১১.১ এটা সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকুৰ পৃষ্ঠকালি

আমি ইতিমধ্যে ঘনক, আয়তীয় ঘনক আৰু চিলিণ্ডাৰৰ পৃষ্ঠকালি অধ্যয়ন কৰিছোঁ। এতিয়া আমি শংকুৰ পৃষ্ঠকালি অধ্যয়ন কৰিম। এতিয়ালৈকে, আমি একে ধৰণৰ চিত্ৰবোৰ একেৰাহে জোঁট লগাই গঠন কৰি ঘন বস্তু তৈয়াৰ কৰি আহিছোঁ। আকস্মিকভাৱে, এনে চিত্ৰবোৰক প্ৰিজম বুলি কোৱা হয়। এতিয়া আহক আমি আন এক ধৰণৰ ঘন বস্তু চাওঁ যিটো প্ৰিজম নহয় (এই ধৰণৰ ঘন বস্তুবোৰক পিৰামিড বুলি কোৱা হয়।)। আহক আমি চাওঁ আমি সেইবোৰ কেনেকৈ গঠন কৰিব পাৰোঁ।

কাৰ্যকলাপ : এটা সমকোণী ত্ৰিভূজ $\mathrm{ABC}$ কাটি উলিয়াওঁক যিটো $\mathrm{B}$ ত সমকোণী। ত্ৰিভূজটোৰ এটা লম্ব বাহু, ধৰক AB বাহুৰ, বৰ্তীৰে এডাল দীঘল, ডাঠ দোৰ খোল খাই লগাওঁক [চাওঁক চিত্ৰ ১১.১(ক)]। দোৰডালৰ দুয়োটা মূৰ হাতেৰে ধৰি ত্ৰিভূজটো দোৰডালৰ চাৰিওফালে বহুবাৰ ঘূৰাওঁক। কি হয়? ত্ৰিভূজটোৱে দোৰডালৰ চাৰিওফালে ঘূৰোতে গঠন কৰা আকৃতিৰ সৈতে আপুনি চিনাকি হয়নে [চাওঁক চিত্ৰ ১১.১(খ)]? এই আকৃতিৰ পাত্ৰত আইচক্ৰীম ভৰাই খোৱাৰ সময়ৰ কথা আপোনাক মনত পেলায় নেকি [চাওঁক চিত্ৰ ১১.১(গ) আৰু (ঘ)]?

চিত্ৰ ১১.১

ইয়াক সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকু বোলা হয়। চিত্ৰ ১১.১(গ) ৰ সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকুটোত, বিন্দুটো $\mathrm{A}$ ক শীৰ্ষবিন্দু বোলা হয়, $\mathrm{AB}$ ক উচ্চতা বোলা হয়, $\mathrm{BC}$ ক ব্যাসাৰ্ধ বোলা হয় আৰু $A C$ ক শংকুটোৰ চ্যুতি উচ্চতা বোলা হয়। ইয়াত $B$ হ’ব শংকুটোৰ বৃত্তাকাৰ ভূমিৰ কেন্দ্ৰ। শংকুটোৰ উচ্চতা, ব্যাসাৰ্ধ আৰু চ্যুতি উচ্চতাক সাধাৰণতে ক্ৰমে $h, r$ আৰু $l$ ৰে সূচোৱা হয়। আকৌ এবাৰ, আহক আমি চাওঁ কেনে ধৰণৰ শংকুক আমি সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকু বুলি কব নোৱাৰোঁ। ইয়াত, আপুনি আছে (চাওঁক চিত্ৰ ১১.২)! এই চিত্ৰবোৰত আপুনি যি দেখিছে সেইবোৰ সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকু নহয়; কাৰণ (ক) ত, ইয়াৰ শীৰ্ষবিন্দু আৰু ভূমিৰ কেন্দ্ৰ সংযোগ কৰা ৰেখাডাল ভূমিৰ লগত সমকোণত নহয়, আৰু (খ) ত ভূমিখন বৃত্তাকাৰ নহয়।

চিত্ৰ ১১.২

চিলিণ্ডাৰৰ দৰেই, কিয়নো আমি কেৱল সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকুৰ বিষয়েহে অধ্যয়ন কৰিম, মনত ৰাখিব যে এই অধ্যায়ত ‘শংকু’ বুলিলে আমি ‘সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকু’ বুজাম।

কাৰ্যকলাপ : (i) কাগজেৰে সাৱধানেৰে এখন শংকু কাটি উলিয়াওঁক য’ত কাগজৰ ওপৰত কাগজ নলগে, ইয়াৰ পাৰ্শ্বভাগৰ বৰ্তীৰে সৰলকৈ কাটি, মেলি দি, শংকুৰ পৃষ্ঠ গঠন কৰা কাগজখনৰ আকৃতি চাওঁক। (যি ৰেখাৰ বৰ্তীৰে আপুনি শংকুটো কাটিছে সেইডাল হৈছে শংকুটোৰ চ্যুতি উচ্চতা যাক $l$ ৰে সূচোৱা হয়)। ই এটা গোলাকাৰ কেকৰ এটা অংশৰ দৰে দেখা যায়।

(ii) যদি আপুনি এতিয়া A আৰু B চিহ্নিত মূৰৰ ফালৰ দুয়োটা পাৰ একেলগ কৰে, তেন্তে আপুনি দেখিব যে চিত্ৰ ১১.৩ (গ) ৰ বক্ৰ অংশটোৱে শংকুটোৰ বৃত্তাকাৰ ভূমি গঠন কৰিব।

চিত্ৰ ১১.৩

(iii) যদি চিত্ৰ ১১.৩ (গ) ৰ দৰে কাগজখন এতিয়া শত শত সৰু সৰু টুকুৰাত কটা হয়, $\mathrm{O}$ বিন্দুৰ পৰা অঁকা ৰেখাবোৰৰ বৰ্তীৰে, প্ৰতিটো কটা অংশ প্ৰায় এটা সৰু ত্ৰিভূজ, যাৰ উচ্চতা হৈছে শংকুটোৰ চ্যুতি উচ্চতা $l$।

(iv) এতিয়া প্ৰতিটো ত্ৰিভূজৰ কালি $=\frac{1}{2} \times$ প্ৰতিটো ত্ৰিভূজৰ ভূমি $\times l$।

গতিকে, কাগজখনৰ সমগ্ৰ টুকুৰাটোৰ কালি

$$ \begin{aligned} & =\text { sum of the areas of all the triangles } \\ & =\frac{1}{2} b_{1} l+\frac{1}{2} b_{2} l+\frac{1}{2} b_{3} l+\cdots=\frac{1}{2} l\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots\right) \\ & =\frac{1}{2} \times l \times \text { length of entire curved boundary of Fig. 11.3(c) } \end{aligned} $$

$\quad$ (কাৰণ $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots$ ৱে চিত্ৰটোৰ বক্ৰ অংশ গঠন কৰে)

কিন্তু চিত্ৰটোৰ বক্ৰ অংশটোৱে শংকুটোৰ ভূমিৰ পৰিসীমা গঠন কৰে আৰু শংকুটোৰ ভূমিৰ পৰিধি $=2 \pi r$, য’ত $r$ হৈছে শংকুটোৰ ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ।

গতিকে, এটা শংকুৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি $=\frac{1}{2} \times l \times 2 \pi r=\pi r l$

য’ত $r$ ইয়াৰ ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু $l$ ইয়াৰ চ্যুতি উচ্চতা।

মন কৰক যে $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ (চিত্ৰ ১১.৪ ৰ পৰা দেখা পোৱা যায়), পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য প্ৰয়োগ কৰি। ইয়াত $h$ হৈছে শংকুটোৰ উচ্চতা।

গতিকে, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

চিত্ৰ ১১.৪

এতিয়া যদি শংকুটোৰ ভূমি বন্ধ কৰিব লাগে, তেন্তে $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্তাকাৰ কাগজৰ এটা টুকুৰাৰো প্ৰয়োজন যাৰ কালি $\pi r^{2}$।

গতিকে, এটা শংকুৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$

উদাহৰণ ১ : এটা সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকুৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা যাৰ চ্যুতি উচ্চতা $10 \mathrm{~cm}$ আৰু ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ $7 \mathrm{~cm}$।

সমাধান : বক্ৰ পৃষ্ঠকালি $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =\frac{22}{7} \times 7 \times 10 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =220 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

উদাহৰণ ২ : এটা শংকুৰ উচ্চতা $16 \mathrm{~cm}$ আৰু ইয়াৰ ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ $12 \mathrm{~cm}$। শংকুটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি আৰু মুঠ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা ($\pi=3.14$ ব্যৱহাৰ কৰা)।

সমাধান : ইয়াত, $h=16 \mathrm{~cm}$ আৰু $r=12 \mathrm{~cm}$।

গতিকে, $l^{2}=h^{2}+r^{2}$ ৰ পৰা, আমি পাইছোঁ

$$ l=\sqrt{16^{2}+12^{2}} \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm} $$

গতিকে, বক্ৰ পৃষ্ঠকালি $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =3.14 \times 12 \times 20 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =753.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

আকৌ, মুঠ পৃষ্ঠকালি $=\pi r l+\pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =(753.6+3.14 \times 12 \times 12) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(753.6+452.16) \mathrm{cm}^{2} \\ & =1205.76 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৩ : এটা ভূটৰ দাঁতি (চাওঁক চিত্ৰ ১১.৫), যিটো কিছু পৰিমাণে শংকুৰ দৰে আকৃতিৰ, ইয়াৰ বহল মূৰৰ ব্যাসাৰ্ধ $2.1 \mathrm{~cm}$ আৰু দৈৰ্ঘ্য (উচ্চতা) $20 \mathrm{~cm}$। যদি দাঁতিটোৰ পৃষ্ঠৰ প্ৰতিটো $1 \mathrm{~cm}^{2}$ ত গড়ে চাৰিটা গুটি থাকে, তেন্তে সমগ্ৰ দাঁতিটোত কিমানটা গুটি পোৱা যাব নিৰ্ণয় কৰা।

চিত্ৰ ১১.৫

সমাধান : কিয়নো ভূটৰ গুটিবোৰ কেৱল ভূটৰ দাঁতিটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠতহে পোৱা যায়, গতিকে দাঁতিটোত মুঠ গুটিসংখ্যা জানিবলৈ আমি দাঁতিটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি জানিব লাগিব। এই প্ৰশ্নত, আমি শংকুটোৰ উচ্চতা দিয়া আছে, গতিকে ইয়াৰ চ্যুতি উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰিব লাগিব।

ইয়াত, $\quad l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(2.1)^{2}+20^{2}} \mathrm{~cm}$

$$ =\sqrt{404.41} \mathrm{~cm}=20.11 \mathrm{~cm} $$

গতিকে, ভূটৰ দাঁতিটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি $=\pi r l$

$$ =\frac{22}{7} \times 2.1 \times 20.11 \mathrm{~cm}^{2}=132.726 \mathrm{~cm}^{2}=132.73 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } $$

দাঁতিটোৰ পৃষ্ঠৰ $1 \mathrm{~cm}^{2}$ ত থকা ভূটৰ গুটিসংখ্যা $=4$

গতিকে, দাঁতিটোৰ সমগ্ৰ বক্ৰ পৃষ্ঠত থকা গুটিসংখ্যা

$$ =132.73 \times 4=530.92=531 \text { (approx.) } $$

গতিকে, দাঁতিটোত প্ৰায় ৫৩১ টা ভূটৰ গুটি থাকিব।

১১.২ এটা গোলকৰ পৃষ্ঠকালি

গোলক কি? ই বৃত্তৰ দৰে একে নেকি? আপুনি কাগজ এখনত বৃত্ত এটা আঁকিব পাৰেনে? হয়, আপুনি পাৰে, কাৰণ বৃত্ত হৈছে এটা সমতলীয় আবদ্ধ চিত্ৰ যাৰ প্ৰতিটো বিন্দু এটা স্থিৰ বিন্দুৰ পৰা একে দূৰত্বত (যাক ব্যাসাৰ্ধ বোলা হয়) থাকে, যাক বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ বোলা হয়। এতিয়া যদি আপুনি এটা বৃত্তাকাৰ ডিচ্কৰ ব্যাস এডালৰ বৰ্তীৰে দোৰ এডাল লাগাই দিয়ে আৰু আগৰ অংশত ত্ৰিভূজটো ঘূৰোৱাৰ দৰে ঘূৰায়, তেন্তে আপুনি এটা নতুন ঘন বস্তু দেখে (চাওঁক চিত্ৰ ১১.৬)। ই কাৰ দৰে লাগে? বল এটাৰ? হয়। ইয়াক গোলক বোলা হয়।

চিত্ৰ ১১.৬

বৃত্তটোৱে গোলক গঠন কৰোতে ইয়াৰ কেন্দ্ৰৰ কি হয় আপুনি অনুমান কৰিব পাৰেনে? নিশ্চয়, ই গোলকটোৰ কেন্দ্ৰ হৈ পৰে। গতিকে, গোলক হৈছে এটা ত্ৰিমাত্ৰিক চিত্ৰ (ঘন চিত্ৰ), যিটো স্থানৰ সকলো বিন্দুৰে গঠিত, যিবোৰ কেন্দ্ৰ বুলি কোৱা এটা স্থিৰ বিন্দুৰ পৰা ব্যাসাৰ্ধ বুলি কোৱা একে দূৰত্বত থাকে।

টোকা : গোলক হৈছে বলৰ পৃষ্ঠৰ দৰে। ঘন গোলক শব্দটোৱে সেই ঘন বস্তুক বুজায় যাৰ পৃষ্ঠ হৈছে গোলক।

কাৰ্যকলাপ : আপুনি কেতিয়াবা লাটু এটাৰ সৈতে খেলিছে নে বা কাৰোবাক লাটুৰ সৈতে খেলোতে চাইছেনে? দোৰডাল কেনেকৈ ইয়াৰ চাৰিওফালে পেচা খাই থাকে আপুনি নিশ্চয় জানে। এতিয়া, আহক আমি ৰবৰৰ বল এটা লওঁ আৰু ইয়াত এটা খিলি পুতি দিওঁ। খিলিটোক আধাৰ হিচাপে লৈ, আহক আমি বলটোৰ চাৰিওফালে দোৰ এডাল পেঁচোঁ। যেতিয়া আপুনি বলটোৰ ‘ভৰ্তি’ অংশলৈ গৈ পায়, দোৰডাল ঠাইতে ৰাখিবলৈ পিন ব্যৱহাৰ কৰক, আৰু বলটোৰ বাকী অংশৰ চাৰিওফালে দোৰডাল পেঁচাই থাকক, যেতিয়ালৈকে আপুনি বলটো সম্পূৰ্ণৰূপে ঢাকি নলয় [চাওঁক চিত্ৰ ১১.৭(ক)]। দোৰডালৰ আৰম্ভণি আৰু শেষ হোৱা বিন্দুবোৰ চিহ্নিত কৰক, আৰু বলটোৰ পৃষ্ঠৰ পৰা দোৰডাল লাহে লাহে খোল খাই উলিয়াওঁক।

এতিয়া, আপোনাৰ শিক্ষকক বলটোৰ ব্যাস জোখাত সহায় কৰিবলৈ কওঁক, যাৰ পৰা আপুনি সহজে ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধ পায়। তাৰ পিছত কাগজ এখনত, বলটোৰ ব্যাসাৰ্ধৰ সমান ব্যাসাৰ্ধৰ চাৰিটা বৃত্ত আঁকক। বলটোৰ চাৰিওফালে পেচা খোৱা দোৰডালেৰে বৃত্তবোৰ একোটাকৈ ভৰাবলৈ আৰম্ভ কৰক [চাওঁক চিত্ৰ ১১.৭(খ)]।

চিত্ৰ ১১.৭

এই সকলোবোৰ কৰি আপুনি কি লাভ কৰিলে?

দোৰডাল, যিয়ে গোলকটোৰ পৃষ্ঠকালি সম্পূৰ্ণৰূপে ঢাকি ৰাখিছিল, সেইডাল ব্যৱহাৰ কৰি গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধৰ সমান ব্যাসাৰ্ধৰ চাৰিটা বৃত্তৰ অঞ্চল সম্পূৰ্ণৰূপে ভৰোৱা হ’ল।

গতিকে, ইয়াৰ অৰ্থ কি? ইয়াৰ পৰা ইংগিত পোৱা যায় যে $r$ ব্যাসাৰ্ধৰ গোলক এটাৰ পৃষ্ঠকালি হৈছে $=4$ গুণ $r=4 \times\left(\pi r^{2}\right)$ ব্যাসাৰ্ধৰ বৃত্ত এটাৰ কালি

গতিকে,$\quad$এটা গোলকৰ পৃষ্ঠকালি $=4 \pi r^{2}$

য’ত $r$ হৈছে গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ।

গোলক এটাৰ পৃষ্ঠত আপুনি কিমানটা পৃষ্ঠ দেখে? কেৱল এটাহে আছে, যিটো বক্ৰ।

এতিয়া, আহক আমি এটা ঘন গোলক লওঁ, আৰু ইয়াক ঠিক ‘মাজেৰে’ কাটোঁ যিটো সমতলৰ দ্বাৰা ইয়াৰ কেন্দ্ৰৰ মাজেৰে পাৰ হয়। গোলকটোৰ কি হয়?

হয়, ই দুটা সমান অংশত বিভক্ত হয় (চাওঁক চিত্ৰ ১১.৮)! প্ৰতিটো অৰ্ধাংশক কি বুলি কোৱা হ’ব? ইয়াক অৰ্ধগোলক বোলা হয়। (কাৰণ ‘হেমি’ ৰ অৰ্থ ‘আধা’ও)

চিত্ৰ ১১.৮

আৰু অৰ্ধগোলক এটাৰ পৃষ্ঠৰ কথা কি? ইয়াৰ কিমানটা পৃষ্ঠ আছে?

দুটা! এটা বক্ৰ পৃষ্ঠ আৰু এটা সমতল পৃষ্ঠ (ভূমি) আছে।

অৰ্ধগোলক এটাৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি হৈছে গোলকটোৰ পৃষ্ঠকালিৰ আধা, যিটো $\frac{1}{2}$ ৰ $4 \pi r^{2}$।

গতিকে, এটা অৰ্ধগোলকৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি $=\mathbf{2} \boldsymbol{\pi} r^{2}$

য’ত $r$ হৈছে সেই গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ যি অৰ্ধগোলকটো এটা অংশ।

এতিয়া অৰ্ধগোলক এটাৰ দুটা পৃষ্ঠ লৈ, ইয়াৰ পৃষ্ঠকালি $2 \pi r^{2}+\pi r^{2}$

গতিকে, এটা অৰ্ধগোলকৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=3 \pi r^{2}$

উদাহৰণ ৪ : $7 \mathrm{~cm}$ ব্যাসাৰ্ধৰ গোলক এটাৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : $7 \mathrm{~cm}$ ব্যাসাৰ্ধৰ গোলক এটাৰ পৃষ্ঠকালি হ’ব

$$ 4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \mathrm{~cm}^{2}=616 \mathrm{~cm}^{2} $$

উদাহৰণ ৫ : $21 \mathrm{~cm}$ ব্যাসাৰ্ধৰ অৰ্ধগোলক এটাৰ (i) বক্ৰ পৃষ্ঠকালি আৰু (ii) মুঠ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : $21 \mathrm{~cm}$ ব্যাসাৰ্ধৰ অৰ্ধগোলক এটাৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি হ’ব

$$ =2 \pi r^{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=2772 \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) অৰ্ধগোলকটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি হ’ব

$$ 3 \pi r^{2}=3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=4158 \mathrm{~cm}^{2} $$

উদাহৰণ ৬ : ফাঁকী গোলকটো, য’ত চাৰ্কাছৰ মটৰচাইকেল চালকে তেওঁৰ কৌশল প্ৰদৰ্শন কৰে, তাৰ ব্যাস $7 \mathrm{~m}$। চালকজনে গাড়ী চলোৱাৰ বাবে উপলব্ধ স্থানৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : গোলকটোৰ ব্যাস $=7 \mathrm{~m}$। গতিকে, ব্যাসাৰ্ধ $3.5 \mathrm{~m}$। গতিকে, মটৰচাইকেল চালকজনৰ বাবে উপলব্ধ গাড়ী চলোৱাৰ স্থান হৈছে ‘গোলক’টোৰ পৃষ্ঠকালি যিটো দিয়া আছে

$$ \begin{aligned} 4 \pi r^{2} & =4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~m}^{2} \\ & =154 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

উদাহৰণ ৭ : এটা অট্টালিকাৰ অৰ্ধগোলাকাৰ গম্বুজটো ৰং কৰিব লাগে (চাওঁক চিত্ৰ ১১.৯)। যদি গম্বুজটোৰ ভূমিৰ পৰিধি $17.6 \mathrm{~m}$, তেন্তে ৰং কৰাৰ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা, দিয়া আছে যে ৰং কৰাৰ খৰচ প্ৰতিটো $100 \mathrm{~cm}^{2}$ ৰ বাবে ₹ ৫।

চিত্ৰ ১১.৯

সমাধান : কিয়নো কেৱল গম্বুজটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠখন ৰং কৰিব লাগে, গতিকে ৰং কৰাৰ পৰিসৰ জানিবলৈ আমাক অৰ্ধগোলকটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰিব লাগিব। এতিয়া, গম্বুজটোৰ পৰিধি $=17.6 \mathrm{~m}$। গতিকে, $17.6=2 \pi r$।

গতিকে, গম্বুজটোৰ ব্যাসাৰ্ধ $=17.6 \times \frac{7}{2 \times 22} \mathrm{~m}=2.8 \mathrm{~m}$

গম্বুজটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি $=2 \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 \mathrm{~m}^{2} \\ & =49.28 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

এতিয়া, $100 \mathrm{~cm}^{2}$ ৰং কৰাৰ খৰচ ₹ ৫।

গতিকে, $1 \mathrm{~m}^{2}$ ৰং কৰাৰ খৰচ =₹ ৫০০

গতিকে, সমগ্ৰ গম্বুজটো ৰং কৰাৰ খৰচ =₹ ৫০০ $\times 49.28$ = ₹ ২৪৬৪০

১১.৩ এটা সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকুৰ আয়তন

আগৰ শ্ৰেণীবোৰত আমি ঘনক, আয়তীয় ঘনক আৰু চিলিণ্ডাৰৰ আয়তন অধ্যয়ন কৰিছিলোঁ

চিত্ৰ ১১.১১ ত, আপুনি দেখিব পাৰেনে যে একে ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু একে উচ্চতাৰ এটা সোঁ-বৃত্তাকাৰ চিলিণ্ডাৰ আৰু এটা সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকু আছে?

চিত্ৰ ১১.১১

কাৰ্যকলাপ : একে ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু একে উচ্চতাৰ (চাওঁক চিত্ৰ ১১.১১) এনে ধৰণৰ এটা ফোপোলা চিলিণ্ডাৰ আৰু এটা ফোপোলা শংকু বনাবলৈ চেষ্টা কৰক। তাৰ পিছত, আমি এটা পৰীক্ষা কৰিবলৈ চেষ্টা কৰিব পাৰোঁ যিয়ে আমাক সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকু এটাৰ আয়তন কিমান হ’ব পাৰে প্ৰায়োগিকভাৱে দেখাত সহায় কৰিব!

চিত্ৰ ১১.১২

গতিকে, আহক আমি এনেদৰে আৰম্ভ কৰোঁ।

শংকুটো বালিৰে এবাৰ ভৰ্তিলৈ ভৰাওঁ, আৰু চিলিণ্ডাৰটোত খালী কৰোঁ। আমি দেখোঁ যে ই চিলিণ্ডাৰটোৰ কেৱল এটা অংশহে পূৰণ কৰে [চাওঁক চিত্ৰ ১১.১২(ক)]।

যেতিয়া আমি শংকুটো আকৌ ভৰ্তিলৈ ভৰাওঁ, আৰু চিলিণ্ডাৰটোত খালী কৰোঁ, তেতিয়া আমি দেখোঁ যে চিলিণ্ডাৰটো এতিয়াও ভৰ্তি হোৱা নাই [চাওঁক চিত্ৰ ১১.১২(খ)]।

যেতিয়া শংকুটো তৃতীয়বাৰৰ বাবে ভৰ্তি কৰা হয়, আৰু চিলিণ্ডাৰটোত খালী কৰা হয়, তেতিয়া দেখা যায় যে চিলিণ্ডাৰটোও ভৰ্তিলৈ ভৰ্তি হৈছে [চাওঁক চিত্ৰ ১১.১২(গ)]।

ইয়াৰ সৈতে, আমি নিৰাপদে এই সিদ্ধান্তত উপনীত হ’ব পাৰোঁ যে শংকু এটাৰ আয়তনৰ তিনিগুণে চিলিণ্ডাৰ এটাৰ আয়তন গঠন কৰে, যাৰ ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু উচ্চতা শংকুটোৰ দৰে একে, অৰ্থাৎ শংকুটোৰ আয়তন হৈছে চিলিণ্ডাৰটোৰ আয়তনৰ এক তৃতীয়াংশ।

গতিকে, $\quad \text { Volume of a Cone }=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

য’ত $r$ হৈছে ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ আৰু $h$ হৈছে শংকুটোৰ উচ্চতা।

উদাহৰণ ৮ : শংকু এটাৰ উচ্চতা আৰু চ্যুতি উচ্চতা ক্ৰমে $21 \mathrm{~cm}$ আৰু $28 \mathrm{~cm}$। শংকুটোৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ ৰ পৰা, আমি পাইছোঁ

$$ r=\sqrt{l^{2}-h^{2}}=\sqrt{28^{2}-21^{2}} \mathrm{~cm}=7 \sqrt{7} \mathrm{~cm} $$

গতিকে, শংকুটোৰ আয়তন $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \sqrt{7} \times 7 \sqrt{7} \times 21 \mathrm{~cm}^{3}$

$=7546 \mathrm{~cm}^{3}$

উদাহৰণ ৯ : মনিকাৰ কেপাচ এখন আছে যাৰ কালি $551 \mathrm{~m}^{2}$। তাই ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰি শংকু আকৃতিৰ তম্বু এটা বনাব খোজে, যিটোৰ ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ $7 \mathrm{~m}$। ধৰি লোৱা হৈছে যে সকলো চিলাইৰ মাৰ্জিন আৰু কাটোতে হোৱা অপচয় প্ৰায় $1 \mathrm{~m}^{2}$, তেন্তে ইয়াৰে বনাব পৰা তম্বুটোৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : কিয়নো কেপাচখনৰ কালি $=551 \mathrm{~m}^{2}$ আৰু অপচয়ত হেৰুওৱা কেপাচৰ কালি $1 \mathrm{~m}^{2}$, গতিকে তম্বু বনাবলৈ উপলব্ধ কেপাচৰ কালি $(551-1) \mathrm{m}^{2}=550 \mathrm{~m}^{2}$।

এতিয়া, তম্বুটোৰ পৃষ্ঠকালি $=550 \mathrm{~m}^{2}$ আৰু শংকু আকৃতিৰ তম্বুটোৰ প্ৰয়োজনীয় ভূমিৰ ব্যাসাৰ্ধ $=7 \mathrm{~m}$

মন কৰক যে তম্বু এটাৰ কেৱল এটা বক্ৰ পৃষ্ঠ আছে (তম্বু এটাৰ মজিয়া কেপাচেৰে ঢকা নহয়!!)।

গতিকে, তম্বুটোৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি $=550 \mathrm{~m}^{2}$।

অৰ্থাৎ,$\quad \pi r l=550$

বা, $\quad \frac{22}{7}\times 7 \times l=550$

বা, $\quad l=3 \frac{550}{22} \mathrm{~m}=25 \mathrm{~m}$

এতিয়া,$\quad l^{2}=r^{2}+h^{2}$

$$ \begin{aligned} \text{Therefore,}\quad h=\sqrt{l^{2}-r^{2}} & =\sqrt{25^{2}-7^{2}} \mathrm{~m}=\sqrt{625-49} \mathrm{~m}=\sqrt{576} \mathrm{~m} \\ & =24 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

গতিকে, শংকু আকৃতিৰ তম্বুটোৰ আয়তন $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 \mathrm{~m}^{3}=1232 \mathrm{~m}^{3}$।

১১.৪ এটা গোলকৰ আয়তন

এতিয়া, আহক আমি চাওঁ কেনেকৈ গোলক এটাৰ আয়তন জোখা যায়। প্ৰথমে, ভিন্ন ব্যাসাৰ্ধৰ দুটা বা তিনিটা গোলক লওঁ, আৰু এটা পাত্ৰ লওঁ যিটো যথেষ্ট ডাঙৰ যাতে প্ৰতিটো গোলক একোটা কৰি ইয়াত ভৰাব পাৰি। লগতে, এটা ডাঙৰ ট্ৰফ লওঁ য’ত পাত্ৰটো ৰাখিব পাৰি। তাৰ পিছত, পাত্ৰটো পানীৰে ভৰ্তিলৈ ভৰাওঁ [চাওঁক চিত্ৰ ১১.১৩(ক)]।

এতিয়া, সাৱধানেৰে গোলকবোৰৰ এটা পাত্ৰটোত স্থাপন কৰক। পাত্ৰটোৰ পৰা কিছু পানী ট্ৰফটোত ওলাই পৰিব য’ত ইয়াক ৰখা হৈছে [চাওঁক চিত্ৰ ১১.১৩(খ)]। সাৱধানেৰে ট্ৰফটোৰ পানী জোখা চিলিণ্ডাৰ এটাত (অৰ্থাৎ, এটা স্কেলযুক্ত চিলিণ্ডাৰীয় জাৰ) উলিয়াই দি ওলাই পৰা পানী জোখক [চাওঁক চিত্ৰ ১১.১৩(গ)]। ধৰি লওঁ যে ডুবোৱা গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ $r$ (আপুনি গোলকটোৰ ব্যাস জুখি ব্যাসাৰ্ধ উলিয়াব পাৰে)। তাৰ পিছত $\frac{4}{3} \pi r^{3}$ গণনা কৰক। আপুনি এই মানটো ওলাই পৰা আয়তনৰ জোখৰ প্ৰায় সমান পায়নে?

চিত্ৰ ১১.১৩

আকৌ এবাৰ, এইমাত্ৰ কৰা পদ্ধতিটো পুনৰাবৃত্তি কৰক, ভিন্ন আকাৰৰ গোলক এটা লৈ। এই গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ $R$ নিৰ্ণয় কৰক আৰু তাৰ পিছত $\frac{4}{3} \pi R^{3}$ ৰ মান গণনা কৰক। আকৌ এবাৰ এই মানটো গোলকটোৱে স্থানচ্যুত কৰা (ওলাই পৰা) পানীৰ আয়তনৰ জোখৰ প্ৰায় সমান। ই আমাক কি কয়? আমি জানো যে গোলকটোৰ আয়তন ইয়াৰ দ্বাৰা স্থানচ্যুত কৰা পানীৰ আয়তনৰ জোখৰ দৰে একে। ভিন্ন ব্যাসাৰ্ধৰ গোলক লৈ এই পৰীক্ষাটো পুনৰাবৃত্তি কৰি, আমি একে ফলাফল পাইছোঁ, অৰ্থাৎ, গোলক এটাৰ আয়তন ইয়াৰ ব্যাসাৰ্ধৰ ঘনৰ $\frac{4}{3} \pi$ গুণৰ সমান। ই আমাক এই ধাৰণা দিয়ে যে

$\quad$ এটা গোলকৰ আয়তন $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

য’ত $r$ হৈছে গোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ।

পিছত, উচ্চ শ্ৰেণীত ইয়াক প্ৰমাণ কৰিব পাৰি। কিন্তু এই স্তৰত, আমি ইয়াক সত্য বুলি ধৰি ল’ম।

কিয়নো অৰ্ধগোলক হৈছে গোলকৰ আধা, আপুনি অনুমান কৰিব পাৰেনে অৰ্ধগোলক এটাৰ আয়তন কিমান হ’ব? হয়, ই $\frac{1}{2}$ ৰ $\frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{2}{3} \pi r^{3}$।

গতিকে, $\quad$ এটা অৰ্ধগোলকৰ আয়তন $=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \pi r^{3}$

য’ত $r$ হৈছে অৰ্ধগোলকটোৰ ব্যাসাৰ্ধ।

আহক আমি এই সূত্ৰবোৰৰ ব্যৱহাৰ স্পষ্ট কৰিবলৈ কেইটামান উদাহৰণ লওঁ।

উদাহৰণ ১০ : $11.2 \mathrm{~cm}$ ব্যাসাৰ্ধৰ গোলক এটাৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : প্ৰয়োজনীয় আয়তন $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$$ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 11.2 \times 11.2 \times 11.2 \mathrm{~cm}^{3}=5887.32 \mathrm{~cm}^{3} $$

উদাহৰণ ১১ : শ্বট-পুট এটা ধাতুৰ গোলক যাৰ ব্যাসাৰ্ধ $4.9 \mathrm{~cm}$। যদি ধাতুৰ ঘনত্ব $7.8 \mathrm{~g} \mathrm{per} \mathrm{cm}^{3}$, তেন্তে শ্বট-পুটটোৰ ভৰ নিৰ্ণয় কৰা।

সমাধান : কিয়নো শ্বট-পুটটো ধাতুৰে গঠিত এটা ঘন গোলক আৰু ইয়াৰ ভৰ ইয়াৰ আয়তন আৰু ঘনত্বৰ গুণফলৰ সমান, গতিকে আমাক গোলকটোৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰিব লাগিব।

এতিয়া, গোলকটোৰ আয়তন $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.9 \times 4.9 \times 4.9 \mathrm{~cm}^{3} \\ & =493 \mathrm{~cm}^{3} \text { (nearly) } \end{aligned} $$

আকৌ, $1 \mathrm{~cm}^{3}$ ধাতুৰ ভৰ $7.8 \mathrm{~g}$।

গতিকে, শ্বট-পুটটোৰ ভৰ $=7.8 \times 493 \mathrm{~g}$

$$ =3845.44 \mathrm{~g}=3.85 \mathrm{~kg} \text { (nearly) } $$

উদাহৰণ ১২ : অৰ্ধগোলাকাৰ বাটি এটাৰ ব্যাসাৰ্ধ $3.5 \mathrm{~cm}$। ইয়াত কিমান পানী ধৰিব পাৰিব?

সমাধান : বাটিটোৱে ধৰিব পৰা পানীৰ আয়তন

$$ \begin{aligned} & =\frac{2}{3} \pi r^{3} \\ & =\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~cm}^{3}=89.8 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

১১.৫ সাৰাংশ

এই অধ্যায়ত, আপুনি তলত দিয়া বিষয়বোৰ অধ্যয়ন কৰিছে:

১. শংকু এটাৰ বক্ৰ পৃষ্ঠকালি $=\pi r l$

২. সোঁ-বৃত্তাকাৰ শংকু এটাৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি $=\pi r l +\pi r^{2}$, i.e., $\pi r(l+r)$

**৩. $r=4 \pi r^{2}$ ব্যাসাৰ্ধৰ গোলক এটা