११.१ उजव्या वर्तुळाकार शंकूचे पृष्ठफळ

आपण आधीच घन, इष्टिकाचिती आणि वृत्तचिती यांची पृष्ठफळे अभ्यासली आहेत. आता आपण शंकूचे पृष्ठफळ अभ्यासू. आतापर्यंत, आपण एकसारख्या आकृत्या एकावर एक ठेवून घन तयार करत आलो आहोत. योगायोगाने, अशा आकृत्या प्रिझम म्हणून ओळखल्या जातात. आता आपण दुसऱ्या प्रकारच्या घनाकडे पाहू जे प्रिझम नाही (अशा प्रकारच्या घनांना पिरॅमिड म्हणतात.). ते कसे तयार करता येतील ते पाहू.

कृती : एक काटकोन त्रिकोण $\mathrm{ABC}$ काटकोनात $\mathrm{B}$ कापून घ्या. त्रिकोणाच्या एका लंब बाजूस, समजा AB बाजूस, एक लांब जाड दोरा चिकटवा [चित्र ११.१(अ) पहा]. दोऱ्याची दोन्ही बाजूंनी त्रिकोण धरून दोऱ्याभोवती त्रिकोण अनेक वेळा फिरवा. काय होते? त्रिकोण दोऱ्याभोवती फिरत असताना कोणती आकार तयार होतो ते तुम्ही ओळखता का [चित्र ११.१(ब) पहा]? तो आकार तुम्हाला आईस्क्रीम त्या आकाराच्या पात्रात भरून खाल्ल्याची आठवण करून देतो का [चित्र ११.१(क) आणि (ड) पहा]?

चित्र ११.१

याला उजवा वर्तुळाकार शंकू म्हणतात. चित्र ११.१(क) मधील उजव्या वर्तुळाकार शंकूमध्ये, बिंदू $\mathrm{A}$ ला शिरोबिंदू म्हणतात, $\mathrm{AB}$ ला उंची म्हणतात, $\mathrm{BC}$ ला त्रिज्या म्हणतात आणि $A C$ ला शंकूची तिरकस उंची म्हणतात. येथे $B$ हे शंकूच्या वर्तुळाकार पायाचे केंद्र असेल. शंकूची उंची, त्रिज्या आणि तिरकस उंची सामान्यतः अनुक्रमे $h, r$ आणि $l$ या अक्षरांनी दर्शविली जातात. पुन्हा एकदा, आपण कोणत्या प्रकारच्या शंकूला उजवा वर्तुळाकार शंकू म्हणता येणार नाही ते पाहू. हे, तुम्ही पहा (चित्र ११.२ पहा)! या चित्रांमध्ये तुम्हाला जे दिसतात ते उजवे वर्तुळाकार शंकू नाहीत; कारण (अ) मध्ये, त्याच्या शिरोबिंदूला त्याच्या पायाच्या केंद्राशी जोडणारी रेषा पायाला लंब नाही, आणि (ब) मध्ये पाया वर्तुळाकार नाही.

चित्र ११.२

वृत्तचितीप्रमाणेच, आपण फक्त उजव्या वर्तुळाकार शंकूंबद्दलच अभ्यास करणार असल्याने, लक्षात ठेवा की या प्रकरणात ‘शंकू’ म्हणजे ‘उजवा वर्तुळाकार शंकू’.

कृती : (i) एक नीटनेटका कागदाचा शंकू कापून घ्या ज्यावर कोणताही कागद झाकलेला नसेल, त्याच्या बाजूने सरळ कापून, उघडून, शंकूची पृष्ठभाग बनवणाऱ्या कागदाचा आकार पहा. (ज्या रेषेने तुम्ही शंकू कापला ती रेषा शंकूची तिरकस उंची आहे जी $l$ ने दर्शविली जाते). तो गोलाकार केकच्या एका भागासारखा दिसतो.

(ii) जर तुम्ही आता A आणि B अशी चिन्हांकित केलेली टोके एकत्र आणली, तर तुम्ही पाहू शकता की चित्र ११.३ (क) चा वक्र भाग शंकूचा वर्तुळाकार पाया तयार करेल.

चित्र ११.३

(iii) जर चित्र ११.३ (क) मधील कागद आता शेकडो लहान तुकड्यांमध्ये कापला गेला, बिंदू $\mathrm{O}$ पासून काढलेल्या रेषांसह, प्रत्येक कापलेला भाग जवळजवळ एक लहान त्रिकोण आहे, ज्याची उंची शंकूची तिरकस उंची $l$ आहे.

(iv) आता प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ $=\frac{1}{2} \times$ प्रत्येक त्रिकोणाचा पाया $\times l$.

तर, संपूर्ण कागदाच्या तुकड्याचे क्षेत्रफळ

$$ \begin{aligned} & =\text { sum of the areas of all the triangles } \\ & =\frac{1}{2} b_{1} l+\frac{1}{2} b_{2} l+\frac{1}{2} b_{3} l+\cdots=\frac{1}{2} l\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots\right) \\ & =\frac{1}{2} \times l \times \text { length of entire curved boundary of Fig. 11.3(c) } \end{aligned} $$

$\quad$ (कारण $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots$ आकृतीचा वक्र भाग बनवतो)

पण आकृतीचा वक्र भाग शंकूच्या पायाची परिमिती बनवतो आणि शंकूच्या पायाचा परिघ $=2 \pi r$ आहे, जिथे $r$ ही शंकूची पायाची त्रिज्या आहे.

तर, शंकूचे वक्रपृष्ठफळ $=\frac{1}{2} \times l \times 2 \pi r=\pi r l$

जिथे $r$ ही त्याची पायाची त्रिज्या आहे आणि $l$ ही त्याची तिरकस उंची आहे.

लक्षात घ्या की $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ (चित्र ११.४ वरून पाहता येते), पायथागोरसच्या प्रमेयाचा वापर करून. येथे $h$ ही शंकूची उंची आहे.

म्हणून, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

चित्र ११.४

आता जर शंकूचा पाया बंद करायचा असेल, तर $r$ त्रिज्येचा एक वर्तुळाकार कागदाचा तुकडा देखील आवश्यक आहे ज्याचे क्षेत्रफळ $\pi r^{2}$ आहे.

तर, शंकूचे एकूण पृष्ठफळ $=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$

उदाहरण १ : एका उजव्या वर्तुळाकार शंकूचे वक्रपृष्ठफळ काढा ज्याची तिरकस उंची $10 \mathrm{~cm}$ आणि पायाची त्रिज्या $7 \mathrm{~cm}$ आहे.

उकल : वक्रपृष्ठफळ $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =\frac{22}{7} \times 7 \times 10 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =220 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण २ : एका शंकूची उंची $16 \mathrm{~cm}$ आहे आणि त्याची पायाची त्रिज्या $12 \mathrm{~cm}$ आहे. शंकूचे वक्रपृष्ठफळ आणि एकूण पृष्ठफळ काढा ($\pi=3.14$ वापरा).

उकल : येथे, $h=16 \mathrm{~cm}$ आणि $r=12 \mathrm{~cm}$.

तर, $l^{2}=h^{2}+r^{2}$ पासून, आपल्याकडे आहे

$$ l=\sqrt{16^{2}+12^{2}} \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm} $$

तर, वक्रपृष्ठफळ $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =3.14 \times 12 \times 20 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =753.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

पुढे, एकूण पृष्ठफळ $=\pi r l+\pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =(753.6+3.14 \times 12 \times 12) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(753.6+452.16) \mathrm{cm}^{2} \\ & =1205.76 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण ३ : एक कॉर्न कोब (चित्र ११.५ पहा), ज्याचा आकार काहीसा शंकूसारखा आहे, त्याच्या सर्वात रुंद टोकाची त्रिज्या $2.1 \mathrm{~cm}$ आणि लांबी (उंची) $20 \mathrm{~cm}$ आहे. जर कोबच्या पृष्ठभागाच्या प्रत्येक $1 \mathrm{~cm}^{2}$ वर सरासरी चार दाणे असतील, तर संपूर्ण कोबवर किती दाणे सापडतील ते शोधा.

चित्र ११.५

उकल : कॉर्न कोबवरील दाणे फक्त कोबच्या वक्र पृष्ठभागावर सापडतात, त्यामुळे कोबवरील एकूण दाण्यांची संख्या शोधण्यासाठी आपल्याला कॉर्न कोबचे वक्रपृष्ठफळ माहित असणे आवश्यक आहे. या प्रश्नात, आपल्याला शंकूची उंची दिली आहे, त्यामुळे आपल्याला त्याची तिरकस उंची शोधणे आवश्यक आहे.

येथे, $\quad l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(2.1)^{2}+20^{2}} \mathrm{~cm}$

$$ =\sqrt{404.41} \mathrm{~cm}=20.11 \mathrm{~cm} $$

म्हणून, कॉर्न कोबचे वक्रपृष्ठफळ $=\pi r l$

$$ =\frac{22}{7} \times 2.1 \times 20.11 \mathrm{~cm}^{2}=132.726 \mathrm{~cm}^{2}=132.73 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } $$

कॉर्न कोबच्या पृष्ठभागाच्या $1 \mathrm{~cm}^{2}$ वरील कॉर्नच्या दाण्यांची संख्या $=4$

म्हणून, कोबच्या संपूर्ण वक्र पृष्ठभागावरील दाण्यांची संख्या

$$ =132.73 \times 4=530.92=531 \text { (approx.) } $$

तर, कोबवर अंदाजे ५३१ कॉर्नचे दाणे असतील.

११.२ गोलाचे पृष्ठफळ

गोल म्हणजे काय? तो वर्तुळासारखाच आहे का? तुम्ही कागदावर वर्तुळ काढू शकता का? होय, तुम्ही काढू शकता, कारण वर्तुळ ही एक समतल बंद आकृती आहे जिचा प्रत्येक बिंदू एका स्थिर बिंदूपासून (ज्याला त्रिज्या म्हणतात) स्थिर अंतरावर असतो, ज्याला वर्तुळाचे केंद्र म्हणतात. आता जर तुम्ही एका वर्तुळाकार डिस्कच्या व्यासाबरोबर एक दोरा चिकटवला आणि मागील भागात त्रिकोण फिरवल्याप्रमाणे तो फिरवला, तर तुम्हाला एक नवीन घन दिसेल (चित्र ११.६ पहा). तो कशासारखा दिसतो? चेंडूसारखा? होय. याला गोल म्हणतात.

चित्र ११.६

वर्तुळ गोल तयार करताना त्याचे केंद्र काय होते ते तुम्ही अंदाज लावू शकता का? नक्कीच, ते गोलाचे केंद्र बनते. तर, गोल ही त्रिमितीय आकृती (घन आकृती) आहे, जी अवकाशातील सर्व बिंदूंपासून बनलेली आहे, जे एका स्थिर बिंदूपासून स्थिर अंतरावर असतात ज्याला त्रिज्या म्हणतात, आणि त्या स्थिर बिंदूला गोलाचे केंद्र म्हणतात.

टीप : गोल हा चेंडूच्या पृष्ठभागासारखा असतो. घन गोल या शब्दाचा वापर अशा घनासाठी केला जातो ज्याचा पृष्ठभाग गोल असतो.

कृती : तुम्ही कधी बोटाटी खेळली आहे का किंवा किमान एखाद्याला खेळताना पाहिले आहे का? दोरा त्यावर कसा गुंडाळला जातो हे तुम्हाला माहिती असणे आवश्यक आहे. आता, एक रबरचा चेंडू घ्या आणि त्यात एक खिळा ठोकून घ्या. खिळ्याचा आधार घेऊन, चेंडूभोवती दोरा गुंडाळा. जेव्हा तुम्ही चेंडूच्या ‘सर्वात भरलेल्या’ भागापर्यंत पोहोचाल, तेव्हा दोरा जागेवर ठेवण्यासाठी पिन वापरा आणि चेंडूचा उरलेला भाग पूर्णपणे झाकेपर्यंत दोरा गुंडाळत रहा [चित्र ११.७(अ) पहा]. दोऱ्यावर सुरुवातीचा आणि शेवटचा बिंदू चिन्हांकित करा आणि चेंडूच्या पृष्ठभागावरून दोरा हळूहळू उलगडा.

आता, चेंडूचा व्यास मोजण्यासाठी तुमच्या शिक्षकांकडे मदत मागा, ज्यावरून तुम्हाला त्याची त्रिज्या सहज मिळेल. मग कागदाच्या शीटवर, चेंडूच्या त्रिज्येइतक्या त्रिज्या असलेली चार वर्तुळे काढा. चेंडूभोवती गुंडाळलेल्या दोऱ्याने वर्तुळे एक एक करून भरणे सुरू करा [चित्र ११.७(ब) पहा].

चित्र ११.७

या सर्वात तुम्ही काय साध्य केले?

दोरा, ज्याने गोलाच्या पृष्ठभागाचे संपूर्ण क्षेत्रफळ झाकले होते, त्याचा वापर चार वर्तुळांचे क्षेत्र पूर्णपणे भरण्यासाठी केला गेला, त्या सर्व वर्तुळांची त्रिज्या गोलाच्या त्रिज्येइतकीच आहे.

तर, याचा अर्थ काय? यावरून असे सूचित होते की $r$ त्रिज्या असलेल्या गोलाचे पृष्ठफळ $=4$ पट $r=4 \times\left(\pi r^{2}\right)$ त्रिज्या असलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ आहे

तर,$\quad$गोलाचे पृष्ठफळ $=4 \pi r^{2}$

जिथे $r$ ही गोलाची त्रिज्या आहे.

गोलाच्या पृष्ठभागावर तुम्हाला किती पृष्ठभाग दिसतात? फक्त एकच आहे, जो वक्र आहे.

आता, एक घन गोल घ्या आणि त्याच्या मध्यभागी जाणाऱ्या समतलाने तो नक्की ‘मध्यभागी’ कापून घ्या. गोलाला काय होते?

होय, तो दोन समान भागांमध्ये विभागला जातो (चित्र ११.८ पहा)! प्रत्येक अर्ध्या भागाला काय म्हणतात? त्याला अर्धगोल म्हणतात. (कारण ‘हेमी’ चा अर्थ ‘अर्धा’ असा देखील होतो)

चित्र ११.८

आणि अर्धगोलाच्या पृष्ठभागाबद्दल काय? त्याला किती पृष्ठभाग आहेत?

दोन! एक वक्र पृष्ठभाग आणि एक सपाट पृष्ठभाग (पाया) आहे.

अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ हे गोलाच्या पृष्ठफळाच्या निम्मे असते, जे $\frac{1}{2}$ पट $4 \pi r^{2}$ आहे.

म्हणून, अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ $=\mathbf{2} \boldsymbol{\pi} r^{2}$

जिथे $r$ ही त्या गोलाची त्रिज्या आहे ज्याचा अर्धगोल हा एक भाग आहे.

आता अर्धगोलाचे दोन पृष्ठभाग घेतल्यास, त्याचे पृष्ठफळ $2 \pi r^{2}+\pi r^{2}$

तर, अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ $=3 \pi r^{2}$

उदाहरण ४ : $7 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या असलेल्या गोलाचे पृष्ठफळ काढा.

उकल : $7 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या असलेल्या गोलाचे पृष्ठफळ असेल

$$ 4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \mathrm{~cm}^{2}=616 \mathrm{~cm}^{2} $$

उदाहरण ५ : $21 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या असलेल्या अर्धगोलाचे (i) वक्रपृष्ठफळ आणि (ii) एकूण पृष्ठफळ काढा.

उकल : $21 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या असलेल्या अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ असेल

$$ =2 \pi r^{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=2772 \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) अर्धगोलाचे एकूण पृष्ठफळ असेल

$$ 3 \pi r^{2}=3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=4158 \mathrm{~cm}^{2} $$

उदाहरण ६ : पोलादी चक्रवादळाचा खेळाडू ज्या पोकळ गोलात आपले करतब करतो, त्याचा व्यास $7 \mathrm{~m}$ आहे. चक्रवादळाच्या खेळाडूसाठी असलेली स्वारी करण्याची जागा काढा.

उकल : गोलाचा व्यास $=7 \mathrm{~m}$. म्हणून, त्रिज्या $3.5 \mathrm{~m}$ आहे. तर, चक्रवादळाच्या खेळाडूसाठी असलेली स्वारी करण्याची जागा म्हणजे ‘गोल’ चे पृष्ठफळ आहे जे खालीलप्रमाणे दिले आहे

$$ \begin{aligned} 4 \pi r^{2} & =4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~m}^{2} \\ & =154 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण ७ : इमारतीच्या अर्धगोलाकार घुमटावर रंग देणे आवश्यक आहे (चित्र ११.९ पहा). जर घुमटाच्या पायाचा परिघ $17.6 \mathrm{~m}$ असेल, तर त्यावर रंग देण्याचा खर्च काढा, दिलेला रंग देण्याचा खर्च ₹ ५ प्रति $100 \mathrm{~cm}^{2}$ आहे.

चित्र ११.९

उकल : फक्त घुमटाच्या गोलाकार पृष्ठभागावर रंग देणे आवश्यक असल्याने, रंग देण्याची किती क्षेत्रे आवश्यक आहेत हे जाणून घेण्यासाठी आपल्याला अर्धगोलाचे वक्रपृष्ठफळ काढणे आवश्यक आहे. आता, घुमटाचा परिघ $=17.6 \mathrm{~m}$. म्हणून, $17.6=2 \pi r$.

तर, घुमटाची त्रिज्या $=17.6 \times \frac{7}{2 \times 22} \mathrm{~m}=2.8 \mathrm{~m}$

घुमटाचे वक्रपृष्ठफळ $=2 \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 \mathrm{~m}^{2} \\ & =49.28 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

आता, $100 \mathrm{~cm}^{2}$ रंग देण्याचा खर्च ₹ ५ आहे.

तर, $1 \mathrm{~m}^{2}$ रंग देण्याचा खर्च =₹ ५००

म्हणून, संपूर्ण घुमटावर रंग देण्याचा खर्च =₹ ५०० $\times 49.28$ = ₹ २४६४०

११.३ उजव्या वर्तुळाकार शंकूचे घनफळ

मागील इयत्तांमध्ये आपण घन, इष्टिकाचिती आणि वृत्तचिती यांची घनफळे अभ्यासली आहेत

चित्र ११.११ मध्ये, तुम्ही पाहू शकता की तेथे एक उजवी वृत्तचिती आणि एक उजवा वर्तुळाकार शंकू आहे ज्यांची पायाची त्रिज्या आणि उंची सारखीच आहे?

चित्र ११.११

कृती : अशाच पायाची त्रिज्या आणि अशाच उंचीची एक पोकळ वृत्तचिती आणि एक पोकळ शंकू बनवण्याचा प्रयत्न करा (चित्र ११.११ पहा). मग, आपण एक प्रयोग करून पाहू शकतो जो आपल्याला उजव्या वर्तुळाकार शंकूचे घनफळ प्रत्यक्षात काय आहे हे पाहण्यास मदत करेल!

चित्र ११.१२

तर, आपण असे सुरुवात करूया.

शंकू वाळूने एकदा काठोकाठ भरा आणि ती वृत्तचितीत रिकामी करा. आपल्याला असे आढळते की ती वृत्तचितीचा फक्त एक भाग भरते [चित्र ११.१२(अ) पहा].

जेव्हा आपण शंकू पुन्हा काठोकाठ भरतो आणि तो वृत्तचितीत रिकामा करतो, तेव्हा आपल्याला दिसते की वृत्तचिती अजूनही पूर्ण भरलेली नाही [चित्र ११.१२(ब) पहा].

जेव्हा शंकू तिसऱ्यांदा काठोकाठ भरला जातो आणि वृत्तचितीत रिकामा केला जातो, तेव्हा असे दिसते की वृत्तचिती देखील काठोकाठ भरलेली आहे [चित्र ११.१२(क) पहा].

यामुळे, आपण सुरक्षितपणे या निष्कर्षापर्यंत येऊ शकतो की शंकूच्या घनफळाच्या तीन पट, वृत्तचितीचे घनफळ बनवते, ज्याची पायाची त्रिज्या आणि उंची शंकूप्रमाणेच आहे, याचा अर्थ शंकूचे घनफळ हे वृत्तचितीच्या घनफळाच्या एक तृतीयांश आहे.

तर, $\quad \text { Volume of a Cone }=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

जिथे $r$ ही पायाची त्रिज्या आहे आणि $h$ ही शंकूची उंची आहे.

उदाहरण ८ : एका शंकूची उंची आणि तिरकस उंची अनुक्रमे $21 \mathrm{~cm}$ आणि $28 \mathrm{~cm}$ आहे. शंकूचे घनफळ काढा.

उकल : $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ पासून, आपल्याकडे आहे

$$ r=\sqrt{l^{2}-h^{2}}=\sqrt{28^{2}-21^{2}} \mathrm{~cm}=7 \sqrt{7} \mathrm{~cm} $$

तर, शंकूचे घनफळ $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \sqrt{7} \times 7 \sqrt{7} \times 21 \mathrm{~cm}^{3}$

$=7546 \mathrm{~cm}^{3}$

उदाहरण ९ : मोनिकाकडे एक कॅनव्हासचा तुकडा आहे ज्याचे क्षेत्रफळ $551 \mathrm{~m}^{2}$ आहे. ती त्याचा वापर करून एक शंक्वाकार तंबू बनवते, ज्याची पायाची त्रिज्या $7 \mathrm{~m}$ आहे. शिवणकामाच्या किनार्या आणि कापताना झालेल्या नुकसानीची रक्कम अंदाजे $1 \mathrm{~m}^{2}$ आहे असे गृहीत धरून, त्यापासून बनवता येणाऱ्या तंबूचे घनफळ काढा.

उकल : कॅनव्हासचे क्षेत्रफळ $=551 \mathrm{~m}^{2}$ आणि नुकसानीमध्ये गमावलेल्या कॅनव्हासचे क्षेत्रफळ $1 \mathrm{~m}^{2}$ असल्याने, म्हणून तंबू बनवण्यासाठी उपलब्ध कॅनव्हासचे क्षेत्रफळ $(551-1) \mathrm{m}^{2}=550 \mathrm{~m}^{2}$ आहे.

आता, तंबूचे पृष्ठफळ $=550 \mathrm{~m}^{2}$ आणि आवश्यक शंक्वाकार तंबूची पायाची त्रिज्या $=7 \mathrm{~m}$ आहे

लक्षात घ्या की तंबूला फक्त एक वक्र पृष्ठभाग असतो (तंबूच्या तळावर कॅनव्हास झाकलेला नसतो!!).

म्हणून, तंबूचे वक्रपृष्ठफळ $=550 \mathrm{~m}^{2}$.

म्हणजे,$\quad \pi r l=550$

किंवा, $\quad \frac{22}{7}\times 7 \times l=550$

किंवा, $\quad l=3 \frac{550}{22} \mathrm{~m}=25 \mathrm{~m}$

आता,$\quad l^{2}=r^{2}+h^{2}$

$$ \begin{aligned} \text{Therefore,}\quad h=\sqrt{l^{2}-r^{2}} & =\sqrt{25^{2}-7^{2}} \mathrm{~m}=\sqrt{625-49} \mathrm{~m}=\sqrt{576} \mathrm{~m} \\ & =24 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

तर, शंक्वाकार तंबूचे घनफळ $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 \mathrm{~m}^{3}=1232 \mathrm{~m}^{3}$.

११.४ गोलाचे घनफळ

आता, गोलाचे घनफळ कसे मोजायचे ते पाहू. प्रथम, भिन्न त्रिज्या असलेले दोन किंवा तीन गोल घ्या, आणि एक भांडे घ्या ज्यात प्रत्येक गोल एकावेळी ठेवता येईल इतके मोठे असावे. तसेच, एक मोठे टब घ्या ज्यात ते भांडे ठेवता येईल. मग, भांडे पाण्याने काठोकाठ भरा [चित्र ११.१३(अ) पहा].

आता, काळजीपूर्वक भांड्यात एक गोल ठेवा. भांड्यातील काही पाणी त्यात ठेवलेल्या टबमध्ये ओतले जाईल [चित्र ११.१३(ब) पहा]. काळजीपूर्वक टबमधील पाणी मापन सिलेंडरमध्ये (म्हणजे, ग्रेज्युएटेड वृत्तचितीय जार) ओतून ओतलेल्या पाण्याचे मापन करा [चित्र ११.१३(क) पहा]. समजा बुडवलेल्या गोलाची त्रिज्या $r$ आहे (तुम्ही गोलाचा व्यास मोजून त्रिज्या काढू शकता). मग $\frac{4}{3} \pi r^{3}$ ची गणना करा. हे मूल्य ओतलेल्या पाण्याच्या मापाच्या जवळजवळ समान आहे असे तुम्हाला आढळते का?

चित्र ११.१३

पुन्हा एकदा नुकतीच केलेली प्रक्रिया, वेगवेगळ्या आकाराच्या गोलासह पुन्हा करा. या गोलाची त्रिज्या $R$ शोधा आणि नंतर $\frac{4}{3} \pi R^{3}$ च्या मूल्याची गणना करा. पुन्हा हे मूल्य गोलाने विस्थापित (ओतलेल्या) पाण्याच्या घनफळाच्या मापाच्या जवळजवळ समान आहे. यावरून आपल्याला काय समजते? आपल्याला माहित आहे की गोलाचे घनफळ हे त्याने विस्थापित केलेल्या पाण्याच्या घनफळाच्या मापासारखेच असते. वेगवेगळ्या त्रिज्या असलेल्या गोलांसह हा प्रयोग वारंवार करून, आपल्याला समान निकाल मिळतो, म्हणजे, गोलाचे घनफळ हे त्याच्या त्रिज्येच्या घनाच्या $\frac{4}{3} \pi$ पट असते. यावरून आपल्याला कल्पना येते की

$\quad$ गोलाचे घनफळ $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

जिथे $r$ ही गोलाची त्रिज्या आहे.

नंतर, उच्च इयत्तांमध्ये याचा पुरावा देखील दिला जाऊ शकतो. पण या टप्प्यावर, आपण ते फक्त सत्य म्हणून घेऊ.

अर्धगोल हा गोलाचा अर्धा भाग असल्याने, अर्धगोलाचे घनफळ काय असेल याचा तुम्ही अंदाज लावू शकता का? होय, ते $\frac{1}{2}$ पट $\frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{2}{3} \pi r^{3}$ आहे.

तर, $\quad$ अर्धगोलाचे घनफळ $=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \pi r^{3}$

जिथे $r$ ही अर्धगोलाची त्रिज्या आहे.

या सूत्रांचा वापर स्पष्ट करण्यासाठी काही उदाहरणे घेऊ.

उदाहरण १० : $11.2 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या असलेल्या गोलाचे घनफ