11.1 ഒരു വലത് വൃത്തസ്തൂപികയുടെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം

ക്യൂബ്, ക്യൂബോയിഡ്, സിലിണ്ടർ എന്നിവയുടെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം നമ്മൾ ഇതിനകം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ വൃത്തസ്തൂപികയുടെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം പഠിക്കാൻ പോകുന്നു. ഇതുവരെ, സർവ്വസമമായ രൂപങ്ങൾ അടുക്കിവെച്ചുകൊണ്ട് നമ്മൾ ഖരവസ്തുക്കൾ ഉണ്ടാക്കിയിരുന്നു. ഇത്തരം രൂപങ്ങളെ പ്രിസങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പ്രിസം അല്ലാത്ത മറ്റൊരു തരം ഖരരൂപം നോക്കാം (ഇത്തരം ഖരരൂപങ്ങളെ പിരമിഡുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.). അവ എങ്ങനെ ഉണ്ടാക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

പ്രവർത്തനം : ഒരു വലത് ത്രികോണം $\mathrm{ABC}$ വെട്ടിയെടുക്കുക, അത് $\mathrm{B}$-ൽ വലത് കോണാണ്. ത്രികോണത്തിന്റെ ലംബഭുജങ്ങളിലൊന്നായ AB യ്ക്ക് ചുറ്റും ഒരു നീളമുള്ള കട്ടിയുള്ള ചരട് പശയിട്ട് ഒട്ടിക്കുക [ചിത്രം 11.1(a) കാണുക]. ചരട് രണ്ട് കൈകളിലും പിടിച്ചുകൊണ്ട് ത്രികോണം ചരടിന് ചുറ്റും നിരവധി തവണ കറക്കുക. എന്ത് സംഭവിക്കുന്നു? ത്രികോണം ചരടിന് ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോൾ രൂപപ്പെടുന്ന ആകൃതി നിങ്ങൾ തിരിച്ചറിയുന്നുണ്ടോ [ചിത്രം 11.1(b) കാണുക]? അത് നിങ്ങളെ ഓർമ്മപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ, അത്തരം ആകൃതിയിലുള്ള ഒരു പാത്രത്തിൽ ഐസ്ക്രീം കൂട്ടിവച്ച് നിങ്ങൾ കഴിച്ച സമയം [ചിത്രം 11.1(c), (d) കാണുക]?

ചിത്രം. 11.1

ഇതിനെ വലത് വൃത്തസ്തൂപിക എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ചിത്രം 11.1(c) ലെ വലത് വൃത്തസ്തൂപികയിൽ, ബിന്ദു $\mathrm{A}$ ശീർഷകം എന്നും, $\mathrm{AB}$ ഉയരം എന്നും, $\mathrm{BC}$ ആരം എന്നും, $A C$ ചരിഞ്ഞ ഉയരം (slant height) എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഇവിടെ $B$ സ്തൂപികയുടെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാദത്തിന്റെ കേന്ദ്രമായിരിക്കും. സ്തൂപികയുടെ ഉയരം, ആരം, ചരിഞ്ഞ ഉയരം എന്നിവ സാധാരണയായി യഥാക്രമം $h, r$, $l$ എന്നിവ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വീണ്ടും, ഏത് തരം സ്തൂപികയെ നമുക്ക് വലത് വൃത്തസ്തൂപിക എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് നോക്കാം. ഇവിടെ, നിങ്ങൾ (ചിത്രം 11.2 കാണുക)! ഈ ചിത്രങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ കാണുന്നത് വലത് വൃത്തസ്തൂപികകളല്ല; കാരണം (a) ലെ, അതിന്റെ ശീർഷകത്തിൽ നിന്ന് പാദത്തിന്റെ കേന്ദ്രത്തിലേക്കുള്ള രേഖ പാദത്തിന് ലംബമല്ല, കൂടാതെ (b) ലെ പാദം വൃത്താകൃതിയിലുള്ളതല്ല.

ചിത്രം. 11.2

സിലിണ്ടറിന്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, നമ്മൾ വലത് വൃത്തസ്തൂപികകളെക്കുറിച്ച് മാത്രമേ പഠിക്കുകയുള്ളൂ, അതിനാൽ ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ ‘സ്തൂപിക’ എന്ന് പറയുമ്പോൾ അത് ‘വലത് വൃത്തസ്തൂപിക’ എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എന്ന് ഓർക്കുക.

പ്രവർത്തനം : (i) ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യാത്ത കടലാസ് കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ഒരു സ്തൂപിക അതിന്റെ വശത്തുകൂടി നേരെ മുറിച്ചെടുത്ത്, തുറന്ന് നോക്കുക. സ്തൂപികയുടെ പ്രതലം രൂപപ്പെടുത്തുന്ന കടലാസിന്റെ ആകൃതി എന്താണ്? (നിങ്ങൾ സ്തൂപിക മുറിച്ച വര അതിന്റെ ചരിഞ്ഞ ഉയരമാണ്, അത് $l$ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു). അത് ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കേക്കിന്റെ ഒരു ഭാഗം പോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

(ii) ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ A, B എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തിയ വശങ്ങൾ അറ്റങ്ങളിൽ ഒന്നിച്ചുകൊണ്ടുവന്നാൽ, ചിത്രം 11.3 (c) ലെ വളഞ്ഞ ഭാഗം സ്തൂപികയുടെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പാദം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതായി നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

ചിത്രം. 11.3

(iii) ചിത്രം 11.3 (c) ലെ പോലെയുള്ള കടലാസ് ഇപ്പോൾ നൂറുകണക്കിന് ചെറിയ കഷണങ്ങളായി മുറിച്ചാൽ, ബിന്ദു $\mathrm{O}$ എന്നിടത്ത് നിന്ന് വരച്ച വരകളിലൂടെ, ഓരോ മുറിച്ച ഭാഗവും ഏകദേശം ഒരു ചെറിയ ത്രികോണമാണ്, അതിന്റെ ഉയരം സ്തൂപികയുടെ ചരിഞ്ഞ ഉയരം $l$ ആണ്.

(iv) ഇപ്പോൾ ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം $=\frac{1}{2} \times$ ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും പാദം $\times l$.

അതിനാൽ, കടലാസ് കഷണത്തിന്റെ മൊത്തം വിസ്തീർണ്ണം

$$ \begin{aligned} & =\text { sum of the areas of all the triangles } \\ & =\frac{1}{2} b_{1} l+\frac{1}{2} b_{2} l+\frac{1}{2} b_{3} l+\cdots=\frac{1}{2} l\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots\right) \\ & =\frac{1}{2} \times l \times \text { length of entire curved boundary of Fig. 11.3(c) } \end{aligned} $$

$\quad$ (കാരണം $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots$ ചിത്രത്തിന്റെ വളഞ്ഞ ഭാഗം ഉണ്ടാക്കുന്നു)

എന്നാൽ ചിത്രത്തിന്റെ വളഞ്ഞ ഭാഗം സ്തൂപികയുടെ പാദത്തിന്റെ ചുറ്റളവും, സ്തൂപികയുടെ പാദത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് $=2 \pi r$ ആണ്, ഇവിടെ $r$ സ്തൂപികയുടെ പാദത്തിന്റെ ആരമാണ്.

അതിനാൽ, ഒരു സ്തൂപികയുടെ വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=\frac{1}{2} \times l \times 2 \pi r=\pi r l$

ഇവിടെ $r$ അതിന്റെ പാദത്തിന്റെ ആരവും $l$ അതിന്റെ ചരിഞ്ഞ ഉയരവുമാണ്.

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക (ചിത്രം 11.4 ൽ നിന്ന് കാണാവുന്നത് പോലെ), പൈതഗോറസ് സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിച്ച്. ഇവിടെ $h$ സ്തൂപികയുടെ ഉയരമാണ്.

അതിനാൽ, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

ചിത്രം. 11.4

ഇപ്പോൾ സ്തൂപികയുടെ പാദം അടയ്ക്കേണ്ടതാണെങ്കിൽ, $r$ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള കടലാസ് കഷണവും ആവശ്യമാണ്, അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം $\pi r^{2}$ ആണ്.

അതിനാൽ, ഒരു സ്തൂപികയുടെ മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$

ഉദാഹരണം 1 : ചരിഞ്ഞ ഉയരം $10 \mathrm{~cm}$ ഉം പാദത്തിന്റെ ആരം $7 \mathrm{~cm}$ ഉം ആയ ഒരു വലത് വൃത്തസ്തൂപികയുടെ വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =\frac{22}{7} \times 7 \times 10 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =220 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 2 : ഒരു സ്തൂപികയുടെ ഉയരം $16 \mathrm{~cm}$ ഉം അതിന്റെ പാദത്തിന്റെ ആരം $12 \mathrm{~cm}$ ഉം ആണ്. സ്തൂപികയുടെ വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണവും മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണവും കണ്ടെത്തുക ($\pi=3.14$ ഉപയോഗിക്കുക).

പരിഹാരം : ഇവിടെ, $h=16 \mathrm{~cm}$, $r=12 \mathrm{~cm}$.

അതിനാൽ, $l^{2}=h^{2}+r^{2}$ ൽ നിന്ന്, നമുക്കുള്ളത്

$$ l=\sqrt{16^{2}+12^{2}} \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm} $$

അതിനാൽ, വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =3.14 \times 12 \times 20 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =753.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

കൂടാതെ, മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=\pi r l+\pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =(753.6+3.14 \times 12 \times 12) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(753.6+452.16) \mathrm{cm}^{2} \\ & =1205.76 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 3 : ഒരു കോൺ കോബ് (ചിത്രം 11.5 കാണുക), ഏകദേശം ഒരു സ്തൂപികയുടെ ആകൃതിയിലുള്ളത്, അതിന്റെ വിശാലമായ അറ്റത്തിന്റെ ആരം $2.1 \mathrm{~cm}$ ഉം നീളം (ഉയരം) $20 \mathrm{~cm}$ ഉം ആണ്. കോബിന്റെ പ്രതലത്തിലെ ഓരോ $1 \mathrm{~cm}^{2}$ ലും ശരാശരി നാല് ധാന്യങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, മൊത്തം കോബിൽ എത്ര ധാന്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് കണ്ടെത്തുക.

ചിത്രം. 11.5

പരിഹാരം : കോൺ കോബിന്റെ വളഞ്ഞ പ്രതലത്തിൽ മാത്രമേ ധാന്യങ്ങൾ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ, അതിനാൽ മൊത്തം ധാന്യങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ കോൺ കോബിന്റെ വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം നമുക്ക് അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ചോദ്യത്തിൽ, സ്തൂപികയുടെ ഉയരം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ അതിന്റെ ചരിഞ്ഞ ഉയരം നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഇവിടെ, $\quad l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(2.1)^{2}+20^{2}} \mathrm{~cm}$

$$ =\sqrt{404.41} \mathrm{~cm}=20.11 \mathrm{~cm} $$

അതിനാൽ, കോൺ കോബിന്റെ വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=\pi r l$

$$ =\frac{22}{7} \times 2.1 \times 20.11 \mathrm{~cm}^{2}=132.726 \mathrm{~cm}^{2}=132.73 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } $$

കോൺ കോബിന്റെ പ്രതലത്തിലെ $1 \mathrm{~cm}^{2}$ ലെ ധാന്യങ്ങളുടെ എണ്ണം $=4$

അതിനാൽ, കോബിന്റെ മൊത്തം വളഞ്ഞ പ്രതലത്തിലെ ധാന്യങ്ങളുടെ എണ്ണം

$$ =132.73 \times 4=530.92=531 \text { (approx.) } $$

അതിനാൽ, കോബിൽ ഏകദേശം 531 ധാന്യങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.

11.2 ഒരു ഗോളത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം

ഒരു ഗോളം എന്താണ്? ഇത് ഒരു വൃത്തത്തിന് സമാനമാണോ? നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കടലാസിൽ ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമോ? അതെ, കഴിയും, കാരണം ഒരു വൃത്തം ഒരു തലം ആവരണ രൂപമാണ്, അതിന്റെ ഓരോ ബിന്ദുവും ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് (അതിനെ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു) ഒരു സ്ഥിരമായ അകലത്തിൽ (അതിനെ ആരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു) സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഡിസ്കിന്റെ വ്യാസത്തിൽ ഒരു ചരട് പശയിട്ട് ഒട്ടിച്ച്, മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിലെ ത്രികോണം കറക്കിയതുപോലെ കറക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പുതിയ ഖരരൂപം കാണാം (ചിത്രം 11.6 കാണുക). അത് എന്തിനെ പോലെയാണ്? ഒരു പന്ത്? അതെ. അതിനെ ഗോളം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിത്രം. 11.6

ഒരു വൃത്തം ഗോളമായി രൂപപ്പെടുമ്പോൾ അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിന് എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഊഹിക്കാമോ? തീർച്ചയായും, അത് ഗോളത്തിന്റെ കേന്ദ്രമായി മാറുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു ഗോളം ഒരു ത്രിമാന രൂപമാണ് (ഖരരൂപം), അത് സ്ഥലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളും ചേർന്ന് രൂപപ്പെട്ടതാണ്, അവ ഗോളത്തിന്റെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ആരം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു സ്ഥിരമായ അകലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.

ശ്രദ്ധിക്കുക : ഒരു ഗോളം ഒരു പന്തിന്റെ പ്രതലം പോലെയാണ്. ഖര ഗോളം എന്ന വാക്ക് ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഒരു ഗോളമാണ് പ്രതലമായുള്ള ഖരത്തിനാണ്.

പ്രവർത്തനം : നിങ്ങൾ എപ്പോഴെങ്കിലും ഒരു ടോപ്പുമായി കളിച്ചിട്ടുണ്ടോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരാൾ അതുമായി കളിക്കുന്നത് കണ്ടിട്ടുണ്ടോ? ഒരു ചരട് അതിൽ എങ്ങനെ ചുറ്റുന്നു എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അറിയാം. ഇപ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു റബ്ബർ പന്ത് എടുത്ത് അതിൽ ഒരു ആണി ഉറപ്പിക്കാം. ആണിയുടെ പിന്തുണയോടെ, പന്തിന് ചുറ്റും ഒരു ചരട് ചുറ്റാം. പന്തിന്റെ ‘പൂർണ്ണമായ’ ഭാഗത്ത് എത്തുമ്പോൾ, ചരട് സ്ഥാനത്ത് നിർത്താൻ പിന്നുകൾ ഉപയോഗിക്കുക, പന്തിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗത്ത് ചുറ്റും ചരട് ചുറ്റുന്നത് തുടരുക, പന്ത് പൂർണ്ണമായും മൂടപ്പെടുന്നതുവരെ [ചിത്രം 11.7(a) കാണുക]. ചരടിൽ ആരംഭ, അവസാന ബിന്ദുക്കൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക, പന്തിന്റെ പ്രതലത്തിൽ നിന്ന് ചരട് പതുക്കെ അഴിക്കുക.

ഇപ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ അധ്യാപകന്റെ സഹായത്തോടെ പന്തിന്റെ വ്യാസം അളക്കുക, അതിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ ആരം എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും. പിന്നെ ഒരു കടലാസിൽ, പന്തിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യമായ ആരമുള്ള നാല് വൃത്തങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. പന്തിന് ചുറ്റും ചുറ്റിയ ചരട് കൊണ്ട് വൃത്തങ്ങൾ ഓരോന്നായി നിറയ്ക്കാൻ തുടങ്ങുക [ചിത്രം 11.7(b) കാണുക].

ചിത്രം. 11.7

ഇതെല്ലാം ചെയ്തുകൊണ്ട് നിങ്ങൾ എന്താണ് നേടിയത്?

ഗോളത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം പൂർണ്ണമായും മൂടിയിരുന്ന ചരട്, ഗോളത്തിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യമായ ആരമുള്ള നാല് വൃത്തങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ പൂർണ്ണമായും നിറയ്ക്കാൻ ഉപയോഗിച്ചു.

അതിനാൽ, അതിന്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് $r$ ആരമുള്ള ഒരു ഗോളത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=4$ തവണ $r=4 \times\left(\pi r^{2}\right)$ ആരമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ്.

അതിനാൽ,$\quad$ഒരു ഗോളത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=4 \pi r^{2}$

ഇവിടെ $r$ ഗോളത്തിന്റെ ആരമാണ്.

ഒരു ഗോളത്തിന്റെ പ്രതലത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര മുഖങ്ങൾ കാണാം? ഒന്ന് മാത്രമേയുള്ളൂ, അത് വളഞ്ഞതാണ്.

ഇപ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു ഖര ഗോളം എടുത്ത്, അതിന്റെ കേന്ദ്രത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു തലം ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ കൃത്യമായി ‘നടുക്ക്’ വെട്ടിക്കാം. ഗോളത്തിന് എന്ത് സംഭവിക്കും?

അതെ, അത് രണ്ട് തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 11.8 കാണുക)! ഓരോ പകുതിയും എന്താണ് വിളിക്കപ്പെടുക? അതിനെ അർദ്ധഗോളം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. (‘ഹെമി’ എന്നാൽ ‘പകുതി’ എന്നും അർത്ഥമുണ്ട്)

ചിത്രം. 11.8

ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ പ്രതലത്തെക്കുറിച്ച് എന്താണ്? അതിന് എത്ര മുഖങ്ങളുണ്ട്?

രണ്ട്! ഒരു വളഞ്ഞ മുഖവും ഒരു പരന്ന മുഖവും (പാദവും) ഉണ്ട്.

ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം ഗോളത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ പകുതിയാണ്, അത് $\frac{1}{2}$ ന്റെ $4 \pi r^{2}$ ആണ്.

അതിനാൽ, ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=\mathbf{2} \boldsymbol{\pi} r^{2}$

ഇവിടെ $r$ അർദ്ധഗോളം ഒരു ഭാഗമായ ഗോളത്തിന്റെ ആരമാണ്.

ഇപ്പോൾ ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ രണ്ട് മുഖങ്ങളും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $2 \pi r^{2}+\pi r^{2}$

അതിനാൽ, ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=3 \pi r^{2}$

ഉദാഹരണം 4 : $7 \mathrm{~cm}$ ആരമുള്ള ഒരു ഗോളത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : $7 \mathrm{~cm}$ ആരമുള്ള ഒരു ഗോളത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം ഇതായിരിക്കും

$$ 4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \mathrm{~cm}^{2}=616 \mathrm{~cm}^{2} $$

ഉദാഹരണം 5 : $21 \mathrm{~cm}$ ആരമുള്ള ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ (i) വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണവും (ii) മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണവും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : $21 \mathrm{~cm}$ ആരമുള്ള ഒരു അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം ഇതായിരിക്കും

$$ =2 \pi r^{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=2772 \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ മൊത്തം പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം ഇതായിരിക്കും

$$ 3 \pi r^{2}=3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=4158 \mathrm{~cm}^{2} $$

ഉദാഹരണം 6 : സർക്കസ് മോട്ടോർസൈക്കിൾ റൈഡർ തന്റെ സ്ടണ്ടുകൾ നടത്തുന്ന ഫോളോ സ്ഫിയർ (ഉൾഭാഗം ശൂന്യമായ ഗോളം) ന് $7 \mathrm{~m}$ വ്യാസമുണ്ട്. റൈഡിംഗിനായി മോട്ടോർസൈക്കിൾ റൈഡറിന് ലഭ്യമായ പ്രദേശം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം : ഗോളത്തിന്റെ വ്യാസം $=7 \mathrm{~m}$. അതിനാൽ, ആരം $3.5 \mathrm{~m}$ ആണ്. അതിനാൽ, മോട്ടോർസൈക്കിൾ റൈഡറിന് ലഭ്യമായ റൈഡിംഗ് സ്പേസ് ‘ഗോളം’ എന്നതിന്റെ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണമാണ്, അത് നൽകിയിരിക്കുന്നത്

$$ \begin{aligned} 4 \pi r^{2} & =4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~m}^{2} \\ & =154 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ഉദാഹരണം 7 : ഒരു കെട്ടിടത്തിന്റെ അർദ്ധഗോളാകൃതിയിലുള്ള ഗോമുടം പെയിന്റ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് (ചിത്രം 11.9 കാണുക). ഗോമുടത്തിന്റെ പാദത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് $17.6 \mathrm{~m}$ ആണെങ്കിൽ, പെയിന്റിംഗിന്റെ ചെലവ് കണ്ടെത്തുക, പെയിന്റിംഗിന്റെ വില ₹ 5 പെർ $100 \mathrm{~cm}^{2}$ ആണെന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം. 11.9

പരിഹാരം : ഗോമുടത്തിന്റെ വളഞ്ഞ പ്രതലം മാത്രമേ പെയിന്റ് ചെയ്യേണ്ടതുള്ളൂ, അതിനാൽ പെയിന്റിംഗിന്റെ അളവ് അറിയാൻ അർദ്ധഗോളത്തിന്റെ വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇപ്പോൾ, ഗോമുടത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് $=17.6 \mathrm{~m}$. അതിനാൽ, $17.6=2 \pi r$.

അതിനാൽ, ഗോമുടത്തിന്റെ ആരം $=17.6 \times \frac{7}{2 \times 22} \mathrm{~m}=2.8 \mathrm{~m}$

ഗോമുടത്തിന്റെ വളഞ്ഞ പ്രതലവിസ്തീർണ്ണം $=2 \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 \mathrm{~m}^{2} \\ & =49.28 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ഇപ്പോൾ, $100 \mathrm{~cm}^{2}$ പെയിന്റ് ചെയ്യാനുള്ള ചെലവ് ₹ 5 ആണ്.

അതിനാൽ, $1 \mathrm{~m}^{2}$ പെയിന്റ് ചെയ്യാനുള്ള ചെലവ് =₹ 500

അതിനാൽ, മൊത്തം ഗോമുടം പെയിന്റ് ചെയ്യാനുള്ള ചെലവ്