}{7}$ के दशमलव प्रसार ज्ञात कीजिए।

हल :

शेषफल : $1,1,1,1,1 \ldots$ भाजक : 3

शेषफल : $6,4,0$ भाजक : 8 शेषफल: $3,2,6,4,5,1$, $3,2,6,4,5,1, \ldots$

भाजक : 7

आपने क्या देखा? आपने कम से कम तीन बातें देखी होंगी:

(i) शेषफल या तो एक निश्चित चरण के बाद 0 हो जाते हैं, या स्वयं को दोहराने लगते हैं।

(ii) शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में प्रविष्टियों की संख्या भाजक से कम होती है ($\frac{10}{3}$ में एक संख्या स्वयं को दोहराती है और भाजक 3 है, $\frac{1}{7}$ में शेषफलों की दोहराई जाने वाली श्रृंखला में छह प्रविष्टियाँ 326451 हैं और 7 भाजक है)।

(iii) यदि शेषफल दोहराते हैं, तो हमें भागफल में अंकों का एक दोहराव ब्लॉक मिलता है ($\frac{10}{3}, 3$ के लिए भागफल में 3 दोहराता है और $\frac{1}{7}$ के लिए, हमें भागफल में दोहराव ब्लॉक 142857 मिलता है)।

हालाँकि हमने केवल ऊपर दिए गए उदाहरणों का उपयोग करके इस पैटर्न को देखा है, यह $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ के रूप की सभी परिमेय संख्याओं के लिए सत्य है। $p$ को $q$ से विभाजित करने पर, दो मुख्य बातें होती हैं - या तो शेषफल शून्य हो जाता है या कभी शून्य नहीं होता है और हमें शेषफलों की एक दोहराई जाने वाली श्रृंखला मिलती है। आइए प्रत्येक स्थिति को अलग-अलग देखें।

स्थिति (i) : शेषफल शून्य हो जाता है

$\frac{7}{8}$ के उदाहरण में, हमने पाया कि शेषफल कुछ चरणों के बाद शून्य हो जाता है और $\frac{7}{8}=0.875$ का दशमलव प्रसार। अन्य उदाहरण हैं $\frac{1}{2}=0.5, \frac{639}{250}=2.556$। इन सभी स्थितियों में, दशमलव प्रसार सीमित चरणों के बाद समाप्त या खत्म हो जाता है। हम ऐसी संख्याओं के दशमलव प्रसार को सांत कहते हैं।

स्थिति (ii) : शेषफल कभी शून्य नहीं होता

$\frac{10}{3}$ और $\frac{1}{7}$ के उदाहरणों में, हम देखते हैं कि शेषफल एक निश्चित चरण के बाद दोहराने लगते हैं, जिससे दशमलव प्रसार अनंत तक चलता रहता है। दूसरे शब्दों में, हमारे पास भागफल में अंकों का एक दोहराव ब्लॉक होता है। हम कहते हैं कि यह प्रसार असांत आवर्ती है। उदाहरण के लिए, $\frac{10}{3}=3.3333 \ldots$ और $\frac{1}{7}=0.142857142857142857 \ldots$

$\frac{10}{3}$ के भागफल में 3 के दोहराव को दिखाने का सामान्य तरीका इसे $3 . \overline{3}$ के रूप में लिखना है। इसी तरह, चूँकि अंकों का ब्लॉक 142857, $\frac{1}{7}$ के भागफल में दोहराता है, हम $\frac{1}{7}$ को $0 . \overline{142857}$ के रूप में लिखते हैं, जहाँ अंकों के ऊपर बार उन अंकों के ब्लॉक को इंगित करता है जो दोहराते हैं। साथ ही 3.57272… को $3.5 \overline{72}$ के रूप में लिखा जा सकता है। तो, ये सभी उदाहरण हमें असांत आवर्ती (दोहराव) दशमलव प्रसार देते हैं।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार में केवल दो विकल्प होते हैं: या तो वे सांत होते हैं या असांत आवर्ती।

अब मान लीजिए, दूसरी ओर, संख्या रेखा पर चलते हुए, आपको 3.142678 जैसी संख्या मिलती है जिसका दशमलव प्रसार सांत है या $1.272727 \ldots$ जैसी संख्या, अर्थात $1 . \overline{27}$, जिसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है, क्या आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक परिमेय संख्या है? उत्तर है हाँ!

हम इसे सिद्ध नहीं करेंगे बल्कि कुछ उदाहरणों के साथ इस तथ्य को स्पष्ट करेंगे। सांत स्थितियाँ आसान हैं।

उदाहरण 6 : दिखाइए कि 3.142678 एक परिमेय संख्या है। दूसरे शब्दों में, 3.142678 को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

हल : हमारे पास $3.142678=\frac{3142678}{1000000}$ है, और इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

अब, आइए उस स्थिति पर विचार करें जब दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

उदाहरण 7 : दिखाइए कि $0.3333 \ldots=0 . \overline{3}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

हल : चूँकि हम नहीं जानते कि $0 . \overline{3}$ क्या है, आइए इसे ‘$x$’ कहते हैं और इसलिए

$$ x=0.3333 \ldots $$

अब यहाँ वह तरकीब आती है। देखिए अब,

$$ 10 x=10 \times(0.333 \ldots)=3.333 \ldots $$

$$ 3.3333 \ldots=3+x \text {, since } x=0.3333 \ldots $$

इसलिए,

$$ 10 x=3+x $$

$x$ के लिए हल करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ 9 x=3 \text {, i.e., } x=\frac{1}{3} $$

उदाहरण 8 : दिखाइए कि $1.272727 \ldots=1 . \overline{27}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

हल : मान लीजिए $x=1.272727 \ldots$ चूँकि दो अंक दोहरा रहे हैं, हम $x$ को 100 से गुणा करते हैं ताकि प्राप्त हो

तो, $$ 100 x=127.2727 \ldots $$

इसलिए,

$$ 100 x=126+1.272727 \ldots=126+x $$

$$100 x-x=126$, i.e., $99 x=126$$

अर्थात, $$ x=\frac{126}{99}=\frac{14}{11} $$

आप विपरीत जाँच कर सकते हैं कि $\frac{14}{11}=1 . \overline{27}$।

उदाहरण 9 : दिखाइए कि $0.2353535 \ldots=0.2 \overline{35}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

हल : मान लीजिए $x=0.2 \overline{35}$। यहाँ ध्यान दीजिए कि 2 नहीं दोहराता है, लेकिन ब्लॉक 35 दोहराता है। चूँकि दो अंक दोहरा रहे हैं, हम $x$ को 100 से गुणा करते हैं ताकि प्राप्त हो

$$ \begin{aligned} 100 x & =23.53535 \ldots \\ 100 x & =23.3+0.23535 \ldots=23.3+x \\ 99 x & =23.3 \end{aligned} $$

तो, इसलिए, अर्थात, $$ 99 x=\frac{233}{10}, \text { which gives } x=\frac{233}{990} $$

आप विपरीत जाँच भी कर सकते हैं कि $\frac{233}{990}=0.2 \overline{35}$

तो, असांत आवर्ती दशमलव प्रसार वाली प्रत्येक संख्या को $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं। आइए हम अपने परिणामों को निम्नलिखित रूप में संक्षेप में प्रस्तुत करें:

एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या असांत आवर्ती। इसके अलावा, एक संख्या जिसका दशमलव प्रसार सांत या असांत आवर्ती है, परिमेय होती है।

तो, अब हम जानते हैं कि एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार क्या हो सकता है। अपरिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार के बारे में क्या? ऊ