१.१ परिचय

तुम्ही तुमच्या आधीच्या वर्गांमध्ये संख्यारेषेबद्दल आणि त्यावर विविध प्रकारच्या संख्या कशा दर्शवायच्या याबद्दल शिकलात (आकृती १.१ पहा).

आकृती १.१ : संख्यारेषा

कल्पना करा की तुम्ही शून्यापासून सुरुवात करून या संख्यारेषेवर धन दिशेने चालत जात आहात. तुमच्या दृष्टीपल्लडापर्यंत, तिथे संख्या, संख्या आणि संख्या आहेत!

आकृती १.२

आता समजा तुम्ही संख्यारेषेवर चालत जात आहात आणि काही संख्या गोळा करत आहात. त्या साठवण्यासाठी एक पिशवी तयार करा!

तुम्ही कदाचित फक्त नैसर्गिक संख्या जसे की १,२,३, इत्यादी गोळा करून सुरुवात कराल. तुम्हाला माहित आहे की ही यादी कायमची चालू राहणारी आहे. (हे का खरे आहे?) तर, आता तुमच्या पिशवीत अनंत नैसर्गिक संख्या आहेत! आठवा की आपण हा संग्रह $\mathbf{N}$ या चिन्हाने दर्शवतो.

आता परत वळा आणि संपूर्ण मार्ग परत चाला, शून्य उचला आणि ते पिशवीत ठेवा. आता तुमच्याकडे पूर्ण संख्यांचा संग्रह आहे जो $\mathbf{W}$ या चिन्हाने दर्शवला जातो.

आता, तुमच्या समोर पसरलेल्या अनेक, अनेक ऋण पूर्णांक आहेत. सर्व ऋण पूर्णांक तुमच्या पिशवीत ठेवा. तुमचा नवीन संग्रह काय आहे? आठवा की तो सर्व पूर्णांकांचा संग्रह आहे, आणि तो $\mathbf{Z}$ या चिन्हाने दर्शवला जातो.

रेषेवर काही संख्या शिल्लक आहेत का? नक्कीच! $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$, किंवा $\frac{-2005}{2006}$ सारख्या संख्या आहेत. जर तुम्ही अशा सर्व संन्हाही पिशवीत ठेवल्या, तर ती आता परिमेय संख्यांचा संग्रह असेल.

परिमेय संख्यांचा संग्रह $\mathbf{Q}$ ने दर्शवला जातो. ‘Rational’ हा शब्द ‘ratio’ या शब्दापासून आला आहे, आणि Q हे ‘quotient’ या शब्दापासून आले आहे.

तुम्हाला परिमेय संख्यांची व्याख्या आठवू शकते:

एक संख्या ‘$r$’ ला परिमेय संख्या म्हटले जाते, जर ती $\frac{p}{q}$ या रूपात लिहिता येते, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$. (आपण $q \neq 0$ का आग्रह धरतो?)

लक्षात घ्या की आता पिशवीतील सर्व संख्या $\frac{p}{q}$ या रूपात लिहिता येतील, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$. उदाहरणार्थ, -25 ला $\frac{-25}{1}$ असे लिहिता येते; इथे $p=-25$ आणि $q=1$. म्हणून, परिमेय संख्यांमध्ये नैसर्गिक संख्या, पूर्ण संख्या आणि पूर्णांक देखील समाविष्ट आहेत. तुम्हाला हे देखील माहित आहे की परिमेय संख्यांचे $\frac{p}{q}$ या रूपात अद्वितीय प्रतिनिधित्व नसते, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$. उदाहरणार्थ, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}$ $=\frac{47}{94}$, इत्यादी. हे समतुल्य परिमेय संख्या (किंवा अपूर्णांक) आहेत. तथापि, जेव्हा आपण म्हणतो की $\frac{p}{q}$ ही एक परिमेय संख्या आहे, किंवा जेव्हा आपण $\frac{p}{q}$ ला संख्यारेषेवर दर्शवतो, तेव्हा आपण असे गृहीत धरतो की $q \neq 0$ आणि $p$ आणि $q$ यांचे 1 व्यतिरिक्त इतर कोणतेही सामाईक अवयव नाहीत (म्हणजे, $p$ आणि $q$ हे सह-मूळ आहेत). म्हणून, संख्यारेषेवर, $\frac{1}{2}$ च्या समतुल्य असलेल्या अनंत अपूर्णांकांपैकी, आपण $\frac{1}{2}$ निवडू ते सर्व प्रतिनिधित्व करण्यासाठी.

आता, तुम्ही आधीच्या वर्गांमध्ये शिकलेल्या विविध प्रकारच्या संख्यांबद्दल काही उदाहरणे सोडवूया.

उदाहरण १ : खालील विधाने सत्य आहेत की असत्य? तुमच्या उत्तरांसाठी कारणे द्या.

(i) प्रत्येक पूर्ण संख्या ही नैसर्गिक संख्या असते.

(ii) प्रत्येक पूर्णांक ही परिमेय संख्या असते.

(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या ही पूर्णांक असते.

उकल : (i) असत्य, कारण शून्य ही एक पूर्ण संख्या आहे पण नैसर्गिक संख्या नाही.

(ii) सत्य, कारण प्रत्येक पूर्णांक $m$ ला $\frac{m}{1}$ या रूपात व्यक्त करता येतो, आणि म्हणून ती एक परिमेय संख्या आहे. (iii) असत्य, कारण $\frac{3}{5}$ हा पूर्णांक नाही.

उदाहरण २ : १ आणि २ यांच्यामध्ये पाच परिमेय संख्या शोधा.

आपण ही समस्या किमान दोन प्रकारे हाताळू शकतो.

उकल १ : आठवा की $r$ आणि $s$ यांच्यामध्ये एक परिमेय संख्या शोधण्यासाठी, तुम्ही $r$ आणि $s$ ची बेरीज करून २ ने भागू शकता, म्हणजेच $\frac{r+s}{2}$ ही संख्या $r$ आणि $s$ यांच्यामध्ये असते. तर, $\frac{3}{2}$ ही १ आणि २ यांच्यामध्ये असलेली एक संख्या आहे. तुम्ही १ आणि २ यांच्यामध्ये आणखी चार परिमेय संख्या शोधण्यासाठी याच पद्धतीने पुढे जाऊ शकता. ह्या चार संख्या $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$ आणि $\frac{7}{4}$ आहेत.

उकल २ : दुसरा पर्याय म्हणजे सर्व पाच परिमेय संख्या एकाच चरणात शोधणे. आपल्याला पाच संख्या हव्या असल्याने, आपण १ आणि २ ला $5+1$ हा छेद असलेल्या परिमेय संख्या म्हणून लिहू, म्हणजेच, $1=\frac{6}{6}$ आणि $2=\frac{12}{6}$. मग तुम्ही तपासू शकता की $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ आणि $\frac{11}{6}$ ह्या सर्व १ आणि २ यांच्यामध्ये असलेल्या परिमेय संख्या आहेत. तर, पाच संख्या $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ आणि $\frac{11}{6}$ आहेत.

टिप्पणी: लक्षात घ्या की उदाहरण २ मध्ये, तुम्हाला १ आणि २ यांच्यामध्ये पाच परिमेय संख्या शोधण्यास सांगितले होते. पण, तुमच्या लक्षात आले असेल की प्रत्यक्षात १ आणि २ यांच्यामध्ये अनंत परिमेय संख्या आहेत. सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही दोन दिलेल्या परिमेय संख्यांमध्ये अनंत परिमेय संख्या असतात. चला पुन्हा एकदा संख्यारेषेकडे पाहू. तुम्ही सर्व संख्या उचलल्या आहेत का? अजून नाही. वस्तुस्थिती अशी आहे की संख्यारेषेवर आणखी अनंत संख्या शिल्लक आहेत! तुम्ही उचललेल्या संख्यांच्या जागांमध्ये अंतर आहेत, आणि फक्त एक किंवा दोन नव्हे तर अनंत. आश्चर्याची गोष्ट अशी आहे की या अंतरांमध्येही कोणत्याही दोन अंतरांमध्ये अनंत संख्या आहेत!

तर आपण खालील प्रश्नांसह शिल्लक आहोत:

१. संख्यारेषेवर शिल्लक राहिलेल्या संख्यांना काय म्हणतात?

२. आपण त्यांना कसे ओळखू? म्हणजेच, आपण त्यांना परिमेय संख्यांपासून कसे वेगळे करू?

या प्रश्नांची उत्तरे पुढील विभागात दिली जातील.

१.२ अपरिमेय संख्या

आपण मागील विभागात पाहिले की संख्यारेषेवर अशा संख्या असू शकतात ज्या परिमेय नाहीत. या विभागात, आपण या संख्यांचा शोध घेणार आहोत. आतापर्यंत, तुम्ही ज्या सर्व संख्यांना भेटलात, त्या $\frac{p}{q}$ या रूपातील आहेत, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$. तर, तुम्ही विचारू शकता: अशा संख्या आहेत का ज्या या रूपातील नाहीत? अशा संख्या खरोखरच आहेत.

ग्रीसमधील पायथागोरसचे अनुयायी, प्रसिद्ध गणितज्ञ आणि तत्त्ववेत्ता पायथागोरसचे, सुमारे $400 \mathrm{BC}$ सुमारास अशा संख्या शोधणारे पहिले होते ज्या परिमेय नव्हत्या. या संख्यांना अपरिमेय संख्या (अपरिमेय) म्हणतात, कारण त्या पूर्णांकांच्या गुणोत्तराच्या रूपात लिहिता येत नाहीत. पायथागोरसच्या अनुयायी, क्रोटनच्या हिप्पाकस याने अपरिमेय संख्यांच्या शोधाबद्दल अनेक दंतकथा आहेत. सर्व दंतकथांमध्ये, हिप्पाकसचा दुर्दैवी शेवट होतो, एकतर $\sqrt{2}$ ही अपरिमेय आहे हे शोधल्याबद्दल किंवा $\sqrt{2}$ बद्दलचे रहस्य गुप्त पायथागोरस पंथाच्या बाहेरील लोकांना सांगितल्याबद्दल!

पायथागोरस

(५६९ इ.स.पू. - ४७९ इ.स.पू.)

आकृती १.३

चला या संख्यांची औपचारिकपणे व्याख्या करूया.

एक संख्या ‘$\mathrm{s}$’ ला अपरिमेय म्हटले जाते, जर ती $\frac{p}{q}$ या रूपात लिहिता येत नसेल, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$.

तुम्हाला आधीच माहित आहे की अनंत परिमेय संख्या आहेत. असे दिसून येते की अनंत अपरिमेय संख्या देखील आहेत. काही उदाहरणे आहेत:

$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, 0.10110111011110 \ldots $$

टिप्पणी : आठवा की जेव्हा आपण $\sqrt{ }$ हे चिन्ह वापरतो, तेव्हा आपण असे गृहीत धरतो की ती संख्येचे धन वर्गमूळ आहे. तर $\sqrt{4}=2$, जरी २ आणि -२ हे दोन्ही ४ ची वर्गमूळे आहेत.

वर सूचीबद्ध केलेल्या काही अपरिमेय संख्या तुम्हाला परिचित आहेत. उदाहरणार्थ, तुम्ही आधीच वर सूचीबद्ध केलेल्या अनेक वर्गमूळांना आणि $\pi$ या संख्येला भेटलात आहात.

पायथागोरसने सिद्ध केले की $\sqrt{2}$ ही अपरिमेय आहे. नंतर सुमारे $425 \mathrm{BC}$ मध्ये, सायरीनच्या थिओडोरसने दाखवले की $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$ आणि $\sqrt{17}$ हे देखील अपरिमेय आहेत. $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$, इत्यादींच्या अपरिमेयतेची सिद्धता दहावीच्या वर्गात चर्चा केली जाईल. $\pi$ बद्दल, ती हजारो वर्षे विविध संस्कृतिंना ज्ञात होती, ती अपरिमेय आहे हे लॅम्बर्ट आणि लेजंड्रे यांनी केवळ $1700 \mathrm{~s}$ च्या उत्तरार्धात सिद्ध केले. पुढील विभागात, आपण $0.10110111011110 \ldots$ आणि $\pi$ का अपरिमेय आहेत याची चर्चा करू.

चला मागील विभागाच्या शेवटी उपस्थित केलेल्या प्रश्नांकडे परत जाऊया. परिमेय संख्यांची पिशवी आठवा. जर आपण आता सर्व अपरिमेय संख्या पिशवीत ठेवल्या, तर संख्यारेषेवर काही संख्या शिल्लक राहतील का? उत्तर नाही आहे! असे दिसून येते की सर्व परिमेय संख्या आणि अपरिमेय संख्यांचा संग्रह मिळून आपण ज्याला वास्तव संख्यांचा संग्रह म्हणतो तो बनतो,

जो $\mathbf{R}$ ने दर्शविला जातो. म्हणून, एक वास्तव संख्या एकतर परिमेय असते किंवा अपरिमेय असते. तर, आपण असे म्हणू शकतो की प्रत्येक वास्तव संख्या संख्यारेषेवरील एका अद्वितीय बिंदूने दर्शविली जाते. तसेच, संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू एक अद्वितीय वास्तव संख्या दर्शवतो. म्हणूनच आपण संख्यारेषेला वास्तव संख्यारेषा म्हणतो.

आर. डेडेकाइंड (१८३१-१९१६)

आकृती १.४

१८७० च्या दशकात दोन जर्मन गणितज्ञ, कँटर आणि डेडेकाइंड यांनी दाखवले की: प्रत्येक वास्तव संख्येशी संबंधित, वास्तव संख्यारेषेवर एक बिंदू असतो, आणि संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदूशी संबंधित, एक अद्वितीय वास्तव संख्या अस्तित्वात असते.

जी. कँटर (१८४५-१९१८) आकृती १.५

चला पाहूया की आपण संख्यारेषेवर काही अपरिमेय संख्या कशा शोधू शकतो.

उदाहरण ३ : $\sqrt{2}$ ला संख्यारेषेवर दर्शवा.

उकल : ग्रीक लोकांनी $\sqrt{2}$ कसा शोधला असेल हे पाहणे सोपे आहे. एक चौरस $\mathrm{OABC}$ विचारात घ्या, ज्याची प्रत्येक बाजू १ एकक लांबीची आहे (आकृती १.६ पहा). मग तुम्ही पायथागोरस प्रमेयाने पाहू शकता की $\mathrm{OB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$. आपण $\sqrt{2}$ ला संख्यारेषेवर कसे दर्शवू?

आकृती १.६ हे सोपे आहे. आकृती १.६ ला संख्यारेषेवर हस्तांतरित करा, शिरोबिंदू $\mathrm{O}$ शून्याशी एकरूप होईल याची खात्री करून (आकृती १.७ पहा).

आकृती १.७

आपण नुकतेच पाहिले की $\mathrm{OB}=\sqrt{2}$. केंद्र $\mathrm{O}$ आणि त्रिज्या $\mathrm{OB}$ असलेल्या कंपासचा वापर करून, संख्यारेषेला $P$ या बिंदूवर छेदणारा एक कंस काढा. मग $P$ हा बिंदू संख्यारेषेवरील $\sqrt{2}$ शी संबंधित आहे.

उदाहरण ४ : $\sqrt{3}$ ला संख्यारेषेवर दर्शवा.

उकल : चला आकृती १.७ कडे परत जाऊया.

आकृती १.८

$\mathrm{BD}$ एकक लांबीचा $\mathrm{OB}$ ला लंब असलेला रेषाखंड तयार करा (आकृती १.८ प्रमाणे). मग पायथागोरस प्रमेय वापरून, आपण पाहतो की $\mathrm{OD}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$. केंद्र $\mathrm{O}$ आणि त्रिज्या $\mathrm{OD}$ असलेल्या कंपासचा वापर करून, एक कंस काढा जो संख्यारेषेला $\mathrm{Q}$ या बिंदूवर छेदतो. मग $\mathrm{Q}$ हा बिंदू $\sqrt{3}$ शी संबंधित आहे.

त्याच प्रकारे, $\sqrt{n-1}$ दर्शवल्यानंतर, तुम्ही कोणत्याही धन पूर्णांक $n$ साठी $\sqrt{n}$ दर्शवू शकता.

१.३ वास्तव संख्या आणि त्यांचे दशांश प्रसार

या विभागात, आपण परिमेय आणि अपरिमेय संख्यांचा वेगळ्या दृष्टिकोनातून अभ्यास करणार आहोत. आपण वास्तव संख्यांचे दशांश प्रसार पाहू आणि परिमेय आणि अपरिमेय संख्या वेगळ्या करण्यासाठी आपण प्रसार वापरू शकतो का ते पाहू. आपण त्यांचे दशांश प्रसार वापरून संख्यारेषेवर वास्तव संख्यांचे प्रतिनिधित्व कसे दृश्यमान करावे हे देखील स्पष्ट करू. परिमेय संख्या आपल्याला अधिक परिचित असल्याने, चला त्यांच्यापासून सुरुवात करूया. चला तीन उदाहरणे घेऊ: $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}, \frac{1}{7}$. बाकी क्रमांकांकडे विशेष लक्ष द्या आणि तुम्हाला काही नमुना सापडतो का ते पहा.

उदाहरण ५ : $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}$ आणि $\frac{1}{7}$ चे दशांश प्रसार शोधा.

उकल :

बाकी : $1,1,1,1,1 \ldots$ भाजक : ३

बाकी : $6,4,0$ भाजक : ८ बाकी: $3,2,6,4,5,1$, $3,2,6,4,5,1, \ldots$

भाजक : ७

तुम्ही काय लक्षात घेतले? तुम्ही किमान तीन गोष्टी लक्षात घेतल्या असाव्यात:

(i) बाकी एकतर एका विशिष्ट टप्प्यानंतर ० होतात, किंवा स्वतःची पुनरावृत्ती करू लागतात.

(ii) बाकींच्या पुनरावृत्ती होणाऱ्या साखळीतील नोंदींची संख्या भाजकापेक्षा कमी असते ($\frac{10}{3}$ मध्ये एक संख्या स्वतःची पुनरावृत्ती करते आणि भाजक ३ आहे, $\frac{1}{7}$ मध्ये बाकींच्या पुनरावृत्ती होणाऱ्या साखळीत सहा नोंदी ३२६४५१ आहेत आणि ७ हा भाजक आहे).

(iii) जर बाकीची पुनरावृत्ती होत असेल, तर भागाकारात अंकांचा एक पुनरावृत्ती होणारा ब्लॉक मिळतो ($\frac{10}{3}, 3$ साठी भागाकारात पुनरावृत्ती होते आणि $\frac{1}{7}$ साठी, आपल्याला भागाकारात १४२८५७ हा पुनरावृत्ती होणारा ब्लॉक मिळतो).

जरी आपण वरील उदाहरणे वापरून हा नमुना लक्षात घेतला असला तरी, $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ या रूपाच्या सर्व परिमेय संख्यांसाठी हे खरे आहे. $p$ ला $q$ ने भागल्यावर, दोन मुख्य गोष्टी घडतात - एकतर बाकी शून्य होते किंवा कधीही शून्य होत नाही आणि आपल्याला बाकींची पुनरावृत्ती होणारी साखळी मिळते. चला प्रत्येक केस स्वतंत्रपणे पाहूया.

केस (i) : बाकी शून्य होते

$\frac{7}{8}$ च्या उदाहरणात, आपल्याला आढळले की काही पायऱ्यांनंतर बाकी शून्य होते आणि $\frac{7}{8}=0.875$ चे दशांश प्रसार. इतर उदाहरणे आहेत $\frac{1}{2}=0.5, \frac{639}{250}=2.556$. या सर्व प्रकरणांमध्ये, दशांश प्रसार मर्यादित पायऱ्यांनंतर संपतो किंवा समाप्त होतो. आपण अशा संख्यांच्या दशांश प्रसाराला मर्यादित म्हणतो.

केस (ii) : बाकी कधीही शून्य होत नाही

$\frac{10}{3}$ आणि $\frac{1}{7}$ च्या उदाहरणांमध्ये, आपण पाहतो की बाकी एका विशिष्ट टप्प्यानंतर पुनरावृत्ती होतात ज्यामुळे दशांश प्रसार कायमचा चालू राहतो. दुसऱ्या शब्दांत, भागाकारात अंकांचा एक पुनरावृत्ती होणारा ब्लॉक असतो. आपण म्हणतो की हा प्रसार अमर्यादित आवर्ती आहे. उदाहरणार्थ, $\frac{10}{3}=3.3333 \ldots$ आणि $\frac{1}{7}=0.142857142857142857 \ldots$

$\frac{10}{3}$ च्या भागाकारात ३ ची पुनरावृत्ती होत आहे हे दर्शवण्याचा नेहमीचा मार्ग म्हणजे ते $3 . \overline{3}$ असे लिहिणे. त्याचप्रमाणे, $\frac{1}{7}$ च्या भागाकारात १४२८५७ अंकांच्या ब्लॉकची पुनरावृत्ती होत असल्याने, आपण $\frac{1}{7}$ ला $0 . \overline{142857}$ असे लिहितो, जिथे अंकांवरील पट्टी त्या अंकांच्या ब्लॉकची पुनरावृत्ती दर्शवते. तसेच ३.५७२७२… ला $3.5 \overline{72}$ असे लिहिता येते. तर, ही सर्व उदाहरणे आपल्याला अमर्यादित आवर्ती (पुनरावृत्ती होणारी) दशांश प्रसार देतात.

अशाप्रकारे, आपण पाहतो की परिमेय संख्यांच्या दशांश प्रसारात फक्त दोन पर्याय असतात: एकतर ते मर्यादित असतात किंवा अमर्यादित आवर्ती असतात.

आता समजा, दुसरीकडे, संख्यारेषेवर चालताना, तुम्हाला ३.१४२६७८ सारख्या संख्येला भेटता येते ज्याचा दशांश प्रसार मर्यादित आहे किंवा $1.272727 \ldots$ सारख्या संख्येला, म्हणजेच, $1 . \overline{27}$, ज्याचा दशांश प्रसार अमर्यादित आवर्ती आहे, तर तुम्ही असा निष्कर्ष काढू शकता की ती एक परिमेय संख्या आहे? उत्तर होय आहे!

आपण ते सिद्ध करणार नाही पण काही उदाहरणांसह ही वस्तुस्थिती स्पष्ट करू. मर्यादित प्रकरणे सोपी आहेत.

उदाहरण ६ : दाखवा की ३.१४२६७८ ही एक परिमेय संख्या आहे. दुसऱ्या शब्दांत, ३.१४२६७८ ला $\frac{p}{q}$ या रूपात व्यक्त करा, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$.

उकल : आपल्याकडे $3.142678=\frac{3142678}{1000000}$ आहे, आणि म्हणून ती एक परिमेय संख्या आहे.

आता, दशांश प्रसार अमर्यादित आवर्ती असतानाचे प्रकरण विचारात घेऊया.

उदाहरण ७ : दाखवा की $0.3333 \ldots=0 . \overline{3}$ ला $\frac{p}{q}$ या रूपात व्यक्त करता येते, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$.

उकल : आपल्याला $0 . \overline{3}$ काय आहे हे माहित नसल्यामुळे, त्याला ‘$x$’ म्हणू या आणि म्हणून

$$ x=0.3333 \ldots $$

आता इथे युक्ती येते. पहा आता,

$$ 10 x=10 \times(0.333 \ldots)=3.333 \ldots $$

$$ 3.3333 \ldots=3+x \text {, since } x=0.3333 \ldots $$

म्हणून,

$$ 10 x=3+x $$

$x$ साठी सोडवल्यास, आपल्याला मिळते

$$ 9 x=3 \text {, i.e., } x=\frac{1}{3} $$

उदाहरण ८ : दाखवा की $1.272727 \ldots=1 . \overline{27}$ ला $\frac{p}{q}$ या रूपात व्यक्त करता येते, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$.

उकल : $x=1.272727 \ldots$ समजा. दोन अंक पुनरावृत्ती होत असल्याने, आपण $x$ ला १०० ने गुणाकार करतो

तर, $$ 100 x=127.2727 \ldots $$

म्हणून,

$$ 100 x=126+1.272727 \ldots=126+x $$

$$100 x-x=126$, i.e., $99 x=126$$

म्हणजे, $$ x=\frac{126}{99}=\frac{14}{11} $$

तुम्ही उलट तपासू शकता की $\frac{14}{11}=1 . \overline{27}$.

उदाहरण ९ : दाखवा की $0.2353535 \ldots=0.2 \overline{35}$ ला $\frac{p}{q}$ या रूपात व्यक्त करता येते, जिथे $p$ आणि $q$ हे पूर्णांक आहेत आणि $q \neq 0$.

उकल : $x=0.2 \overline{35}$ समजा. इथे लक्षात घ्या की २ ची पुनरावृत्ती होत नाही, पण ब्लॉक ३५ ची पुनरावृत्ती होते. दोन अंक पुनरावृत्ती होत असल्याने, आपण $x$ ला १०० ने गुणाकार करतो

$$ \begin{aligned} 100 x & =23.53535 \ldots \\ 100 x & =23.3+0.23535 \ldots=23.3+x \\ 99 x & =23.3 \end{aligned} $$

तर, म्हणून, म्हणजे, $$ 99 x=\frac{233}{10}, \text { which gives } x=\frac{233}{990} $$

तुम्ही उलट देखील तपासू शकता की $\frac{233}{990}=0.2 \overline{35}$

तर, अमर्यादित आवर्ती दशांश प्रसार असलेली प्रत्येक संख्या $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ या रूपात व्यक्त करता ये