11.1 دائیں گول مخروط کا سطحی رقبہ

ہم پہلے ہی مکعب، مکعب نما اور سلنڈر کے سطحی رقبے کا مطالعہ کر چکے ہیں۔ اب ہم مخروط کے سطحی رقبے کا مطالعہ کریں گے۔ اب تک، ہم ہم شکل شکلوں کو ایک دوسرے پر رکھ کر ٹھوس اشکال بناتے رہے ہیں۔ اتفاق سے، ایسی شکلیں منشور کہلاتی ہیں۔ اب آئیے ایک اور قسم کی ٹھوس شکل کی طرف دیکھتے ہیں جو منشور نہیں ہے (اس قسم کی ٹھوس شکلیں ہرم کہلاتی ہیں)۔ آئیے دیکھتے ہیں کہ ہم انہیں کیسے بنا سکتے ہیں۔

سرگرمی : ایک قائمہ الزاویہ مثلث کاٹیں جس میں زاویہ قائمہ $\mathrm{ABC}$ پر ہو۔ مثلث کے ایک عمودی ضلع، فرض کریں AB، کے ساتھ ایک لمبی موٹی ڈوری چپکائیں [دیکھیں شکل 11.1(a)]۔ مثلث کے دونوں طرف ہاتھوں سے ڈوری کو پکڑیں اور مثلث کو ڈوری کے گرد کئی بار گھمائیں۔ کیا ہوتا ہے؟ کیا آپ اس شکل کو پہچانتے ہیں جو مثلث ڈوری کے گرد گھومنے سے بنا رہی ہے [دیکھیں شکل 11.1(b)]؟ کیا یہ آپ کو اس وقت کی یاد دلاتی ہے جب آپ نے اسی شکل کے کنٹینر میں آئس کریم کھائی تھی [دیکھیں شکل 11.1(c) اور (d)]؟

شکل 11.1

اسے دائیں گول مخروط کہتے ہیں۔ شکل 11.1(c) میں دائیں گول مخروط کے نقطہ $\mathrm{A}$ کو راس کہتے ہیں، $\mathrm{AB}$ کو اونچائی کہتے ہیں، $\mathrm{BC}$ کو رداس کہتے ہیں اور $A C$ کو مخروط کی ترچھی اونچائی کہتے ہیں۔ یہاں $B$ مخروط کے گول قاعدے کا مرکز ہوگا۔ مخروط کی اونچائی، رداس اور ترچھی اونچائی کو عام طور پر بالترتیب $h, r$ اور $l$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ایک بار پھر، آئیے دیکھتے ہیں کہ ہم کس قسم کے مخروط کو دائیں گول مخروط نہیں کہہ سکتے۔ یہاں، آپ ہیں (دیکھیں شکل 11.2)! ان شکلوں میں جو آپ دیکھ رہے ہیں وہ دائیں گول مخروط نہیں ہیں؛ کیونکہ (a) میں، اس کے راس کو اس کے قاعدے کے مرکز سے ملانے والی لکیر قاعدے کے ساتھ قائمہ زاویہ پر نہیں ہے، اور (b) میں قاعدہ گول نہیں ہے۔

شکل 11.2

سلنڈر کی طرح، چونکہ ہم صرف دائیں گول مخروطوں کا مطالعہ کریں گے، یاد رکھیں کہ اس باب میں ‘مخروط’ سے ہمارا مطلب ‘دائیں گول مخروط’ ہوگا۔

سرگرمی : (i) ایک صاف بنے ہوئے کاغذ کے مخروط کو کاٹیں جس پر کاغذ کا کوئی حصہ اوپر چڑھا ہوا نہ ہو، اس کی طرف سے سیدھا کاٹیں، اور اسے کھول کر دیکھیں کہ مخروط کی سطح کس شکل کا کاغذ بناتی ہے۔ (جس لکیر کے ساتھ آپ نے مخروط کو کاٹا ہے وہ مخروط کی ترچھی اونچائی ہے جسے $l$ سے ظاہر کیا جاتا ہے)۔ یہ گول کیک کے ایک حصے کی طرح دکھائی دیتا ہے۔

(ii) اگر اب آپ A اور B سے نشان زدہ کناروں کو ایک ساتھ لائیں، تو آپ دیکھ سکتے ہیں کہ شکل 11.3 (c) کا خمدار حصہ مخروط کا گول قاعدہ بنائے گا۔

شکل 11.3

(iii) اگر شکل 11.3 (c) جیسے کاغذ کو اب نقطہ $\mathrm{O}$ سے کھینچی گئی لکیروں کے ساتھ سینکڑوں چھوٹے ٹکڑوں میں کاٹا جائے، تو ہر کٹا ہوا حصہ تقریباً ایک چھوٹا مثلث ہوتا ہے، جس کی اونچائی مخروط کی ترچھی اونچائی $l$ ہے۔

(iv) اب ہر مثلث کا رقبہ $=\frac{1}{2} \times$ ہر مثلث کا قاعدہ $\times l$۔

لہٰذا، کاغذ کے پورے ٹکڑے کا رقبہ

$$ \begin{aligned} & =\text { sum of the areas of all the triangles } \\ & =\frac{1}{2} b_{1} l+\frac{1}{2} b_{2} l+\frac{1}{2} b_{3} l+\cdots=\frac{1}{2} l\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots\right) \\ & =\frac{1}{2} \times l \times \text { length of entire curved boundary of Fig. 11.3(c) } \end{aligned} $$

$\quad$ (کیونکہ $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots$ شکل کے خمدار حصے کو بناتا ہے)

لیکن شکل کا خمدار حصہ مخروط کے قاعدے کا محیط بناتا ہے اور مخروط کے قاعدے کا محیط $=2 \pi r$ ہے، جہاں $r$ مخروط کا قاعدے کا رداس ہے۔

لہٰذا، ایک مخروط کا خمدار سطحی رقبہ $=\frac{1}{2} \times l \times 2 \pi r=\pi r l$

جہاں $r$ اس کا قاعدے کا رداس ہے اور $l$ اس کی ترچھی اونچائی ہے۔

نوٹ کریں کہ $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ (جیسا کہ شکل 11.4 سے دیکھا جا سکتا ہے)، فیثاغورث کے قضیے کو لاگو کر کے۔ یہاں $h$ مخروط کی اونچائی ہے۔

لہٰذا، $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

شکل 11.4

اب اگر مخروط کے قاعدے کو بند کرنا ہو، تو رداس $r$ کا ایک گول کاغذ کا ٹکڑا بھی درکار ہوگا جس کا رقبہ $\pi r^{2}$ ہے۔

لہٰذا، ایک مخروط کا کل سطحی رقبہ $=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$

مثال 1 : ایک دائیں گول مخروط کا خمدار سطحی رقبہ معلوم کریں جس کی ترچھی اونچائی $10 \mathrm{~cm}$ اور قاعدے کا رداس $7 \mathrm{~cm}$ ہے۔

حل : خمدار سطحی رقبہ $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =\frac{22}{7} \times 7 \times 10 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =220 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

مثال 2 : ایک مخروط کی اونچائی $16 \mathrm{~cm}$ ہے اور اس کے قاعدے کا رداس $12 \mathrm{~cm}$ ہے۔ مخروط کا خمدار سطحی رقبہ اور کل سطحی رقبہ معلوم کریں ($\pi=3.14$ استعمال کریں)۔

حل : یہاں، $h=16 \mathrm{~cm}$ اور $r=12 \mathrm{~cm}$۔

لہٰذا، $l^{2}=h^{2}+r^{2}$ سے، ہمارے پاس ہے

$$ l=\sqrt{16^{2}+12^{2}} \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm} $$

لہٰذا، خمدار سطحی رقبہ $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =3.14 \times 12 \times 20 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =753.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

مزید، کل سطحی رقبہ $=\pi r l+\pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =(753.6+3.14 \times 12 \times 12) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(753.6+452.16) \mathrm{cm}^{2} \\ & =1205.76 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

مثال 3 : ایک مکئی کا بھٹا (دیکھیں شکل 11.5)، جو کچھ مخروط کی شکل کا ہے، کے سب سے چوڑے سرے کا رداس $2.1 \mathrm{~cm}$ اور لمبائی (اونچائی) $20 \mathrm{~cm}$ ہے۔ اگر بھٹے کی سطح کے ہر $1 \mathrm{~cm}^{2}$ پر اوسطاً چار دانے ہوں، تو معلوم کریں کہ پورے بھٹے پر کتنے دانے ملیں گے۔

شکل 11.5

حل : چونکہ مکئی کے دانے صرف بھٹے کی خمدار سطح پر پائے جاتے ہیں، اس لیے دانوں کی کل تعداد معلوم کرنے کے لیے ہمیں بھٹے کے خمدار سطحی رقبہ کی ضرورت ہوگی۔ اس سوال میں، ہمیں مخروط کی اونچائی دی گئی ہے، اس لیے ہمیں اس کی ترچھی اونچائی معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔

یہاں، $\quad l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(2.1)^{2}+20^{2}} \mathrm{~cm}$

$$ =\sqrt{404.41} \mathrm{~cm}=20.11 \mathrm{~cm} $$

لہٰذا، مکئی کے بھٹے کا خمدار سطحی رقبہ $=\pi r l$

$$ =\frac{22}{7} \times 2.1 \times 20.11 \mathrm{~cm}^{2}=132.726 \mathrm{~cm}^{2}=132.73 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } $$

مکئی کے بھٹے کی سطح کے ہر $1 \mathrm{~cm}^{2}$ پر مکئی کے دانوں کی تعداد $=4$

لہٰذا، بھٹے کی پوری خمدار سطح پر دانوں کی تعداد

$$ =132.73 \times 4=530.92=531 \text { (approx.) } $$

لہٰذا، بھٹے پر تقریباً 531 مکئی کے دانے ہوں گے۔

11.2 کرہ کا سطحی رقبہ

کرہ کیا ہے؟ کیا یہ دائرے کی طرح ہے؟ کیا آپ کاغذ پر ایک دائرہ بنا سکتے ہیں؟ ہاں، آپ بنا سکتے ہیں، کیونکہ دائرہ ایک مستوی بند شکل ہے جس کا ہر نقطہ ایک مقررہ نقطہ سے ایک مستقل فاصلے (جسے رداس کہتے ہیں) پر واقع ہوتا ہے، جسے دائرے کا مرکز کہتے ہیں۔ اب اگر آپ ایک گول ڈسک کے قطر کے ساتھ ایک ڈوری چپکائیں اور اسے اسی طرح گھمائیں جیسے آپ نے پچھلے حصے میں مثلث کو گھمایا تھا، تو آپ ایک نئی ٹھوس شکل دیکھتے ہیں (دیکھیں شکل 11.6)۔ یہ کس چیز سے مشابہت رکھتا ہے؟ گیند سے؟ ہاں۔ اسے کرہ کہتے ہیں۔

شکل 11.6

کیا آپ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ دائرے کا مرکز کیا بنتا ہے، جب یہ گھومنے پر کرہ بناتا ہے؟ یقیناً، یہ کرہ کا مرکز بن جاتا ہے۔ لہٰذا، کرہ ایک ثلاثی البعد شکل (ٹھوس شکل) ہے، جو فضا کے تمام نقاط سے مل کر بنتی ہے، جو ایک مقررہ نقطہ سے، جسے کرہ کا مرکز کہتے ہیں، ایک مستقل فاصلے پر واقع ہوتے ہیں، جسے رداس کہتے ہیں۔

نوٹ : کرہ گیند کی سطح کی طرح ہوتا ہے۔ ٹھوس کرہ کا لفظ اس ٹھوس کے لیے استعمال ہوتا ہے جس کی سطح کرہ ہو۔

سرگرمی : کیا آپ نے کبھی لٹو سے کھیلا ہے یا کم از کم کسی کو لٹو سے کھیلتے دیکھا ہے؟ آپ کو ضرور علم ہوگا کہ اس کے گرد ڈوری کیسے لپیٹی جاتی ہے۔ اب، آئیے ایک ربڑ کی گیند لیں اور اس میں ایک کیل ٹھونکیں۔ کیل کی مدد سے، آئیے گیند کے گرد ڈوری لپیٹیں۔ جب آپ گیند کے ‘سب سے بھرے’ حصے تک پہنچ جائیں، تو ڈوری کو جگہ پر رکھنے کے لیے پن استعمال کریں، اور گیند کے باقی حصے کے گرد ڈوری لپیٹنا جاری رکھیں، یہاں تک کہ آپ نے گیند کو مکمل طور پر ڈھانپ لیا ہو [دیکھیں شکل 11.7(a)]۔ ڈوری پر شروع اور ختم ہونے والے نقاط کو نشان زد کریں، اور آہستہ سے ڈوری کو گیند کی سطح سے کھولیں۔

اب، اپنے استاد سے مدد لیں تاکہ گیند کا قطر ناپ سکیں، جس سے آپ آسانی سے اس کا رداس معلوم کر سکتے ہیں۔ پھر کاغذ کے ایک شیٹ پر، چار دائرے بنائیں جن کا رداس گیند کے رداس کے برابر ہو۔ دائرے کو ایک ایک کر کے، اس ڈوری سے بھرنا شروع کریں جو آپ نے گیند کے گرد لپیٹی تھی [دیکھیں شکل 11.7(b)]۔

شکل 11.7

آپ نے اس سب میں کیا حاصل کیا ہے؟

ڈوری، جس نے کرہ کے سطحی رقبے کو مکمل طور پر ڈھانپ لیا تھا، کو چار دائرے کے علاقوں کو مکمل طور پر بھرنے کے لیے استعمال کیا گیا ہے، جو سب کرہ کے رداس کے برابر ہیں۔

تو، اس کا کیا مطلب ہے؟ اس سے پتہ چلتا ہے کہ رداس $r$ کے کرہ کا سطحی رقبہ، رداس $r=4 \times\left(\pi r^{2}\right)$ کے دائرے کے رقبے کا $=4$ گنا ہے۔

لہٰذا،$\quad$کرہ کا سطحی رقبہ $=4 \pi r^{2}$

جہاں $r$ کرہ کا رداس ہے۔

آپ کرہ کی سطح میں کتنے چہرے دیکھتے ہیں؟ صرف ایک ہے، جو خمدار ہے۔

اب، آئیے ایک ٹھوس کرہ لیں، اور اسے بالکل ‘درمیان سے’ اس طرح کاٹیں کہ ایک مستوی اس کے مرکز سے گزرے۔ کرہ کے ساتھ کیا ہوتا ہے؟

ہاں، یہ دو برابر حصوں میں تقسیم ہو جاتا ہے (دیکھیں شکل 11.8)! ہر نصف کو کیا کہیں گے؟ اسے نصف کرہ کہتے ہیں۔ (کیونکہ ‘ہیمی’ کا مطلب بھی ‘آدھا’ ہوتا ہے)

شکل 11.8

اور نصف کرہ کی سطح کے بارے میں کیا خیال ہے؟ اس میں کتنے چہرے ہیں؟

دو! ایک خمدار چہرہ اور ایک چپٹا چہرہ (قاعدہ) ہوتا ہے۔

نصف کرہ کا خمدار سطحی رقبہ، کرہ کے سطحی رقبے کا آدھا ہوتا ہے، جو $4 \pi r^{2}$ کا $\frac{1}{2}$ ہے۔

لہٰذا، نصف کرہ کا خمدار سطحی رقبہ $=\mathbf{2} \boldsymbol{\pi} r^{2}$

جہاں $r$ اس کرہ کا رداس ہے جس کا نصف کرہ ایک حصہ ہے۔

اب نصف کرہ کے دو چہروں کو لے کر، اس کا سطحی رقبہ $2 \pi r^{2}+\pi r^{2}$

لہٰذا، نصف کرہ کا کل سطحی رقبہ $=3 \pi r^{2}$

مثال 4 : رداس $7 \mathrm{~cm}$ کے کرہ کا سطحی رقبہ معلوم کریں۔

حل : رداس $7 \mathrm{~cm}$ کے کرہ کا سطحی رقبہ ہوگا

$$ 4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \mathrm{~cm}^{2}=616 \mathrm{~cm}^{2} $$

مثال 5 : رداس $21 \mathrm{~cm}$ کے نصف کرہ کا (i) خمدار سطحی رقبہ اور (ii) کل سطحی رقبہ معلوم کریں۔

حل : رداس $21 \mathrm{~cm}$ کے نصف کرہ کا خمدار سطحی رقبہ ہوگا

$$ =2 \pi r^{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=2772 \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) نصف کرہ کا کل سطحی رقبہ ہوگا

$$ 3 \pi r^{2}=3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=4158 \mathrm{~cm}^{2} $$

مثال 6 : خول نما کرہ، جس میں سرکس کا موٹرسائیکل سوار اپنے کرتب دکھاتا ہے، کا قطر $7 \mathrm{~m}$ ہے۔ موٹرسائیکل سوار کے لیے سواری کے لیے دستیاب رقبہ معلوم کریں۔

حل : کرہ کا قطر $=7 \mathrm{~m}$۔ لہٰذا، رداس $3.5 \mathrm{~m}$ ہے۔ تو، موٹرسائیکل سوار کے لیے سواری کی جگہ ‘کرہ’ کا سطحی رقبہ ہے جو درج ذیل ہے

$$ \begin{aligned} 4 \pi r^{2} & =4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~m}^{2} \\ & =154 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

مثال 7 : ایک عمارت کے نصف کرہ نما گنبد کو پینٹ کرنے کی ضرورت ہے (دیکھیں شکل 11.9)۔ اگر گنبد کے قاعدے کا محیط $17.6 \mathrm{~m}$ ہے، تو اسے پینٹ کرنے کی لاگت معلوم کریں، اگر پینٹ کرنے کی لاگت ₹ 5 فی $100 \mathrm{~cm}^{2}$ ہے۔

شکل 11.9

حل : چونکہ صرف گنبد کی گول سطح کو پینٹ کرنا ہے، اس لیے ہمیں پینٹنگ کی حد معلوم کرنے کے لیے نصف کرہ کے خمدار سطحی رقبہ کی ضرورت ہوگی۔ اب، گنبد کا محیط $=17.6 \mathrm{~m}$۔ لہٰذا، $17.6=2 \pi r$۔

تو، گنبد کا رداس $=17.6 \times \frac{7}{2 \times 22} \mathrm{~m}=2.8 \mathrm{~m}$

گنبد کا خمدار سطحی رقبہ $=2 \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 \mathrm{~m}^{2} \\ & =49.28 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

اب، $100 \mathrm{~cm}^{2}$ پینٹ کرنے کی لاگت ₹ 5 ہے۔

لہٰذا، $1 \mathrm{~m}^{2}$ پینٹ کرنے کی لاگت = ₹ 500

لہٰذا، پورے گنبد کو پینٹ کرنے کی لاگت = ₹ 500 $\times 49.28$ = ₹ 24640

11.3 دائیں گول مخروط کا حجم

پچھلی کلاسوں میں ہم نے مکعب، مکعب نما اور سلنڈر کے حجم کا مطالعہ کیا ہے۔

شکل 11.11 میں، کیا آپ دیکھ سکتے ہیں کہ ایک دائیں گول سلنڈر اور ایک دائیں گول مخروط ہے جن کا قاعدے کا رداس اور اونچائی ایک جیسی ہے؟

شکل 11.11

سرگرمی : اسی قاعدے کے رداس اور اونچائی کے ساتھ ایک کھوکھلا سلنڈر اور ایک کھوکھلا مخروط بنانے کی کوشش کریں (دیکھیں شکل 11.11)۔ پھر، ہم ایک تجربہ کر سکتے ہیں جو ہمیں عملی طور پر یہ دیکھنے میں مدد کرے گا کہ دائیں گول مخروط کا حجم کیا ہوگا!

شکل 11.12

تو، آئیے اس طرح شروع کرتے ہیں۔

مخروط کو ریت سے لبا لب بھریں، اور اسے سلنڈر میں خالی کریں۔ ہم دیکھتے ہیں کہ یہ سلنڈر کا صرف ایک حصہ بھرتا ہے [دیکھیں شکل 11.12(a)]۔

جب ہم مخروط کو دوبارہ لبا لب بھرتے ہیں، اور اسے سلنڈر میں خالی کرتے ہیں، تو ہم دیکھتے ہیں کہ سلنڈر اب بھی پورا نہیں بھرا ہے [دیکھیں شکل 11.12(b)]۔

جب مخروط کو تیسری بار لبا لب بھرا جاتا ہے، اور سلنڈر میں خالی کیا جاتا ہے، تو دیکھا جا سکتا ہے کہ سلنڈر بھی لبا لب بھر جاتا ہے [دیکھیں شکل 11.12(c)]۔

اس سے، ہم محفوظ طور پر اس نتیجے پر پہنچ سکتے ہیں کہ ایک مخروط کے حجم کا تین گنا، ایک سلنڈر کا حجم بناتا ہے، جس کا قاعدے کا رداس اور اونچائی مخروط کے برابر ہے، جس کا مطلب ہے کہ مخروط کا حجم سلنڈر کے حجم کا ایک تہائی ہے۔

لہٰذا، $\quad \text { Volume of a Cone }=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

جہاں $r$ قاعدے کا رداس ہے اور $h$ مخروط کی اونچائی ہے۔

مثال 8 : ایک مخروط کی اونچائی اور ترچھی اونچائی بالترتیب $21 \mathrm{~cm}$ اور $28 \mathrm{~cm}$ ہے۔ مخروط کا حجم معلوم کریں۔

حل : $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ سے، ہمارے پاس ہے

$$ r=\sqrt{l^{2}-h^{2}}=\sqrt{28^{2}-21^{2}} \mathrm{~cm}=7 \sqrt{7} \mathrm{~cm} $$

لہٰذا، مخروط کا حجم $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \sqrt{7} \times 7 \sqrt{7} \times 21 \mathrm{~cm}^{3}$

$=7546 \mathrm{~cm}^{3}$

مثال 9 : مونیکا کے پاس کینوس کا ایک ٹکڑا ہے جس کا رقبہ $551 \mathrm{~m}^{2}$ ہے۔ وہ اسے ایک مخروطی خیمہ بنانے کے لیے استعمال کرتی ہے، جس کا قاعدے کا رداس $7 \mathrm{~m}$ ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ تمام سلائی کے حاشیے اور کاٹتے وقت ہونے والا ضائع تقریباً $1 \mathrm{~m}^{2}$ ہے، اس سے بننے والے خیمے کا حجم معلوم کریں۔

حل : چونکہ کینوس کا رقبہ $=551 \mathrm{~m}^{2}$ ہے اور ضائع ہونے والے کینوس کا رقبہ $1 \mathrm{~m}^{2}$ ہے، لہٰذا خیمہ بنانے کے لیے دستیاب کینوس کا رقبہ $(551-1) \mathrm{m}^{2}=550 \mathrm{~m}^{2}$ ہے۔

اب، خیمے کا سطحی رقبہ $=550 \mathrm{~m}^{2}$ اور مخروطی خیمے کا مطلوبہ قاعدے کا رداس $=7 \mathrm{~m}$ ہے۔

نوٹ کریں کہ خیمے کا صرف ایک خمدار سطح ہوتی ہے (خیمے کا فرش کینوس سے ڈھکا نہیں ہوتا!!)۔

لہٰذا، خیمے کا خمدار سطحی رقبہ $=550 \mathrm{~m}^{2}$۔

یعنی،$\quad \pi r l=550$

یا، $\quad \frac{22}{7}\times 7 \times l=550$

یا، $\quad l=3 \frac{550}{22} \mathrm{~m}=25 \mathrm{~m}$

اب،$\quad l^{2}=r^{2}+h^{2}$

$$ \begin{aligned} \text{Therefore,}\quad h=\sqrt{l^{2}-r^{2}} & =\sqrt{25^{2}-7^{2}} \mathrm{~m}=\sqrt{625-49} \mathrm{~m}=\sqrt{576} \mathrm{~m} \\ & =24 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

لہٰذا، مخروطی خیمے کا حجم $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 \mathrm{~m}^{3}=1232 \mathrm{~m}^{3}$۔

11.4 کرہ کا حجم

اب، آئیے دیکھتے ہیں کہ کرہ کے حجم کی پیمائش کیسے کی جائے۔ سب سے پہلے، مختلف رداس کے دو یا تین کرہ لیں، اور ایک کنٹینر جو اتنا بڑا ہو کہ ہر کرہ کو اس میں ایک وقت میں رکھا جا سکے۔ نیز، ایک بڑا ٹراف بھی لیں جس میں آپ کنٹینر کو رکھ سکیں۔ پھر، کنٹینر کو پانی سے لبا لب بھریں [دیکھیں شکل 11.13(a)]۔

اب، احتیاط سے کرہ میں سے ایک کو کنٹینر میں رکھیں۔ کنٹینر سے کچھ پانی ٹراف میں، جس میں یہ رکھا ہے، بہہ جائے گا [دیکھیں شکل 11.13(b)]۔ احتیاط سے ٹراف سے پانی کو ایک پیمائشی سلنڈر (یعنی، درجہ بند گول سلنڈر جار) میں نکالیں اور بہہ جانے والے پانی کی پیمائش کریں [دیکھیں شکل 11.13(c)]۔ فرض کریں ڈوبے ہوئے کرہ کا رداس $r$ ہے (آپ کرہ کا قطر ناپ کر رداس معلوم کر سکتے ہیں)۔ پھر $\frac{4}{3} \pi r^{3}$ کا حساب لگائیں۔ کیا آپ کو یہ قدر تقریباً بہہ جانے والے حجم کی پیمائش کے برابر ملتی ہے؟

شکل 11.13

ایک بار پھر ابھی کیے گئے طریقہ کار کو دہرائیں، لیکن مختلف سائز کے کرہ کے ساتھ۔ اس کرہ کا رداس $R$ معلوم کریں اور پھر $\frac{4}{3} \pi R^{3}$ کی قدر کا حساب لگائیں۔ ایک بار پھر یہ قدر تقریباً کرہ کے ہٹائے گئے (بہہ جانے والے) پانی کے حجم کی پیمائش کے برابر ہے۔ یہ ہمیں کیا بتاتا ہے؟ ہم جانتے ہیں کہ کرہ کا حجم اس پانی کے حجم کی پیمائش کے برابر ہے جسے اس نے ہٹایا ہے۔ مختلف رداس کے کرہ کے ساتھ اس تجربے کو بار بار کرنے سے، ہمیں ایک ہی نتیجہ مل رہا ہے، یعنی، کرہ کا حجم اس کے رداس کے مکعب کے $\frac{4}{3} \pi$ گنا کے برابر ہے۔ یہ ہمیں یہ خیال دیتا ہے کہ

$\quad$ کرہ کا حجم $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

جہاں $r$ کرہ کا رداس ہے۔

بعد میں، اعلیٰ کلاسوں میں اسے ثابت بھی کیا جا سکتا ہے۔ لیکن اس مرحلے پر، ہم اسے صرف سچ مان لیں گے۔

چونکہ نصف کرہ، کرہ کا آدھا ہوتا ہے، کیا آپ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ نصف کرہ کا حجم کیا ہوگا؟ ہاں، یہ $\frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{2}{3} \pi r^{3}$ کا $\frac{1}{2}$ ہے۔

لہٰذا، $\quad$ نصف کرہ کا حجم $=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \pi r^{3}$

جہاں $r$ نصف کرہ کا رداس ہے۔

آئیے ان فارمولوں کے استعمال کو واضح کرنے کے لیے کچھ مثالیں لیں۔

مثال 10 : رداس $11.2 \mathrm{~cm}$ کے کرہ کا حجم معلوم کریں۔

حل : مطلوبہ حجم $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$$ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 11.2 \times 11.2 \times 11.2 \mathrm{~cm}^{3}=5887.32 \mathrm{~cm}^{3} $$

مثال 11 : شاٹ پٹ ایک دھاتی کرہ ہے جس کا رداس $4.9 \mathrm{~cm}$ ہے۔ اگر دھات کی کثافت $7.8 \mathrm{~g} \mathrm{per} \mathrm{cm}^{3}$ ہے، تو شاٹ پٹ کی کمیت معلوم کریں۔

حل : چونکہ شاٹ پٹ دھات سے بنا ایک ٹھوس کرہ ہے اور اس کی کمیت اس کے حجم اور کثافت کے حاصل ضرب کے برابر ہے، اس لیے ہمیں کرہ کا حجم معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔

اب، کرہ کا حجم $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.9 \times 4.9 \times 4.9 \mathrm{~cm}^{3} \\ & =493 \mathrm{~cm}^{3} \text { (nearly) } \end{aligned} $$

مزید، دھات کے $1 \mathrm{~cm}^{3}$ کی کمیت $7.8 \mathrm{~g}$ ہے۔

لہٰذا، شاٹ پٹ کی کمیت $=7.8 \times 493 \mathrm{~g}$

$$ =3845.44 \mathrm{~g}=3.85 \mathrm{~kg} \text { (nearly) } $$

مثال 12 : ایک نصف کرہ نما کٹورے کا رداس $3.5 \mathrm{~cm}$ ہے۔ اس میں کتنا پانی آ سکتا ہے؟

حل : کٹورے میں آ سکنے والے پانی کا حجم

$$ \begin{aligned} & =\frac{2}{3} \pi r^{3} \\ & =\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~cm}^{3}=89.8 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

11.5 خلاصہ

اس باب میں، آپ نے مندرجہ ذیل نکات کا مطالعہ کیا ہے:

1. مخروط کا خمدار سطحی رقبہ $=\pi r l$

2. دائیں گول مخروط کا کل سطحی رقبہ $=\pi r l +\pi r^{2}$, i.e., $\pi r(l+r)$

3. رداس $r=4 \pi r^{2}$ کے کرہ کا سطحی رقبہ

4. نصف کرہ کا خمدار سطحی رقبہ $=2 \pi r^{2}$

5. نصف کرہ کا کل سطحی رقبہ $=3 \pi r^{2}$

6. مخروط کا حجم $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

7. رداس $r=\frac{4}{3} \pi r^{3}$ کے کرہ کا حجم

8. نصف کرہ کا حجم $=\frac{2}{3} \pi r^{3}$

[یہاں، حروف $l, b, h, a, r$، وغیرہ کو ان کے عام معنی میں استعمال کیا گیا ہے، سیاق و سباق پر منحصر ہے۔]