11.1 ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਘਣ, ਘਣਾਵ ਅਤੇ ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰ ਚੁੱਕੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਹੁਣ ਤੱਕ, ਅਸੀਂ ਸਮਰੂਪ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਉੱਤੇ ਰੱਖ ਕੇ ਠੋਸ ਬਣਾਏ ਹਨ। ਸੰਯੋਗਵਸ਼, ਅਜਿਹੀਆਂ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਆਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਕਿਸਮ ਦੇ ਠੋਸ ਨੂੰ ਦੇਖੀਏ ਜੋ ਕਿ ਪ੍ਰਿਜ਼ਮ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਠੋਸਾਂ ਨੂੰ ਪਿਰਾਮਿਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।)। ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਕਿਰਿਆ : ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ $\mathrm{ABC}$ ਕੱਟੋ ਜਿਸਦਾ ਸਮਕੋਣ $\mathrm{B}$ ‘ਤੇ ਹੋਵੇ। ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ਭੁਜਾ, ਮੰਨ ਲਓ AB, ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਮੋਟੀ ਰੱਸੀ ਚਿਪਕਾਓ [ਚਿੱਤਰ 11.1(a) ਵੇਖੋ]। ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਓਂ ਰੱਸੀ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਹੱਥਾਂ ਨਾਲ ਫੜੋ ਅਤੇ ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਰੱਸੀ ਦੁਆਲੇ ਕਈ ਵਾਰ ਘੁਮਾਓ। ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਉਸ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਪਛਾਣਦੇ ਹੋ ਜੋ ਤਿਕੋਣ ਰੱਸੀ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਨਾਲ ਬਣਾ ਰਿਹਾ ਹੈ [ਚਿੱਤਰ 11.1(b) ਵੇਖੋ]? ਕੀ ਇਹ ਤੁਹਾਨੂੰ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦੀ ਯਾਦ ਦਿਵਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਆਈਸਕਰੀਮ ਖਾਧੀ ਸੀ ਜੋ ਉਸੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਭਰੀ ਹੋਈ ਸੀ [ਚਿੱਤਰ 11.1(c) ਅਤੇ (d) ਵੇਖੋ]?

ਚਿੱਤਰ 11.1

ਇਸਨੂੰ ਸੱਜਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਚਿੱਤਰ 11.1(c) ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂ $\mathrm{A}$ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, $\mathrm{AB}$ ਨੂੰ ਉਚਾਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, $\mathrm{BC}$ ਨੂੰ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $A C$ ਨੂੰ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉਚਾਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ $B$ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਆਧਾਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉਚਾਈ, ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਅਤੇ ਤਿਰਛੀ ਉਚਾਈ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $h, r$ ਅਤੇ $l$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ, ਆਓ ਦੇਖੀਏ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਿਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਸੱਜਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨਹੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ। ਇੱਥੇ, ਤੁਸੀਂ ਹੋ (ਚਿੱਤਰ 11.2 ਵੇਖੋ)! ਇਨ੍ਹਾਂ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਰਹੇ ਹੋ ਉਹ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨਹੀਂ ਹਨ; ਕਿਉਂਕਿ (a) ਵਿੱਚ, ਇਸਦੇ ਸਿਖਰ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਆਧਾਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ਨਾਲ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਆਧਾਰ ਨਾਲ ਸਮਕੋਣ ‘ਤੇ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਤੇ (b) ਵਿੱਚ ਆਧਾਰ ਗੋਲਾਕਾਰ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 11.2

ਸਿਲੰਡਰ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਾਂਗ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂਆਂ ਬਾਰੇ ਹੀ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ, ਇਸ ਲਈ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ‘ਸ਼ੰਕੂ’ ਦਾ ਅਰਥ ‘ਸੱਜਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ’ ਹੋਵੇਗਾ।

ਕਿਰਿਆ : (i) ਇੱਕ ਸਾਫ਼-ਸੁਥਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਗਏ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਕੱਟੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਓਵਰਲੈਪ ਕੀਤਾ ਕਾਗਜ਼ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਇਸਦੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਨਾਲ ਸਿੱਧਾ ਕੱਟੋ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਖੋਲ੍ਹ ਕੇ, ਉਸ ਕਾਗਜ਼ ਦਾ ਆਕਾਰ ਦੇਖੋ ਜੋ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਸਤਹ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। (ਉਹ ਰੇਖਾ ਜਿਸ ਦੇ ਨਾਲ ਤੁਸੀਂ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਕੱਟਦੇ ਹੋ ਉਹ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉਚਾਈ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ $l$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ)। ਇਹ ਗੋਲ ਕੇਕ ਦੇ ਇੱਕ ਹਿੱਸੇ ਵਰਗਾ ਲੱਗਦਾ ਹੈ।

(ii) ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਹੁਣ A ਅਤੇ B ਨਾਲ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ ‘ਤੇ ਇਕੱਠੇ ਲਿਆਓ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 11.3 (c) ਦਾ ਵਕਰੀ ਭਾਗ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਆਧਾਰ ਬਣਾਏਗਾ।

ਚਿੱਤਰ 11.3

(iii) ਜੇਕਰ ਚਿੱਤਰ 11.3 (c) ਵਾਂਗ ਕਾਗਜ਼ ਨੂੰ ਹੁਣ ਸੈਂਕੜੇ ਛੋਟੇ ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਕੱਟ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇ, ਬਿੰਦੂ $\mathrm{O}$ ਤੋਂ ਖਿੱਚੀਆਂ ਗਈਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਨਾਲ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਕੱਟਿਆ ਭਾਗ ਲਗਭਗ ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਤਿਕੋਣ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਉਚਾਈ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉਚਾਈ $l$ ਹੈ।

(iv) ਹੁਣ ਹਰੇਕ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\frac{1}{2} \times$ ਹਰੇਕ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਆਧਾਰ $\times l$।

ਇਸ ਲਈ, ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਪੂਰੇ ਟੁਕੜੇ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

$$ \begin{aligned} & =\text { sum of the areas of all the triangles } \\ & =\frac{1}{2} b_{1} l+\frac{1}{2} b_{2} l+\frac{1}{2} b_{3} l+\cdots=\frac{1}{2} l\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots\right) \\ & =\frac{1}{2} \times l \times \text { length of entire curved boundary of Fig. 11.3(c) } \end{aligned} $$

$\quad$ (ਕਿਉਂਕਿ $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots$ ਚਿੱਤਰ ਦਾ ਵਕਰੀ ਭਾਗ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ)

ਪਰ ਚਿੱਤਰ ਦਾ ਵਕਰੀ ਭਾਗ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦੀ ਪਰਿਧੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਘੇਰਾ $=2 \pi r$ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $r$ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਆਧਾਰ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=\frac{1}{2} \times l \times 2 \pi r=\pi r l$

ਜਿੱਥੇ $r$ ਇਸਦਾ ਆਧਾਰ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਹੈ ਅਤੇ $l$ ਇਸਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉਚਾਈ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ (ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 11.4 ਤੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ), ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਲਗਾ ਕੇ। ਇੱਥੇ $h$ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

ਚਿੱਤਰ 11.4

ਹੁਣ ਜੇਕਰ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਆਧਾਰ ਨੂੰ ਬੰਦ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r$ ਦੇ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਟੁਕੜੇ ਦੀ ਵੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\pi r^{2}$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$

ਉਦਾਹਰਨ 1 : ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉਚਾਈ $10 \mathrm{~cm}$ ਅਤੇ ਆਧਾਰ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $7 \mathrm{~cm}$ ਹੈ।

ਹੱਲ : ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =\frac{22}{7} \times 7 \times 10 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =220 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਨ 2 : ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉਚਾਈ $16 \mathrm{~cm}$ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਆਧਾਰ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $12 \mathrm{~cm}$ ਹੈ। ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ($\pi=3.14$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ)।

ਹੱਲ : ਇੱਥੇ, $h=16 \mathrm{~cm}$ ਅਤੇ $r=12 \mathrm{~cm}$।

ਇਸ ਲਈ, $l^{2}=h^{2}+r^{2}$ ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ l=\sqrt{16^{2}+12^{2}} \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm} $$

ਇਸ ਲਈ, ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =3.14 \times 12 \times 20 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =753.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ਹੋਰ, ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=\pi r l+\pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =(753.6+3.14 \times 12 \times 12) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(753.6+452.16) \mathrm{cm}^{2} \\ & =1205.76 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਨ 3 : ਇੱਕ ਮੱਕੀ ਦਾ ਭੁੱਟਾ (ਚਿੱਤਰ 11.5 ਵੇਖੋ), ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਵਰਗਾ ਹੈ, ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਚੌੜੇ ਸਿਰੇ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $2.1 \mathrm{~cm}$ ਅਤੇ ਲੰਬਾਈ (ਉਚਾਈ) $20 \mathrm{~cm}$ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਭੁੱਟੇ ਦੀ ਸਤਹ ਦੇ ਹਰ $1 \mathrm{~cm}^{2}$ ‘ਤੇ ਔਸਤਨ ਚਾਰ ਦਾਣੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਪੂਰੇ ਭੁੱਟੇ ‘ਤੇ ਕਿੰਨੇ ਦਾਣੇ ਪਾਓਗੇ।

ਚਿੱਤਰ 11.5

ਹੱਲ : ਕਿਉਂਕਿ ਮੱਕੀ ਦੇ ਦਾਣੇ ਸਿਰਫ਼ ਭੁੱਟੇ ਦੀ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ‘ਤੇ ਹੀ ਮਿਲਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਦਾਣਿਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਭੁੱਟੇ ਦੇ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇਸਦੀ ਤਿਰਛੀ ਉਚਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ।

ਇੱਥੇ, $\quad l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(2.1)^{2}+20^{2}} \mathrm{~cm}$

$$ =\sqrt{404.41} \mathrm{~cm}=20.11 \mathrm{~cm} $$

ਇਸ ਲਈ, ਭੁੱਟੇ ਦਾ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=\pi r l$

$$ =\frac{22}{7} \times 2.1 \times 20.11 \mathrm{~cm}^{2}=132.726 \mathrm{~cm}^{2}=132.73 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } $$

ਭੁੱਟੇ ਦੀ ਸਤਹ ਦੇ $1 \mathrm{~cm}^{2}$ ‘ਤੇ ਮੱਕੀ ਦੇ ਦਾਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=4$

ਇਸ ਲਈ, ਭੁੱਟੇ ਦੀ ਪੂਰੀ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ‘ਤੇ ਦਾਣਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ

$$ =132.73 \times 4=530.92=531 \text { (approx.) } $$

ਇਸ ਲਈ, ਭੁੱਟੇ ‘ਤੇ ਲਗਭਗ 531 ਮੱਕੀ ਦੇ ਦਾਣੇ ਹੋਣਗੇ।

11.2 ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ

ਗੋਲਾ ਕੀ ਹੈ? ਕੀ ਇਹ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਵਰਗਾ ਹੀ ਹੈ? ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਾਗਜ਼ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਹਾਂ, ਤੁਸੀਂ ਖਿੱਚ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਕਿਉਂਕਿ ਚੱਕਰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਬੰਦ ਆਕ੍ਰਿਤੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ (ਜਿਸਨੂੰ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ‘ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਗੋਲਾਕਾਰ ਡਿਸਕ ਦੇ ਇੱਕ ਵਿਆਸ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਰੱਸੀ ਚਿਪਕਾਓ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਘੁਮਾਓ ਜਿਵੇਂ ਤੁਸੀਂ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਘੁਮਾਇਆ ਸੀ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਠੋਸ ਦੇਖਦੇ ਹੋ (ਚਿੱਤਰ 11.6 ਵੇਖੋ)। ਇਹ ਕਿਸ ਨਾਲ ਮਿਲਦਾ-ਜੁਲਦਾ ਹੈ? ਇੱਕ ਗੇਂਦ? ਹਾਂ। ਇਸਨੂੰ ਗੋਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 11.6

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਇਹ ਘੁੰਮਣ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਗੋਲਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ? ਬੇਸ਼ਕ, ਇਹ ਗੋਲੇ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਗੋਲਾ ਇੱਕ ਤਿੰਨ-ਪਸਾਰੀ ਆਕ੍ਰਿਤੀ (ਠੋਸ ਆਕ੍ਰਿਤੀ) ਹੈ, ਜੋ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਬਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦੂਰੀ ਜਿਸਨੂੰ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ‘ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ਜਿਸਨੂੰ ਗੋਲੇ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੋਂ ਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਨੋਟ : ਇੱਕ ਗੋਲਾ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਦੀ ਸਤਹ ਵਰਗਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਠੋਸ ਗੋਲੇ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਸ ਠੋਸ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਸਤਹ ਇੱਕ ਗੋਲਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਕਿਰਿਆ : ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਦੇ ਇੱਕ ਲੱਟੂ ਨਾਲ ਖੇਡਿਆ ਹੈ ਜਾਂ ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਕਿਸੇ ਨੂੰ ਇਸ ਨਾਲ ਖੇਡਦੇ ਦੇਖਿਆ ਹੈ? ਤੁਹਾਨੂੰ ਜ਼ਰੂਰ ਪਤਾ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਇਸਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਰੱਸੀ ਕਿਵੇਂ ਲਪੇਟੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਹੁਣ, ਆਓ ਇੱਕ ਰਬੜ ਦੀ ਗੇਂਦ ਲਈਏ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੀਲ ਗੱਡ ਦੇਈਏ। ਕੀਲ ਦਾ ਸਹਾਰਾ ਲੈ ਕੇ, ਆਓ ਗੇਂਦ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਰੱਸੀ ਲਪੇਟੀਏ। ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਗੇਂਦ ਦੇ ‘ਸਭ ਤੋਂ ਭਰੇ’ ਹਿੱਸੇ ‘ਤੇ ਪਹੁੰਚ ਜਾਓ, ਤਾਂ ਰੱਸੀ ਨੂੰ ਜਗ੍ਹਾ ‘ਤੇ ਰੱਖਣ ਲਈ ਪਿੰਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਗੇਂਦ ਦੇ ਬਾਕੀ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਰੱਸੀ ਨੂੰ ਲਪੇਟਣਾ ਜਾਰੀ ਰੱਖੋ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਤੁਸੀਂ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਢੱਕ ਨਹੀਂ ਲੈਂਦੇ [ਚਿੱਤਰ 11.7(a) ਵੇਖੋ]। ਰੱਸੀ ‘ਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਹੌਲੀ-ਹੌਲੀ ਗੇਂਦ ਦੀ ਸਤਹ ਤੋਂ ਰੱਸੀ ਨੂੰ ਖੋਲ੍ਹੋ।

ਹੁਣ, ਆਪਣੇ ਅਧਿਆਪਕ ਨੂੰ ਗੇਂਦ ਦਾ ਵਿਆਸ ਮਾਪਣ ਵਿੱਚ ਤੁਹਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰਨ ਲਈ ਕਹੋ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਤੁਸੀਂ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਇਸਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਫਿਰ ਕਾਗਜ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ੀਟ ‘ਤੇ, ਚਾਰ ਚੱਕਰ ਖਿੱਚੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਗੇਂਦ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ। ਚੱਕਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਭਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ, ਉਸ ਰੱਸੀ ਨਾਲ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਗੇਂਦ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਲਪੇਟੀ ਸੀ [ਚਿੱਤਰ 11.7(b) ਵੇਖੋ]।

ਚਿੱਤਰ 11.7

ਇਸ ਸਭ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ?

ਰੱਸੀ, ਜਿਸਨੇ ਗੋਲੇ ਦੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਢੱਕਿਆ ਸੀ, ਨੂੰ ਚਾਰ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਭਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਰੇ ਗੋਲੇ ਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, ਇਸਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ? ਇਹ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r$ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r=4 \times\left(\pi r^{2}\right)$ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ $=4$ ਗੁਣਾ ਹੈ

ਇਸ ਲਈ,$\quad$ਇੱਕ ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=4 \pi r^{2}$

ਜਿੱਥੇ $r$ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਹੈ।

ਗੋਲੇ ਦੀ ਸਤਹ ਵਿੱਚ ਤੁਸੀਂ ਕਿੰਨੇ ਚਿਹਰੇ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਵਕਰੀ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਆਓ ਇੱਕ ਠੋਸ ਗੋਲਾ ਲਈਏ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਬਿਲਕੁਲ ‘ਵਿਚਕਾਰਲੇ’ ਤੋਂ ਕੱਟੀਏ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਨਾਲ ਜੋ ਇਸਦੇ ਕੇਂਦਰ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਗੋਲੇ ਨੂੰ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ?

ਹਾਂ, ਇਹ ਦੋ ਬਰਾਬਰ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 11.8 ਵੇਖੋ)! ਹਰੇਕ ਅੱਧੇ ਨੂੰ ਕੀ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇਗਾ? ਇਸਨੂੰ ਅਰਧ-ਗੋਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਕਿਉਂਕਿ ‘ਹੇਮੀ’ ਦਾ ਅਰਥ ‘ਅੱਧਾ’ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)

ਚਿੱਤਰ 11.8

ਅਤੇ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦੀ ਸਤਹ ਬਾਰੇ ਕੀ? ਇਸਦੇ ਕਿੰਨੇ ਚਿਹਰੇ ਹਨ?

ਦੋ! ਇੱਕ ਵਕਰੀ ਚਿਹਰਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਚਿਹਰਾ (ਆਧਾਰ) ਹੈ।

ਇੱਕ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਗੋਲੇ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਅੱਧਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ $4 \pi r^{2}$ ਦਾ $\frac{1}{2}$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=\mathbf{2} \boldsymbol{\pi} r^{2}$

ਜਿੱਥੇ $r$ ਉਸ ਗੋਲੇ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਅਰਧ-ਗੋਲਾ ਇੱਕ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।

ਹੁਣ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦੇ ਦੋ ਚਿਹਰਿਆਂ ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ, ਇਸਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $2 \pi r^{2}+\pi r^{2}$

ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=3 \pi r^{2}$

ਉਦਾਹਰਨ 4 : ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $7 \mathrm{~cm}$ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ : ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $7 \mathrm{~cm}$ ਵਾਲੇ ਗੋਲੇ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੋਵੇਗਾ

$$ 4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \mathrm{~cm}^{2}=616 \mathrm{~cm}^{2} $$

ਉਦਾਹਰਨ 5 : ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $21 \mathrm{~cm}$ ਵਾਲੇ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦਾ (i) ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਅਤੇ (ii) ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ : ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $21 \mathrm{~cm}$ ਵਾਲੇ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੋਵੇਗਾ

$$ =2 \pi r^{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=2772 \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦਾ ਕੁੱਲ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੋਵੇਗਾ

$$ 3 \pi r^{2}=3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=4158 \mathrm{~cm}^{2} $$

ਉਦਾਹਰਨ 6 : ਖੋਖਲਾ ਗੋਲਾ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਰਕਸ ਦਾ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਸਵਾਰ ਆਪਣੇ ਕਰਤਬ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਦਾ ਵਿਆਸ $7 \mathrm{~m}$ ਹੈ। ਸਵਾਰੀ ਕਰਨ ਲਈ ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਸਵਾਰ ਲਈ ਉਪਲਬਧ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ : ਗੋਲੇ ਦਾ ਵਿਆਸ $=7 \mathrm{~m}$। ਇਸ ਲਈ, ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $3.5 \mathrm{~m}$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਮੋਟਰਸਾਈਕਲ ਸਵਾਰ ਲਈ ਉਪਲਬਧ ਸਵਾਰੀ ਦੀ ਜਗ੍ਹਾ ‘ਗੋਲੇ’ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ \begin{aligned} 4 \pi r^{2} & =4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~m}^{2} \\ & =154 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਨ 7 : ਇੱਕ ਇਮਾਰਤ ਦੇ ਅਰਧ-ਗੋਲਾਕਾਰ ਗੁੰਬਦ ਨੂੰ ਪੇਂਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 11.9 ਵੇਖੋ)। ਜੇਕਰ ਗੁੰਬਦ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦਾ ਘੇਰਾ $17.6 \mathrm{~m}$ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਪੇਂਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਪੇਂਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ₹ 5 ਪ੍ਰਤੀ $100 \mathrm{~cm}^{2}$ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 11.9

ਹੱਲ : ਕਿਉਂਕਿ ਸਿਰਫ਼ ਗੁੰਬਦ ਦੀ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਨੂੰ ਪੇਂਟ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਪੇਂਟਿੰਗ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਜਾਣਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਅਰਧ-ਗੋਲੇ ਦੇ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। ਹੁਣ, ਗੁੰਬਦ ਦਾ ਘੇਰਾ $=17.6 \mathrm{~m}$। ਇਸ ਲਈ, $17.6=2 \pi r$।

ਇਸ ਲਈ, ਗੁੰਬਦ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $=17.6 \times \frac{7}{2 \times 22} \mathrm{~m}=2.8 \mathrm{~m}$

ਗੁੰਬਦ ਦਾ ਵਕਰੀ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ $=2 \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 \mathrm{~m}^{2} \\ & =49.28 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ਹੁਣ, $100 \mathrm{~cm}^{2}$ ਨੂੰ ਪੇਂਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ ₹ 5 ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $1 \mathrm{~m}^{2}$ ਨੂੰ ਪੇਂਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ =₹ 500

ਇਸ ਲਈ, ਪੂਰੇ ਗੁੰਬਦ ਨੂੰ ਪੇਂਟ ਕਰਨ ਦੀ ਲਾਗਤ =₹ 500 $\times 49.28$ = ₹ 24640

11.3 ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼