১.১ ভূমিকা

আপনার পূর্ববর্তী শ্রেণীতে, আপনি সংখ্যারেখা এবং তাতে বিভিন্ন প্রকারের সংখ্যা কীভাবে উপস্থাপন করতে হয় তা শিখেছেন (চিত্র ১.১ দেখুন)।

চিত্র ১.১ : সংখ্যারেখা

কল্পনা করুন আপনি শূন্য থেকে শুরু করে ধনাত্মক দিকে এই সংখ্যারেখা বরাবর হাঁটা শুরু করেছেন। আপনার চোখ যতদূর দেখতে পায়, সেখানে শুধু সংখ্যা, সংখ্যা এবং সংখ্যা!

চিত্র ১.২

এখন ধরুন আপনি সংখ্যারেখা বরাবর হাঁটা শুরু করলেন এবং কিছু সংখ্যা সংগ্রহ করতে লাগলেন। সেগুলো সংরক্ষণ করার জন্য একটি ব্যাগ প্রস্তুত করুন!

আপনি সম্ভবত শুধুমাত্র স্বাভাবিক সংখ্যা যেমন 1,2,3 ইত্যাদি সংগ্রহ করে শুরু করবেন। আপনি জানেন যে এই তালিকা চিরকাল চলতেই থাকে। (এটি কেন সত্য?) সুতরাং, এখন আপনার ব্যাগে অসীম সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যা রয়েছে! মনে রাখবেন, আমরা এই সংগ্রহটিকে $\mathbf{N}$ চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করি।

এখন ফিরে যান এবং পুরো পথ হেঁটে শূন্য সংগ্রহ করে ব্যাগে রাখুন। এখন আপনার কাছে পূর্ণ সংখ্যার সংগ্রহ রয়েছে যাকে $\mathbf{W}$ চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

এখন, আপনার সামনে অনেক অনেক ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা রয়েছে। সব ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা আপনার ব্যাগে রাখুন। আপনার নতুন সংগ্রহটি কী? মনে রাখবেন, এটি হল সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সংগ্রহ, এবং এটিকে $\mathbf{Z}$ চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

লাইনে কি এখনও কিছু সংখ্যা অবশিষ্ট আছে? অবশ্যই! $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$ বা এমনকি $\frac{-2005}{2006}$ এর মত সংখ্যা রয়েছে। আপনি যদি এরকম সব সংখ্যাও ব্যাগে রাখেন, তাহলে এটি এখন মূলদ সংখ্যার সংগ্রহ হবে।

মূলদ সংখ্যার সংগ্রহকে $\mathbf{Q}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ‘Rational’ শব্দটি এসেছে ‘ratio’ শব্দ থেকে, এবং Q এসেছে ‘quotient’ শব্দ থেকে।

আপনি মূলদ সংখ্যার সংজ্ঞা মনে করতে পারেন:

একটি সংখ্যা ‘$r$’ কে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যদি এটিকে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায়, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$। (আমরা কেন $q \neq 0$ এই শর্তটি দেই?)

লক্ষ্য করুন যে ব্যাগে থাকা এখন সমস্ত সংখ্যাই $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা যায়, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$। উদাহরণস্বরূপ, -25 কে $\frac{-25}{1}$ হিসাবে লেখা যায়; এখানে $p=-25$ এবং $q=1$। সুতরাং, মূলদ সংখ্যার মধ্যে স্বাভাবিক সংখ্যা, পূর্ণ সংখ্যা এবং পূর্ণসংখ্যাগুলিও অন্তর্ভুক্ত। আপনি আরও জানেন যে $\frac{p}{q}$ আকারে মূলদ সংখ্যার একটি অনন্য উপস্থাপনা নেই, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$। উদাহরণস্বরূপ, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}$ $=\frac{47}{94}$, ইত্যাদি। এগুলি সমতুল্য মূলদ সংখ্যা (বা ভগ্নাংশ)। তবে, যখন আমরা বলি যে $\frac{p}{q}$ একটি মূলদ সংখ্যা, বা যখন আমরা $\frac{p}{q}$ কে সংখ্যারেখায় উপস্থাপন করি, তখন আমরা ধরে নিই যে $q \neq 0$ এবং $p$ ও $q$ এর 1 ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই (অর্থাৎ, $p$ এবং $q$ সহ-মৌলিক)। সুতরাং, সংখ্যারেখায়, $\frac{1}{2}$ এর সমতুল্য অসীম অনেক ভগ্নাংশের মধ্যে, আমরা $\frac{1}{2}$ কে বেছে নেব সেগুলোর সবগুলোর প্রতিনিধিত্ব করার জন্য।

এখন, আসুন কিছু উদাহরণ সমাধান করি বিভিন্ন প্রকারের সংখ্যা সম্পর্কে, যা আপনি পূর্ববর্তী শ্রেণীতে পড়েছেন।

উদাহরণ ১ : নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা? আপনার উত্তরের কারণ দিন।

(i) প্রতিটি পূর্ণ সংখ্যা একটি স্বাভাবিক সংখ্যা।

(ii) প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা একটি মূলদ সংখ্যা।

(iii) প্রতিটি মূলদ সংখ্যা একটি পূর্ণসংখ্যা।

সমাধান : (i) মিথ্যা, কারণ শূন্য একটি পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।

(ii) সত্য, কারণ প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা $m$ কে $\frac{m}{1}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, এবং তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা। (iii) মিথ্যা, কারণ $\frac{3}{5}$ একটি পূর্ণসংখ্যা নয়।

উদাহরণ ২ : 1 এবং 2 এর মধ্যে পাঁচটি মূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

আমরা এই সমস্যাটি কমপক্ষে দুটি উপায়ে সমাধান করতে পারি।

সমাধান ১ : মনে রাখবেন, $r$ এবং $s$ এর মধ্যে একটি মূলদ সংখ্যা বের করতে, আপনি $r$ এবং $s$ যোগ করে যোগফলকে 2 দ্বারা ভাগ করতে পারেন, অর্থাৎ $\frac{r+s}{2}$ $r$ এবং $s$ এর মধ্যে অবস্থিত। সুতরাং, $\frac{3}{2}$ হল 1 এবং 2 এর মধ্যে একটি সংখ্যা। আপনি এইভাবে এগিয়ে 1 এবং 2 এর মধ্যে আরও চারটি মূলদ সংখ্যা বের করতে পারেন। এই চারটি সংখ্যা হল $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$ এবং $\frac{7}{4}$।

সমাধান ২ : অন্য বিকল্পটি হল এক ধাপে পাঁচটি মূলদ সংখ্যা বের করা। যেহেতু আমরা পাঁচটি সংখ্যা চাই, আমরা 1 এবং 2 কে $5+1$ হর বিশিষ্ট মূলদ সংখ্যা হিসাবে লিখি, অর্থাৎ $1=\frac{6}{6}$ এবং $2=\frac{12}{6}$। তারপর আপনি যাচাই করতে পারেন যে $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ এবং $\frac{11}{6}$ সবই 1 এবং 2 এর মধ্যে অবস্থিত মূলদ সংখ্যা। সুতরাং, পাঁচটি সংখ্যা হল $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ এবং $\frac{11}{6}$।

মন্তব্য: লক্ষ্য করুন যে উদাহরণ 2-এ, আপনাকে 1 এবং 2 এর মধ্যে পাঁচটি মূলদ সংখ্যা বের করতে বলা হয়েছিল। কিন্তু, আপনি নিশ্চয়ই বুঝতে পেরেছেন যে আসলে 1 এবং 2 এর মধ্যে অসীম সংখ্যক মূলদ সংখ্যা রয়েছে। সাধারণভাবে, যেকোনো দুটি প্রদত্ত মূলদ সংখ্যার মধ্যে অসীম সংখ্যক মূলদ সংখ্যা থাকে। আসুন আবার সংখ্যারেখার দিকে তাকাই। আপনি কি সব সংখ্যা সংগ্রহ করেছেন? এখনও না। আসল কথা হল সংখ্যারেখায় আরও অসীম সংখ্যক সংখ্যা অবশিষ্ট আছে! আপনি যে সংখ্যাগুলো সংগ্রহ করেছেন তাদের অবস্থানের মধ্যেও ফাঁক রয়েছে, এবং শুধু একটি বা দুটি নয়, অসীম অনেক। আশ্চর্যজনক বিষয় হল যে এই ফাঁকগুলোর যেকোনো দুটির মধ্যেও অসীম সংখ্যক সংখ্যা থাকে!

সুতরাং আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলোর সাথে রয়ে গেছি:

১. সংখ্যারেখায় যে সংখ্যাগুলো অবশিষ্ট আছে, সেগুলোকে কী বলে?

২. আমরা সেগুলোকে কীভাবে চিনব? অর্থাৎ, আমরা সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা থেকে কীভাবে আলাদা করব?

এই প্রশ্নগুলোর উত্তর পরবর্তী বিভাগে দেওয়া হবে।

১.২ অমূলদ সংখ্যা

আমরা পূর্ববর্তী বিভাগে দেখেছি যে সংখ্যারেখায় এমন সংখ্যা থাকতে পারে যা মূলদ নয়। এই বিভাগে, আমরা এই সংখ্যাগুলো তদন্ত করতে যাচ্ছি। এখন পর্যন্ত, আপনি যে সমস্ত সংখ্যার সাথে পরিচিত হয়েছেন, সেগুলো $\frac{p}{q}$ আকারের, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$। সুতরাং, আপনি জিজ্ঞাসা করতে পারেন: এমন কি সংখ্যা আছে যা এই আকারের নয়? প্রকৃতপক্ষে এমন সংখ্যা রয়েছে।

গ্রিসের পিথাগোরীয়রা, বিখ্যাত গণিতবিদ ও দার্শনিক পিথাগোরাসের অনুসারী, প্রথম $400 \mathrm{BC}$ সালের কাছাকাছি সময়ে সেই সংখ্যাগুলো আবিষ্কার করেছিল যা মূলদ ছিল না। এই সংখ্যাগুলোকে অমূলদ সংখ্যা (irrationals) বলা হয়, কারণ সেগুলোকে পূর্ণসংখ্যার অনুপাত আকারে লেখা যায় না। পিথাগোরীয় হিপ্পাকাস অফ ক্রোটন দ্বারা অমূলদ সংখ্যা আবিষ্কারের চারপাশে অনেক কিংবদন্তি রয়েছে। সব কিংবদন্তিতেই, হিপ্পাকাসের একটি দুর্ভাগ্যজনক পরিণতি হয়, হয় $\sqrt{2}$ অমূলদ তা আবিষ্কার করার জন্য অথবা $\sqrt{2}$ সম্পর্কে গোপনীয়তা গোপন পিথাগোরীয় সম্প্রদায়ের বাইরের লোকদের কাছে প্রকাশ করার জন্য!

পিথাগোরাস

(খ্রিস্টপূর্ব ৫৬৯ - খ্রিস্টপূর্ব ৪৭৯)

চিত্র ১.৩

আসুন আমরা আনুষ্ঠানিকভাবে এই সংখ্যাগুলোর সংজ্ঞা দিই।

একটি সংখ্যা ‘$\mathrm{s}$’ কে অমূলদ বলা হয়, যদি এটিকে $\frac{p}{q}$ আকারে লেখা না যায়, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$।

আপনি ইতিমধ্যেই জানেন যে অসীম সংখ্যক মূলদ সংখ্যা রয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে অসীম সংখ্যক অমূলদ সংখ্যাও রয়েছে। কিছু উদাহরণ হল:

$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, 0.10110111011110 \ldots $$

মন্তব্য: মনে রাখবেন, যখন আমরা $\sqrt{ }$ চিহ্ন ব্যবহার করি, তখন আমরা ধরে নিই যে এটি সংখ্যার ধনাত্মক বর্গমূল। সুতরাং $\sqrt{4}=2$, যদিও 2 এবং -2 উভয়ই 4 এর বর্গমূল।

উপরে তালিকাভুক্ত কিছু অমূলদ সংখ্যা আপনার কাছে পরিচিত। উদাহরণস্বরূপ, আপনি ইতিমধ্যেই উপরে তালিকাভুক্ত অনেক বর্গমূল এবং $\pi$ সংখ্যাটির সাথে পরিচিত হয়েছেন।

পিথাগোরীয়রা প্রমাণ করেছিলেন যে $\sqrt{2}$ অমূলদ। পরে প্রায় $425 \mathrm{BC}$ সালে, থিওডোরাস অফ সাইরিন দেখান যে $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$ এবং $\sqrt{17}$ ও অমূলদ। $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ ইত্যাদির অমূলদতার প্রমাণ দশম শ্রেণীতে আলোচনা করা হবে। $\pi$ সম্পর্কে, এটি হাজার হাজার বছর ধরে বিভিন্ন সংস্কৃতিতে পরিচিত ছিল, এটি অমূলদ বলে প্রমাণিত হয় ল্যাম্বার্ট এবং লেজান্ড্রের দ্বারা মাত্র $1700 \mathrm{~s}$ শতকের শেষের দিকে। পরবর্তী বিভাগে, আমরা আলোচনা করব কেন $0.10110111011110 \ldots$ এবং $\pi$ অমূলদ।

আসুন আমরা পূর্ববর্তী বিভাগের শেষে উত্থাপিত প্রশ্নগুলিতে ফিরে যাই। মূলদ সংখ্যার ব্যাগটি মনে আছে। যদি আমরা এখন সব অমূলদ সংখ্যা ব্যাগে রাখি, তাহলে কি সংখ্যারেখায় কোনো সংখ্যা অবশিষ্ট থাকবে? উত্তর হল না! দেখা যাচ্ছে যে সমস্ত মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যার সংগ্রহ একত্রে যা গঠন করে তাকে আমরা বাস্তব সংখ্যার সংগ্রহ বলি,

যাকে $\mathbf{R}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সুতরাং, একটি বাস্তব সংখ্যা হয় মূলদ নয়তো অমূলদ। তাই, আমরা বলতে পারি যে প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা সংখ্যারেখায় একটি অনন্য বিন্দু দ্বারা উপস্থাপিত হয়। এছাড়াও, সংখ্যারেখার প্রতিটি বিন্দু একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যাকে উপস্থাপন করে। এই কারণেই আমরা সংখ্যারেখাকে বাস্তব সংখ্যারেখা বলি।

আর. ডেডেকাইন্ড (১৮৩১-১৯১৬)

চিত্র ১.৪

১৮৭০-এর দশকে দুই জার্মান গণিতবিদ, ক্যান্টর এবং ডেডেকাইন্ড দেখান যে: প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার সাথে, বাস্তব সংখ্যারেখায় একটি বিন্দু রয়েছে, এবং সংখ্যারেখার প্রতিটি বিন্দুর সাথে, একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যা বিদ্যমান।

জি. ক্যান্টর (১৮৪৫-১৯১৮) চিত্র ১.৫

আসুন দেখি কীভাবে আমরা সংখ্যারেখায় কিছু অমূলদ সংখ্যার অবস্থান নির্ণয় করতে পারি।

উদাহরণ ৩ : সংখ্যারেখায় $\sqrt{2}$ এর অবস্থান নির্ণয় কর।

সমাধান : গ্রিকরা কীভাবে $\sqrt{2}$ আবিষ্কার করেছিলেন তা বোঝা সহজ। একটি বর্গ $\mathrm{OABC}$ বিবেচনা করুন, যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1 একক (চিত্র ১.৬ দেখুন)। তাহলে আপনি পিথাগোরাসের উপপাদ্য দ্বারা দেখতে পাবেন যে $\mathrm{OB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$। আমরা কীভাবে $\sqrt{2}$ কে সংখ্যারেখায় উপস্থাপন করব?

চিত্র ১.৬ এটি সহজ। চিত্র ১.৬ কে সংখ্যারেখায় স্থানান্তর করুন যাতে শীর্ষবিন্দু $\mathrm{O}$ শূন্যের সাথে মিলে যায় (চিত্র ১.৭ দেখুন)।

চিত্র ১.৭

আমরা এইমাত্র দেখেছি যে $\mathrm{OB}=\sqrt{2}$। O কে কেন্দ্র করে এবং $\mathrm{OB}$ ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি কম্পাস ব্যবহার করে, একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করুন যা সংখ্যারেখাকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $P$ সংখ্যারেখায় $\sqrt{2}$ এর সাথে সম্পর্কিত।

উদাহরণ ৪ : সংখ্যারেখায় $\sqrt{3}$ এর অবস্থান নির্ণয় কর।

সমাধান : আসুন আমরা চিত্র ১.৭ এ ফিরে যাই।

চিত্র ১.৮

$\mathrm{BD}$ একক দৈর্ঘ্যের $\mathrm{OB}$ এর উপর লম্ব অঙ্কন করুন (চিত্র ১.৮ এর মত)। তারপর পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা দেখি যে $\mathrm{OD}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$। O কে কেন্দ্র করে এবং $\mathrm{OD}$ ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি কম্পাস ব্যবহার করে, একটি বৃত্তচাপ অঙ্কন করুন যা সংখ্যারেখাকে $\mathrm{Q}$ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $\mathrm{Q}$ $\sqrt{3}$ এর সাথে সম্পর্কিত।

একইভাবে, আপনি $\sqrt{n-1}$ এর অবস্থান নির্ণয় করার পরে, যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্য $\sqrt{n}$ এর অবস্থান নির্ণয় করতে পারেন।

১.৩ বাস্তব সংখ্যা এবং তাদের দশমিক বিস্তৃতি

এই বিভাগে, আমরা একটি ভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যা অধ্যয়ন করতে যাচ্ছি। আমরা বাস্তব সংখ্যার দশমিক বিস্তৃতি দেখব এবং দেখব যে আমরা কি বিস্তৃতি ব্যবহার করে মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাগুলো আলাদা করতে পারি। আমরা তাদের দশমিক বিস্তৃতি ব্যবহার করে সংখ্যারেখায় বাস্তব সংখ্যার উপস্থাপনা কীভাবে কল্পনা করা যায় তাও ব্যাখ্যা করব। যেহেতু মূলদ সংখ্যাগুলো আমাদের কাছে বেশি পরিচিত, তাই আসুন সেগুলি দিয়ে শুরু করি। আসুন তিনটি উদাহরণ নিই: $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}, \frac{1}{7}$। ভাগশেষগুলির দিকে বিশেষ মনোযোগ দিন এবং দেখুন আপনি কোনো প্যাটার্ন খুঁজে পাচ্ছেন কিনা।

উদাহরণ ৫ : $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}$ এবং $\frac{1}{7}$ এর দশমিক বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

সমাধান :

ভাগশেষ: $1,1,1,1,1 \ldots$ ভাজক: 3

ভাগশেষ: $6,4,0$ ভাজক: 8 ভাগশেষ: $3,2,6,4,5,1$, $3,2,6,4,5,1, \ldots$

ভাজক: 7

আপনি কী লক্ষ্য করেছেন? আপনার অন্তত তিনটি জিনিস লক্ষ্য করা উচিত ছিল:

(i) ভাগশেষগুলি হয় একটি নির্দিষ্ট পর্যায়ের পরে 0 হয়ে যায়, অথবা নিজেদের পুনরাবৃত্তি করতে শুরু করে।

(ii) পুনরাবৃত্তিমূলক ভাগশেষের স্ট্রিং-এ ভাগশেষের সংখ্যা ভাজকের চেয়ে কম ($\frac{10}{3}$-এ একটি সংখ্যা নিজেকে পুনরাবৃত্তি করে এবং ভাজক হল 3, $\frac{1}{7}$-এ পুনরাবৃত্তিমূলক ভাগশেষের স্ট্রিং-এ ছয়টি ভাগশেষ 326451 আছে এবং ভাজক হল 7)।

(iii) যদি ভাগশেষ পুনরাবৃত্তি হয়, তাহলে ভাগফলে অঙ্কগুলির একটি পুনরাবৃত্তিমূলক ব্লক পাই ($\frac{10}{3}, 3$ এর জন্য ভাগফলে 3 পুনরাবৃত্তি হয় এবং $\frac{1}{7}$ এর জন্য, আমরা ভাগফলে পুনরাবৃত্তিমূলক ব্লক 142857 পাই)।

যদিও আমরা শুধুমাত্র উপরের উদাহরণগুলি ব্যবহার করে এই প্যাটার্নটি লক্ষ্য করেছি, এটি $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ আকারের সমস্ত মূলদ সংখ্যার জন্য সত্য। $p$ কে $q$ দ্বারা ভাগ করার সময়, দুটি প্রধান ঘটনা ঘটে - হয় ভাগশেষ শূন্য হয়ে যায় বা কখনই শূন্য হয় না এবং আমরা ভাগশেষের একটি পুনরাবৃত্তিমূলক স্ট্রিং পাই। আসুন প্রতিটি ক্ষেত্রে আলাদাভাবে দেখি।

ক্ষেত্র (i): ভাগশেষ শূন্য হয়ে যায়

$\frac{7}{8}$ এর উদাহরণে, আমরা দেখেছি যে কিছু ধাপের পরে ভাগশেষ শূন্য হয়ে যায় এবং $\frac{7}{8}=0.875$ এর দশমিক বিস্তৃতি। অন্যান্য উদাহরণ হল $\frac{1}{2}=0.5, \frac{639}{250}=2.556$। এই সমস্ত ক্ষেত্রে, দশমিক বিস্তৃতি একটি সসীম সংখ্যক ধাপের পরে শেষ হয় বা সমাপ্ত হয়। আমরা এই ধরনের সংখ্যার দশমিক বিস্তৃতিকে সসীম দশমিক বিস্তৃতি বলি।

ক্ষেত্র (ii): ভাগশেষ কখনই শূন্য হয় না

$\frac{10}{3}$ এবং $\frac{1}{7}$ এর উদাহরণে, আমরা লক্ষ্য করি যে ভাগশেষগুলি একটি নির্দিষ্ট পর্যায়ের পরে পুনরাবৃত্তি হয় যা দশমিক বিস্তৃতিকে চিরকাল চলতে বাধ্য করে। অন্য কথায়, ভাগফলে অঙ্কগুলির একটি পুনরাবৃত্তিমূলক ব্লক থাকে। আমরা বলি যে এই বিস্তৃতি অসীম ও পুনরাবৃত্তিমূলক। উদাহরণস্বরূপ, $\frac{10}{3}=3.3333 \ldots$ এবং $\frac{1}{7}=0.142857142857142857 \ldots$

$\frac{10}{3}$ এর ভাগফলে 3 এর পুনরাবৃত্তি দেখানোর সাধারণ উপায় হল এটিকে $3 . \overline{3}$ হিসাবে লেখা। একইভাবে, যেহেতু অঙ্কের ব্লক 142857 $\frac{1}{7}$ এর ভাগফলে পুনরাবৃত্তি হয়, আমরা $\frac{1}{7}$ কে $0 . \overline{142857}$ হিসাবে লিখি, যেখানে অঙ্কগুলির উপরের বারটি সেই অঙ্কের ব্লককে নির্দেশ করে যা পুনরাবৃত্তি হয়। এছাড়াও 3.57272… কে $3.5 \overline{72}$ হিসাবে লেখা যেতে পারে। সুতরাং, এই সমস্ত উদাহরণ আমাদের অসীম ও পুনরাবৃত্তিমূলক দশমিক বিস্তৃতি দেয়।

এইভাবে, আমরা দেখি যে মূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তৃতির শুধুমাত্র দুটি সম্ভাবনা রয়েছে: হয় তারা সসীম অথবা অসীম ও পুনরাবৃত্তিমূলক।

এখন ধরুন, অন্যদিকে, সংখ্যারেখায় আপনার হাঁটার সময়, আপনি 3.142678 এর মতো একটি সংখ্যার সম্মুখীন হন যার দশমিক বিস্তৃতি সসীম অথবা $1.272727 \ldots$ এর মতো একটি সংখ্যা, অর্থাৎ $1 . \overline{27}$, যার দশমিক বিস্তৃতি অসীম ও পুনরাবৃত্তিমূলক, আপনি কি সিদ্ধান্তে আসতে পারেন যে এটি একটি মূলদ সংখ্যা? উত্তর হল হ্যাঁ!

আমরা এটি প্রমাণ করব না কিন্তু কয়েকটি উদাহরণ দিয়ে এই সত্যটি চিত্রিত করব। সসীম ক্ষেত্রগুলি সহজ।

উদাহরণ ৬ : দেখাও যে 3.142678 একটি মূলদ সংখ্যা। অন্য কথায়, 3.142678 কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ কর, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$।

সমাধান : আমাদের আছে $3.142678=\frac{3142678}{1000000}$, এবং তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

এখন, আসুন সেই ক্ষেত্রে বিবেচনা করি যখন দশমিক বিস্তৃতি অসীম ও পুনরাবৃত্তিমূলক।

উদাহরণ ৭ : দেখাও যে $0.3333 \ldots=0 . \overline{3}$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$।

সমাধান : যেহেতু আমরা জানি না $0 . \overline{3}$ কী, আসুন এটিকে ‘$x$’ বলি এবং তাই

$$ x=0.3333 \ldots $$

এখন এখানেই কৌশলটি আসে। দেখুন এখন,

$$ 10 x=10 \times(0.333 \ldots)=3.333 \ldots $$

$$ 3.3333 \ldots=3+x \text {, since } x=0.3333 \ldots $$

অতএব,

$$ 10 x=3+x $$

$x$ এর জন্য সমাধান করলে, আমরা পাই

$$ 9 x=3 \text {, i.e., } x=\frac{1}{3} $$

উদাহরণ ৮ : দেখাও যে $1.272727 \ldots=1 . \overline{27}$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$।

সমাধান : ধরি $x=1.272727 \ldots$ যেহেতু দুটি অঙ্ক পুনরাবৃত্তি হচ্ছে, আমরা $x$ কে 100 দ্বারা গুণ করি

সুতরাং, $$ 100 x=127.2727 \ldots $$

অতএব,

$$ 100 x=126+1.272727 \ldots=126+x $$

$$100 x-x=126$, i.e., $99 x=126$$

অর্থাৎ, $$ x=\frac{126}{99}=\frac{14}{11} $$

আপনি বিপরীত দিক থেকে যাচাই করতে পারেন যে $\frac{14}{11}=1 . \overline{27}$।

উদাহরণ ৯ : দেখাও যে $0.2353535 \ldots=0.2 \overline{35}$ কে $\frac{p}{q}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$।

সমাধান : ধরি $x=0.2 \overline{35}$। এখানে লক্ষ্য করুন যে 2 পুনরাবৃত্তি হয় না, কিন্তু ব্লক 35 পুনরাবৃত্তি হয়। যেহেতু দুটি অঙ্ক পুনরাবৃত্তি হচ্ছে, আমরা $x$ কে 100 দ্বারা গুণ করি

$$ \begin{aligned} 100 x & =23.53535 \ldots \\ 100 x & =23.3+0.23535 \ldots=23.3+x \\ 99 x & =23.3 \end{aligned} $$

সুতরাং, অতএব, অর্থাৎ, $$ 99 x=\frac{233}{10}, \text { which gives } x=\frac{233}{990} $$

আপনি বিপরীত দিক থেকেও যাচাই করতে পারেন যে $\frac{233}{990}=0.2 \overline{35}$

সুতরাং, প্রতিটি অসীম ও পুনরাবৃত্তিমূলক দশমিক বিস্তৃতি বিশিষ্ট সংখ্যাকে $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $p$ এবং $q$ পূর্ণসংখ্যা। আসুন নিম্নলিখিত আকারে আমাদের ফলাফলগুলি সংক্ষিপ্ত করি:

একটি মূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তৃতি হয় সসীম অথবা অসীম ও পুনরাবৃত্তিমূলক। তদুপরি, একটি সংখ্যা যার দশমিক বিস্তৃতি সসীম বা অসীম ও পুনরাবৃত্তিমূলক তা মূলদ।

সুতরাং, এখন আমরা জানি একটি মূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তৃতি কী হতে পারে। অমূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তৃতি কী? উপরের বৈশিষ্ট্যের কারণে, আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে তাদের দশমিক বিস্তৃতি অসীম ও অ-পুনরাবৃত্তিমূলক। সুতরাং, মূলদ সংখ্যার জন্য উপরে উল্লিখিত বৈশিষ্ট্যের অনুরূপ, অমূলদ সংখ্যার বৈশিষ্ট্য হল

একটি অমূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তৃতি অসীম ও অ-পুনরাবৃত্তিমূলক। তদুপরি, একটি সংখ্যা যার দশমিক বিস্তৃতি অসীম ও অ-পুনরাবৃত্তিমূলক তা অমূলদ।

পূর্ববর্তী বিভাগ থেকে $s=0.10110111011110 \ldots$ মনে আছে। লক্ষ্য করুন যে এটি অসীম ও অ-পুনরাবৃত্তিমূলক। অতএব, উপরের বৈশিষ্ট্য থেকে, এটি অমূলদ। তদুপরি, লক্ষ্য করুন যে আপনি $s$ এর অনুরূপ অসীম অনেক অমূলদ সংখ্যা তৈরি করতে পারেন।

বিখ্যাত অমূলদ সংখ্যা $\sqrt{2}$ এবং $\pi$ সম্পর্কে কী? এখানে একটি নির্দিষ্ট পর্যায় পর্যন্ত তাদের দশমিক বিস্তৃতি দেওয়া হল।

$$ \begin{aligned} \sqrt{2} & =1.4142135623730950488016887242096 \ldots \\ \pi & =3.14159265358979323846264338327950 \ldots \end{aligned} $$

(লক্ষ্য করুন যে, আমরা প্রায়ই $\frac{22}{7}$ কে $\pi$ এর আসন্ন মান হিসাবে নিই, কিন্তু $\pi \neq \frac{22}{7}$।)

বছরের পর বছর ধরে, গণিতবিদরা অমূলদ সংখ্যার দশমিক বিস্তৃতিতে আরও বেশি অঙ্ক উৎপন্ন করার জন্য বিভিন্ন কৌশল তৈরি করেছেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি সম্ভবত ভাগ পদ্ধতি দ্বারা $\sqrt{2}$ এর দশমিক বিস্তৃতিতে অঙ্ক বের করতে শিখেছেন। মজার বিষয় হল, বেদিক যুগের ($800 \mathrm{BC}$ - $500 \mathrm{BC}$) একটি গাণিতিক গ্রন্থ সুলবসূত্রে (জ্যার নিয়ম), আপনি $\sqrt{2}$ এর একটি আসন্ন মান পাবেন নিম্নরূপ:

$$ \sqrt{2}=1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{34} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\right)=1.4142156 $$

লক্ষ্য করুন যে এটি উপরে দেওয়া প্রথম পাঁচ দশমিক স্থানের জন্য একই। $\pi$ এর দশমিক বিস্তৃতিতে অঙ্কের সন্ধানের ইতিহাস খুবই আকর্ষণীয়।

গ্রিক প্রতিভা আর্কিমিডিস প্রথম $\pi$ এর দশমিক বিস্তৃতিতে অঙ্ক গণনা করেন। তিনি দেখান 3.140845 $<\pi<3.142857$। আর্যাভট্ট ($476-550$ খ্রিস্টাব্দ $)$), মহান ভারতীয় গণিতবিদ ও জ্যোতির্বিদ, $\pi$ এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত সঠিকভাবে পান (3.1416)। উচ্চ গতির কম্পিউটার এবং উন্নত অ্যালগরিদম ব্যবহার করে, $\pi$ কে 1.24 ট্রিলিয়নেরও বেশি দশমিক স্থান পর্যন্ত গণনা করা হয়েছে!

আর্কিমিডিস (খ্রিস্টপূর্ব ২৮৭-খ্রিস্টপূর্ব ২১২)

চিত্র ১.১০

এখন, আসুন দেখি কীভাবে অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়।

উদাহরণ ১০ : $\frac{1}{7}$ এবং $\frac{2}{7}$ এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধান : আমরা দেখেছি যে $\frac{1}{7}=0 . \overline{142857}$। সুতরাং, আপনি সহজেই $\frac{2}{7}=0 . \overline{285714}$ গণনা করতে পারেন।

$\frac{1}{7}$ এবং $\frac{2}{7}$ এর মধ্যে একটি অমূলদ সংখ্যা বের করতে, আমরা তাদের মধ্যে অবস্থিত একটি অসীম ও অ-পুনরাবৃত্তিমূলক সংখ্যা খুঁজে পাই। অবশ্যই, আপনি অসীম অনেক এমন সংখ্যা পেতে পারেন।

এরকম একটি সংখ্যার উদাহরণ হল $0.150150015000150000 \ldots$

১.৪ বাস্তব সংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপ

আপনি পূর্ববর্তী শ্রেণীতে শিখেছেন যে মূলদ সংখ্যাগুলি যোগ ও গুণের জন্য বিনিময়, সহযোগী এবং বণ্টন বিধি মেনে চলে। তদুপরি, যদি আমরা দুটি মূলদ সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ করি (শূন্য দ্বারা ভাগ ছাড়া), আমরা এখনও একটি মূলদ সংখ্যা পাই (অর্থাৎ, যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগের ক্ষেত্রে মূলদ সংখ্যাগুলি ‘বদ্ধ’)। দেখা যাচ্ছে যে অমূলদ সংখ্যাগুলিও যোগ ও গুণের জন্য বিনিময়, সহযোগী এবং বণ্টন বিধি মেনে চলে। তবে, অমূলদ সংখ্যার যোগফল, পার্থক্য, ভাগফল এবং গুণফল সর্বদা অমূলদ নয়। উদাহরণস্বরূপ, $(\sqrt{6})+(-\sqrt{6}),(\sqrt{2})-(\sqrt{2}),(\sqrt{3}) \cdot(\sqrt{3})$ এবং $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ মূলদ সংখ্যা।

আসুন দেখি যখন আমরা একটি মূলদ সংখ্যার সাথে একটি অমূলদ সংখ্যা যোগ ও গুণ করি তখন কী হয়। উদাহরণস্বরূপ, $\sqrt{3}$ অমূলদ। $2+\sqrt{3}$ এবং $2 \sqrt{3}$ সম্পর্কে কী? যেহেতু $\sqrt{3}$ এর একটি অসীম ও অ-পুনরাবৃত্তিমূলক দশমিক বিস্তৃতি রয়েছে, $2+\sqrt{3}$ এবং $2 \sqrt{3}$ এর জন্যও একই সত্য। অতএব, $2+\sqrt{3}$ এবং $2 \sqrt{3}$ উভয়ই অমূলদ সংখ্যা।

উদাহরণ ১১ : যাচাই কর যে $7 \sqrt{5}, \frac{7}{\sqrt{5}}, \sqrt{2}+21, \pi-2$ অমূলদ সংখ্যা কিনা।

সমাধান : $\sqrt{5}=2.236 \ldots, \sqrt{2}=1.4142 \ldots, \pi=3.1415 \ldots$

তারপর $7 \sqrt{5}=15.652 \ldots, \frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}=\frac{7 \sqrt{5}}{5}=3.1304 \ldots$

$\sqrt{2}+21=22.4142 \ldots, \pi-2=1.1415 \ldots$

এগুলি সবই অসীম ও অ-পুনরাবৃত্তিমূলক দশমিক। সুতরাং, এগুলি সবই অমূলদ সংখ্যা।

উদাহরণ ১২ : $2 \sqrt{2}+5 \sqrt{3}$ এবং $\sqrt{2}-3 \sqrt{3}$ যোগ কর।

সমাধান : $(2 \sqrt{2}+5 \sqrt{3})+(\sqrt{2}-3 \sqrt{3})=(2 \sqrt{2}+\sqrt{2})+(5 \sqrt{3}-3 \sqrt{3})$

$=(2+1) \sqrt{2}+(5-3) \sqrt{3}=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}$

উদাহরণ ১৩ : $6 \sqrt{5}$ কে $2 \sqrt{5}$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান : $6 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{5}=6 \times 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{5}=12 \times 5=60$

উদাহরণ ১৪ : $8 \sqrt{15}$ কে $2 \sqrt{3}$ দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান : $8 \sqrt{15} \div 2 \sqrt{3}=\frac{8 \sqrt{3} \times \sqrt{5}}{2 \sqrt{3}}=4 \sqrt{5}$

এই উদাহরণগুলি আপনাকে নিম্নলিখিত সত্যগুলি আশা করতে পারে, যা সত্য:

(i) একটি মূলদ সংখ্যা এবং একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল বা পার্থক্য অমূলদ।

(ii) একটি অশূন্য মূলদ সংখ্যা এবং একটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল বা ভাগফল অমূলদ।

(iii) যদি আমরা দুটি অমূলদ সংখ্যা যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ করি, ফলাফল মূলদ বা অমূলদ হতে পারে।

আমরা এখন বাস্তব সংখ্যার বর্গমূল নেওয়ার ক্রিয়াকলাপের দিকে মনোযোগ দিই। মনে রাখবেন, যদি $a$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তাহলে $\sqrt{a}=b$ মানে $b^{2}=a$ এবং $b>0$। একই সংজ্ঞা ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য বর্ধিত করা যেতে পারে।

ধরি $a>0$ একটি বাস্তব সংখ্যা। তাহলে $\sqrt{a}=b$ মানে $b^{2}=a$ এবং $b>0$।

বিভাগ ১.২-এ, আমরা দেখেছিলাম কীভাবে যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্য $\sqrt{n}$ কে সংখ্যারেখায় উপস্থাপন করা যায়। আমরা এখন দেখাব কীভাবে যেকোনো প্রদত্ত ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা $x$ এর জন্য $\sqrt{x}$ জ্যামিতিকভাবে বের করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, আসুন $x=3.5$ এর জন্য এটি বের করি, অর্থাৎ, আমরা $\sqrt{3.5}$ জ্যামিতিকভাবে বের করি।

চিত্র ১.১১

একটি প্রদত্ত রেখায় একটি নির্দিষ্ট বিন্দু $\mathrm{A}$ থেকে 3.5 একক দূরত্ব চিহ্নিত করে একটি বিন্দু