1.1 પરિચય

તમે તમારી પહેલાની કક્ષાઓમાં સંખ્યા રેખા અને તેના પર વિવિધ પ્રકારની સંખ્યાઓને કેવી રીતે દર્શાવવી તે વિશે શીખ્યા છો (ફિગ. 1.1 જુઓ).

ફિગ. 1.1 : સંખ્યા રેખા

કલ્પના કરો કે તમે શૂન્યથી શરૂઆત કરો છો અને આ સંખ્યા રેખા પર ધન દિશામાં ચાલવાનું ચાલુ રાખો છો. તમારી આંખો જેટલું જોઈ શકે છે ત્યાં સુધી, સંખ્યાઓ, સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓ છે!

ફિગ. 1.2

હવે ધારો કે તમે સંખ્યા રેખા પર ચાલવાનું શરૂ કરો છો, અને કેટલીક સંખ્યાઓ એકઠી કરો છો. તેમને સંગ્રહિત કરવા માટે એક થેલી તૈયાર કરો!

તમે કદાચ માત્ર પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ જેવી કે 1,2,3, વગેરે લેવાથી શરૂઆત કરી શકો છો. તમે જાણો છો કે આ યાદી કાયમ ચાલુ રહે છે. (આ સાચું કેમ છે?) તેથી, હવે તમારી થેલીમાં અનંત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે! યાદ કરો કે આપણે આ સંગ્રહને ચિહ્ન $\mathbf{N}$ દ્વારા દર્શાવીએ છીએ.

હવે પાછા ફરો અને બધી રીતે પાછા ચાલો, શૂન્યને લો અને તેને થેલીમાં મૂકો. હવે તમારી પાસે પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સંગ્રહ છે જેને ચિહ્ન $\mathbf{W}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

હવે, તમારી સામે ઘણી, ઘણી ઋણ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ ફેલાયેલી છે. બધી ઋણ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓને તમારી થેલીમાં મૂકો. તમારો નવો સંગ્રહ શું છે? યાદ કરો કે તે બધા પૂર્ણાંકોનો સંગ્રહ છે, અને તેને ચિહ્ન $\mathbf{Z}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

શું રેખા પર હજુ કેટલીક સંખ્યાઓ બાકી છે? અલબત્ત! ત્યાં $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$, અથવા તો $\frac{-2005}{2006}$ જેવી સંખ્યાઓ છે. જો તમે આવી બધી સંખ્યાઓને પણ થેલીમાં મૂકો, તો હવે તે પરિમેય સંખ્યાઓનો સંગ્રહ થશે.

પરિમેય સંખ્યાઓના સંગ્રહને $\mathbf{Q}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ‘Rational’ શબ્દ ‘ratio’ શબ્દમાંથી આવ્યો છે, અને Q ‘quotient’ શબ્દમાંથી આવ્યો છે.

તમે પરિમેય સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા યાદ કરી શકો છો:

એક સંખ્યા ‘$r$’ ને પરિમેય સંખ્યા કહેવામાં આવે છે, જો તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$. (આપણે $q \neq 0$ કેમ જરૂરી ગણીએ છીએ?)

નોંધ કરો કે હવે થેલીમાંની બધી સંખ્યાઓને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$. ઉદાહરણ તરીકે, -25 ને $\frac{-25}{1}$ તરીકે લખી શકાય; અહીં $p=-25$ અને $q=1$. તેથી, પરિમેય સંખ્યાઓમાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, પૂર્ણ સંખ્યાઓ અને પૂર્ણાંકો પણ સમાવિષ્ટ છે. તમે એ પણ જાણો છો કે પરિમેય સંખ્યાઓનું $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં અનન્ય નિરૂપણ નથી, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$. ઉદાહરણ તરીકે, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}$ $=\frac{47}{94}$, અને તેથી વધુ. આ સમતુલ્ય પરિમેય સંખ્યાઓ (અથવા અપૂર્ણાંકો) છે. જો કે, જ્યારે આપણે કહીએ છીએ કે $\frac{p}{q}$ એક પરિમેય સંખ્યા છે, અથવા જ્યારે આપણે $\frac{p}{q}$ ને સંખ્યા રેખા પર દર્શાવીએ છીએ, ત્યારે આપણે ધારીએ છીએ કે $q \neq 0$ અને તે $p$ અને $q$ ના 1 સિવાય કોઈ સામાન્ય અવયવો નથી (એટલે કે, $p$ અને $q$ સહ-અવિભાજ્ય છે). તેથી, સંખ્યા રેખા પર, $\frac{1}{2}$ ની સમતુલ્ય અનંત અપૂર્ણાંકોમાંથી, આપણે તે બધાને દર્શાવવા માટે $\frac{1}{2}$ ની પસંદગી કરીશું.

હવે, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો ઉકેલીએ જે વિવિધ પ્રકારની સંખ્યાઓ વિશે છે, જે તમે પહેલાની કક્ષાઓમાં અભ્યાસ કર્યો છે.

ઉદાહરણ 1 : નીચેના વિધાનો સાચાં છે કે ખોટાં? તમારા જવાબો માટે કારણો આપો.

(i) દરેક પૂર્ણ સંખ્યા એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(ii) દરેક પૂર્ણાંક એક પરિમેય સંખ્યા છે.

(iii) દરેક પરિમેય સંખ્યા એક પૂર્ણાંક છે.

ઉકેલ : (i) ખોટું, કારણ કે શૂન્ય એક પૂર્ણ સંખ્યા છે પરંતુ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.

(ii) સાચું, કારણ કે દરેક પૂર્ણાંક $m$ ને $\frac{m}{1}$ સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે, અને તેથી તે એક પરિમેય સંખ્યા છે. (iii) ખોટું, કારણ કે $\frac{3}{5}$ એ પૂર્ણાંક નથી.

ઉદાહરણ 2 : 1 અને 2 વચ્ચે પાંચ પરિમેય સંખ્યાઓ શોધો.

આપણે આ સમસ્યાને ઓછામાં ઓછી બે રીતે સંપર્ક કરી શકીએ છીએ.

ઉકેલ 1 : યાદ કરો કે $r$ અને $s$ વચ્ચે એક પરિમેય સંખ્યા શોધવા માટે, તમે $r$ અને $s$ નો સરવાળો કરીને 2 વડે ભાગી શકો છો, એટલે કે $\frac{r+s}{2}$ $r$ અને $s$ વચ્ચે આવેલી છે. તેથી, $\frac{3}{2}$ એ 1 અને 2 વચ્ચેની સંખ્યા છે. તમે 1 અને 2 વચ્ચે ચાર વધુ પરિમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે આ રીતે આગળ વધી શકો છો. આ ચાર સંખ્યાઓ $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$ અને $\frac{7}{4}$ છે.

ઉકેલ 2 : બીજો વિકલ્પ એ છે કે બધી પાંચ પરિમેય સંખ્યાઓ એક જ પગલામાં શોધી કાઢો. કારણ કે આપણને પાંચ સંખ્યાઓ જોઈએ છે, આપણે 1 અને 2 ને છેદ $5+1$ સાથે પરિમેય સંખ્યાઓ તરીકે લખીએ છીએ, એટલે કે, $1=\frac{6}{6}$ અને $2=\frac{12}{6}$. પછી તમે ચકાસી શકો છો કે $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ અને $\frac{11}{6}$ બધી 1 અને 2 વચ્ચેની પરિમેય સંખ્યાઓ છે. તેથી, પાંચ સંખ્યાઓ $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ અને $\frac{11}{6}$ છે.

ટિપ્પણી: નોંધ કરો કે ઉદાહરણ 2 માં, તમને 1 અને 2 વચ્ચે પાંચ પરિમેય સંખ્યાઓ શોધવા માટે કહેવામાં આવ્યું હતું. પરંતુ, તમને ખ્યાલ આવ્યો હશે કે હકીકતમાં 1 અને 2 વચ્ચે અનંત પરિમેય સંખ્યાઓ છે. સામાન્ય રીતે, કોઈપણ બે આપેલ પરિમેય સંખ્યાઓ વચ્ચે અનંત પરિમેય સંખ્યાઓ હોય છે. ચાલો ફરી એકવાર સંખ્યા રેખા પર એક નજર નાખીએ. શું તમે બધી સંખ્યાઓ લઈ લીધી છે? હજુ નહીં. હકીકત એ છે કે સંખ્યા રેખા પર હજુ પણ અનંત વધુ સંખ્યાઓ બાકી છે! તમે લીધેલી સંખ્યાઓના સ્થાનો વચ્ચે અંતર છે, અને માત્ર એક કે બે નહીં પરંતુ અનંત. આશ્ચર્યજનક વાત એ છે કે આ અંતરોમાંથી કોઈપણ બે વચ્ચે પણ અનંત સંખ્યાઓ પડેલી છે!

તેથી આપણી પાસે નીચેના પ્રશ્નો બાકી રહે છે:

1. સંખ્યા રેખા પર બાકી રહેલી સંખ્યાઓને શું કહેવામાં આવે છે?

2. આપણે તેમને કેવી રીતે ઓળખીશું? એટલે કે, આપણે તેમને પરિમેય સંખ્યાઓથી કેવી રીતે અલગ પાડીશું?

આ પ્રશ્નોના જવાબો આગળના વિભાગમાં આપવામાં આવશે.

1.2 અપરિમેય સંખ્યાઓ

આપણે પાછલા વિભાગમાં જોયું કે, સંખ્યા રેખા પર એવી સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે જે પરિમેય નથી. આ વિભાગમાં, આપણે આ સંખ્યાઓની તપાસ કરવા જઈ રહ્યા છીએ. અત્યાર સુધી, તમે જે બધી સંખ્યાઓ સાથે મળ્યા છો, તે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપની છે, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$. તેથી, તમે પૂછી શકો છો: શું આ સ્વરૂપની ન હોય તેવી સંખ્યાઓ છે? ખરેખર આવી સંખ્યાઓ છે.

ગ્રીસમાં પાયથાગોરસના અનુયાયીઓ, પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી અને દાર્શનિક પાયથાગોરસના અનુયાયીઓ, આવી સંખ્યાઓ શોધનારા પ્રથમ હતા જે પરિમેય ન હતી, લગભગ $400 \mathrm{BC}$. આ સંખ્યાઓને અપરિમેય સંખ્યાઓ (અપરિમેય) કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેમને પૂર્ણાંકોના ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં લખી શકાતી નથી. પાયથાગોરસના અનુયાયી, હિપ્પાકસ ઓફ ક્રોટન દ્વારા અપરિમેય સંખ્યાઓની શોધને લગતી ઘણી દંતકથાઓ છે. બધી દંતકથાઓમાં, હિપ્પાકસનો અંત દુર્ભાગ્યપૂર્ણ છે, કાં તો $\sqrt{2}$ અપરિમેય છે તે શોધવા માટે અથવા $\sqrt{2}$ વિશેનો રહસ્ય ગુપ્ત પાયથાગોરસ સંપ્રદાયની બહારના લોકોને જણાવવા માટે!

પાયથાગોરસ

(569 BCE - 479 BCE)

ફિગ. 1.3

ચાલો આ સંખ્યાઓને ઔપચારિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

એક સંખ્યા ‘$\mathrm{s}$’ ને અપરિમેય કહેવામાં આવે છે, જો તેને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં લખી શકાતી ન હોય, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે અને $q \neq 0$.

તમે પહેલાથી જ જાણો છો કે અનંત પરિમેય સંખ્યાઓ છે. તે તારણ આપે છે કે અનંત અપરિમેય સંખ્યાઓ પણ છે. કેટલાંક ઉદાહરણો છે:

$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, 0.10110111011110 \ldots $$

ટિપ્પણી : યાદ કરો કે જ્યારે આપણે ચિહ્ન $\sqrt{ }$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે ધારીએ છીએ કે તે સંખ્યાનો ધન વર્ગમૂળ છે. તેથી $\sqrt{4}=2$, જોકે 2 અને -2 બંને 4 ના વર્ગમૂળ છે.

ઉપર યાદી કરેલી અપરિમેય સંખ્યાઓમાંથી કેટલીક તમારા માટે પરિચિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, તમે પહેલાથી જ ઉપર યાદી કરેલા ઘણા વર્ગમૂળો અને સંખ્યા $\pi$ સાથે મળ્યા છો.

પાયથાગોરસે સાબિત કર્યું કે $\sqrt{2}$ અપરિમેય છે. પછીથી લગભગ $425 \mathrm{BC}$ માં, થિયોડોરસ ઓફ સાયરીને બતાવ્યું કે $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$ અને $\sqrt{17}$ પણ અપરિમેય છે. $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$, વગેરેની અપરિમેયતાના પુરાવા દસમી ધોરણમાં ચર્ચા કરવામાં આવશે. $\pi$ ની બાબતે, તે હજારો વર્ષોથી વિવિધ સંસ્કૃતિઓને જાણીતી હતી, તેને લેમ્બર્ટ અને લેજન્ડ્રે દ્વારા માત્ર $1700 \mathrm{~s}$ ના અંતમાં અપરિમેય સાબિત કરવામાં આવી હતી. આગળના વિભાગમાં, આપણે ચર્ચા કરીશું કે $0.10110111011110 \ldots$ અને $\pi$ અપરિમેય કેમ છે.

ચાલો પાછલા વિભાગના અંતે ઉભા કરેલા પ્રશ્નો પર પાછા ફરીએ. પરિમેય સંખ્યાઓની થેલી યાદ કરો. જો આપણે હવે બધી અપરિમેય સંખ્યાઓને થેલીમાં મૂકીએ, તો શું સંખ્યા રેખા પર કોઈ સંખ્યા બાકી રહેશે? જવાબ ના છે! તે તારણ આપે છે કે બધી પરિમેય સંખ્યાઓ અને અપરિમેય સંખ્યાઓનો સંગ્રહ એકસાથે મળીને તે બનાવે છે જેને આપણે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સંગ્રહ કહીએ છીએ,

જેને $\mathbf{R}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી, એક વાસ્તવિક સંખ્યા કાં તો પરિમેય છે અથવા અપરિમેય છે. તેથી, આપણે કહી શકીએ કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા સંખ્યા રેખા પર એક અનન્ય બિંદુ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેમજ, સંખ્યા રેખા પરનું દરેક બિંદુ એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આથી જ આપણે સંખ્યા રેખાને વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા કહીએ છીએ.

R. ડેડેકાઇન્ડ (1831-1916)

ફિગ. 1.4

1870 ના દાયકામાં બે જર્મન ગણિતશાસ્ત્રીઓ, કેન્ટર અને ડેડેકાઇન્ડે બતાવ્યું કે: દરેક વાસ્તવિક સંખ્યાને અનુરૂપ, વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા પર એક બિંદુ હોય છે, અને સંખ્યા રેખા પરના દરેક બિંદુને અનુરૂપ, એક અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા અસ્તિત્વમાં હોય છે.

G. કેન્ટર (1845-1918) ફિગ. 1.5

ચાલો જોઈએ કે આપણે સંખ્યા રેખા પર કેટલીક અપરિમેય સંખ્યાઓને કેવી રીતે સ્થિત કરી શકીએ.

ઉદાહરણ 3 : $\sqrt{2}$ ને સંખ્યા રેખા પર સ્થિત કરો.

ઉકેલ : ગ્રીક લોકોએ $\sqrt{2}$ કેવી રીતે શોધ્યું હશે તે જોવું સરળ છે. એક ચોરસ $\mathrm{OABC}$ ધ્યાનમાં લો, જેની દરેક બાજુ 1 એકમ લંબાઈની છે (ફિગ. 1.6 જુઓ). પછી તમે પાયથાગોરસ પ્રમેય દ્વારા જોઈ શકો છો કે $\mathrm{OB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$. આપણે $\sqrt{2}$ ને સંખ્યા રેખા પર કેવી રીતે દર્શાવીશું?

ફિગ. 1.6 આ સરળ છે. ફિગ. 1.6 ને સંખ્યા રેખા પર સ્થાનાંતરિત કરો, ખાતરી કરો કે શિરોબિંદુ $\mathrm{O}$ શૂન્ય સાથે એકરુપ થાય છે (ફિગ. 1.7 જુઓ).

ફિગ. 1.7

આપણે હમણાં જ જોયું કે $\mathrm{OB}=\sqrt{2}$. કેન્દ્ર $\mathrm{O}$ અને ત્રિજ્યા $\mathrm{OB}$ સાથે કમ્પાસનો ઉપયોગ કરીને, એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $P$ પર છેદે છે. પછી $P$ સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{2}$ ને અનુરૂપ છે.

ઉદાહરણ 4 : $\sqrt{3}$ ને સંખ્યા રેખા પર સ્થિત કરો.

ઉકેલ : ચાલો ફિગ. 1.7 પર પાછા ફરીએ.

ફિગ. 1.8

$\mathrm{BD}$ એકમ લંબાઈનો $\mathrm{OB}$ પર લંબ રચો (ફિગ. 1.8 માં જેમ). પછી પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે $\mathrm{OD}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$. કેન્દ્ર $\mathrm{O}$ અને ત્રિજ્યા $\mathrm{OD}$ સાથે કમ્પાસનો ઉપયોગ કરીને, એક ચાપ દોરો જે સંખ્યા રેખાને બિંદુ $\mathrm{Q}$ પર છેદે છે. પછી $\mathrm{Q}$ $\sqrt{3}$ ને અનુરૂપ છે.

એ જ રીતે, તમે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $\sqrt{n}$ ને સ્થિત કરી શકો છો, $\sqrt{n-1}$ સ્થિત થઈ ગયા પછી.

1.3 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને તેમના દશાંશ વિસ્તરણો

આ વિભાગમાં, આપણે પરિમેય અને અપરિમેય સંખ્યાઓનો અભ્યાસ એક અલગ દૃષ્ટિકોણથી કરવા જઈ રહ્યા છીએ. આપણે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના દશાંશ વિસ્તરણો જોઈશું અને જોઈશું કે શું આપણે પરિમેય અને અપરિમેય સંખ્યાઓ વચ્ચે તફાવત કરવા માટે વિસ્તરણોનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. આપણે તેમના દશાંશ વિસ્તરણોનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યા રેખા પર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું નિરૂપણ કેવી રીતે કલ્પના કરવું તે પણ સમજાવીશું. કારણ કે પરિમેય સંખ્યાઓ આપણને વધુ પરિચિત છે, ચાલો તેમનાથી શરૂઆત કરીએ. ચાલો ત્રણ ઉદાહરણો લઈએ: $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}, \frac{1}{7}$. શેષ પર ખાસ ધ્યાન આપો અને જુઓ કે શું તમે કોઈ પેટર્ન શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 5 : $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}$ અને $\frac{1}{7}$ ના દશાંશ વિસ્તરણો શોધો.

ઉકેલ :

શેષ : $1,1,1,1,1 \ldots$ ભાજક : 3

શેષ : $6,4,0$ ભાજક : 8 શેષ: $3,2,6,4,5,1$, $3,2,6,4,5,1, \ldots$

ભાજક : 7

તમે શું નોંધ્યું છે? તમારે ઓછામાં ઓછી ત્રણ વસ્તુઓ નોંધી હોવી જોઈએ:

(i) શેષ કાં તો એક ચોક્કસ તબક્કા પછી 0 બની જાય છે, અથવા પોતાને પુનરાવર્તિત કરવાનું શરૂ કરે છે.

(ii) શેષની પુનરાવર્તિત શ્રેણીમાં પ્રવેશોની સંખ્યા ભાજક કરતા ઓછી હોય છે ($\frac{10}{3}$ માં એક સંખ્યા પોતાને પુનરાવર્તિત કરે છે અને ભાજક 3 છે, $\frac{1}{7}$ માં શેષની પુનરાવર્તિત શ્રેણીમાં છ પ્રવેશો 326451 છે અને 7 ભાજક છે).

(iii) જો શેષ પુનરાવર્તિત થાય, તો આપણને ભાગફળમાં અંકોનો એક પુનરાવર્તિત બ્લોક મળે છે ($\frac{10}{3}, 3$ માટે ભાગફળમાં પુનરાવર્તિત થાય છે અને $\frac{1}{7}$ માટે, આપણને ભાગફળમાં પુનરાવર્તિત બ્લોક 142857 મળે છે).

જોકે આપણે ફક્ત ઉપરના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને આ પેટર્ન નોંધ્યું છે, તે $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ સ્વરૂપની તમામ