1.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਤੁਸੀਂ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਅਤੇ ਇਸ ਉੱਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ, ਇਸ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ (ਫਿਗ. 1.1 ਵੇਖੋ)।

ਫਿਗ. 1.1 : ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ

ਕੇਵਲ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਜ਼ੀਰੋ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਇਸ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਧਨਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਤੁਰਦੇ ਜਾ ਰਹੇ ਹੋ। ਜਿੰਨੀ ਦੂਰ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਅੱਖਾਂ ਦੇਖ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਉੱਥੇ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ!

ਫਿਗ. 1.2

ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਤੁਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਅਤੇ ਕੁਝ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਇਕੱਠੀਆਂ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਭਾਲਣ ਲਈ ਇੱਕ ਬੈਗ ਤਿਆਰ ਕਰੋ!

ਤੁਸੀਂ ਸ਼ਾਇਦ ਸਿਰਫ਼ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਿਵੇਂ 1,2,3, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਚੁਣਨ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰੋਗੇ। ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਸੂਚੀ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲਈ ਚਲਦੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। (ਇਹ ਸੱਚ ਕਿਉਂ ਹੈ?) ਇਸ ਲਈ, ਹੁਣ ਤੁਹਾਡੇ ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ! ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹ $\mathbf{N}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।

ਹੁਣ ਮੁੜੋ ਅਤੇ ਸਾਰਾ ਰਾਸਤਾ ਵਾਪਸ ਤੁਰੋ, ਜ਼ੀਰੋ ਚੁੱਕੋ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਪਾਓ। ਹੁਣ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹ $\mathbf{W}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਤੁਹਾਡੇ ਸਾਹਮਣੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (ਇੰਟੀਜ਼ਰ) ਫੈਲੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਹਨ। ਸਾਰੀਆਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਆਪਣੇ ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਪਾਓ। ਤੁਹਾਡਾ ਨਵਾਂ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਕੀ ਹੈ? ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (ਇੰਟੀਜ਼ਰ) ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹ $\mathbf{Z}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕੀ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਅਜੇ ਵੀ ਕੁਝ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਾਕੀ ਰਹਿ ਗਈਆਂ ਹਨ? ਬਿਲਕੁਲ! ਇੱਥੇ $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$, ਜਾਂ $\frac{-2005}{2006}$ ਵਰਗੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਪਾ ਦਿੱਤਾ, ਤਾਂ ਇਹ ਹੁਣ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (ਰੈਸ਼ਨਲ ਨੰਬਰ) ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੋਵੇਗਾ।

ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨੂੰ $\mathbf{Q}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ‘ਰੈਸ਼ਨਲ’ ਸ਼ਬਦ ‘ਰੇਸ਼ੀਓ’ (ਅਨੁਪਾਤ) ਤੋਂ ਆਇਆ ਹੈ, ਅਤੇ Q ਸ਼ਬਦ ‘ਕੋਸ਼ੰਟ’ (ਭਾਗਫਲ) ਤੋਂ ਆਇਆ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਯਾਦ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ:

ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ‘$r$’ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਸਨੂੰ $\frac{p}{q}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $p$ ਅਤੇ $q$ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (ਇੰਟੀਜ਼ਰ) ਹਨ ਅਤੇ $q \neq 0$। (ਅਸੀਂ $q \neq 0$ ਦੀ ਮੰਗ ਕਿਉਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ?)

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਹੁਣ ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ $\frac{p}{q}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $p$ ਅਤੇ $q$ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ $q \neq 0$। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, -25 ਨੂੰ $\frac{-25}{1}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ; ਇੱਥੇ $p=-25$ ਅਤੇ $q=1$। ਇਸ ਲਈ, ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (ਇੰਟੀਜ਼ਰ) ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ $\frac{p}{q}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਨੁਮਾਇੰਦਗੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਜਿੱਥੇ $p$ ਅਤੇ $q$ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ $q \neq 0$। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}$ $=\frac{47}{94}$, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ। ਇਹ ਸਮਾਨ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (ਜਾਂ ਭਿੰਨਾਂ) ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\frac{p}{q}$ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਜਾਂ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ $\frac{p}{q}$ ਨੂੰ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $q \neq 0$ ਅਤੇ $p$ ਅਤੇ $q$ ਦੇ 1 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਨਹੀਂ ਹਨ (ਭਾਵ, $p$ ਅਤੇ $q$ ਸਹ-ਅਭਾਜ ਹਨ)। ਇਸ ਲਈ, ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ, $\frac{1}{2}$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਅਨੰਤ ਭਿੰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ $\frac{1}{2}$ ਨੂੰ ਚੁਣਾਂਗੇ।

ਹੁਣ, ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹੱਲ ਕਰੀਏ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਾਰੇ, ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹੀਆਂ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 : ਕੀ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕਥਨ ਸੱਚ ਹਨ ਜਾਂ ਝੂਠ? ਆਪਣੇ ਉੱਤਰਾਂ ਲਈ ਕਾਰਨ ਦਿਓ।

(i) ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

(ii) ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ (ਇੰਟੀਜ਼ਰ) ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

(iii) ਹਰੇਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ (ਇੰਟੀਜ਼ਰ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਹੱਲ : (i) ਝੂਠ, ਕਿਉਂਕਿ ਜ਼ੀਰੋ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਪਰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ।

(ii) ਸੱਚ, ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ $m$ ਨੂੰ $\frac{m}{1}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। (iii) ਝੂਠ, ਕਿਉਂਕਿ $\frac{3}{5}$ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ (ਇੰਟੀਜ਼ਰ) ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 : 1 ਅਤੇ 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੰਜ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਹੱਲ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਹੱਲ 1 : ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ $r$ ਅਤੇ $s$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ $r$ ਅਤੇ $s$ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਜੋੜ ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਭਾਵ $\frac{r+s}{2}$, $r$ ਅਤੇ $s$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪਈ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $\frac{3}{2}$ 1 ਅਤੇ 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ 1 ਅਤੇ 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਚਾਰ ਹੋਰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅੱਗੇ ਵਧ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਇਹ ਚਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$ ਅਤੇ $\frac{7}{4}$ ਹਨ।

ਹੱਲ 2 : ਦੂਜਾ ਵਿਕਲਪ ਇੱਕ ਹੀ ਕਦਮ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਪੰਜ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਪੰਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ 1 ਅਤੇ 2 ਨੂੰ ਹਰ $5+1$ ਵਾਲੀਆਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਭਾਵ, $1=\frac{6}{6}$ ਅਤੇ $2=\frac{12}{6}$। ਫਿਰ ਤੁਸੀਂ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ ਅਤੇ $\frac{11}{6}$ ਸਾਰੀਆਂ 1 ਅਤੇ 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਪੰਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ ਅਤੇ $\frac{11}{6}$ ਹਨ।

ਟਿੱਪਣੀ: ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਉਦਾਹਰਣ 2 ਵਿੱਚ, ਤੁਹਾਨੂੰ 1 ਅਤੇ 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੰਜ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਪਰ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਅਹਿਸਾਸ ਹੋਇਆ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਅਸਲ ਵਿੱਚ 1 ਅਤੇ 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੰਤ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਸਾਧਾਰਣ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਦਿੱਤੀਆਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਅਨੰਤ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਓ ਫਿਰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਚੁੱਕ ਲਈਆਂ ਹਨ? ਅਜੇ ਨਹੀਂ। ਅਸਲੀਅਤ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਅਜੇ ਵੀ ਅਨੰਤ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਾਕੀ ਹਨ! ਤੁਹਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਚੁੱਕੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀਆਂ ਜਗ੍ਹਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋ ਨਹੀਂ ਬਲਕਿ ਅਨੰਤ। ਹੈਰਾਨੀ ਵਾਲੀ ਗੱਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਨ੍ਹਾਂ ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਵੀ ਅਨੰਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਈਆਂ ਹੋਈਆਂ ਹਨ!

ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਵਾਲਾਂ ਨਾਲ ਬਾਕੀ ਰਹਿ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ:

1. ਉਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਜੋ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਬਾਕੀ ਰਹਿ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਕੀ ਕਹਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ?

2. ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਪਛਾਣਦੇ ਹਾਂ? ਭਾਵ, ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਵੱਖ ਕਰਦੇ ਹਾਂ?

ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਵਾਲਾਂ ਦੇ ਜਵਾਬ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣਗੇ।

1.2 ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਸੀ ਕਿ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਉਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਪਰਿਮੇਯ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਤੱਕ, ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਤੁਸੀਂ ਸਾਹਮਣਾ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਉਹ $\frac{p}{q}$ ਦੇ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ $p$ ਅਤੇ $q$ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ $q \neq 0$। ਇਸ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਪੁੱਛ ਸਕਦੇ ਹੋ: ਕੀ ਇਸ ਰੂਪ ਦੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ? ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।

ਗ੍ਰੀਸ ਵਿੱਚ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ, ਮਸ਼ਹੂਰ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਅਤੇ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਦੇ ਅਨੁਯਾਈ, ਲਗਭਗ $400 \mathrm{BC}$ ਵਿੱਚ ਉਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਖੋਜ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਪਹਿਲੇ ਵਿਅਕਤੀ ਸਨ ਜੋ ਪਰਿਮੇਯ ਨਹੀਂ ਸਨ। ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (ਇਰ੍ਰੇਸ਼ਨਲ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਪਾਈਥਾਗੋਰੀਅਨ, ਹਿਪਾਕਸ ਆਫ ਕ੍ਰੋਟਨ ਦੁਆਰਾ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਖੋਜ ਨੂੰ ਘੇਰੇ ਹੋਏ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਿਥਿਹਾਸ ਹਨ। ਸਾਰੇ ਮਿਥਿਹਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਿਪਾਕਸ ਦਾ ਅੰਤ ਦੁਖਦਾਈ ਹੈ, ਚਾਹੇ $\sqrt{2}$ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ ਇਹ ਖੋਜਣ ਲਈ ਜਾਂ $\sqrt{2}$ ਬਾਰੇ ਗੁਪਤ ਪਾਈਥਾਗੋਰੀਅਨ ਸੰਪਰਦਾ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਦੇ ਲੋਕਾਂ ਨੂੰ ਗੁਪਤ ਭੇਦ ਦੱਸਣ ਲਈ!

ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ

(569 ਈ.ਪੂ. - 479 ਈ.ਪੂ.)

ਫਿਗ. 1.3

ਆਓ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ।

ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ‘$\mathrm{s}$’ ਨੂੰ ਅਪਰਿਮੇਯ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਸਨੂੰ $\frac{p}{q}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਜਿੱਥੇ $p$ ਅਤੇ $q$ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ $q \neq 0$।

ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਅਨੰਤ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਨੰਤ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੀ ਹਨ। ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ:

$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, 0.10110111011110 \ldots $$

ਟਿੱਪਣੀ : ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਚਿੰਨ੍ਹ $\sqrt{ }$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਧਨਾਤਮਕ ਵਰਗਮੂਲ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ $\sqrt{4}=2$, ਹਾਲਾਂਕਿ 2 ਅਤੇ -2 ਦੋਵੇਂ 4 ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ ਹਨ।

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਜਾਣੀਆਂ-ਪਛਾਣੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਵਰਗਮੂਲਾਂ ਅਤੇ ਸੰਖਿਆ $\pi$ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹੋ।

ਪਾਈਥਾਗੋਰੀਅਨਾਂ ਨੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਕਿ $\sqrt{2}$ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਲਗਭਗ $425 \mathrm{BC}$ ਵਿੱਚ, ਥੀਓਡੋਰਸ ਆਫ ਸਾਇਰੀਨ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$ ਅਤੇ $\sqrt{17}$ ਵੀ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹਨ। $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$, ਆਦਿ ਦੀ ਅਪਰਿਮੇਯਤਾ ਦੇ ਸਬੂਤਾਂ ‘ਤੇ ਕਲਾਸ X ਵਿੱਚ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ। ਜਿੱਥੇ ਤੱਕ $\pi$ ਦੀ ਗੱਲ ਹੈ, ਇਹ ਹਜ਼ਾਰਾਂ ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਭਿਆਚਾਰਾਂ ਨੂੰ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਸੀ, ਇਸਨੂੰ ਲੈਂਬਰਟ ਅਤੇ ਲੈਜੇਂਡਰੇ ਦੁਆਰਾ $1700 \mathrm{~s}$ ਦੇ ਅਖੀਰ ਵਿੱਚ ਹੀ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ $0.10110111011110 \ldots$ ਅਤੇ $\pi$ ਅਪਰਿਮੇਯ ਕਿਉਂ ਹਨ।

ਆਓ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਉਠਾਏ ਗਏ ਸਵਾਲਾਂ ‘ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਈਏ। ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਬੈਗ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖੋ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਾਰੀਆਂ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਬੈਗ ਵਿੱਚ ਪਾ ਦਿੱਤਾ, ਤਾਂ ਕੀ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ ਬਾਕੀ ਰਹਿ ਜਾਵੇਗੀ? ਇਸਦਾ ਜਵਾਬ ਨਹੀਂ ਹੈ! ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੀਆਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਮਿਲ ਕੇ ਉਹ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ,

ਜਿਸਨੂੰ $\mathbf{R}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਜਾਂ ਤਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਅਪਰਿਮੇਯ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰੇਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹੀ ਕਾਰਨ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਲਾਈਨ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।

ਆਰ. ਡੇਡੇਕਿੰਡ (1831-1916)

ਫਿਗ. 1.4

1870 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ ਦੋ ਜਰਮਨ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ, ਕੈਂਟਰ ਅਤੇ ਡੇਡੇਕਿੰਡ ਨੇ ਦਿਖਾਇਆ: ਹਰੇਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅਨੁਰੂਪ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਅਨੁਰੂਪ, ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਜੀ. ਕੈਂਟਰ (1845-1918) ਫਿਗ. 1.5

ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਕੁਝ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਣ 3 : $\sqrt{2}$ ਨੂੰ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਆਸਾਨ ਹੈ ਕਿ ਯੂਨਾਨੀਆਂ ਨੇ $\sqrt{2}$ ਦੀ ਖੋਜ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਹੋਵੇਗੀ। ਇੱਕ ਵਰਗ $\mathrm{OABC}$ ਨੂੰ ਲਓ, ਜਿਸਦੀ ਹਰੇਕ ਭੁਜਾ 1 ਇਕਾਈ ਲੰਬਾਈ ਦੀ ਹੋਵੇ (ਫਿਗ. 1.6 ਵੇਖੋ)। ਫਿਰ ਤੁਸੀਂ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $\mathrm{OB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$। ਅਸੀਂ $\sqrt{2}$ ਨੂੰ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਕਿਵੇਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ?

ਫਿਗ. 1.6 ਇਹ ਆਸਾਨ ਹੈ। ਫਿਗ. 1.6 ਨੂੰ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਤਬਦੀਲ ਕਰੋ ਕਿ ਸਿਖਰ $\mathrm{O}$ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੋਵੇ (ਫਿਗ. 1.7 ਵੇਖੋ)।

ਫਿਗ. 1.7

ਅਸੀਂ ਹੁਣੇ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ $\mathrm{OB}=\sqrt{2}$। ਕੇਂਦਰ $\mathrm{O}$ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $\mathrm{OB}$ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਕੰਪਾਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਚਾਪ ਬਣਾਓ ਜੋ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ $P$ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ $P$, ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ $\sqrt{2}$ ਦੇ ਅਨੁਰੂਪ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 4 : $\sqrt{3}$ ਨੂੰ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ਉੱਤੇ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ : ਆਓ ਫਿਗ. 1.7 ‘ਤੇ ਵਾਪਸ ਚੱਲੀਏ।

ਫਿਗ. 1.8

$\mathrm{BD}$ ਇਕਾਈ ਲੰਬਾਈ ਦਾ ਲੰਬ ਰੇਖਾਖੰਡ $\mathrm{OB}$ ‘ਤੇ ਬਣਾਓ (ਜਿਵੇਂ ਫਿਗ. 1.8 ਵਿੱਚ)। ਫਿਰ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\mathrm{OD}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$। ਕੇਂਦਰ $\mathrm{O}$ ਅਤ