১১.১ একটি সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

আমরা ইতিমধ্যে ঘনক, আয়তঘন এবং চোঙের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নিয়ে পড়েছি। এখন আমরা শঙ্কুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নিয়ে পড়ব। এখন পর্যন্ত, আমরা সর্বসম চিত্রগুলিকে স্তূপ করে কঠিন বস্তু তৈরি করেছি। আকস্মিকভাবে, এই ধরনের চিত্রগুলিকে প্রিজম বলা হয়। এখন আসুন আমরা অন্য ধরনের একটি কঠিন বস্তুর দিকে তাকাই যা একটি প্রিজম নয় (এই ধরনের কঠিন বস্তুগুলিকে পিরামিড বলা হয়)। দেখা যাক কীভাবে আমরা সেগুলো তৈরি করতে পারি।

কার্যকলাপ : একটি সমকোণী ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ কেটে নিন যার সমকোণ $\mathrm{B}$-এ। ত্রিভুজটির একটি লম্ব বাহু, ধরা যাক AB বরাবর একটি লম্বা মোটা সুতো আটকান [চিত্র ১১.১(ক) দেখুন]। সুতোটিকে ত্রিভুজের উভয় পাশে হাত দিয়ে ধরে রাখুন এবং সুতোটিকে কেন্দ্র করে ত্রিভুজটিকে বেশ কয়েকবার ঘোরান। কী হয়? আপনি কি সেই আকৃতিটি চিনতে পারেন যা ত্রিভুজটি সুতোর চারপাশে ঘোরার সময় তৈরি করছে [চিত্র ১১.১(খ) দেখুন]? এটি কি আপনাকে সেই সময়ের কথা মনে করিয়ে দেয় যখন আপনি একটি আইসক্রিম খেয়েছিলেন যা সেই আকৃতির একটি পাত্রে স্তূপ করা ছিল [চিত্র ১১.১(গ) এবং (ঘ) দেখুন]?

চিত্র ১১.১

একে একটি সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কু বলা হয়। সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কুর চিত্র ১১.১(গ)-এ, বিন্দু $\mathrm{A}$ কে শীর্ষবিন্দু বলা হয়, $\mathrm{AB}$ কে উচ্চতা বলা হয়, $\mathrm{BC}$ কে ব্যাসার্ধ বলা হয় এবং $A C$ কে শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা বলা হয়। এখানে $B$ হবে শঙ্কুর বৃত্তাকার ভূমির কেন্দ্র। শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতাকে সাধারণত যথাক্রমে $h, r$ এবং $l$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। আবারও দেখা যাক কোন ধরনের শঙ্কুকে আমরা সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কু বলতে পারি না। এখানে, আপনি আছেন (চিত্র ১১.২ দেখুন)! এই চিত্রগুলিতে আপনি যা দেখছেন তা সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কু নয়; কারণ (ক)-এ, এর শীর্ষবিন্দু থেকে এর ভূমির কেন্দ্রে যোগ করা রেখাটি ভূমির সাথে সমকোণে নয়, এবং (খ)-এ ভূমিটি বৃত্তাকার নয়।

চিত্র ১১.২

চোঙের ক্ষেত্রে যেমন, যেহেতু আমরা শুধুমাত্র সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কু নিয়েই পড়ব, মনে রাখবেন যে এই অধ্যায়ে ‘শঙ্কু’ বলতে আমরা ‘সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কু’ বোঝাব।

কার্যকলাপ : (i) একটি সুন্দরভাবে তৈরি কাগজের শঙ্কু কেটে নিন যাতে কোনো ওভারল্যাপ করা কাগজ না থাকে, এর পাশ বরাবর সোজা করে কেটে, এবং এটিকে খুলে, সেই কাগজের আকৃতি দেখুন যা শঙ্কুর পৃষ্ঠতল গঠন করে। (যে রেখা বরাবর আপনি শঙ্কুটি কাটলেন সেটি হল শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা যাকে $l$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়)। এটি দেখতে একটি গোল কেকের অংশের মতো।

(ii) আপনি যদি এখন A এবং B চিহ্নিত প্রান্তগুলিকে একত্রে নিয়ে আসেন, আপনি দেখতে পাবেন যে চিত্র ১১.৩(গ)-এর বক্র অংশটি শঙ্কুর বৃত্তাকার ভূমি গঠন করবে।

চিত্র ১১.৩

(iii) যদি চিত্র ১১.৩(গ)-এর মতো কাগজ এখন শত শত ছোট টুকরোতে কাটা হয়, $\mathrm{O}$ বিন্দু থেকে আঁকা রেখাগুলি বরাবর, প্রতিটি কাটা অংশ প্রায় একটি ছোট ত্রিভুজ, যার উচ্চতা হল শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা $l$।

(iv) এখন প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times$ প্রতিটি ত্রিভুজের ভূমি $\times l$।

সুতরাং, কাগজের পুরো টুকরাটির ক্ষেত্রফল

$$ \begin{aligned} & =\text { sum of the areas of all the triangles } \\ & =\frac{1}{2} b_{1} l+\frac{1}{2} b_{2} l+\frac{1}{2} b_{3} l+\cdots=\frac{1}{2} l\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots\right) \\ & =\frac{1}{2} \times l \times \text { length of entire curved boundary of Fig. 11.3(c) } \end{aligned} $$

$\quad$ (যেহেতু $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots$ চিত্রটির বক্র অংশ গঠন করে)

কিন্তু চিত্রটির বক্র অংশটি শঙ্কুর ভূমির পরিধি গঠন করে এবং শঙ্কুর ভূমির পরিধি $=2 \pi r$, যেখানে $r$ হল শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ।

সুতরাং, একটি শঙ্কুর বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times l \times 2 \pi r=\pi r l$

যেখানে $r$ হল এর ভূমির ব্যাসার্ধ এবং $l$ হল এর তির্যক উচ্চতা।

লক্ষ্য করুন যে $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ (চিত্র ১১.৪ থেকে দেখা যাবে), পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে। এখানে $h$ হল শঙ্কুর উচ্চতা।

অতএব, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

চিত্র ১১.৪

এখন যদি শঙ্কুর ভূমি বন্ধ করতে হয়, তাহলে $r$ ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার কাগজের টুকরোও প্রয়োজন যার ক্ষেত্রফল হল $\pi r^{2}$।

সুতরাং, একটি শঙ্কুর মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$

উদাহরণ ১ : একটি সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কুর বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর যার তির্যক উচ্চতা হল $10 \mathrm{~cm}$ এবং ভূমির ব্যাসার্ধ হল $7 \mathrm{~cm}$।

সমাধান : বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =\frac{22}{7} \times 7 \times 10 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =220 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

উদাহরণ ২ : একটি শঙ্কুর উচ্চতা হল $16 \mathrm{~cm}$ এবং এর ভূমির ব্যাসার্ধ হল $12 \mathrm{~cm}$। শঙ্কুটির বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর ($\pi=3.14$ ব্যবহার কর)।

সমাধান : এখানে, $h=16 \mathrm{~cm}$ এবং $r=12 \mathrm{~cm}$।

সুতরাং, $l^{2}=h^{2}+r^{2}$ থেকে, আমাদের আছে

$$ l=\sqrt{16^{2}+12^{2}} \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm} $$

সুতরাং, বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =3.14 \times 12 \times 20 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =753.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

আরও, মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r l+\pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =(753.6+3.14 \times 12 \times 12) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(753.6+452.16) \mathrm{cm}^{2} \\ & =1205.76 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

উদাহরণ ৩ : একটি ভুট্টার খোসা (চিত্র ১১.৫ দেখুন), কিছুটা শঙ্কুর আকৃতির, যার প্রশস্ত প্রান্তের ব্যাসার্ধ হল $2.1 \mathrm{~cm}$ এবং দৈর্ঘ্য (উচ্চতা) হল $20 \mathrm{~cm}$। যদি খোসাটির পৃষ্ঠতলের প্রতি $1 \mathrm{~cm}^{2}$ গড়ে চারটি দানা বহন করে, তবে পুরো খোসায় আপনি কতগুলি দানা পাবেন তা নির্ণয় কর।

চিত্র ১১.৫

সমাধান : যেহেতু ভুট্টার দানাগুলি শুধুমাত্র ভুট্টার খোসার বক্র পৃষ্ঠতলে পাওয়া যায়, তাই খোসার মোট দানার সংখ্যা জানতে আমাদের ভুট্টার খোসার বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল জানতে হবে। এই প্রশ্নে, আমাদের শঙ্কুর উচ্চতা দেওয়া আছে, তাই আমাদের এর তির্যক উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।

এখানে, $\quad l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(2.1)^{2}+20^{2}} \mathrm{~cm}$

$$ =\sqrt{404.41} \mathrm{~cm}=20.11 \mathrm{~cm} $$

অতএব, ভুট্টার খোসার বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r l$

$$ =\frac{22}{7} \times 2.1 \times 20.11 \mathrm{~cm}^{2}=132.726 \mathrm{~cm}^{2}=132.73 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } $$

ভুট্টার খোসার পৃষ্ঠতলের প্রতি $1 \mathrm{~cm}^{2}$ ভুট্টার দানার সংখ্যা $=4$

অতএব, খোসার সম্পূর্ণ বক্র পৃষ্ঠতলে দানার সংখ্যা

$$ =132.73 \times 4=530.92=531 \text { (approx.) } $$

সুতরাং, খোসায় প্রায় ৫৩১টি ভুট্টার দানা থাকবে।

১১.২ একটি গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

গোলক কী? এটি কি একটি বৃত্তের মতোই? আপনি কি কাগজে একটি বৃত্ত আঁকতে পারেন? হ্যাঁ, আপনি পারেন, কারণ একটি বৃত্ত হল একটি সমতলীয় আবদ্ধ চিত্র যার প্রতিটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে একটি ধ্রুব দূরত্বে (যাকে ব্যাসার্ধ বলা হয়) অবস্থিত, যাকে বৃত্তের কেন্দ্র বলা হয়। এখন আপনি যদি একটি বৃত্তাকার ডিস্কের একটি ব্যাস বরাবর একটি সুতো আটকান এবং এটি ঘোরান যেমন আপনি পূর্ববর্তী অধ্যায়ে ত্রিভুজটি ঘোরিয়েছিলেন, আপনি একটি নতুন কঠিন বস্তু দেখতে পাবেন (চিত্র ১১.৬ দেখুন)। এটি কীসের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ? একটি বল? হ্যাঁ। এটিকে একটি গোলক বলা হয়।

চিত্র ১১.৬

আপনি কি অনুমান করতে পারেন বৃত্তের কেন্দ্রের কী হয়, যখন এটি ঘূর্ণনের মাধ্যমে একটি গোলক গঠন করে? অবশ্যই, এটি গোলকের কেন্দ্রে পরিণত হয়। সুতরাং, একটি গোলক হল একটি ত্রিমাত্রিক চিত্র (কঠিন চিত্র), যা স্থানের সমস্ত বিন্দু দিয়ে গঠিত, যা একটি ধ্রুব দূরত্বে অবস্থিত যাকে ব্যাসার্ধ বলা হয়, একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে যাকে গোলকের কেন্দ্র বলা হয়।

দ্রষ্টব্য : একটি গোলক একটি বলের পৃষ্ঠতলের মতো। শব্দগুচ্ছ কঠিন গোলক ব্যবহার করা হয় সেই কঠিন বস্তুর জন্য যার পৃষ্ঠতল একটি গোলক।

কার্যকলাপ : আপনি কি কখনো লাটু খেলেছেন অথবা অন্তত কাউকে লাটু খেলতে দেখেছেন? আপনি অবশ্যই সচেতন কীভাবে একটি সুতো এটির চারপাশে পেঁচানো হয়। এখন, আসুন একটি রাবারের বল নিই এবং এটিতে একটি পেরেক আটকাই। পেরেকটির সহায়তা নিয়ে, আসুন বলটির চারপাশে একটি সুতো পেঁচাই। যখন আপনি বলটির ‘পূর্ণতম’ অংশে পৌঁছেছেন, সুতোটিকে স্থানে রাখতে পিন ব্যবহার করুন, এবং বলটির অবশিষ্ট অংশের চারপাশে সুতোটিকে পেঁচানো চালিয়ে যান, যতক্ষণ না আপনি বলটিকে সম্পূর্ণরূপে আবৃত করেছেন [চিত্র ১১.৭(ক) দেখুন]। সুতোর শুরু এবং শেষ বিন্দুগুলি চিহ্নিত করুন, এবং বলের পৃষ্ঠতল থেকে সুতোটিকে ধীরে ধীরে খুলে নিন।

এখন, আপনার শিক্ষককে বলের ব্যাস পরিমাপ করতে সাহায্য করতে বলুন, যেখান থেকে আপনি সহজেই এর ব্যাসার্ধ পাবেন। তারপর একটি কাগজের শীটে, বলের ব্যাসার্ধের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে চারটি বৃত্ত আঁকুন। বলের চারপাশে আপনি যে সুতো পেঁচিয়েছিলেন তা দিয়ে বৃত্তগুলিকে একে একে পূরণ করা শুরু করুন [চিত্র ১১.৭(খ) দেখুন]।

চিত্র ১১.৭

এই সবকিছুর মাধ্যমে আপনি কী অর্জন করেছেন?

সুতো, যা গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল সম্পূর্ণরূপে আবৃত করেছিল, তা চারটি বৃত্তের অঞ্চল সম্পূর্ণরূপে পূরণ করতে ব্যবহার করা হয়েছে, যাদের সবগুলির ব্যাসার্ধ গোলকের ব্যাসার্ধের সমান।

সুতরাং, এর অর্থ কী? এটি ইঙ্গিত করে যে ব্যাসার্ধ $r$ একটি গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=4$ গুণ একটি ব্যাসার্ধ $r=4 \times\left(\pi r^{2}\right)$ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফলের

সুতরাং,$\quad$একটি গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=4 \pi r^{2}$

যেখানে $r$ হল গোলকের ব্যাসার্ধ।

একটি গোলকের পৃষ্ঠতলে আপনি কতগুলি তল দেখতে পান? শুধুমাত্র একটি, যা বক্র।

এখন, আসুন একটি কঠিন গোলক নিই, এবং এটিকে ঠিক ‘মাঝখান দিয়ে’ একটি সমতল দ্বারা কেটে ফেলি যা এর কেন্দ্র দিয়ে যায়। গোলকের কী হয়?

হ্যাঁ, এটি দুটি সমান অংশে বিভক্ত হয় (চিত্র ১১.৮ দেখুন)! প্রতিটি অর্ধেককে কী বলা হবে? এটিকে একটি অর্ধগোলক বলা হয়। (কারণ ‘হেমি’ মানেও ‘অর্ধেক’)

চিত্র ১১.৮

এবং একটি অর্ধগোলকের পৃষ্ঠতল সম্পর্কে কী? এটির কতগুলি তল আছে?

দুইটি! একটি বক্র তল এবং একটি সমতল তল (ভূমি) আছে।

একটি অর্ধগোলকের বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক, যা হল $\frac{1}{2}$ এর $4 \pi r^{2}$।

অতএব, একটি অর্ধগোলকের বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\mathbf{2} \boldsymbol{\pi} r^{2}$

যেখানে $r$ হল সেই গোলকের ব্যাসার্ধ যার অংশ হল অর্ধগোলক।

এখন একটি অর্ধগোলকের দুটি তল নিয়ে, এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $2 \pi r^{2}+\pi r^{2}$

সুতরাং, একটি অর্ধগোলকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=3 \pi r^{2}$

উদাহরণ ৪ : ব্যাসার্ধ $7 \mathrm{~cm}$ বিশিষ্ট একটি গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : ব্যাসার্ধ $7 \mathrm{~cm}$ বিশিষ্ট একটি গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হবে

$$ 4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \mathrm{~cm}^{2}=616 \mathrm{~cm}^{2} $$

উদাহরণ ৫ : ব্যাসার্ধ $21 \mathrm{~cm}$ বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলকের (i) বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং (ii) মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : ব্যাসার্ধ $21 \mathrm{~cm}$ বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলকের বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হবে

$$ =2 \pi r^{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=2772 \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) অর্ধগোলকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হবে

$$ 3 \pi r^{2}=3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=4158 \mathrm{~cm}^{2} $$

উদাহরণ ৬ : ফাঁপা গোলক, যাতে সার্কাসের মোটরসাইকেল আরোহী তার কসরত দেখান, এর ব্যাস হল $7 \mathrm{~m}$। আরোহীর জন্য রাইডিংয়ের উপলব্ধ ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : গোলকের ব্যাস $=7 \mathrm{~m}$। অতএব, ব্যাসার্ধ হল $3.5 \mathrm{~m}$। সুতরাং, মোটরসাইকেল আরোহীর জন্য উপলব্ধ রাইডিংয়ের স্থান হল ‘গোলক’ এর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল যা নিম্নরূপে দেওয়া আছে

$$ \begin{aligned} 4 \pi r^{2} & =4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~m}^{2} \\ & =154 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

উদাহরণ ৭ : একটি ভবনের একটি অর্ধগোলাকার গম্বুজ রং করতে হবে (চিত্র ১১.৯ দেখুন)। যদি গম্বুজের ভূমির পরিধি $17.6 \mathrm{~m}$ হয়, তবে এটিকে রং করার খরচ নির্ণয় কর, দেওয়া আছে রং করার খরচ ₹ 5 প্রতি $100 \mathrm{~cm}^{2}$।

চিত্র ১১.৯

সমাধান : যেহেতু শুধুমাত্র গম্বুজের বক্র পৃষ্ঠতল রং করতে হবে, তাই রং করার প্রয়োজনীয় পরিমাণ জানতে আমাদের অর্ধগোলকের বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। এখন, গম্বুজের পরিধি $=17.6 \mathrm{~m}$। অতএব, $17.6=2 \pi r$।

সুতরাং, গম্বুজের ব্যাসার্ধ $=17.6 \times \frac{7}{2 \times 22} \mathrm{~m}=2.8 \mathrm{~m}$

গম্বুজের বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=2 \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 \mathrm{~m}^{2} \\ & =49.28 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

এখন, $100 \mathrm{~cm}^{2}$ রং করার খরচ হল ₹ 5।

সুতরাং, $1 \mathrm{~m}^{2}$ রং করার খরচ = ₹ 500

অতএব, পুরো গম্বুজ রং করার খরচ = ₹ 500 $\times 49.28$ = ₹ 24640

১১.৩ একটি সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন

পূর্ববর্তী শ্রেণীতে আমরা ঘনক, আয়তঘন এবং চোঙের আয়তন পড়েছি।

চিত্র ১১.১১-এ, আপনি কি দেখতে পাচ্ছেন যে একই ভূমির ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সমকোণী বৃত্তাকার চোঙ এবং একটি সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কু আছে?

চিত্র ১১.১১

কার্যকলাপ : একই ভূমির ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতা নিয়ে এইরকম একটি ফাঁপা চোঙ এবং একটি ফাঁপা শঙ্কু তৈরি করার চেষ্টা করুন (চিত্র ১১.১১ দেখুন)। তারপর, আমরা একটি পরীক্ষা করার চেষ্টা করতে পারি যা আমাদের সাহায্য করবে, একটি সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন কী হবে তা ব্যবহারিকভাবে দেখতে!

চিত্র ১১.১২

সুতরাং, আসুন এভাবে শুরু করি।

একবার বালি দিয়ে শঙ্কুটিকে কানায় কানায় পূর্ণ করুন, এবং এটিকে চোঙে খালি করুন। আমরা দেখি যে এটি চোঙের শুধুমাত্র একটি অংশ পূর্ণ করে [চিত্র ১১.১২(ক) দেখুন]।

যখন আমরা শঙ্কুটিকে আবার কানায় কানায় পূর্ণ করি, এবং এটিকে চোঙে খালি করি, আমরা দেখি যে চোঙটি এখনও পূর্ণ হয়নি [চিত্র ১১.১২(খ) দেখুন]।

যখন শঙ্কুটিকে তৃতীয়বারের জন্য পূর্ণ করা হয়, এবং চোঙে খালি করা হয়, দেখা যায় যে চোঙটিও কানায় কানায় পূর্ণ হয়েছে [চিত্র ১১.১২(গ) দেখুন]।

এর সাথে, আমরা নিরাপদে এই সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে একটি শঙ্কুর আয়তনের তিন গুণ, একটি চোঙের আয়তন তৈরি করে, যার ভূমির ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা শঙ্কুটির সমান, যার অর্থ হল শঙ্কুর আয়তন হল চোঙের আয়তনের এক-তৃতীয়াংশ।

সুতরাং, $\quad \text { Volume of a Cone }=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

যেখানে $r$ হল ভূমির ব্যাসার্ধ এবং $h$ হল শঙ্কুর উচ্চতা।

উদাহরণ ৮ : একটি শঙ্কুর উচ্চতা এবং তির্যক উচ্চতা যথাক্রমে $21 \mathrm{~cm}$ এবং $28 \mathrm{~cm}$। শঙ্কুটির আয়তন নির্ণয় কর।

সমাধান : $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ থেকে, আমাদের আছে

$$ r=\sqrt{l^{2}-h^{2}}=\sqrt{28^{2}-21^{2}} \mathrm{~cm}=7 \sqrt{7} \mathrm{~cm} $$

সুতরাং, শঙ্কুর আয়তন $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \sqrt{7} \times 7 \sqrt{7} \times 21 \mathrm{~cm}^{3}$

$=7546 \mathrm{~cm}^{3}$

উদাহরণ ৯ : মনিকার একটি ক্যানভাসের টুকরো আছে যার ক্ষেত্রফল হল $551 \mathrm{~m}^{2}$। তিনি এটি ব্যবহার করে একটি শঙ্কু আকৃতির তাঁতি তৈরি করান, যার ভূমির ব্যাসার্ধ হল $7 \mathrm{~m}$। ধরে নিন যে সমস্ত সেলাইয়ের মার্জিন এবং কাটার সময় যে অপচয় হয়, তা প্রায় $1 \mathrm{~m}^{2}$, তবে সেই ক্যানভাস দিয়ে যে তাঁতি তৈরি করা যেতে পারে তার আয়তন নির্ণয় কর।

সমাধান : যেহেতু ক্যানভাসের ক্ষেত্রফল $=551 \mathrm{~m}^{2}$ এবং অপচয়ে হারানো ক্যানভাসের ক্ষেত্রফল হল $1 \mathrm{~m}^{2}$, অতএব তাঁতি তৈরি করার জন্য উপলব্ধ ক্যানভাসের ক্ষেত্রফল হল $(551-1) \mathrm{m}^{2}=550 \mathrm{~m}^{2}$।

এখন, তাঁতির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=550 \mathrm{~m}^{2}$ এবং শঙ্কু আকৃতির তাঁতির প্রয়োজনীয় ভূমির ব্যাসার্ধ $=7 \mathrm{~m}$

লক্ষ্য করুন যে একটি তাঁতির শুধুমাত্র একটি বক্র পৃষ্ঠতল আছে (একটি তাঁতির মেঝে ক্যানভাস দ্বারা আবৃত নয়!!)।

অতএব, তাঁতির বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=550 \mathrm{~m}^{2}$।

অর্থাৎ,$\quad \pi r l=550$

বা, $\quad \frac{22}{7}\times 7 \times l=550$

বা, $\quad l=3 \frac{550}{22} \mathrm{~m}=25 \mathrm{~m}$

এখন,$\quad l^{2}=r^{2}+h^{2}$

$$ \begin{aligned} \text{Therefore,}\quad h=\sqrt{l^{2}-r^{2}} & =\sqrt{25^{2}-7^{2}} \mathrm{~m}=\sqrt{625-49} \mathrm{~m}=\sqrt{576} \mathrm{~m} \\ & =24 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

সুতরাং, শঙ্কু আকৃতির তাঁতির আয়তন $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 \mathrm{~m}^{3}=1232 \mathrm{~m}^{3}$।

১১.৪ একটি গোলকের আয়তন

এখন, দেখা যাক কীভাবে একটি গোলকের আয়তন পরিমাপ করা যায়। প্রথমে, বিভিন্ন ব্যাসার্ধের দুই বা তিনটি গোলক নিন, এবং একটি পাত্র যা যথেষ্ট বড় যাতে প্রতিটি গোলককে একবারে একটির পর একটি এতে রাখা যায়। এছাড়াও, একটি বড় ট্রফ নিন যাতে আপনি পাত্রটি রাখতে পারেন। তারপর, পাত্রটিকে কানায় কানায় জল দিয়ে পূর্ণ করুন [চিত্র ১১.১৩(ক) দেখুন]।

এখন, সাবধানে পাত্রটিতে একটি গোলক রাখুন। পাত্র থেকে কিছু জল ট্রফে উপচে পড়বে যেখানে এটি রাখা আছে [চিত্র ১১.১৩(খ) দেখুন]। সাবধানে ট্রফ থেকে জলটি একটি পরিমাপ সিলিন্ডারে (অর্থাৎ, একটি গ্র্যাজুয়েটেড বেলনাকার জার) ঢেলে নিন এবং উপচে পড়া জল পরিমাপ করুন [চিত্র ১১.১৩(গ) দেখুন]। ধরা যাক নিমজ্জিত গোলকের ব্যাসার্ধ হল $r$ (আপনি গোলকের ব্যাস পরিমাপ করে ব্যাসার্ধ বের করতে পারেন)। তারপর $\frac{4}{3} \pi r^{3}$ এর মান নির্ণয় করুন। আপনি কি এই মানটি প্রায় উপচে পড়া জলের আয়তনের পরিমাপের সমান পাচ্ছেন?

চিত্র ১১.১৩

আবারও ঠিক এখন করা পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করুন, একটি ভিন্ন আকারের গোলক নিয়ে। এই গোলকের ব্যাসার্ধ $R$ নির্ণয় করুন এবং তারপর $\frac{4}{3} \pi R^{3}$ এর মান গণনা করুন। আবারও এই মানটি প্রায় গোলক দ্বারা অপসারিত (উপচে পড়া) জলের আয়তনের পরিমাপের সমান। এটি আমাদের কী বলে? আমরা জানি যে গোলকের আয়তন হল এটি দ্বারা অপসারিত জলের আয়তনের পরিমাপের সমান। বিভিন্ন ব্যাসার্ধের গোলক নিয়ে বারবার এই পরীক্ষা করে, আমরা একই ফলাফল পাচ্ছি, যথা, একটি গোলকের আয়তন এর ব্যাসার্ধের ঘনের $\frac{4}{3} \pi$ গুণের সমান। এটি আমাদের ধারণা দেয় যে

$\quad$ একটি গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

যেখানে $r$ হল গোলকের ব্যাসার্ধ।

পরবর্তীতে, উচ্চতর শ্রেণীতে এটি প্রমাণও করা যেতে পারে। কিন্তু এই পর্যায়ে, আমরা শুধু এটিকে সত্য হিসেবে গ্রহণ করব।

যেহেতু একটি অর্ধগোলক হল একটি গোলকের অর্ধেক, আপনি কি অনুমান করতে পারেন একটি অর্ধগোলকের আয়তন কী হবে? হ্যাঁ, এটি হল $\frac{1}{2}$ এর $\frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{2}{3} \pi r^{3}$।

সুতরাং, $\quad$ একটি অর্ধগোলকের আয়তন $=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \pi r^{3}$

যেখানে $r$ হল অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ।

আসুন কিছু উদাহরণ নিই এই সূত্রগুলির ব্যবহার বোঝাতে।

উদাহরণ ১০ : ব্যাসার্ধ $11.2 \mathrm{~cm}$ বিশিষ্ট একটি গোলকের আয়তন নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রয়োজনীয় আয়তন $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$$ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 11.2 \times 11.2 \times 11.2 \mathrm{~cm}^{3}=5887.32 \mathrm{~cm}^{3} $$

উদাহরণ ১১ : একটি শট-পাট হল ব্যাসার্ধ $11.2 \mathrm{~cm}$ বিশিষ্ট একটি ধাতব গোলক। যদি ধাতুর ঘনত্ব $7.8 \mathrm{~g} \mathrm{per} \mathrm{cm}^{3}$ হয়, তবে শট-পাটটির ভর নির্ণয় কর।

সমাধান : যেহেতু শট-পাট হল ধাতু দিয়ে তৈরি একটি কঠিন গোলক এবং এর ভর এর আয়তন এবং ঘনত্বের গুণফলের সমান, আমাদের গোলকের আয়তন নির্ণয় করতে হবে।

এখন, গোলকের আয়তন $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.9 \times 4.9 \times 4.9 \mathrm{~cm}^{3} \\ & =493 \mathrm{~cm}^{3} \text { (nearly) } \end{aligned} $$

আরও, $1 \mathrm{~cm}^{3}$ ধাতুর ভর হল $7.8 \mathrm{~g}$।

অতএব, শট-পাটটির ভর $=7.8 \times 493 \mathrm{~g}$

$$ =3845.44 \mathrm{~g}=3.85 \mathrm{~kg} \text { (nearly) } $$

উদাহরণ ১২ : একটি অর্ধগোলাকার বাটির ব্যাসার্ধ হল $3.5 \mathrm{~cm}$। এটি কত জল ধারণ করতে পারবে?

সমাধান : বাটিটি যে জল ধারণ করতে পারে তার আয়তন

$$ \begin{aligned} & =\frac{2}{3} \pi r^{3} \\ & =\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~cm}^{3}=89.8 \mathrm{~cm}^{3} \end{aligned} $$

১১.৫ সারাংশ

এই অধ্যায়ে, আপনি নিম্নলিখিত বিষয়গুলি পড়েছেন:

১. একটি শঙ্কুর বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r l$

২. একটি সমকোণী বৃত্তাকার শঙ্কুর মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r l +\pi r^{2}$, i.e., $\pi r(l+r)$

৩. ব্যাসার্ধ $r=4 \pi r^{2}$ বিশিষ্ট একটি গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

৪. একটি অর্ধগোলকের বক্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=2 \pi r^{2}$

৫. একটি অর্ধগোলকের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=3 \pi r^{2}$

৬. একটি শঙ্কুর আয়তন $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

৭. ব্যাসার্ধ $r=\frac{4}{3} \pi r^{3}$ বিশিষ্ট একটি গোলকের আয়তন

৮. একটি অর্ধগোলকের আয়তন $=\frac{2}{3} \pi r^{3}$

[এখানে, অক্ষর $l, b, h, a, r$, ইত্যাদি তাদের স্বাভাবিক অর্থে ব্যবহার করা হয়েছে, প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে।]