11.1 लम्ब वृत्तीय शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल

हम पहले ही घन, घनाभ और बेलन के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अध्ययन कर चुके हैं। अब हम शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अध्ययन करेंगे। अब तक, हम सर्वांगसम आकृतियों को एक के ऊपर एक रखकर ठोस बनाते रहे हैं। संयोग से, ऐसी आकृतियों को प्रिज्म कहा जाता है। अब आइए एक अन्य प्रकार के ठोस को देखें जो प्रिज्म नहीं है (इस प्रकार के ठोसों को पिरामिड कहा जाता है।)। आइए देखें कि हम उन्हें कैसे उत्पन्न कर सकते हैं।

गतिविधि : एक समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ काटें जिसका समकोण $\mathrm{B}$ पर हो। त्रिभुज के एक लम्बवत भुजा, मान लीजिए AB, के साथ एक लंबा मोटा धागा चिपकाएँ [चित्र 11.1(a) देखें]। धागे को त्रिभुज के दोनों ओर अपने हाथों से पकड़ें और त्रिभुज को धागे के चारों ओर कई बार घुमाएँ। क्या होता है? क्या आप उस आकृति को पहचानते हैं जो त्रिभुज धागे के चारों ओर घूमने पर बना रहा है [चित्र 11.1(b) देखें]? क्या यह आपको उस समय की याद दिलाता है जब आपने उस आकार के एक कंटेनर में भरकर आइसक्रीम खाई थी [चित्र 11.1(c) और (d) देखें]?

चित्र 11.1

इसे लम्ब वृत्तीय शंकु कहा जाता है। चित्र 11.1(c) के लम्ब वृत्तीय शंकु में, बिंदु $\mathrm{A}$ शीर्ष कहलाता है, $\mathrm{AB}$ ऊँचाई कहलाती है, $\mathrm{BC}$ त्रिज्या कहलाती है और $A C$ शंकु की तिर्यक ऊँचाई कहलाती है। यहाँ $B$ शंकु के वृत्तीय आधार का केंद्र होगा। शंकु की ऊँचाई, त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई को आमतौर पर क्रमशः $h, r$ और $l$ से निरूपित किया जाता है। एक बार फिर, आइए देखें कि किस प्रकार के शंकु को हम लम्ब वृत्तीय शंकु नहीं कह सकते। यहाँ, आप हैं (चित्र 11.2 देखें)! इन चित्रों में आप जो देख रहे हैं वे लम्ब वृत्तीय शंकु नहीं हैं; क्योंकि (a) में, इसके शीर्ष को इसके आधार के केंद्र से जोड़ने वाली रेखा आधार के लम्बवत नहीं है, और (b) में आधार वृत्तीय नहीं है।

चित्र 11.2

बेलन के मामले की तरह, चूँकि हम केवल लम्ब वृत्तीय शंकुओं के बारे में अध्ययन करेंगे, याद रखें कि इस अध्याय में ‘शंकु’ से हमारा तात्पर्य ‘लम्ब वृत्तीय शंकु’ से होगा।

गतिविधि : (i) एक साफ-सुथरा बना हुआ कागज का शंकु काटें जिसमें कोई अतिव्याप्त कागज न हो, इसे सीधे इसकी तिरछी सतह के साथ काटें, और इसे खोलकर, उस कागज की आकृति देखें जो शंकु की सतह बनाता है। (जिस रेखा के साथ आपने शंकु को काटा है वह शंकु की तिर्यक ऊँचाई है जिसे $l$ द्वारा निरूपित किया जाता है)। यह एक गोल केक के हिस्से जैसा दिखता है।

(ii) यदि आप अब A और B चिह्नित सिरों को एक साथ लाते हैं, तो आप देख सकते हैं कि चित्र 11.3 (c) का वक्रित भाग शंकु का वृत्तीय आधार बनेगा।

चित्र 11.3

(iii) यदि चित्र 11.3 (c) जैसे कागज को अब बिंदु $\mathrm{O}$ से खींची गई रेखाओं के साथ सैकड़ों छोटे टुकड़ों में काट दिया जाए, तो प्रत्येक कटा हुआ भाग लगभग एक छोटा त्रिभुज होता है, जिसकी ऊँचाई शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ है।

(iv) अब प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ प्रत्येक त्रिभुज का आधार $\times l$।

तो, कागज के पूरे टुकड़े का क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} & =\text { sum of the areas of all the triangles } \\ & =\frac{1}{2} b_{1} l+\frac{1}{2} b_{2} l+\frac{1}{2} b_{3} l+\cdots=\frac{1}{2} l\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots\right) \\ & =\frac{1}{2} \times l \times \text { length of entire curved boundary of Fig. 11.3(c) } \end{aligned} $$

$\quad$ (क्योंकि $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots$ आकृति के वक्रित भाग को बनाता है)

लेकिन आकृति का वक्रित भाग शंकु के आधार की परिधि बनाता है और शंकु के आधार की परिधि $=2 \pi r$ है, जहाँ $r$ शंकु की आधार त्रिज्या है।

तो, एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times l \times 2 \pi r=\pi r l$

जहाँ $r$ इसकी आधार त्रिज्या है और $l$ इसकी तिर्यक ऊँचाई है।

ध्यान दें कि $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ (जैसा कि चित्र 11.4 से देखा जा सकता है), पाइथागोरस प्रमेय लगाकर। यहाँ $h$ शंकु की ऊँचाई है।

इसलिए, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

चित्र 11.4

अब यदि शंकु के आधार को बंद करना है, तो त्रिज्या $r$ के एक वृत्तीय कागज के टुकड़े की भी आवश्यकता होगी जिसका क्षेत्रफल $\pi r^{2}$ है।

तो, एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$

उदाहरण 1 : एक लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी तिर्यक ऊँचाई $10 \mathrm{~cm}$ और आधार त्रिज्या $7 \mathrm{~cm}$ है।

हल : वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =\frac{22}{7} \times 7 \times 10 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =220 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण 2 : एक शंकु की ऊँचाई $16 \mathrm{~cm}$ है और इसकी आधार त्रिज्या $12 \mathrm{~cm}$ है। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ($\pi=3.14$ का प्रयोग करें)।

हल : यहाँ, $h=16 \mathrm{~cm}$ और $r=12 \mathrm{~cm}$।

तो, $l^{2}=h^{2}+r^{2}$ से, हमारे पास है

$$ l=\sqrt{16^{2}+12^{2}} \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm} $$

तो, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =3.14 \times 12 \times 20 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =753.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

इसके अलावा, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l+\pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =(753.6+3.14 \times 12 \times 12) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(753.6+452.16) \mathrm{cm}^{2} \\ & =1205.76 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण 3 : एक मकई का भुट्टा (चित्र 11.5 देखें), जो कुछ-कुछ शंकु के आकार का है, के सबसे चौड़े सिरे की त्रिज्या $2.1 \mathrm{~cm}$ और लंबाई (ऊँचाई) $20 \mathrm{~cm}$ है। यदि भुट्टे की सतह के प्रत्येक $1 \mathrm{~cm}^{2}$ पर औसतन चार दाने होते हैं, तो ज्ञात कीजिए कि आपको पूरे भुट्टे पर कितने दाने मिलेंगे।

चित्र 11.5

हल : चूँकि मकई के दाने केवल मकई के भुट्टे के वक्र पृष्ठ पर पाए जाते हैं, इसलिए दानों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए हमें मकई के भुट्टे के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की आवश्यकता होगी। इस प्रश्न में, हमें शंकु की ऊँचाई दी गई है, इसलिए हमें इसकी तिर्यक ऊँचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है।

यहाँ, $\quad l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(2.1)^{2}+20^{2}} \mathrm{~cm}$

$$ =\sqrt{404.41} \mathrm{~cm}=20.11 \mathrm{~cm} $$

इसलिए, मकई के भुट्टे का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l$

$$ =\frac{22}{7} \times 2.1 \times 20.11 \mathrm{~cm}^{2}=132.726 \mathrm{~cm}^{2}=132.73 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } $$

मकई के भुट्टे की सतह के $1 \mathrm{~cm}^{2}$ पर मकई के दानों की संख्या $=4$

इसलिए, भुट्टे के संपूर्ण वक्र पृष्ठ पर दानों की संख्या

$$ =132.73 \times 4=530.92=531 \text { (approx.) } $$

तो, भुट्टे पर लगभग 531 मकई के दाने होंगे।

11.2 गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

गोला क्या है? क्या यह एक वृत्त के समान है? क्या आप कागज पर एक वृत्त खींच सकते हैं? हाँ, आप खींच सकते हैं, क्योंकि वृत्त एक समतल बंद आकृति है जिसका प्रत्येक बिंदु एक निश्चित बिंदु से एक स्थिर दूरी (जिसे त्रिज्या कहा जाता है) पर स्थित होता है, जिसे वृत्त का केंद्र कहा जाता है। अब यदि आप एक वृत्ताकार डिस्क के व्यास के साथ एक धागा चिपकाते हैं और इसे उसी तरह घुमाते हैं जैसे आपने पिछले खंड में त्रिभुज को घुमाया था, तो आप एक नया ठोस देखते हैं (चित्र 11.6 देखें)। यह किससे मिलता-जुलता है? एक गेंद? हाँ। इसे गोला कहा जाता है।

चित्र 11.6

क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि जब वृत्त घूमकर एक गोला बनाता है तो वृत्त का केंद्र क्या होता है? निश्चित रूप से, यह गोले का केंद्र बन जाता है। तो, एक गोला एक त्रिविमीय आकृति (ठोस आकृति) है, जो अंतरिक्ष के सभी बिंदुओं से मिलकर बनी होती है, जो एक निश्चित बिंदु से त्रिज्या नामक एक स्थिर दूरी पर स्थित होते हैं, जिसे गोले का केंद्र कहा जाता है।

नोट : एक गोला एक गेंद की सतह की तरह होता है। ठोस गोला शब्द का प्रयोग उस ठोस के लिए किया जाता है जिसकी सतह एक गोला होती है।

गतिविधि : क्या आपने कभी लट्टू से खेला है या कम से कम किसी को लट्टू से खेलते देखा है? आपको अवश्य पता होगा कि उसके चारों ओर धागा कैसे लपेटा जाता है। अब, आइए एक रबर की गेंद लें और उसमें एक कील ठोंक दें। कील का सहारा लेकर, गेंद के चारों ओर एक धागा लपेटें। जब आप गेंद के ‘सबसे भरे’ हिस्से तक पहुँच जाएँ, तो धागे को जगह पर रखने के लिए पिनों का उपयोग करें, और गेंद के शेष भाग के चारों ओर धागा लपेटना जारी रखें, जब तक कि आपने गेंद को पूरी तरह से ढक नहीं लिया है [चित्र 11.7(a) देखें]। धागे पर प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं को चिह्नित करें, और धीरे-धीरे धागे को गेंद की सतह से खोलें।

अब, अपने शिक्षक से गेंद का व्यास मापने में आपकी सहायता करने के लिए कहें, जिससे आप आसानी से इसकी त्रिज्या प्राप्त कर सकते हैं। फिर कागज की एक शीट पर, गेंद की त्रिज्या के बराबर त्रिज्या वाले चार वृत्त खींचें। गेंद के चारों ओर लपेटे गए धागे से वृत्तों को एक-एक करके भरना शुरू करें [चित्र 11.7(b) देखें]।

चित्र 11.7

इन सब में आपने क्या हासिल किया है?

धागा, जिसने गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल को पूरी तरह से ढक लिया था, का उपयोग चार वृत्तों के क्षेत्रों को पूरी तरह से भरने के लिए किया गया है, जिन सभी की त्रिज्या गोले की त्रिज्या के बराबर है।

तो, इसका क्या मतलब है? इससे पता चलता है कि त्रिज्या $r$ वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4$ गुना है त्रिज्या $r=4 \times\left(\pi r^{2}\right)$ वाले वृत्त के क्षेत्रफल का

तो,$\quad$एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=4 \pi r^{2}$

जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है।

एक गोले की सतह में आप कितने फलक देखते हैं? केवल एक है, जो वक्रित है।

अब, आइए एक ठोस गोला लें, और इसे बिल्कुल ‘बीच से’ एक समतल द्वारा काटें जो इसके केंद्र से होकर गुजरता है। गोले का क्या होता है?

हाँ, यह दो बराबर भागों में विभाजित हो जाता है (चित्र 11.8 देखें)! प्रत्येक आधे भाग को क्या कहा जाएगा? इसे अर्धगोला कहा जाता है। (क्योंकि ‘हेमी’ का अर्थ ‘आधा’ भी होता है)

चित्र 11.8

और एक अर्धगोले की सतह के बारे में क्या? इसमें कितने फलक होते हैं?

दो! एक वक्रित फलक और एक समतल फलक (आधार) होता है।

एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा होता है, जो $\frac{1}{2}$ गुना $4 \pi r^{2}$ है।

इसलिए, एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\mathbf{2} \boldsymbol{\pi} r^{2}$

जहाँ $r$ उस गोले की त्रिज्या है जिसका अर्धगोला एक भाग है।

अब एक अर्धगोले के दोनों फलकों को लेते हुए, इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \pi r^{2}+\pi r^{2}$

तो, एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=3 \pi r^{2}$

उदाहरण 4 : त्रिज्या $7 \mathrm{~cm}$ वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : त्रिज्या $7 \mathrm{~cm}$ वाले एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा

$$ 4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \mathrm{~cm}^{2}=616 \mathrm{~cm}^{2} $$

उदाहरण 5 : त्रिज्या $21 \mathrm{~cm}$ वाले एक अर्धगोले का (i) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और (ii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : त्रिज्या $21 \mathrm{~cm}$ वाले एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा

$$ =2 \pi r^{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=2772 \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा

$$ 3 \pi r^{2}=3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=4158 \mathrm{~cm}^{2} $$

उदाहरण 6 : खोखला गोला, जिसमें सर्कस का मोटरसाइकिल सवार अपने करतब दिखाता है, का व्यास $7 \mathrm{~m}$ है। सवार के लिए सवारी करने के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : गोले का व्यास $=7 \mathrm{~m}$। इसलिए, त्रिज्या $3.5 \mathrm{~m}$ है। तो, मोटरसाइकिल सवार के लिए उपलब्ध सवारी स्थान ‘गोले’ का पृष्ठीय क्षेत्रफल है जो निम्न द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{aligned} 4 \pi r^{2} & =4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~m}^{2} \\ & =154 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

उदाहरण 7 : एक इमारत के अर्धगोलाकार गुंबद को पेंट करने की आवश्यकता है (चित्र 11.9 देखें)। यदि गुंबद के आधार की परिधि $17.6 \mathrm{~m}$ है, तो इसे पेंट करने की लागत ज्ञात कीजिए, दिया गया है कि पेंटिंग की लागत ₹ 5 प्रति $100 \mathrm{~cm}^{2}$ है।

चित्र 11.9

हल : चूँकि केवल गुंबद की गोलाकार सतह को पेंट किया जाना है, इसलिए पेंटिंग की जाने वाली सीमा जानने के लिए हमें अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को ज्ञात करने की आवश्यकता होगी। अब, गुंबद की परिधि $=17.6 \mathrm{~m}$। इसलिए, $17.6=2 \pi r$।

तो, गुंबद की त्रिज्या $=17.6 \times \frac{7}{2 \times 22} \mathrm{~m}=2.8 \mathrm{~m}$

गुंबद का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 \mathrm{~m}^{2} \\ & =49.28 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

अब, $100 \mathrm{~cm}^{2}$ पेंट करने की लागत ₹ 5 है।

तो, $1 \mathrm{~m}^{2}$ पेंट करने की लागत =₹ 500

इसलिए, पूरे गुंबद को पेंट करने की लागत =₹ 500 $\times 49.28$ = ₹ 24640

11.3 लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन

पिछली कक्षाओं में हमने घन, घनाभ और बेलन के आयतनों का अध्ययन किया है

चित्र 11.11 में, क्या आप देख सकते हैं कि एक लम्ब वृत्तीय बेलन और एक लम्ब वृत्तीय शंकु समान आधार त्रिज्या और समान ऊँचाई के हैं?

चित्र 11.11

गतिविधि : इसी तरह समान आधार त्रिज्या और समान ऊँचाई वाला एक खोखला बेलन और एक खोखला शंकु बनाने का प्रयास करें (चित्र 11.11 देखें)। फिर, हम एक प्रयोग कर सकते हैं जो हमारी सहायता करेगा, यह व्यावहारिक रूप से देखने के लिए कि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन क्या होगा!

चित्र 11.12

तो, आइए इस तरह शुरू करते हैं।

एक बार शंकु को रेत से किनारे तक भरें, और इसे बेलन में खाली कर दें। हम पाते हैं कि यह बेलन का केवल एक हिस्सा भरता है [चित्र 11.12(a) देखें]।

जब हम शंकु को फिर से किनारे तक भरते हैं, और इसे बेलन में खाली करते हैं, तो हम देखते हैं कि बेलन अभी भी भरा नहीं है [चित्र 11.12(b) देखें]।

जब शंकु को तीसरी बार भरा जाता है, और बेलन में खाली किया जाता है, तो देखा जा सकता है कि बेलन भी किनारे तक भर गया है [चित्र 11.12(c) देखें]।

इसके साथ, हम सुरक्षित रूप से इस निष्कर्ष पर पहुँच सकते हैं कि एक शंकु के आयतन का तीन गुना, एक बेलन का आयतन बनाता है, जिसकी आधार त्रिज्या और ऊँचाई शंकु के समान है, जिसका अर्थ है कि शंकु का आयतन बेलन के आयतन का एक-तिहाई है।

तो, $\quad \text { Volume of a Cone }=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

जहाँ $r$ आधार त्रिज्या है और $h$ शंकु की ऊँचाई है।

उदाहरण 8 : एक शंकु की ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई क्रमशः $21 \mathrm{~cm}$ और $28 \mathrm{~cm}$ हैं। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल : $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ से, हमारे पास है

$$ r=\sqrt{l^{2}-h^{2}}=\sqrt{28^{2}-21^{2}} \mathrm{~cm}=7 \sqrt{7} \mathrm{~cm} $$

तो, शंकु का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \sqrt{7} \times 7 \sqrt{7} \times 21 \mathrm{~cm}^{3}$

$=7546 \mathrm{~cm}^{3}$

उदाहरण 9 : मोनिका के पास एक कैनवास का टुकड़ा है जिसका क्षेत्रफल $551 \mathrm{~m}^{2}$ है। वह इसका उपयोग एक शंक्वाकार तम्बू बनाने के लिए करती है, जिसकी आधार त्रिज्या $7 \mathrm{~m}$ है। यह मानते हुए कि सिलाई के सभी हिस्से और काटते समय होने वाला अपव्यय लगभग $1 \mathrm{~m}^{2}$ है, उस तम्बू का आयतन ज्ञात कीजिए जो इससे बनाया जा सकता है।

हल : चूँकि कैनवास का क्षेत्रफल $=551 \mathrm{~m}^{2}$ है और अपव्यय में खोए कैनवास का क्षेत्रफल $1 \mathrm{~m}^{2}$ है, इसलिए तम्बू बनाने के लिए उपलब्ध कैनवास का क्षेत्रफल $(551-1) \mathrm{m}^{2}=550 \mathrm{~m}^{2}$ है।

अब, तम्बू का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=550 \mathrm{~m}^{2}$ है और शंक्वाकार तम्बू की आवश्यक आधार त्रिज्या $=7 \mathrm{~m}$ है

ध्यान दें कि एक तम्बू में केवल एक वक्रित सतह होती है (तम्बू के फर्श को कैनवास से नहीं ढका जाता है!!)।

इसलिए, तम्बू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=550 \mathrm{~m}^{2}$।

अर्थात,$\quad \pi r l=550$

या, $\quad \frac{22}{7}\times 7 \times l=550$

या, $\quad l=3 \frac{550}{22} \mathrm{~m}=25 \mathrm{~m}$

अब,$\quad l^{2}=r^{2}+h^{2}$

$$ \begin{aligned} \text{Therefore,}\quad h=\sqrt{l^{2}-r^{2}} & =\sqrt{25^{2}-7^{2}} \mathrm{~m}=\sqrt{625-49} \mathrm{~m}=\sqrt{576} \mathrm{~m} \\ & =24 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

तो, शंक्वाकार तम्बू का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 24 \mathrm{~m}^{3}=1232 \mathrm{~m}^{3}$।

11.4 गोले का आयतन

अब, आइए देखें कि गोले के आयतन को मापने के बारे में कैसे जाना जाए। सबसे पहले, विभिन्न त्रिज्याओं के दो या तीन गोले लें, और एक कंटेनर जो इतना बड़ा हो कि उसमें प्रत्येक गोले को एक-एक करके रखा जा सके। साथ ही, एक बड़ा ट्रफ लें जिसमें आप कंटेनर को रख सकें। फिर, कंटेनर को पानी से किनारे तक भर दें [चित्र 11.13(a) देखें]।

अब, सावधानीपूर्वक कंटेनर में एक गोला रखें। कंटेनर से कुछ पानी उस ट्रफ में बह जाएगा जिसमें इसे रखा गया है [चित्र 11.13(b) देखें]। सावधानीपूर्वक ट्रफ से पानी को एक मापने वाले बेलन (अर्थात एक अंशांकित बेलनाकार जार) में डालें और बहने वाले पानी को मापें [चित्र 11.13(c) देखें]। मान लीजिए कि डूबे हुए गोले की त्रिज्या $r$ है (आप गोले का व्यास मापकर त्रिज्या ज्ञात कर सकते हैं)। फिर $\frac{4}{3} \pi r^{3}$ का मूल्यांकन करें। क्या आपको यह मान बहने वाले आयतन के माप के लगभग बराबर मिलता है?

चित्र 11.13

एक बार फिर अभी-अभी किए गए प्रक्रिया को दोहराएँ, एक अलग आकार के गोले के साथ। इस गोले की त्रिज्या $R$ ज्ञात करें और फिर $\frac{4}{3} \pi R^{3}$ के मान की गणना करें। एक बार फिर यह मान गोले द्वारा विस्थापित (बहाए गए) पानी के आयतन के माप के लगभग बराबर है। यह हमें क्या बताता है? हम जानते हैं कि गोले का आयतन उसके द्वारा विस्थापित पानी के आयतन के माप के समान होता है। विभिन्न त्रिज्याओं के गोलों के साथ इस प्रयोग को बार-बार करके, हमें एक ही परिणाम मिल रहा है, अर्थात्, एक गोले का आयतन उसकी त्रिज्या के घन के $\frac{4}{3} \pi$ गुना के बराबर होता है। यह हमें यह विचार देता है कि

$\quad$ एक गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है।

बाद में, उच्च कक्षाओं में इसे सिद्ध भी किया जा सकता है। लेकिन इस स्तर पर, हम इसे केवल सत्य मान लेंगे।

चूँकि एक अर्धगोला एक गोले का आधा होता है, क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि एक अर्धगोले का आयतन क्या होगा? हाँ, यह $\frac{1}{2}$ गुना $\frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{2}{3} \pi r^{3}$ है।

तो, $\quad$ एक अर्धगोले का आयतन $=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \pi r^{3}$

जहाँ $r$ अर्धगोले की त्रिज्या है।

आइए इन सूत्रों के उपयोग को स्पष्ट करने के लिए कुछ उदाहरण लें।

उदाहरण 10 : त्रिज्या $11.2 \mathrm{~cm}$ वाले एक गोले का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल : आवश्यक आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$$ =\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 11.2 \times 11.2 \times 11.2 \mathrm{~cm}^{3}=5887.32 \mathrm{~cm}^{3} $$

उदाहरण 11 : एक शॉट-पट्ट $4.9 \mathrm{~cm}$ त्रिज्या वाला एक धात्विक गोला है। यदि धातु का घनत्व $7.8 \mathrm{~g} \mathrm{per} \mathrm{cm}^{3}$ है, तो शॉट-पट्ट का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

हल : चूँकि शॉट-पट्ट ध