1.1 పరిచయం

మీరు మీ మునుపటి తరగతులలో సంఖ్యా రేఖ గురించి మరియు దానిపై వివిధ రకాల సంఖ్యలను ఎలా సూచించాలో నేర్చుకున్నారు (Fig. 1.1 చూడండి).

Fig. 1.1 : సంఖ్యా రేఖ

మీరు సున్నా నుండి ప్రారంభించి ఈ సంఖ్యా రేఖ వెంట ధన దిశలో నడవడం ప్రారంభించారని ఊహించుకోండి. మీ కళ్ళు చూడగలిగినంత దూరం, సంఖ్యలు, సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యలు మాత్రమే ఉన్నాయి!

Fig. 1.2

ఇప్పుడు మీరు సంఖ్యా రేఖ వెంట నడవడం ప్రారంభించి, కొన్ని సంఖ్యలను సేకరిస్తున్నారని అనుకోండి. వాటిని నిల్వ చేయడానికి ఒక సంచిని సిద్ధం చేసుకోండి!

మీరు 1,2,3 వంటి సహజ సంఖ్యలను మాత్రమే ఎంచుకోవడం ప్రారంభించవచ్చు. ఈ జాబితా ఎప్పటికీ కొనసాగుతుందని మీకు తెలుసు. (ఇది ఎందుకు నిజం?) కాబట్టి, ఇప్పుడు మీ సంచిలో అనంతమైన సహజ సంఖ్యలు ఉన్నాయి! ఈ సమాహారాన్ని మనం $\mathbf{N}$ గుర్తుతో సూచిస్తామని గుర్తుంచుకోండి.

ఇప్పుడు తిరిగి నడిచి వెళ్లి, సున్నాను తీసుకుని సంచిలో వేయండి. ఇప్పుడు మీ వద్ద పూర్ణ సంఖ్యల సమాహారం ఉంది, దీనిని $\mathbf{W}$ గుర్తుతో సూచిస్తారు.

ఇప్పుడు, మీ ముందు చాలా, చాలా ఋణ పూర్ణాంకాలు విస్తరించి ఉన్నాయి. అన్ని ఋణ పూర్ణాంకాలను మీ సంచిలో వేయండి. మీ కొత్త సమాహారం ఏమిటి? ఇది అన్ని పూర్ణాంకాల సమాహారం అని గుర్తుంచుకోండి, మరియు దీనిని $\mathbf{Z}$ గుర్తుతో సూచిస్తారు.

రేఖపై ఇంకా కొన్ని సంఖ్యలు మిగిలి ఉన్నాయా? ఖచ్చితంగా! $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$, లేదా $\frac{-2005}{2006}$ వంటి సంఖ్యలు ఉన్నాయి. మీరు అన్ని అటువంటి సంఖ్యలను కూడా సంచిలో వేస్తే, అది ఇప్పుడు అకరణీయ సంఖ్యల సమాహారం అవుతుంది.

అకరణీయ సంఖ్యల సమాహారాన్ని $\mathbf{Q}$ తో సూచిస్తారు. ‘Rational’ అనే పదం ‘ratio’ నుండి వచ్చింది, మరియు Q అనేది ‘quotient’ అనే పదం నుండి వచ్చింది.

మీరు అకరణీయ సంఖ్యల నిర్వచనాన్ని గుర్తు చేసుకోవచ్చు:

ఒక సంఖ్య ‘$r$’ ను అకరణీయ సంఖ్య అంటారు, అది $\frac{p}{q}$ రూపంలో వ్రాయగలిగితే, ఇక్కడ $p$ మరియు $q$ పూర్ణాంకాలు మరియు $q \neq 0$. (మనం $q \neq 0$ అని ఎందుకు పట్టుబట్టాలి?)

సంచిలో ఇప్పుడు ఉన్న అన్ని సంఖ్యలను $\frac{p}{q}$ రూపంలో వ్రాయవచ్చని గమనించండి, ఇక్కడ $p$ మరియు $q$ పూర్ణాంకాలు మరియు $q \neq 0$. ఉదాహరణకు, -25 ని $\frac{-25}{1}$ గా వ్రాయవచ్చు; ఇక్కడ $p=-25$ మరియు $q=1$. కాబట్టి, అకరణీయ సంఖ్యలలో సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు పూర్ణాంకాలు కూడా ఉంటాయి. అకరణీయ సంఖ్యలు $\frac{p}{q}$ రూపంలో ఏకైక ప్రాతినిధ్యాన్ని కలిగి ఉండవని కూడా మీకు తెలుసు, ఇక్కడ $p$ మరియు $q$ పూర్ణాంకాలు మరియు $q \neq 0$. ఉదాహరణకు, $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}$ $=\frac{47}{94}$, మరియు అలాగే. ఇవి సమానమైన అకరణీయ సంఖ్యలు (లేదా భిన్నాలు). అయితే, మనం $\frac{p}{q}$ ఒక అకరణీయ సంఖ్య అని చెప్పినప్పుడు, లేదా మనం $\frac{p}{q}$ ని సంఖ్యా రేఖపై సూచించినప్పుడు, మనం $q \neq 0$ మరియు $p$ మరియు $q$ కి 1 తప్ప ఇతర సామాన్య కారణాంకాలు లేవని (అంటే, $p$ మరియు $q$ సహ-ప్రధానాలు) ఊహిస్తాము. కాబట్టి, సంఖ్యా రేఖపై, $\frac{1}{2}$ కి సమానమైన అనంతమైన భిన్నాలలో, వాటన్నింటినీ సూచించడానికి మనం $\frac{1}{2}$ ని ఎన్నుకుంటాము.

ఇప్పుడు, మీరు మునుపటి తరగతులలో చదివిన వివిధ రకాల సంఖ్యల గురించి కొన్ని ఉదాహరణలను పరిష్కరిద్దాం.

ఉదాహరణ 1 : కింది ప్రకటనలు సత్యమా లేదా అసత్యమా? మీ సమాధానాలకు కారణాలు ఇవ్వండి.

(i) ప్రతి పూర్ణ సంఖ్య ఒక సహజ సంఖ్య.

(ii) ప్రతి పూర్ణాంకం ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

(iii) ప్రతి అకరణీయ సంఖ్య ఒక పూర్ణాంకం.

పరిష్కారం : (i) అసత్యం, ఎందుకంటే సున్నా ఒక పూర్ణ సంఖ్య కానీ సహజ సంఖ్య కాదు.

(ii) సత్యం, ఎందుకంటే ప్రతి పూర్ణాంకం $m$ ని $\frac{m}{1}$ రూపంలో వ్యక్తపరచవచ్చు, కాబట్టి అది ఒక అకరణీయ సంఖ్య. (iii) అసత్యం, ఎందుకంటే $\frac{3}{5}$ ఒక పూర్ణాంకం కాదు.

ఉదాహరణ 2 : 1 మరియు 2 మధ్య ఐదు అకరణీయ సంఖ్యలను కనుగొనండి.

మనం ఈ సమస్యను కనీసం రెండు విధాలుగా సమీపించవచ్చు.

పరిష్కారం 1 : $r$ మరియు $s$ మధ్య ఒక అకరణీయ సంఖ్యను కనుగొనడానికి, మీరు $r$ మరియు $s$ ని కలిపి మొత్తాన్ని 2 తో భాగించవచ్చు, అంటే $\frac{r+s}{2}$ $r$ మరియు $s$ మధ్య ఉంటుంది. కాబట్టి, $\frac{3}{2}$ అనేది 1 మరియు 2 మధ్య ఒక సంఖ్య. మీరు ఈ పద్ధతిలో కొనసాగి 1 మరియు 2 మధ్య మరో నాలుగు అకరణీయ సంఖ్యలను కనుగొనవచ్చు. ఈ నాలుగు సంఖ్యలు $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$ మరియు $\frac{7}{4}$.

పరిష్కారం 2 : ఇతర ఎంపిక ఐదు అకరణీయ సంఖ్యలను ఒకే దశలో కనుగొనడం. మనకు ఐదు సంఖ్యలు కావాలి కాబట్టి, మనం 1 మరియు 2 ని హారం $5+1$ తో అకరణీయ సంఖ్యలుగా వ్రాస్తాము, అంటే, $1=\frac{6}{6}$ మరియు $2=\frac{12}{6}$. అప్పుడు మీరు $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ మరియు $\frac{11}{6}$ అన్నీ 1 మరియు 2 మధ్య అకరణీయ సంఖ్యలు అని తనిఖీ చేయవచ్చు. కాబట్టి, ఐదు సంఖ్యలు $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ మరియు $\frac{11}{6}$.

వ్యాఖ్య: ఉదాహరణ 2లో, మీరు 1 మరియు 2 మధ్య ఐదు అకరణీయ సంఖ్యలను కనుగొనమని అడగబడ్డారు. కానీ, వాస్తవానికి 1 మరియు 2 మధ్య అనంతమైన అకరణీయ సంఖ్యలు ఉన్నాయని మీరు గ్రహించి ఉండాలి. సాధారణంగా, ఏవైనా రెండు ఇచ్చిన అకరణీయ సంఖ్యల మధ్య అనంతమైన అకరణీయ సంఖ్యలు ఉంటాయి. సంఖ్యా రేఖను మరోసారి పరిశీలిద్దాం. మీరు అన్ని సంఖ్యలను ఎంచుకున్నారా? ఇంకా కాదు. వాస్తవం ఏమిటంటే, సంఖ్యా రేఖపై ఇంకా అనంతమైన సంఖ్యలు మిగిలి ఉన్నాయి! మీరు ఎంచుకున్న సంఖ్యల స్థానాల మధ్య ఖాళీలు ఉన్నాయి, మరియు ఒకటి లేదా రెండు మాత్రమే కాదు, అనంతమైనవి. ఆశ్చర్యకరమైన విషయం ఏమిటంటే, ఈ ఖాళీలలో ఏవైనా రెండింటి మధ్య కూడా అనంతమైన సంఖ్యలు ఉన్నాయి!

కాబట్టి మనకు కింది ప్రశ్నలు మిగిలి ఉన్నాయి:

1. సంఖ్యా రేఖపై మిగిలి ఉన్న సంఖ్యలను ఏమని పిలుస్తారు?

2. మనం వాటిని ఎలా గుర్తించాలి? అంటే, అకరణీయ సంఖ్యల నుండి మనం వాటిని ఎలా వేరు చేయాలి?

ఈ ప్రశ్నలకు తదుపరి విభాగంలో సమాధానాలు లభిస్తాయి.

1.2 అకరణీయేతర సంఖ్యలు

మునుపటి విభాగంలో, సంఖ్యా రేఖపై అకరణీయాలు కాని సంఖ్యలు ఉండవచ్చని మనం చూశాము. ఈ విభాగంలో, మనం ఈ సంఖ్యలను పరిశోధించబోతున్నాము. ఇప్పటి వరకు, మీరు ఎదుర్కొన్న అన్ని సంఖ్యలు $\frac{p}{q}$ రూపంలో ఉన్నాయి, ఇక్కడ $p$ మరియు $q$ పూర్ణాంకాలు మరియు $q \neq 0$. కాబట్టి, మీరు అడగవచ్చు: ఈ రూపంలో లేని సంఖ్యలు ఉన్నాయా? నిజానికి అలాంటి సంఖ్యలు ఉన్నాయి.

గ్రీస్లోని పైథాగోరియన్లు, ప్రసిద్ధ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు తత్వవేత్త పైథాగరస్ యొక్క అనుచరులు, సుమారు $400 \mathrm{BC}$ సమయంలో అకరణీయాలు కాని సంఖ్యలను మొదటగా కనుగొన్నారు. ఈ సంఖ్యలను అకరణీయేతర సంఖ్యలు (అకరణీయాలు) అంటారు, ఎందుకంటే వాటిని పూర్ణాంకాల నిష్పత్తి రూపంలో వ్రాయలేము. పైథాగోరియన్, క్రోటన్ యొక్క హిప్పాకస్ చేత అకరణీయేతర సంఖ్యల ఆవిష్కరణ చుట్టూ అనేక పురాణాలు ఉన్నాయి. అన్ని పురాణాలలో, $\sqrt{2}$ అకరణీయేతరం అని కనుగొన్నందుకు లేదా $\sqrt{2}$ గురించిన రహస్యాన్ని రహస్య పైథాగోరియన్ సెక్ట్ వెలుపలి వ్యక్తులకు బహిర్గతం చేసినందుకు హిప్పాకస్కు దురదృష్టకరమైన ముగింపు ఉంటుంది!

పైథాగరస్

(569 BCE - 479 BCE)

Fig. 1.3

ఈ సంఖ్యలను మనం శాస్త్రీయంగా నిర్వచిద్దాం.

ఒక సంఖ్య ‘$\mathrm{s}$’ ను అకరణీయేతరం అంటారు, అది $\frac{p}{q}$ రూపంలో వ్రాయలేకపోతే, ఇక్కడ $p$ మరియు $q$ పూర్ణాంకాలు మరియు $q \neq 0$.

అనంతమైన అకరణీయ సంఖ్యలు ఉన్నాయని మీకు ఇప్పటికే తెలుసు. అనంతమైన అకరణీయేతర సంఖ్యలు కూడా ఉన్నాయని తేలింది. కొన్ని ఉదాహరణలు:

$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, 0.10110111011110 \ldots $$

వ్యాఖ్య : మనం $\sqrt{ }$ గుర్తును ఉపయోగించినప్పుడు, అది సంఖ్య యొక్క ధన వర్గమూలం అని మనం ఊహిస్తామని గుర్తుంచుకోండి. కాబట్టి $\sqrt{4}=2$, అయినప్పటికీ 2 మరియు -2 రెండూ 4 యొక్క వర్గమూలాలు.

పైన పేర్కొన్న కొన్ని అకరణీయేతర సంఖ్యలు మీకు పరిచితమైనవి. ఉదాహరణకు, మీరు ఇప్పటికే పైన పేర్కొన్న అనేక వర్గమూలాలు మరియు సంఖ్య $\pi$ను ఎదుర్కొన్నారు.

పైథాగోరియన్లు $\sqrt{2}$ అకరణీయేతరం అని నిరూపించారు. తరువాత సుమారు $425 \mathrm{BC}$లో, సైరిన్ యొక్క థియోడోరస్ $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$ మరియు $\sqrt{17}$ కూడా అకరణీయేతరాలు అని చూపించారు. $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$, మొదలైనవి యొక్క అకరణీయత నిరూపణలు, తరగతి Xలో చర్చించబడతాయి. $\pi$ గురించి, ఇది వేలాది సంవత్సరాలుగా వివిధ సంస్కృతులకు తెలుసు, ఇది లాంబర్ట్ మరియు లెజెండ్రే చేత మాత్రమే $1700 \mathrm{~s}$ చివరలో అకరణీయేతరం అని నిరూపించబడింది. తదుపరి విభాగంలో, $0.10110111011110 \ldots$ మరియు $\pi$ ఎందుకు అకరణీయేతరాలు అని మనం చర్చిస్తాము.

మునుపటి విభాగం చివరలో ఎత్తిన ప్రశ్నలకు తిరిగి వెళ్దాం. అకరణీయ సంఖ్యల సంచిని గుర్తుంచుకోండి. మనం ఇప్పుడు అన్ని అకరణీయేతర సంఖ్యలను సంచిలో వేస్తే, సంఖ్యా రేఖపై ఏ సంఖ్యలు మిగిలి ఉంటాయా? జవాబు లేదు! అన్ని అకరణీయ సంఖ్యలు మరియు అకరణీయేతర సంఖ్యల సమాహారం కలిసి మనం వాస్తవ సంఖ్యల సమాహారం అని పిలిచేదాన్ని తయారు చేస్తుందని తేలింది,

దీనిని $\mathbf{R}$ తో సూచిస్తారు. కాబట్టి, ఒక వాస్తవ సంఖ్య అకరణీయం లేదా అకరణీయేతరం. కాబట్టి, ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య సంఖ్యా రేఖపై ఒక ప్రత్యేక బిందువు ద్వారా సూచించబడుతుందని మనం చెప్పవచ్చు. అలాగే, సంఖ్యా రేఖపై ప్రతి బిందువు ఒక ప్రత్యేక వాస్తవ సంఖ్యను సూచిస్తుంది. ఇందుకే మనం సంఖ్యా రేఖను వాస్తవ సంఖ్యా రేఖ అని పిలుస్తాము.

R. డెడెకైండ్ (1831-1916)

Fig. 1.4

1870లలో ఇద్దరు జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు, కాంటర్ మరియు డెడెకైండ్, ఇది చూపించారు: ప్రతి వాస్తవ సంఖ్యకు, వాస్తవ సంఖ్యా రేఖపై ఒక బిందువు ఉంటుంది, మరియు సంఖ్యా రేఖపై ప్రతి బిందువుకు, ఒక ప్రత్యేక వాస్తవ సంఖ్య ఉంటుంది.

G. కాంటర్ (1845-1918) Fig. 1.5

సంఖ్యా రేఖపై కొన్ని అకరణీయేతర సంఖ్యలను మనం ఎలా గుర్తించవచ్చో చూద్దాం.

ఉదాహరణ 3 : $\sqrt{2}$ ని సంఖ్యా రేఖపై గుర్తించండి.

పరిష్కారం : గ్రీకులు $\sqrt{2}$ ని ఎలా కనుగొని ఉండవచ్చో చూడటం సులభం. ఒక చతురస్రం $\mathrm{OABC}$ ని పరిగణించండి, ప్రతి భుజం పొడవు 1 యూనిట్ (Fig. 1.6 చూడండి). అప్పుడు పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ద్వారా $\mathrm{OB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ అని మీరు చూడవచ్చు. మనం $\sqrt{2}$ ని సంఖ్యా రేఖపై ఎలా సూచించాలి?

Fig. 1.6 ఇది సులభం. Fig. 1.6 ని సంఖ్యా రేఖపై బిందువు $\mathrm{O}$ సున్నాతో ఏకీభవించేలా బదిలీ చేయండి (Fig. 1.7 చూడండి).

Fig. 1.7

మనం ఇప్పుడే $\mathrm{OB}=\sqrt{2}$ అని చూశాము. కేంద్రం $\mathrm{O}$ మరియు వ్యాసార్థం $\mathrm{OB}$ తో ఒక కంపాస్ ఉపయోగించి, సంఖ్యా రేఖను బిందువు $P$ వద్ద ఖండించే ఒక చాపాన్ని గీయండి. అప్పుడు $P$ సంఖ్యా రేఖపై $\sqrt{2}$ కు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 4 : $\sqrt{3}$ ని సంఖ్యా రేఖపై గుర్తించండి.

పరిష్కారం : Fig. 1.7 కి తిరిగి వెళ్దాం.

Fig. 1.8

యూనిట్ పొడవు గల $\mathrm{BD}$ ని $\mathrm{OB}$ కు లంబంగా నిర్మించండి (Fig. 1.8 లో వలె). అప్పుడు పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మనం $\mathrm{OD}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$ అని చూస్తాము. కేంద్రం $\mathrm{O}$ మరియు వ్యాసార్థం $\mathrm{OD}$ తో ఒక కంపాస్ ఉపయోగించి, సంఖ్యా రేఖను బిందువు $\mathrm{Q}$ వద్ద ఖండించే ఒక చాపాన్ని గీయండి. అప్పుడు $\mathrm{Q}$ $\sqrt{3}$ కు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

అదే విధంగా, మీరు ఏదైనా ధన పూర్ణాంకం $n$ కోసం $\sqrt{n}$ ని, $\sqrt{n-1}$ గుర్తించిన తర్వాత, గుర్తించవచ్చు.

1.3 వాస్తవ సంఖ్యలు మరియు వాటి దశాంశ విస్తరణలు

ఈ విభాగంలో, మనం అకరణీయ మరియు అకరణీయేతర సంఖ్యలను వేరే కోణం నుండి అధ్యయనం చేయబోతున్నాము. మనం వాస్తవ సంఖ్యల దశాంశ విస్తరణలను చూస్తాము మరియు అకరణీయాలు మరియు అకరణీయేతరాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని గుర్తించడానికి విస్తరణలను ఉపయోగించగలమో లేదో చూస్తాము. వాటి దశాంశ విస్తరణలను ఉపయోగించి సంఖ్యా రేఖపై వాస్తవ సంఖ్యల ప్రాతినిధ్యాన్ని ఎలా దృశ్యమానం చేయాలో కూడా మనం వివరిస్తాము. అకరణీయాలు మనకు మరింత పరిచితం కాబట్టి, వాటితో ప్రారంభిద్దాం. మనం మూడు ఉదాహరణలను తీసుకుందాం: $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}, \frac{1}{7}$. శేషాలపై ప్రత్యేక శ్రద్ధ వహించండి మరియు మీరు ఏదైనా నమూనాను కనుగొనగలరో లేదో చూడండి.

ఉదాహరణ 5 : $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}$ మరియు $\frac{1}{7}$ యొక్క దశాంశ విస్తరణలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం :

శేషాలు : $1,1,1,1,1 \ldots$ భాజకం : 3

శేషాలు : $6,4,0$ భాజకం : 8 శేషాలు: $3,2,6,4,5,1$, $3,2,6,4,5,1, \ldots$

భాజకం : 7

మీరు ఏమి గమనించారు? మీరు కనీసం మూడు విషయాలు గమనించి ఉండాలి:

(i) శేషాలు ఒక నిర్దిష్ట దశ తర్వాత 0 అవుతాయి, లేదా పునరావృతం అవుతాయి.

(ii) పునరావృతమయ్యే శేషాల స్ట్రింగ్లోని ఎంట్రీల సంఖ్య భాజకం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది ($\frac{10}{3}$ లో ఒక సంఖ్య పునరావృతం అవుతుంది మరియు భాజకం 3, $\frac{1}{7}$ లో పునరావృతమయ్యే శేషాల స్ట్రింగ్లో ఆరు ఎంట్రీలు 326451 ఉన్నాయి మరియు 7 భాజకం).

(iii) శేషాలు పునరావృతం అయితే, మనకు భాగఫలంలో అంకెల పునరావృత బ్లాక్ లభిస్తుంది ($\frac{10}{3}, 3$ కోసం భాగఫలంలో పునరావృతం అవుతుంది మరియు $\frac{1}{7}$ కోసం, మనకు భాగఫలంలో పునరావృత బ్లాక్ 142857 లభిస్తుంది).

పైన ఉదాహరణలను మాత్రమే ఉపయోగించి మనం ఈ నమూనాను గమనించినప్పటికీ, ఇది $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ రూపంలోని అన్ని అకరణీయాలకు సత్యం. $p$ ని $q$ తో భాగించడంలో, రెండు ప్రధాన విషయాలు జరుగుతాయి - శేషం సున్నా అవుతుంది లేదా ఎప్పటికీ సున్నా కాదు మరియు మనకు శేషాల పునరావృత స్ట్రింగ్ లభిస్తుంది. ప్రతి కేసును విడిగా చూద్దాం.

కేసు (i) : శేషం సున్నా అవుతుంది

$\frac{7}{8}$ ఉదాహరణలో, మనం కొన్ని దశల తర్వాత శేషం సున్న