1.1 ആമുഖം

നിങ്ങളുടെ മുൻ ക്ലാസുകളിൽ, നിങ്ങൾ നമ്പർ ലൈനിനെക്കുറിച്ചും അതിൽ വിവിധ തരം സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാമെന്നും (ചിത്രം 1.1 കാണുക) പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ചിത്രം 1.1 : നമ്പർ ലൈൻ

നിങ്ങൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് ഈ നമ്പർ ലൈനിൽ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലൂടെ നടക്കാൻ തുടങ്ങുന്നുവെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾക്ക് കാണാനാകുന്നിടത്തോളം, സംഖ്യകൾ, സംഖ്യകൾ, സംഖ്യകൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ!

ചിത്രം 1.2

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ നമ്പർ ലൈനിൽ നടന്നുകൊണ്ട്, ചില സംഖ്യകൾ ശേഖരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നുവെന്ന് കരുതുക. അവ സംഭരിക്കാൻ ഒരു ബാഗ് തയ്യാറാക്കുക!

നിങ്ങൾ 1,2,3 തുടങ്ങിയ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ (natural numbers) മാത്രം എടുക്കാൻ തുടങ്ങിയേക്കാം. ഈ പട്ടിക എന്നെന്നേക്കുമായി തുടരുമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം. (ഇത് എന്തുകൊണ്ട് ശരിയാണ്?) അതിനാൽ, ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ ബാഗിൽ അനന്തമായി പല സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു! ഈ ശേഖരത്തെ $\mathbf{N}$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് ഓർക്കുക.

ഇപ്പോൾ തിരിഞ്ഞ് പൂർണ്ണമായും പിന്നോട്ട് നടന്ന്, പൂജ്യം എടുത്ത് ബാഗിൽ ഇടുക. ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ പക്കൽ മുഴുവൻ സംഖ്യകളുടെ (whole numbers) ശേഖരമുണ്ട്, അത് $\mathbf{W}$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ മുന്നിൽ പലതും, പലതുമായ നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ (negative integers) നീട്ടിപ്പിടിച്ചിരിക്കുന്നു. എല്ലാ നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളും നിങ്ങളുടെ ബാഗിൽ ഇടുക. നിങ്ങളുടെ പുതിയ ശേഖരം എന്താണ്? ഇത് എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെയും (integers) ശേഖരമാണെന്നും അത് $\mathbf{Z}$ എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഓർക്കുക.

ലൈനിൽ ഇനിയും ചില സംഖ്യകൾ ശേഷിക്കുന്നുണ്ടോ? തീർച്ചയായും! $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$, അല്ലെങ്കിൽ $\frac{-2005}{2006}$ പോലുള്ള സംഖ്യകൾ ഉണ്ട്. അത്തരം എല്ലാ സംഖ്യകളും ബാഗിൽ ഇട്ടാൽ, അത് ഇപ്പോൾ ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ (rational numbers) ശേഖരമായിരിക്കും.

ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ശേഖരത്തെ $\mathbf{Q}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ‘Rational’ എന്ന വാക്ക് ‘ratio’ എന്ന വാക്കിൽ നിന്നും, Q എന്നത് ‘quotient’ എന്ന വാക്കിൽ നിന്നും വന്നതാണ്.

ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ നിർവചനം നിങ്ങൾ ഓർക്കാം:

‘$r$’ എന്ന സംഖ്യയെ ഭിന്നക സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് $\frac{p}{q}$ എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഇവിടെ $p$, $q$ എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് കൂടാതെ $q \neq 0$. ($q \neq 0$ എന്ന് നാം എന്തുകൊണ്ട് ഊന്നിപ്പറയുന്നു?)

ബാഗിലുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളും ഇപ്പോൾ $\frac{p}{q}$ എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാനാകുമെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, ഇവിടെ $p$, $q$ എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് കൂടാതെ $q \neq 0$. ഉദാഹരണത്തിന്, -25 നെ $\frac{-25}{1}$ എന്ന് എഴുതാം; ഇവിടെ $p=-25$, $q=1$. അതിനാൽ, ഭിന്നക സംഖ്യകളിൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ, മുഴുവൻ സംഖ്യകൾ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എന്നിവയും ഉൾപ്പെടുന്നു. ഭിന്നക സംഖ്യകൾക്ക് $\frac{p}{q}$ എന്ന രൂപത്തിൽ ഒരു അദ്വിതീയ പ്രതിനിധാനമില്ലെന്നും നിങ്ങൾക്കറിയാം, ഇവിടെ $p$, $q$ എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് കൂടാതെ $q \neq 0$. ഉദാഹരണത്തിന്, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}$ $=\frac{47}{94}$, തുടങ്ങിയവ. ഇവ തുല്യ ഭിന്നക സംഖ്യകൾ (അല്ലെങ്കിൽ ഭിന്നങ്ങൾ) ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, $\frac{p}{q}$ ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണെന്ന് നാം പറയുമ്പോൾ, അല്ലെങ്കിൽ $\frac{p}{q}$ നമ്പർ ലൈനിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, $q \neq 0$ എന്നും $p$, $q$ എന്നിവയ്ക്ക് 1 ഒഴികെയുള്ള പൊതു ഘടകങ്ങളില്ലെന്നും (അതായത്, $p$, $q$ എന്നിവ കോ-പ്രൈം ആണ്) എന്നും ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നമ്പർ ലൈനിൽ, $\frac{1}{2}$ ന് തുല്യമായ അനന്തമായ പല ഭിന്നങ്ങളിൽ, അവയെല്ലാം പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ $\frac{1}{2}$ തിരഞ്ഞെടുക്കും.

ഇപ്പോൾ, നിങ്ങൾ മുൻ ക്ലാസുകളിൽ പഠിച്ച വിവിധ തരം സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുള്ള ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1 : ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ ശരിയാണോ തെറ്റാണോ? നിങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങൾക്ക് കാരണങ്ങൾ നൽകുക.

(i) എല്ലാ മുഴുവൻ സംഖ്യയും (whole number) ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് (natural number).

(ii) എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യയും (integer) ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണ് (rational number).

(iii) എല്ലാ ഭിന്നക സംഖ്യയും (rational number) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് (integer).

പരിഹാരം : (i) തെറ്റ്, കാരണം പൂജ്യം ഒരു മുഴുവൻ സംഖ്യയാണ്, പക്ഷേ ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയല്ല.

(ii) ശരി, കാരണം ഓരോ പൂർണ്ണസംഖ്യ $m$ യും $\frac{m}{1}$ എന്ന രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, അതിനാൽ അതൊരു ഭിന്നക സംഖ്യയാണ്. (iii) തെറ്റ്, കാരണം $\frac{3}{5}$ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല.

ഉദാഹരണം 2 : 1 നും 2 നും ഇടയിൽ അഞ്ച് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുക.

ഈ പ്രശ്നത്തെ കുറഞ്ഞത് രണ്ട് വഴികളിലെങ്കിലും സമീപിക്കാം.

പരിഹാരം 1 : $r$ നും $s$ നും ഇടയിൽ ഒരു ഭിന്നക സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾക്ക് $r$, $s$ എന്നിവ കൂട്ടി തുകയെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതായത് $\frac{r+s}{2}$ എന്നത് $r$ നും $s$ നും ഇടയിലാണ്. അതിനാൽ, $\frac{3}{2}$ എന്നത് 1 നും 2 നും ഇടയിലുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ്. 1 നും 2 നും ഇടയിൽ നാല് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ കൂടി കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് ഈ രീതിയിൽ തുടരാം. ഈ നാല് സംഖ്യകൾ $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$, $\frac{7}{4}$ എന്നിവയാണ്.

പരിഹാരം 2 : മറ്റൊരു ഓപ്ഷൻ എല്ലാ അഞ്ച് ഭിന്നക സംഖ്യകളും ഒരു ഘട്ടത്തിൽ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് അഞ്ച് സംഖ്യകൾ വേണമെന്നിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾ 1 ഉം 2 ഉം $5+1$ എന്ന ഛേദമുള്ള ഭിന്നക സംഖ്യകളായി എഴുതുന്നു, അതായത്, $1=\frac{6}{6}$, $2=\frac{12}{6}$. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$, $\frac{11}{6}$ എന്നിവയെല്ലാം 1 നും 2 നും ഇടയിലുള്ള ഭിന്നക സംഖ്യകളാണ്. അതിനാൽ, അഞ്ച് സംഖ്യകൾ $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$, $\frac{11}{6}$ എന്നിവയാണ്.

ശ്രദ്ധിക്കുക: ഉദാഹരണം 2 ൽ, 1 നും 2 നും ഇടയിൽ അഞ്ച് ഭിന്നക സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടു. പക്ഷേ, 1 നും 2 നും ഇടയിൽ വാസ്തവത്തിൽ അനന്തമായി പല ഭിന്നക സംഖ്യകളുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയിരിക്കണം. പൊതുവേ, ഏതെങ്കിലും രണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഭിന്നക സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ അനന്തമായി പല ഭിന്നക സംഖ്യകളുണ്ട്. നമ്പർ ലൈൻ വീണ്ടും നോക്കാം. നിങ്ങൾ എല്ലാ സംഖ്യകളും എടുത്തിട്ടുണ്ടോ? ഇല്ല, ഇതുവരെ. നിങ്ങൾ എടുത്ത സംഖ്യകളുടെ സ്ഥാനങ്ങൾക്കിടയിൽ ഇനിയും അനന്തമായി പല സംഖ്യകൾ നമ്പർ ലൈനിൽ ശേഷിക്കുന്നുണ്ട് എന്നതാണ് വസ്തുത! നിങ്ങൾ എടുത്ത സംഖ്യകളുടെ സ്ഥാനങ്ങൾക്കിടയിൽ വിടവുകളുണ്ട്, ഒന്നോ രണ്ടോ അല്ല, മറിച്ച് അനന്തമായി പലതും. അതിശയകരമായ കാര്യം എന്തെന്നാൽ, ഈ വിടവുകളിൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ടിനിടയിലും അനന്തമായി പല സംഖ്യകൾ കിടക്കുന്നു!

അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ ശേഷിക്കുന്നു:

1. നമ്പർ ലൈനിൽ ശേഷിക്കുന്ന സംഖ്യകളെ എന്താണ് വിളിക്കുന്നത്?

2. അവയെ എങ്ങനെ തിരിച്ചറിയും? അതായത്, അവയെ ഭിന്നക സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വേർതിരിക്കും?

ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് അടുത്ത ഭാഗത്ത് ഉത്തരം ലഭിക്കും.

1.2 അഭിന്നക സംഖ്യകൾ (Irrational Numbers)

മുൻ ഭാഗത്തിൽ, നമ്പർ ലൈനിൽ ഭിന്നക സംഖ്യകളല്ലാത്ത സംഖ്യകൾ ഉണ്ടായേക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടു. ഈ ഭാഗത്ത്, ഞങ്ങൾ ഈ സംഖ്യകൾ അന്വേഷിക്കാൻ പോകുന്നു. ഇതുവരെ, നിങ്ങൾ കണ്ടുമുട്ടിയ എല്ലാ സംഖ്യകളും $\frac{p}{q}$ എന്ന രൂപത്തിലാണ്, ഇവിടെ $p$, $q$ എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് കൂടാതെ $q \neq 0$. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ചോദിച്ചേക്കാം: ഈ രൂപത്തിൽ ഇല്ലാത്ത സംഖ്യകൾ ഉണ്ടോ? അത്തരം സംഖ്യകൾ ഉണ്ട് താനും.

ഗ്രീസിലെ പൈതഗോറിയൻമാർ, പ്രസിദ്ധ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും തത്ത്വചിന്തകനുമായ പൈതഗോറസിന്റെ അനുയായികൾ, ഭിന്നക സംഖ്യകളല്ലാത്ത സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തിയ ആദ്യത്തെവരായിരുന്നു, ഏകദേശം $400 \mathrm{BC}$. ഈ സംഖ്യകളെ അഭിന്നക സംഖ്യകൾ (irrationals) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ അനുപാതത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ കഴിയില്ല. പൈതഗോറിയനായ ഹിപ്പാക്കസ് ഓഫ് ക്രോട്ടൺ അഭിന്നക സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തിയതിനെക്കുറിച്ച് പല പുരാണങ്ങളുണ്ട്. എല്ലാ പുരാണങ്ങളിലും, $\sqrt{2}$ അഭിന്നകമാണെന്ന് കണ്ടെത്തിയതിനോ, $\sqrt{2}$ എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള രഹസ്യം രഹസ്യ പൈതഗോറിയൻ വിഭാഗത്തിന് പുറത്തുള്ള ആളുകളോട് വെളിപ്പെടുത്തിയതിനോ ഹിപ്പാക്കസിന് ഒരു നിർഭാഗ്യകരമായ അവസാനമുണ്ട്!

പൈതഗോറസ്

(569 BCE - 479 BCE)

ചിത്രം 1.3

നമുക്ക് ഈ സംഖ്യകൾ ഔപചാരികമായി നിർവചിക്കാം.

‘$\mathrm{s}$’ എന്ന സംഖ്യയെ അഭിന്നകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് $\frac{p}{q}$ എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഇവിടെ $p$, $q$ എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് കൂടാതെ $q \neq 0$.

അനന്തമായി പല ഭിന്നക സംഖ്യകളുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. അനന്തമായി പല അഭിന്നക സംഖ്യകളും ഉണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ:

$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, 0.10110111011110 \ldots $$

ശ്രദ്ധിക്കുക : $\sqrt{ }$ എന്ന ചിഹ്നം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, അത് സംഖ്യയുടെ പോസിറ്റീവ് വർഗ്ഗമൂലമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു എന്ന് ഓർക്കുക. അതിനാൽ $\sqrt{4}=2$, 4 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ 2 ഉം -2 ഉം ആണെങ്കിലും.

മുകളിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അഭിന്നക സംഖ്യകളിൽ ചിലത് നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഇതിനകം മുകളിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പല വർഗ്ഗമൂലങ്ങളും $\pi$ എന്ന സംഖ്യയും കണ്ടുമുട്ടിയിട്ടുണ്ട്.

$\sqrt{2}$ അഭിന്നകമാണെന്ന് പൈതഗോറിയൻമാർ തെളിയിച്ചു. പിന്നീട് ഏകദേശം $425 \mathrm{BC}$ ൽ, തിയോഡോറസ് ഓഫ് സൈറീൻ $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$, $\sqrt{17}$ എന്നിവയും അഭിന്നകങ്ങളാണെന്ന് കാണിച്ചു. $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$, തുടങ്ങിയവയുടെ അഭിന്നകത്വത്തിന്റെ തെളിവുകൾ ക്ലാസ് X ൽ ചർച്ച ചെയ്യും. $\pi$ സംബന്ധിച്ച്, ആയിരക്കണക്കിന് വർഷങ്ങളായി വിവിധ സംസ്കാരങ്ങൾക്ക് ഇത് അറിയാമായിരുന്നു, $1700 \mathrm{~s}$ അവസാനത്തിൽ ലാംബെർട്ടും ലെജൻഡ്രും മാത്രമാണ് ഇത് അഭിന്നകമാണെന്ന് തെളിയിച്ചത്. അടുത്ത ഭാഗത്ത്, $0.10110111011110 \ldots$, $\pi$ എന്നിവ എന്തുകൊണ്ട് അഭിന്നകമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യും.

മുൻ ഭാഗത്തിന്റെ അവസാനം ഉയർത്തിയ ചോദ്യങ്ങളിലേക്ക് നമുക്ക് മടങ്ങാം. ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെ ബാഗ് ഓർക്കുക. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ എല്ലാ അഭിന്നക സംഖ്യകളും ബാഗിൽ ഇട്ടാൽ, നമ്പർ ലൈനിൽ എന്തെങ്കിലും സംഖ്യ ശേഷിക്കുമോ? ഉത്തരം ഇല്ല! എല്ലാ ഭിന്നക സംഖ്യകളുടെയും അഭിന്നക സംഖ്യകളുടെയും ശേഖരം ഒരുമിച്ച് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ (real numbers) ശേഖരം ഉണ്ടാക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു,

അത് $\mathbf{R}$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ ഭിന്നകമോ അഭിന്നകമോ ആണ്. അതിനാൽ, ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും നമ്പർ ലൈനിലെ ഒരു അദ്വിതീയ ബിന്ദുവാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. കൂടാതെ, നമ്പർ ലൈനിലെ ഓരോ ബിന്ദുവും ഒരു അദ്വിതീയ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ് നമ്മൾ നമ്പർ ലൈനിനെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ രേഖ എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.

R. ഡെഡെകിൻഡ് (1831-1916)

ചിത്രം 1.4

1870 കളിൽ രണ്ട് ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ കാൻററും ഡെഡെകിൻഡും ഇത് കാണിച്ചു: ഓരോ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും, യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ രേഖയിൽ ഒരു ബിന്ദു ഉണ്ട്, കൂടാതെ നമ്പർ ലൈനിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിനും, ഒരു അദ്വിതീയ യഥാർത്ഥ സംഖ്യ നിലവിലുണ്ട്.

G. കാൻറർ (1845-1918) ചിത്രം 1.5

നമ്പർ ലൈനിൽ ചില അഭിന്നക സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 3 : $\sqrt{2}$ നമ്പർ ലൈനിൽ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം : ഗ്രീക്കുകാർക്ക് $\sqrt{2}$ എങ്ങനെ കണ്ടെത്തിയേക്കാമെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. ഒരു ചതുരം $\mathrm{OABC}$ പരിഗണിക്കുക, ഓരോ വശത്തിന്റെയും നീളം 1 യൂണിറ്റ് (ചിത്രം 1.6 കാണുക). അപ്പോൾ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം പ്രകാരം $\mathrm{OB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. $\sqrt{2}$ നമ്പർ ലൈനിൽ എങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കും?

ചിത്രം 1.6 ഇത് എളുപ്പമാണ്. ശീർഷകം $\mathrm{O}$ പൂജ്യവുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കിക്കൊണ്ട് ചിത്രം 1.6 നമ്പർ ലൈനിലേക്ക് മാറ്റുക (ചിത്രം 1.7 കാണുക).

ചിത്രം 1.7

$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$ എന്ന് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ കണ്ടു. കേന്ദ്രം $\mathrm{O}$, ആരം $\mathrm{OB}$ ഉള്ള ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച്, നമ്പർ ലൈനെ ബിന്ദു $P$ ൽ വിഭജിക്കുന്ന ഒരു ആർക്ക് വരയ്ക്കുക. അപ്പോൾ $P$ നമ്പർ ലൈനിലെ $\sqrt{2}$ ന് യോജിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 4 : $\sqrt{3}$ നമ്പർ ലൈനിൽ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം : നമുക്ക് ചിത്രം 1.7 ലേക്ക് മടങ്ങാം.

ചിത്രം 1.8

$\mathrm{BD}$ യൂണിറ്റ് നീളമുള്ളത് $\mathrm{OB}$ ന് ലംബമായി നിർമ്മിക്കുക (ചിത്രം 1.8 ൽ ഉള്ളതുപോലെ). അപ്പോൾ പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, $\mathrm{OD}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$ എന്ന് നമുക്ക് കാണാം. കേന്ദ്രം $\mathrm{O}$, ആരം $\mathrm{OD}$ ഉള്ള ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിച്ച്, നമ്പർ ലൈനെ ബിന്ദു $\mathrm{Q}$ ൽ വിഭജിക്കുന്ന ഒരു ആർക്ക് വരയ്ക്കുക. അപ്പോൾ $\mathrm{Q}$ $\sqrt{3}$ ന് യോജിക്കുന്നു.

അതേ രീതിയിൽ, $\sqrt{n-1}$ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിച്ച ശേഷം, ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ $n$ ന് $\sqrt{n}$ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കാം.

1.3 യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളും അവയുടെ ദശാംശ വികാസങ്ങളും

ഈ ഭാഗത്ത്, ഭിന്നക സംഖ്യകളെയും അഭിന്നക സംഖ്യകളെയും മറ്റൊരു കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്ന് പഠിക്കാൻ ഞങ്ങൾ പോകുന്നു. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ വികാസങ്ങൾ നോക്കുകയും ഭിന്നകങ്ങളെയും അഭിന്നകങ്ങളെയും വേർതിരിക്കാൻ വികാസങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നോക്കുകയും ചെയ്യും. അവയുടെ ദശാംശ വികാസങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് യഥാർത്ഥ സം