1.1 تعارف

آپ نے اپنی پچھلی کلاسوں میں نمبر لائن کے بارے میں سیکھا ہے اور اس پر مختلف اقسام کے نمبرز کو کیسے ظاہر کیا جاتا ہے (دیکھیں شکل 1.1)۔

شکل 1.1 : نمبر لائن

ذرا تصور کریں کہ آپ صفر سے شروع کرتے ہیں اور مثبت سمت میں اس نمبر لائن پر چلتے جاتے ہیں۔ جہاں تک آپ کی نظر جاتی ہے، وہاں نمبرز ہیں، نمبرز اور نمبرز!

شکل 1.2

اب فرض کریں کہ آپ نمبر لائن پر چلنا شروع کرتے ہیں، اور کچھ نمبرز جمع کرتے ہیں۔ انہیں ذخیرہ کرنے کے لیے ایک بیگ تیار کریں!

آپ شاید صرف قدرتی نمبرز جیسے 1،2،3، وغیرہ اٹھانا شروع کریں۔ آپ جانتے ہیں کہ یہ فہرست ہمیشہ جاری رہتی ہے۔ (یہ کیوں سچ ہے؟) تو، اب آپ کے بیگ میں لامحدود قدرتی نمبرز ہیں! یاد رکھیں کہ ہم اس مجموعے کو علامت $\mathbf{N}$ سے ظاہر کرتے ہیں۔

اب مڑیں اور واپس چلیں، صفر اٹھائیں اور اسے بیگ میں ڈالیں۔ اب آپ کے پاس مکمل نمبرز کا مجموعہ ہے جسے علامت $\mathbf{W}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

اب، آپ کے سامنے بہت سے، بہت سے منفی integers پھیلے ہوئے ہیں۔ تمام منفی integers کو اپنے بیگ میں ڈالیں۔ آپ کا نیا مجموعہ کیا ہے؟ یاد رکھیں کہ یہ تمام integers کا مجموعہ ہے، اور اسے علامت $\mathbf{Z}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

کیا لائن پر ابھی بھی کچھ نمبرز باقی ہیں؟ بالکل! ایسے نمبرز ہیں جیسے $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}$، یا یہاں تک کہ $\frac{-2005}{2006}$۔ اگر آپ ایسے تمام نمبرز کو بھی بیگ میں ڈالیں، تو اب یہ rational numbers کا مجموعہ ہوگا۔

rational numbers کے مجموعے کو $\mathbf{Q}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ‘Rational’ لفظ ‘ratio’ سے آیا ہے، اور Q لفظ ‘quotient’ سے آیا ہے۔

آپ کو rational numbers کی تعریف یاد ہوگی:

ایک نمبر ‘$r$’ rational number کہلاتا ہے، اگر اسے $\frac{p}{q}$ کی شکل میں لکھا جا سکے، جہاں $p$ اور $q$ integers ہوں اور $q \neq 0$۔ (ہم کیوں اصرار کرتے ہیں کہ $q \neq 0$؟)

غور کریں کہ بیگ میں موجود تمام نمبرز اب $\frac{p}{q}$ کی شکل میں لکھے جا سکتے ہیں، جہاں $p$ اور $q$ integers ہوں اور $q \neq 0$۔ مثال کے طور پر، -25 کو $\frac{-25}{1}$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے؛ یہاں $p=-25$ اور $q=1$۔ لہٰذا، rational numbers میں قدرتی نمبرز، مکمل نمبرز اور integers بھی شامل ہیں۔ آپ یہ بھی جانتے ہیں کہ rational numbers کی شکل $\frac{p}{q}$ میں ایک منفرد نمائندگی نہیں ہوتی، جہاں $p$ اور $q$ integers ہوں اور $q \neq 0$۔ مثال کے طور پر، $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{10}{20}=\frac{25}{50}$ $=\frac{47}{94}$، اور اسی طرح۔ یہ equivalent rational numbers (یا fractions) ہیں۔ تاہم، جب ہم کہتے ہیں کہ $\frac{p}{q}$ ایک rational number ہے، یا جب ہم $\frac{p}{q}$ کو نمبر لائن پر ظاہر کرتے ہیں، تو ہم فرض کرتے ہیں کہ $q \neq 0$ اور یہ کہ $p$ اور $q$ کے 1 کے علاوہ کوئی common factors نہیں ہیں (یعنی، $p$ اور $q$ co-prime ہیں)۔ لہٰذا، نمبر لائن پر، $\frac{1}{2}$ کے برابر infinitely many fractions میں سے، ہم ان سب کی نمائندگی کے لیے $\frac{1}{2}$ کا انتخاب کریں گے۔

اب، آئیے کچھ مثالیں حل کریں مختلف اقسام کے نمبرز کے بارے میں، جو آپ نے پچھلی کلاسوں میں پڑھے ہیں۔

مثال 1 : کیا مندرجہ ذیل بیانات سچے ہیں یا جھوٹے؟ اپنے جوابات کی وجوہات دیں۔

(i) ہر مکمل نمبر ایک قدرتی نمبر ہوتا ہے۔

(ii) ہر integer ایک rational number ہوتا ہے۔

(iii) ہر rational number ایک integer ہوتا ہے۔

حل : (i) جھوٹا، کیونکہ صفر ایک مکمل نمبر ہے لیکن قدرتی نمبر نہیں ہے۔

(ii) سچا، کیونکہ ہر integer $m$ کو شکل $\frac{m}{1}$ میں ظاہر کیا جا سکتا ہے، اور اس طرح یہ ایک rational number ہے۔ (iii) جھوٹا، کیونکہ $\frac{3}{5}$ ایک integer نہیں ہے۔

مثال 2 : 1 اور 2 کے درمیان پانچ rational numbers تلاش کریں۔

ہم اس مسئلے کو کم از کم دو طریقوں سے حل کر سکتے ہیں۔

حل 1 : یاد رکھیں کہ $r$ اور $s$ کے درمیان ایک rational number تلاش کرنے کے لیے، آپ $r$ اور $s$ کو جمع کر سکتے ہیں اور مجموعے کو 2 سے تقسیم کر سکتے ہیں، یعنی $\frac{r+s}{2}$، $r$ اور $s$ کے درمیان واقع ہے۔ لہٰذا، $\frac{3}{2}$ 1 اور 2 کے درمیان ایک نمبر ہے۔ آپ اس طریقے سے آگے بڑھ سکتے ہیں تاکہ 1 اور 2 کے درمیان مزید چار rational numbers تلاش کر سکیں۔ یہ چار نمبرز $\frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \frac{13}{8}$ اور $\frac{7}{4}$ ہیں۔

حل 2 : دوسرا آپشن یہ ہے کہ تمام پانچ rational numbers ایک ہی قدم میں تلاش کیے جائیں۔ چونکہ ہم پانچ نمبرز چاہتے ہیں، ہم 1 اور 2 کو denominator $5+1$ کے ساتھ rational numbers کے طور پر لکھتے ہیں، یعنی، $1=\frac{6}{6}$ اور $2=\frac{12}{6}$۔ پھر آپ چیک کر سکتے ہیں کہ $\frac{7}{6}, \frac{8}{6}, \frac{9}{6}, \frac{10}{6}$ اور $\frac{11}{6}$ سب 1 اور 2 کے درمیان rational numbers ہیں۔ لہٰذا، پانچ نمبرز $\frac{7}{6}, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}$ اور $\frac{11}{6}$ ہیں۔

تبصرہ: غور کریں کہ مثال 2 میں، آپ سے 1 اور 2 کے درمیان پانچ rational numbers تلاش کرنے کو کہا گیا تھا۔ لیکن، آپ کو یہ احساس ہو گیا ہوگا کہ درحقیقت 1 اور 2 کے درمیان infinitely many rational numbers ہیں۔ عام طور پر، کسی بھی دو دیے گئے rational numbers کے درمیان infinitely many rational numbers ہوتے ہیں۔ آئیے ایک بار پھر نمبر لائن پر نظر ڈالیں۔ کیا آپ نے تمام نمبرز اٹھا لیے ہیں؟ ابھی نہیں۔ حقیقت یہ ہے کہ نمبر لائن پر ابھی بھی infinitely many مزید نمبرز باقی ہیں! آپ کے اٹھائے گئے نمبرز کی جگہوں کے درمیان خالی جگہیں ہیں، اور صرف ایک یا دو نہیں بلکہ infinitely many۔ حیرت انگیز بات یہ ہے کہ ان خالی جگہوں میں سے کسی دو کے درمیان بھی infinitely many نمبرز موجود ہیں!

تو ہمارے سامنے مندرجہ ذیل سوالات ہیں:

1. ان نمبرز کو کیا کہا جاتا ہے، جو نمبر لائن پر باقی رہ گئے ہیں؟

2. ہم انہیں کیسے پہچانیں؟ یعنی، ہم انہیں rationals (rational numbers) سے کیسے ممیز کریں؟

ان سوالات کے جوابات اگلے حصے میں دیے جائیں گے۔

1.2 غیر معقول نمبرز (Irrational Numbers)

ہم نے پچھلے حصے میں دیکھا کہ نمبر لائن پر ایسے نمبرز ہو سکتے ہیں جو rationals نہیں ہیں۔ اس حصے میں، ہم ان نمبرز کی تحقیق کرنے جا رہے ہیں۔ اب تک، تمام نمبرز جو آپ کے سامنے آئے ہیں، وہ شکل $\frac{p}{q}$ کے ہیں، جہاں $p$ اور $q$ integers ہیں اور $q \neq 0$۔ تو، آپ پوچھ سکتے ہیں: کیا ایسے نمبرز ہیں جو اس شکل کے نہیں ہیں؟ درحقیقت ایسے نمبرز ہیں۔

یونان میں Pythagoreans، مشہور ریاضی دان اور فلسفی Pythagoras کے پیروکار، پہلے لوگ تھے جنہوں نے ان نمبرز کو دریافت کیا جو rationals نہیں تھے، تقریباً $400 \mathrm{BC}$ کے آس پاس۔ ان نمبرز کو غیر معقول نمبرز (irrationals) کہا جاتا ہے، کیونکہ انہیں integers کے تناسب کی شکل میں نہیں لکھا جا سکتا۔ Pythagorean، Hippacus of Croton کے ذریعے غیر معقول نمبرز کی دریافت کے گرد بہت سی کہانیاں ہیں۔ تمام کہانیوں میں، Hippacus کا انجام بد ہوتا ہے، یا تو $\sqrt{2}$ کے غیر معقول ہونے کو دریافت کرنے پر یا $\sqrt{2}$ کے راز کو خفیہ Pythagorean فرقے سے باہر کے لوگوں کو بتانے پر!

Pythagoras

(569 BCE - 479 BCE)

شکل 1.3

آئیے ان نمبرز کی رسمی تعریف کریں۔

ایک نمبر ‘$\mathrm{s}$’ غیر معقول (irrational) کہلاتا ہے، اگر اسے شکل $\frac{p}{q}$ میں نہیں لکھا جا سکتا، جہاں $p$ اور $q$ integers ہوں اور $q \neq 0$۔

آپ پہلے ہی جانتے ہیں کہ infinitely many rationals ہیں۔ یہ پتہ چلتا ہے کہ infinitely many غیر معقول نمبرز بھی ہیں۔ کچھ مثالیں یہ ہیں:

$$ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{15}, \pi, 0.10110111011110 \ldots $$

تبصرہ: یاد رکھیں کہ جب ہم علامت $\sqrt{ }$ استعمال کرتے ہیں، تو ہم فرض کرتے ہیں کہ یہ نمبر کا مثبت مربع جذر ہے۔ لہٰذا $\sqrt{4}=2$، حالانکہ 2 اور -2 دونوں 4 کے مربع جذر ہیں۔

اوپر درج کیے گئے کچھ غیر معقول نمبرز آپ کے لیے جانے پہچانے ہیں۔ مثال کے طور پر، آپ پہلے ہی اوپر درج کیے گئے بہت سے مربع جذروں اور نمبر $\pi$ سے واقف ہیں۔

Pythagoreans نے ثابت کیا کہ $\sqrt{2}$ غیر معقول ہے۔ بعد میں تقریباً $425 \mathrm{BC}$ میں، Theodorus of Cyrene نے دکھایا کہ $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}, \sqrt{14}, \sqrt{15}$ اور $\sqrt{17}$ بھی غیر معقول ہیں۔ $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$، وغیرہ کی غیر معقولیت کے ثبوتوں پر کلاس X میں بحث کی جائے گی۔ جہاں تک $\pi$ کا تعلق ہے، یہ ہزاروں سالوں سے مختلف ثقافتوں میں جانا جاتا تھا، اسے Lambert اور Legendre نے صرف $1700 \mathrm{~s}$ کے آخر میں غیر معقول ثابت کیا۔ اگلے حصے میں، ہم بحث کریں گے کہ کیوں $0.10110111011110 \ldots$ اور $\pi$ غیر معقول ہیں۔

آئیے پچھلے حصے کے آخر میں اٹھائے گئے سوالات پر واپس آتے ہیں۔ rational numbers کے بیگ کو یاد رکھیں۔ اگر اب ہم تمام غیر معقول نمبرز کو بیگ میں ڈالیں، تو کیا نمبر لائن پر کوئی نمبر باقی رہ جائے گا؟ جواب ہے نہیں! یہ پتہ چلتا ہے کہ تمام rational numbers اور تمام irrational numbers کا مجموعہ مل کر وہ بناتا ہے جسے ہم حقیقی نمبرز (real numbers) کا مجموعہ کہتے ہیں،

جسے $\mathbf{R}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ لہٰذا، ایک حقیقی نمبر یا تو rational ہوتا ہے یا irrational۔ تو، ہم کہہ سکتے ہیں کہ ہر حقیقی نمبر نمبر لائن پر ایک منفرد نقطے سے ظاہر ہوتا ہے۔ نیز، نمبر لائن پر ہر نقطہ ایک منفرد حقیقی نمبر ظاہر کرتا ہے۔ اسی لیے ہم نمبر لائن کو حقیقی نمبر لائن کہتے ہیں۔

R. Dedekind (1831-1916)

شکل 1.4

1870 کی دہائی میں دو جرمن ریاضی دانوں، Cantor اور Dedekind نے دکھایا: ہر حقیقی نمبر کے مطابق، حقیقی نمبر لائن پر ایک نقطہ ہوتا ہے، اور نمبر لائن پر ہر نقطے کے مطابق، ایک منفرد حقیقی نمبر موجود ہوتا ہے۔

G. Cantor (1845-1918) شکل 1.5

آئیے دیکھیں کہ ہم نمبر لائن پر کچھ غیر معقول نمبرز کو کیسے تلاش کر سکتے ہیں۔

مثال 3 : نمبر لائن پر $\sqrt{2}$ کو تلاش کریں۔

حل : یہ دیکھنا آسان ہے کہ یونانیوں نے $\sqrt{2}$ کو کیسے دریافت کیا ہوگا۔ ایک مربع $\mathrm{OABC}$ پر غور کریں، جس کی ہر ضلع کی لمبائی 1 یونٹ ہو (دیکھیں شکل 1.6)۔ پھر آپ Pythagoras theorem سے دیکھ سکتے ہیں کہ $\mathrm{OB}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$۔ ہم $\sqrt{2}$ کو نمبر لائن پر کیسے ظاہر کریں؟

شکل 1.6 یہ آسان ہے۔ شکل 1.6 کو نمبر لائن پر منتقل کریں اس بات کو یقینی بنا کر کہ vertex $\mathrm{O}$ صفر کے ساتھ مل جائے (دیکھیں شکل 1.7)۔

شکل 1.7

ہم نے ابھی دیکھا ہے کہ $\mathrm{OB}=\sqrt{2}$۔ مرکز $\mathrm{O}$ اور رداس $\mathrm{OB}$ کے ساتھ ایک پرکار (compass) استعمال کرتے ہوئے، ایک قوس بنائیں جو نمبر لائن کو نقطہ $P$ پر کاٹتی ہے۔ پھر $P$، نمبر لائن پر $\sqrt{2}$ سے مطابقت رکھتا ہے۔

مثال 4 : نمبر لائن پر $\sqrt{3}$ کو تلاش کریں۔

حل : آئیے شکل 1.7 پر واپس آتے ہیں۔

شکل 1.8

$\mathrm{BD}$ کو $\mathrm{OB}$ کے عمودی (perpendicular) یونٹ لمبائی کا تعمیر کریں (جیسا کہ شکل 1.8 میں ہے)۔ پھر Pythagoras theorem استعمال کرتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ $\mathrm{OD}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}$۔ مرکز $\mathrm{O}$ اور رداس $\mathrm{OD}$ کے ساتھ ایک پرکار استعمال کرتے ہوئے، ایک قوس بنائیں جو نمبر لائن کو نقطہ $\mathrm{Q}$ پر کاٹتی ہے۔ پھر $\mathrm{Q}$، $\sqrt{3}$ سے مطابقت رکھتا ہے۔

اسی طرح، آپ $\sqrt{n}$ کو کسی بھی مثبت integer $n$ کے لیے تلاش کر سکتے ہیں، بعد ازاں $\sqrt{n-1}$ کو تلاش کر لیا گیا ہو۔

1.3 حقیقی نمبرز اور ان کی اعشاری توسیعات

اس حصے میں، ہم rational اور irrational numbers کو ایک مختلف نقطہ نظر سے مطالعہ کرنے جا رہے ہیں۔ ہم حقیقی نمبرز کی اعشاری توسیعات (decimal expansions) پر نظر ڈالیں گے اور دیکھیں گے کہ کیا ہم توسیعات کا استعمال کرتے ہوئے rationals اور irrationals میں تمیز کر سکتے ہیں۔ ہم یہ بھی وضاحت کریں گے کہ ان کی اعشاری توسیعات کا استعمال کرتے ہوئے حقیقی نمبرز کی نمبر لائن پر نمائندگی کو کیسے تصور کیا جائے۔ چونکہ rationals ہمارے لیے زیادہ مانوس ہیں، آئیے ان سے شروع کرتے ہیں۔ آئیے تین مثالیں لیں: $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}, \frac{1}{7}$۔ باقی ماندہ (remainders) پر خاص توجہ دیں اور دیکھیں کہ کیا آپ کوئی نمونہ (pattern) تلاش کر سکتے ہیں۔

مثال 5 : $\frac{10}{3}, \frac{7}{8}$ اور $\frac{1}{7}$ کی اعشاری توسیعات تلاش کریں۔

حل :

باقی ماندہ: $1,1,1,1,1 \ldots$ تقسیم کنندہ (Divisor): 3

باقی ماندہ: $6,4,0$ تقسیم کنندہ: 8 باقی ماندہ: $3,2,6,4,5,1$, $3,2,6,4,5,1, \ldots$

تقسیم کنندہ: 7

آپ نے کیا محسوس کیا؟ آپ نے کم از کم تین چیزیں محسوس کی ہوں گی:

(i) باقی ماندہ یا تو ایک خاص مرحلے کے بعد 0 ہو جاتے ہیں، یا خود کو دہرانے لگتے ہیں۔

(ii) باقی ماندہ کے دہرائے جانے والے سلسلے میں اندراجات (entries) کی تعداد تقسیم کنندہ سے کم ہوتی ہے ($\frac{10}{3}$ میں ایک نمبر خود کو دہراتا ہے اور تقسیم کنندہ 3 ہے، $\frac{1}{7}$ میں باقی ماندہ کے دہرائے جانے والے سلسلے میں چھ اندراجات 326451 ہیں اور 7 تقسیم کنندہ ہے)۔

(iii) اگر باقی ماندہ دہراتے ہیں، تو ہمیں حاصل تقسیم (quotient) میں ہندسوں کا ایک دہرایا جانے والا بلاک ملتا ہے ($\frac{10}{3}, 3$ کے لیے حاصل تقسیم میں دہراتا ہے اور $\frac{1}{7}$ کے لیے، ہمیں حاصل تقسیم میں دہرایا جانے والا بلاک 142857 ملتا ہے)۔

اگرچہ ہم نے یہ نمونہ صرف اوپر کی مثالیں استعمال کرتے ہوئے محسوس کیا ہے، یہ $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ کی شکل کے تمام rationals کے لیے سچ ہے۔ $p$ کو $q$ سے تقسیم کرنے پر، دو اہم چیزیں ہوتی ہیں - یا تو باقی ماندہ صفر ہو جاتا ہے یا کبھی صفر نہیں ہوتا اور ہمیں باقی ماندہ کا ایک دہرایا جانے والا سلسلہ ملتا ہے۔ آئیے ہر صورت کو الگ سے دیکھیں۔

صورت (i): باقی ماندہ صفر ہو جاتا ہے

$\frac{7}{8}$ کی مثال میں، ہم نے پایا کہ باقی ماندہ کچھ مراحل کے بعد صفر ہو جاتا ہے اور $\frac{7}{8}=0.875$ کی اعشاری توسیع۔ دیگر مثالیں ہیں $\frac{1}{2}=0.5, \frac{639}{250}=2.556$۔ ان تمام صورتوں میں، اعشاری توسیع ختم ہو جاتی ہے یا مراحل کی ایک محدود تعداد کے بعد اختتام پذیر ہوتی ہے۔ ہم ایسے نمبرز کی اعشاری توسیع کو terminating کہتے ہیں۔

صورت (ii): باقی ماندہ کبھی صفر نہیں ہوتا

$\frac{10}{3}$ اور $\frac{1}{7}$ کی مثالوں میں، ہم محسوس کرتے ہیں کہ باقی ماندہ ایک خاص مرحلے کے بعد دہرانے لگتے ہیں، جس سے اعشاری توسیع ہمیشہ کے لیے جاری رہنے پر مجبور ہوتی ہے۔ دوسرے الفاظ میں، ہمارے پاس حاصل تقسیم میں ہندسوں کا ایک دہرایا جانے والا بلاک ہوتا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ توسیع non-terminating recurring ہے۔ مثال کے طور پر، $\frac{10}{3}=3.3333 \ldots$ اور $\frac{1}{7}=0.142857142857142857 \ldots$

$\frac{10}{3}$ کے حاصل تقسیم میں 3 کے دہرانے کو ظاہر کرنے کا عام طریقہ یہ ہے کہ اسے $3 . \overline{3}$ کے طور پر لکھا جائے۔ اسی طرح، چونکہ ہندسوں کا بلاک 142857، $\frac{1}{7}$ کے حاصل تقسیم میں دہراتا ہے، ہم $\frac{1}{7}$ کو $0 . \overline{142857}$ کے طور پر لکھتے ہیں، جہاں ہندسوں کے اوپر بار (bar) ان ہندسوں کے بلاک کو ظاہر کرتا ہے جو دہراتے ہیں۔ نیز 3.57272… کو $3.5 \overline{72}$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ لہٰذا، یہ تمام مثالیں ہمیں non-terminating recurring (repeating) اعشاری توسیعات دیتی ہیں۔

اس طرح، ہم دیکھتے ہیں کہ rational numbers کی اعشاری توسیع کے صرف دو اختیارات ہیں: یا تو وہ terminating ہوتی ہیں یا non-terminating recurring۔

اب فرض کریں، دوسری طرف، نمبر لائن پر اپنی سیر کے دوران، آپ کو 3.142678 جیسا نمبر ملتا ہے جس کی اعشاری توسیع terminating ہے یا $1.272727 \ldots$ جیسا نمبر، یعنی $1 . \overline{27}$، جس کی اعشاری توسیع non-terminating recurring ہے، کیا آپ یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ یہ ایک rational number ہے؟ جواب ہے ہاں!

ہم اسے ثابت نہیں کریں گے بلکہ اس حقیقت کو کچھ مثالیں دے کر واضح کریں گے۔ terminating صورتوں کا حل آسان ہے۔

مثال 6 : دکھائیں کہ 3.142678 ایک rational number ہے۔ دوسرے الفاظ میں، 3.142678 کو شکل $\frac{p}{q}$ میں ظاہر کریں، جہاں $p$ اور $q$ integers ہوں اور $q \neq 0$۔

حل : ہمارے پاس $3.142678=\frac{3142678}{1000000}$ ہے، اور اس طرح یہ ایک rational number ہے۔

اب، آئیے اس صورت پر غور کریں جب اعشاری توسیع non-terminating recurring ہو۔

مثال 7 : دکھائیں کہ $0.3333 \ldots=0 . \overline{3}$ کو شکل $\frac{p}{q}$ میں ظاہر کیا جا سکتا ہے، جہاں $p$ اور $q$ integers ہوں اور $q \neq 0$۔

حل : چونکہ ہم نہیں جانتے کہ $0 . \overline{3}$ کیا ہے، آئیے اسے ‘$x$’ کہتے ہیں اور اس طرح

$$ x=0.3333 \ldots $$

اب یہاں چال آتی ہے۔ دیکھیں اب،

$$ 10 x=10 \times(0.333 \ldots)=3.333 \ldots $$

$$ 3.3333 \ldots=3+x \text {, since } x=0.3333 \ldots $$

لہٰذا،

$$ 10 x=3+x $$

$x$ کے لیے حل کرتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے

$$ 9 x=3 \text {, i.e., } x=\frac{1}{3} $$

مثال 8 : دکھائیں کہ $1.272727 \ldots=1 . \overline{27}$ کو شکل $\frac{p}{q}$ میں ظاہر کیا جا سکتا ہے، جہاں $p$ اور $q$ integers ہوں اور $q \neq 0$۔

حل : فرض کریں $x=1.272727 \ldots$۔ چونکہ دو ہندسے دہرا رہے ہیں، ہم $x$ کو 100 سے ضرب دیتے ہیں تاکہ حاصل ہو

تو، $$ 100 x=127.2727 \ldots $$

لہٰذا،

$$ 100 x=126+1.272727 \ldots=126+x $$

$$100 x-x=126$, i.e., $99 x=126$$

یعنی، $$ x=\frac{126}{99}=\frac{14}{11} $$

آپ الٹا چیک کر سکتے ہیں کہ $\frac{14}{11}=1 . \overline{27}$۔

مثال 9 : دکھائیں کہ $0.2353535 \ldots=0.2 \overline{35}$ کو شکل $\frac{p}{q}$ میں ظاہر کیا جا سکتا ہے، جہاں $p$ اور $q$ integers ہوں اور $q \neq 0$۔

حل : فرض کریں $x=0.2 \overline{35}$۔ یہاں غور کریں، 2 نہیں دہراتا، لیکن بلاک 35 دہراتا ہے۔ چونکہ دو ہندسے دہرا رہے ہیں، ہم $x$ کو 100 سے ضرب دیتے ہیں تاکہ حاصل ہو

$$ \begin{aligned} 100 x & =23.53535 \ldots \\ 100 x & =23.3+0.23535 \ldots=23.3+x \\ 99 x & =23.3 \end{aligned} $$

تو، لہٰذا، یعنی، $$ 99 x=\frac{233}{10}, \text { which gives } x=\frac{233}{990} $$

آپ الٹا بھی چیک کر سکتے ہیں کہ $\frac{233}{990}=0.2 \overline{35}$

تو، ہر نمبر جس کی اعشاری توسیع non-terminating recurring ہو، کو شکل $\frac{p}{q}(q \neq 0)$ میں ظاہر کیا جا سکتا ہے، جہاں $p$ اور $q$ integers ہوں۔ آئیے اپنے نتائج کو مندرجہ ذیل شکل میں خلاصہ کریں:

ایک rational number کی اعشاری توسیع یا تو terminating ہوتی ہے یا non-terminating recurring۔ مزید برآں، ایک نمبر جس کی اعشاری توسیع terminating یا non-terminating recurring ہو، rational ہوتا ہے۔

تو، اب ہم جانتے ہیں کہ ایک rational number کی اعشاری توسیع کیا ہو سکتی ہے۔ irrational numbers کی اعشاری توسیع کے بارے میں کیا خیال ہے؟ اوپر دی گئی خاصیت کی وجہ سے، ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ ان کی اعشاری توسیعات non-terminating non-recurring ہوتی ہیں۔ لہٰذا، irrational numbers کے لیے خاصیت، rational numbers کے لیے اوپر بیان کردہ خاصیت کے مشابہ، یہ ہے:

ایک irrational number کی اعشاری توسیع non-terminating non-recurring ہوتی ہے۔ مزید برآں، ایک نمبر جس کی اعشاری توسیع non-terminating non-recurring ہو، irrational ہوتا ہے۔

پچھلے حصے سے $s=0.10110111011110 \ldots$ کو یاد کریں۔ غور کریں کہ یہ non-terminating اور non-recurring ہے۔ لہٰذا، اوپر دی گئی خاصیت سے، یہ irrational ہے۔ مزید برآں، غور کریں کہ آپ $s$ کے مشابہ infinitely many irrationals پیدا کر سکتے ہیں۔

مشہور irrationals $\sqrt{2}$ اور $\pi$ کے بارے میں کیا خیال ہے؟ یہاں ایک خاص مرحلے تک ان کی اعشاری توسیعات ہیں۔

$$ \begin{aligned} \sqrt{2} & =1.4142135623730950488016887242096 \ldots \\ \pi & =3.14159265358979323846264338327950 \ldots \end{aligned} $$

(نوٹ کریں کہ، ہم اکثر $\frac{22}{7}$ کو $\pi$ کے لیے ایک تقریبی قدر کے طور پر لیتے ہیں، لیکن $\pi \neq \frac{22}{7}$۔)

سالوں سے، ریاضی دانوں نے irrational numbers کی اعشاری توسیعات میں مزید اور مزید ہندسے پیدا کرنے کے لیے مختلف تکنیکیں تیار کی ہیں۔ مثال کے طور پر، آپ نے تقسیم کے طریقے سے $\sqrt{2}$ کی اعشاری توسیع میں ہندسے تلاش کرنا سیکھا ہوگا۔ دلچسپ بات یہ ہے کہ Sulbasutras (ڈور کے قواعد) میں، ویدک دور ($800 \mathrm{BC}$ - $500 \mathrm{BC}$) کی ایک ریاضیاتی تصنیف، آپ کو $\sqrt{2}$ کا ایک تقریب اس طرح ملتا ہے:

$$ \sqrt{2}=1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{34} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\right)=1.4142156 $$

غور کریں کہ یہ پہلے پانچ اعشاری مقامات کے لیے اوپر دیے گئے کے جیسا ہی ہے۔ $\pi$ کی اعشاری توسیع میں ہندسوں کی تلاش کی تاریخ بہت دلچسپ ہے۔

یونانی عبقری Archimedes پہلے شخص تھے جنہوں نے $\pi$ کی اعشاری توسیع میں ہندسوں کا حساب لگایا۔ انہوں نے دکھایا 3.140845 $<\pi<3.142857$۔ Aryabhatta ($476-550$ C.E. $)$)، عظیم ہندوستانی ریاضی دان اور ماہر فلکیات، نے $\pi$ کی قدر چار اعشاری مقامات تک درست (3.1416) تلاش کی۔ ہائی اسپیڈ کمپیوٹرز اور اعلیٰ الگورتھمز کا استعمال کرتے ہوئے، $\pi$ کو 1.24 ٹریلین سے زیادہ اعشاری مقامات تک حساب کیا گیا ہے!

Archimedes (287 BCE-212 BCE)

شکل 1.10

اب، آئیے دیکھیں کہ غیر معقول نمبرز کیسے حاصل کیے جائیں۔

مثال 10 : $\frac{1}{7}$ اور $\frac{2}{7}$ کے درمیان ایک irrational number تلاش کریں۔

حل : ہم نے دیکھا کہ $\frac{1}{7}=0 . \overline{142857}$۔ تو، آپ آسانی سے $\frac{2}{7}=0 . \overline{285714}$ کا حساب لگا سکتے ہیں۔

$\frac{1}{7}$ اور $\frac{2}{7}$ کے درمیان ایک irrational number تلاش کرنے کے لیے، ہم ایک ایسا نمبر تلاش کرتے ہیں جو non-terminating non-recurring ہو اور ان کے درمیان واقع ہو۔ بلاشبہ، آپ infinitely many ایسے نمبرز تلاش کر سکتے ہ