೧.೧ ಪರಿಚಯ

ನಿಮ್ಮ ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕೆಂದು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ (ಚಿತ್ರ ೧.೧ ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ ೧.೧ : ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆ

ನೀವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಈ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ನಡೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದೀರಿ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಕಣ್ಣುಗಳು ಎಷ್ಟು ದೂರ ನೋಡುತ್ತವೆಯೋ ಅಷ್ಟು ದೂರ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ!

ಚಿತ್ರ ೧.೨

ಈಗ ನೀವು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ನಡೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೀರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸಲು ಒಂದು ಚೀಲವನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿ!

ನೀವು ೧,೨,೩, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಕೇವಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಈ ಪಟ್ಟಿ ಶಾಶ್ವತವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. (ಇದು ಏಕೆ ನಿಜ?) ಆದ್ದರಿಂದ, ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಚೀಲದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ! ನಾವು ಈ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು $\mathbf{N}$ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಈಗ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿ ಎಲ್ಲಾ ದಾರಿ ನಡೆದು, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಚೀಲದಲ್ಲಿ ಹಾಕಿ. ಈಗ ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಿದೆ, ಅದನ್ನು $\mathbf{W}$ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ, ನಿಮ್ಮ ಮುಂದೆ ಅನೇಕ, ಅನೇಕ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ವಿಸ್ತರಿಸಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಚೀಲದಲ್ಲಿ ಹಾಕಿ. ನಿಮ್ಮ ಹೊಸ ಸಂಗ್ರಹ ಯಾವುದು? ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು $\mathbf{Z}$ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಳಿದಿವೆಯೇ? ಖಂಡಿತ! $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$, ಅಥವಾ $\frac{-2005}{2006}$ ನಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ನೀವು ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಚೀಲದಲ್ಲಿ ಹಾಕಿದರೆ, ಅದು ಈಗ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗುತ್ತದೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು $\mathbf{Q}$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ‘ರ್ಯಾಶನಲ್’ ಎಂಬ ಪದವು ‘ರೇಷಿಯೋ’ (ಅನುಪಾತ) ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಮತ್ತು Q ಎಂಬುದು ‘ಕ್ವೋಶಂಟ್’ (ಭಾಗಲಬ್ಧ) ಎಂಬ ಪದದಿಂದ ಬಂದಿದೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

‘$r$’ ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು $\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದಾದರೆ, ಇಲ್ಲಿ $p$ ಮತ್ತು $q$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $q \neq 0$. (ನಾವು ಏಕೆ $q \neq 0$ ಎಂದು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ?)

ಚೀಲದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಈಗ $\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ, ಇಲ್ಲಿ $p$ ಮತ್ತು $q$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $q \neq 0$. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, -25 ಅನ್ನು $\frac{-25}{1}$ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು; ಇಲ್ಲಿ $p=-25$ ಮತ್ತು $q=1$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅನನ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ $p$ ಮತ್ತು $q$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $q \neq 0$. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}$ $=\frac{47}{94}$, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಇವು ಸಮಾನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು). ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು $\frac{p}{q}$ ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಹೇಳಿದಾಗ, ಅಥವಾ ನಾವು $\frac{p}{q}$ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದಾಗ, ನಾವು $q \neq 0$ ಎಂದು ಮತ್ತು $p$ ಮತ್ತು $q$ ಗಳು 1 ಅನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಎಂದು (ಅಂದರೆ, $p$ ಮತ್ತು $q$ ಸಹ-ಅವಿಭಾಜ್ಯ) ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ, $\frac{1}{2}$ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಅನಂತ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು $\frac{1}{2}$ ಅನ್ನು ಆರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಈಗ, ನೀವು ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕುರಿತು ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸತ್ಯವೇ ಅಥವಾ ಸುಳ್ಳೇ? ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳಿಗೆ ಕಾರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿ.

(i) ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

(ii) ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವೂ ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

(iii) ಪ್ರತಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ : (i) ಸುಳ್ಳು, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯವು ಒಂದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ ಆದರೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲ.

(ii) ಸತ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರತಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $m$ ಅನ್ನು $\frac{m}{1}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. (iii) ಸುಳ್ಳು, ಏಕೆಂದರೆ $\frac{3}{5}$ ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : 1 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವೆ ಐದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಪಿಸಬಹುದು.

ಪರಿಹಾರ 1 : $r$ ಮತ್ತು $s$ ನಡುವೆ ಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು $r$ ಮತ್ತು $s$ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮೊತ್ತವನ್ನು 2 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ $\frac{r+s}{2}$ ಎಂಬುದು $r$ ಮತ್ತು $s$ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, $\frac{3}{2}$ ಎಂಬುದು 1 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವಿನ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ನೀವು 1 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವೆ ನಾಲ್ಕು ಹೆಚ್ಚಿನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಈ ನಾಲ್ಕು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$ ಮತ್ತು $\frac{7}{4}$.

ಪರಿಹಾರ 2 : ಇನ್ನೊಂದು ಆಯ್ಕೆಯೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಐದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ನಮಗೆ ಐದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು 1 ಮತ್ತು 2 ಅನ್ನು $5+1$ ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, $1=\frac{6}{6}$ ಮತ್ತು $2=\frac{12}{6}$. ನಂತರ ನೀವು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ ಮತ್ತು $\frac{11}{6}$ ಎಲ್ಲವೂ 1 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವಿನ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಐದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ ಮತ್ತು $\frac{11}{6}$.

ಟಿಪ್ಪಣಿ: ಉದಾಹರಣೆ 2 ರಲ್ಲಿ, ನೀವು 1 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವೆ ಐದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೇಳಲಾಗಿತ್ತು ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ. ಆದರೆ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ 1 ಮತ್ತು 2 ರ ನಡುವೆ ಅನಂತ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ನೀವು ಅರಿತುಕೊಂಡಿರಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ನೀಡಲಾದ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಅನಂತ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನೋಡೋಣ. ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಇನ್ನೂ ಇಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇನ್ನೂ ಅನೇಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉಳಿದಿವೆ! ನೀವು ಆರಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸ್ಥಳಗಳ ನಡುವೆ ಅಂತರಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ಅಲ್ಲ ಆದರೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಅನೇಕ. ಆಶ್ಚರ್ಯಕರ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಈ ಅಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡರ ನಡುವೆ ಸಹ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ!

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಉಳಿದಿದ್ದೇವೆ:

೧. ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಉಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಏನು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

೨. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗುರುತಿಸಬೇಕು? ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕು?

ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರಿಸಲಾಗುವುದು.

೧.೨ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಇರಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ನೋಡಿದೆವು. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಲಿದ್ದೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ನೀವು ಎದುರಿಸಿದ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು $\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿವೆ, ಇಲ್ಲಿ $p$ ಮತ್ತು $q$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $q \neq 0$. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು ಕೇಳಬಹುದು: ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆಯೇ? ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ.

ಗ್ರೀಸ್ನ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ನರು, ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತಜ್ಞ ಮತ್ತು ತತ್ತ್ವಜ್ಞಾನಿ ಪೈಥಾಗರಸ್ನ ಅನುಯಾಯಿಗಳು, ಸುಮಾರು $400 \mathrm{BC}$ ಸುಮಾರಿಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿದವರು. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (ಇರ್ರೇಶನಲ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್, ಹಿಪ್ಪಾಕಸ್ ಆಫ್ ಕ್ರೋಟನ್ ಅವರು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿದದ್ದರ ಸುತ್ತ ಅನೇಕ ಪುರಾಣಗಳಿವೆ. ಎಲ್ಲಾ ಪುರಾಣಗಳಲ್ಲಿ, ಹಿಪ್ಪಾಕಸ್ ಅವರಿಗೆ ದುರಂತ ಅಂತ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, $\sqrt{2}$ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿದದ್ದಕ್ಕಾಗಿ ಅಥವಾ $\sqrt{2}$ ಬಗ್ಗೆ ರಹಸ್ಯವನ್ನು ರಹಸ್ಯ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪಂಥದ ಹೊರಗಿನ ಜನರಿಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿದ್ದಕ್ಕಾಗಿ!

ಪೈಥಾಗರಸ್

(ಕ್ರಿ.ಪೂ. 569 - ಕ್ರಿ.ಪೂ. 479)

ಚಿತ್ರ ೧.೩

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ.

‘$\mathrm{s}$’ ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದನ್ನು $\frac{p}{q}$ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗದಿದ್ದರೆ, ಇಲ್ಲಿ $p$ ಮತ್ತು $q$ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು $q \neq 0$.

ಅನಂತ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದೆ. ಅನಂತ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೂ ಇವೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, 0.10110111011110 \ldots $$

ಟಿಪ್ಪಣಿ : ನಾವು $\sqrt{ }$ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದಾಗ, ಅದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಧನಾತ್ಮಕ ವರ್ಗಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಆದ್ದರಿಂದ $\sqrt{4}=2$, ಆದರೂ 2 ಮತ್ತು -2 ಎರಡೂ 4 ರ ವರ್ಗಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ.

ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಕೆಲವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಿಮಗೆ ಪರಿಚಿತವಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಮೇಲೆ ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಲಾದ ಅನೇಕ ವರ್ಗಮೂಲಗಳು ಮತ್ತು $\pi$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ್ದೀರಿ.

$\sqrt{2}$ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ನರು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ನಂತರ ಸುಮಾರು $425 \mathrm{BC}$ ರಲ್ಲಿ, ಸೈರೀನ್ನ ಥಿಯೋಡೋರಸ್ $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$ ಮತ್ತು $\sqrt{17}$ ಸಹ ಅಭಾಗಲಬ್ಧಗಳು ಎಂದು ತೋರಿಸಿದರು. $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಪುರಾವೆಗಳನ್ನು ದಶಮ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು. $\pi$ ಕುರಿತಂತೆ, ಇದು ಸಾವಿರಾರು ವರ್ಷಗಳಿಂದ ವಿವಿಧ ಸಂಸ್ಕೃತಿಗಳಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು, ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಲ್ಯಾಂಬರ್ಟ್ ಮತ್ತು ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಅವರು ಕೇವಲ $1700 \mathrm{~s}$ ನಂತರದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು. ಮುಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, $0.10110111011110 \ldots$ ಮತ್ತು $\pi$ ಏಕೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಚೀಲವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ನಾವು ಈಗ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಚೀಲದಲ್ಲಿ ಹಾಕಿದರೆ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆಯೇ? ಉತ್ತರವೆಂದರೆ ಇಲ್ಲ! ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಒಟ್ಟಾಗಿ ನಾವು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ,

ಇದನ್ನು $\mathbf{R}$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಾಗೆಯೇ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಅನನ್ಯ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾವು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆರ್. ಡೆಡೆಕೈಂಡ್ (1831-1916)

ಚಿತ್ರ ೧.೪

1870 ರ ದಶಕದಲ್ಲಿ, ಇಬ್ಬರು ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು, ಕ್ಯಾಂಟರ್ ಮತ್ತು ಡೆಡೆಕೈಂಡ್, ಇದನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು: ಪ್ರತಿ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ, ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಬಿಂದು ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಒಂದು ಅನನ್ಯ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಜಿ. ಕ್ಯಾಂಟರ್ (1845-1918) ಚಿತ್ರ ೧.೫

ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 : $\sqrt{2}$ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಗ್ರೀಕರು $\sqrt{2}$ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಒಂದು ಚೌಕ $\mathrm{OABC}$ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಪ್ರತಿ ಬದಿಯು 1 ಘಟಕ ಉದ್ದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಚಿತ್ರ ೧.೬ ನೋಡಿ). ನಂತರ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ನೀವು ನೋಡಬಹುದು $\mathrm{OB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$. ನಾವು $\sqrt{2}$ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬೇಕು?

ಚಿತ್ರ ೧.೬ ಇದು ಸುಲಭ. ಶೃಂಗ $\mathrm{O}$ ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿ ಚಿತ್ರ ೧.೬ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿ (ಚಿತ್ರ ೧.೭ ನೋಡಿ).

ಚಿತ್ರ ೧.೭

ನಾವು ಇದೀಗ $\mathrm{OB}=\sqrt{2}$ ಎಂದು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ $\mathrm{OB}$ ಹೊಂದಿರುವ ದಿಕ್ಸೂಚಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು $P$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಒಂದು ಚಾಪವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಂತರ $P$ ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ $\sqrt{2}$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 : $\sqrt{3}$ ಅನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ : ನಾವು ಚಿತ್ರ ೧.೭ ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗೋಣ.

ಚಿತ್ರ ೧.೮

$\mathrm{BD}$ ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದವನ್ನು $\mathrm{OB}$ ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ನಿರ್ಮಿಸಿ (ಚಿತ್ರ ೧.೮ ರಲ್ಲಿರುವಂತೆ). ನಂತರ ಪೈಥಾಗರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು $\mathrm{OD}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$ ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಕೇಂದ್ರ $\mathrm{O}$ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ $\mathrm{OD}$ ಹೊಂದಿರುವ ದಿಕ್ಸೂಚಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯನ್ನು $\mathrm{Q}$ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಒಂದು ಚಾಪವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ನಂತರ $\mathrm{Q}$ ಎಂಬುದು $\sqrt{3}$ ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ನೀವು $\sqrt{n-1}$ ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಿದ ನಂತರ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ $n$ ಗೆ $\sqrt{n}$ ಅನ್ನು ಸ್ಥಳೀಕರಿಸಬಹುದು.

೧.೩ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬೇರೆ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳ ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಾವು ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನಮಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಚಿತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ನಾವು ಮೂರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}, \frac{1}{7}$. ಶೇಷಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಶೇಷ ಗಮನ ಹರಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 5 : $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}$ ಮತ್ತು $\frac{1}{7}$ ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ :

ಶೇಷಗಳು : $1,1,1,1,1 \ldots$ ಭಾಜಕ : 3

ಶೇಷಗಳು : $6,4,0$ ಭಾಜಕ : 8 ಶೇಷಗಳು: $3,2,6,4,5,1$, $3,2,6,4,5,1, \ldots$

ಭಾಜಕ : 7

ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ? ನೀವು ಕನಿಷ್ಠ ಮೂರು ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿರಬೇಕು:

(i) ಶೇಷಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದ ನಂತರ 0 ಆಗುತ್ತವೆ, ಅಥವಾ ತಮ್ಮನ್ನು ತಾವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತವೆ.

(ii) ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಶೇಷಗಳ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿನ ನಮೂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಭಾಜಕಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ($\frac{10}{3}$ ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ತನ್ನನ್ನು ತಾನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಭಾಜಕವು 3 ಆಗಿದೆ, $\frac{1}{7}$ ರಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಶೇಷಗಳ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ನಲ್ಲಿ 326451 ಆರು ನಮೂದುಗಳಿವೆ ಮತ್ತು 7 ಭಾಜಕವಾಗಿದೆ).

(iii) ಶೇಷಗಳು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ($\frac{10}{3}, 3$ ಗೆ ಭಾಗಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $\frac{1}{7}$ ಗೆ, ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧದಲ್ಲಿ 142857 ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಬ್ಲಾಕ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ).

ನಾವು ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದರೂ, ಇದು $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ ರೂಪದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ