11.1 ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಘನಾಕೃತಿ, ಘನಫಲಕ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಶಂಕುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ, ನಾವು ಸರ್ವಸಮಾನ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ರಾಶಿ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಘನಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತಿದ್ದೆವು. ಆಕಸ್ಮಿಕವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಪ್ರಿಸ್ಮ್ ಅಲ್ಲದ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯ ಘನಾಕೃತಿಯನ್ನು ನೋಡೋಣ (ಈ ರೀತಿಯ ಘನಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪಿರಮಿಡ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.). ಅವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ರಚಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಕ್ರಿಯಾಪದ್ಧತಿ : ಒಂದು ಲಂಬಕೋನ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು $\mathrm{ABC}$ ಲಂಬಕೋನದಲ್ಲಿ $\mathrm{B}$ ಕತ್ತರಿಸಿ. ತ್ರಿಕೋನದ ಒಂದು ಲಂಬ ಬಾಹುವಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, AB ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಒಂದು ಉದ್ದನೆಯ ದಪ್ಪ ದಾರವನ್ನು ಅಂಟಿಸಿ [ಚಿತ್ರ 11.1(a) ನೋಡಿ]. ತ್ರಿಕೋನದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಕೈಗಳಿಂದ ದಾರವನ್ನು ಹಿಡಿದುಕೊಂಡು, ದಾರದ ಸುತ್ತ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹಲವಾರು ಬಾರಿ ತಿರುಗಿಸಿ. ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ತ್ರಿಕೋನವು ದಾರದ ಸುತ್ತ ತಿರುಗುವಾಗ ಅದು ರೂಪಿಸುತ್ತಿರುವ ಆಕಾರವನ್ನು ನೀವು ಗುರುತಿಸುತ್ತೀರಾ [ಚಿತ್ರ 11.1(b) ನೋಡಿ]? ಅದು ನಿಮಗೆ ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ಅನ್ನು ಆ ಆಕಾರದ ಪಾತ್ರೆಯಲ್ಲಿ ಶೇಖರಿಸಿ ತಿನ್ನುತ್ತಿದ್ದ ಸಮಯವನ್ನು ನೆನಪಿಸುತ್ತದೆಯೇ [ಚಿತ್ರ 11.1(c) ಮತ್ತು (d) ನೋಡಿ]?

ಚಿತ್ರ 11.1

ಇದನ್ನು ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 11.1(c) ರಲ್ಲಿನ ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುವಿನಲ್ಲಿ, ಬಿಂದು $\mathrm{A}$ ಅನ್ನು ಶೃಂಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, $\mathrm{AB}$ ಅನ್ನು ಎತ್ತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, $\mathrm{BC}$ ಅನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $A C$ ಅನ್ನು ಶಂಕುವಿನ ತಿರ್ಯಕ್ ಎತ್ತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ $B$ ಶಂಕುವಿನ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ತಳದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ, ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ತಿರ್ಯಕ್ ಎತ್ತರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ $h, r$ ಮತ್ತು $l$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ನಾವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಶಂಕುವನ್ನು ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕು ಎಂದು ಕರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಇಲ್ಲಿ, ನೀವು ಇದ್ದೀರಿ (ಚಿತ್ರ 11.2 ನೋಡಿ)! ಈ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ನೋಡುವುದು ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುಗಳಲ್ಲ; ಏಕೆಂದರೆ (a) ರಲ್ಲಿ, ಅದರ ಶೃಂಗವನ್ನು ಅದರ ತಳದ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸುವ ರೇಖೆಯು ತಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು (b) ರಲ್ಲಿ ತಳವು ವೃತ್ತಾಕಾರದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

ಚಿತ್ರ 11.2

ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿರುವಂತೆ, ನಾವು ಕೇವಲ ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ‘ಶಂಕು’ ಎಂದರೆ ‘ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕು’ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಕ್ರಿಯಾಪದ್ಧತಿ : (i) ಒಂದು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಮಾಡಿದ ಕಾಗದದ ಶಂಕುವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ, ಅದರಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಕಾಗದವಿಲ್ಲದೆ, ಅದರ ಪಾರ್ಶ್ವದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನೇರವಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ತೆರೆದು, ಶಂಕುವಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಕಾಗದದ ಆಕಾರವನ್ನು ನೋಡಿ. (ನೀವು ಶಂಕುವನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದ ರೇಖೆಯು ಶಂಕುವಿನ ತಿರ್ಯಕ್ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು $l$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ). ಅದು ಸುತ್ತಿನ ಕೇಕ್ನ ಒಂದು ಭಾಗದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ.

(ii) ನೀವು ಈಗ A ಮತ್ತು B ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾದ ತುದಿಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ತಂದರೆ, ಚಿತ್ರ 11.3 (c) ರ ವಕ್ರ ಭಾಗವು ಶಂಕುವಿನ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ತಳವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ 11.3

(iii) ಚಿತ್ರ 11.3 (c) ರಲ್ಲಿರುವಂತೆಯೇ ಕಾಗದವನ್ನು ಈಗ ನೂರಾರು ಸಣ್ಣ ತುಂಡುಗಳಾಗಿ, ಬಿಂದು $\mathrm{O}$ ನಿಂದ ಎಳೆದ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ಕತ್ತರಿಸಿದ ಭಾಗವು ಬಹುತೇಕ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಎತ್ತರವು ಶಂಕುವಿನ ತಿರ್ಯಕ್ ಎತ್ತರ $l$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(iv) ಈಗ ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\frac{1}{2} \times$ ಪ್ರತಿ ತ್ರಿಕೋನದ ತಳ $\times l$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾಗದದ ಸಂಪೂರ್ಣ ತುಂಡಿನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$$ \begin{aligned} & =\text { sum of the areas of all the triangles } \\ & =\frac{1}{2} b_{1} l+\frac{1}{2} b_{2} l+\frac{1}{2} b_{3} l+\cdots=\frac{1}{2} l\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots\right) \\ & =\frac{1}{2} \times l \times \text { length of entire curved boundary of Fig. 11.3(c) } \end{aligned} $$

$\quad$(ಏಕೆಂದರೆ $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots$ ಆಕೃತಿಯ ವಕ್ರ ಭಾಗವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ)

ಆದರೆ ಆಕೃತಿಯ ವಕ್ರ ಭಾಗವು ಶಂಕುವಿನ ತಳದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಮತ್ತು ಶಂಕುವಿನ ತಳದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು $=2 \pi r$ ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ $r$ ಶಂಕುವಿನ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಂಕುವಿನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\frac{1}{2} \times l \times 2 \pi r=\pi r l$

ಇಲ್ಲಿ $r$ ಅದರ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು $l$ ಅದರ ತಿರ್ಯಕ್ ಎತ್ತರ.

ಗಮನಿಸಿ $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ (ಚಿತ್ರ 11.4 ರಿಂದ ನೋಡಬಹುದು), ಪೈಥಾಗೊರಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ. ಇಲ್ಲಿ $h$ ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

ಚಿತ್ರ 11.4

ಈಗ ಶಂಕುವಿನ ತಳವನ್ನು ಮುಚ್ಚಬೇಕಾದರೆ, ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ನ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಕಾಗದದ ತುಂಡು ಸಹ ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $\pi r^{2}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಂಕುವಿನ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$

ಉದಾಹರಣೆ 1 : ಒಂದು ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುವಿನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದರ ತಿರ್ಯಕ್ ಎತ್ತರ $10 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ $7 \mathrm{~cm}$.

ಪರಿಹಾರ : ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =\frac{22}{7} \times 7 \times 10 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =220 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 2 : ಒಂದು ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ $16 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು ಅದರ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ $12 \mathrm{~cm}$. ಶಂಕುವಿನ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ($\pi=3.14$ ಬಳಸಿ).

ಪರಿಹಾರ : ಇಲ್ಲಿ, $h=16 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು $r=12 \mathrm{~cm}$.

ಆದ್ದರಿಂದ, $l^{2}=h^{2}+r^{2}$ ನಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ l=\sqrt{16^{2}+12^{2}} \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =3.14 \times 12 \times 20 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =753.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ಇನ್ನಷ್ಟು, ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\pi r l+\pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =(753.6+3.14 \times 12 \times 12) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(753.6+452.16) \mathrm{cm}^{2} \\ & =1205.76 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 3 : ಒಂದು ಮೆಕ್ಕೆ ಜೋಳದ ಕಾಂಡ (ಚಿತ್ರ 11.5 ನೋಡಿ), ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಶಂಕುವಿನ ಆಕಾರದಲ್ಲಿದೆ, ಅದರ ಅಗಲವಾದ ತುದಿಯ ತ್ರಿಜ್ಯ $2.1 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು ಉದ್ದ (ಎತ್ತರ) $20 \mathrm{~cm}$. ಕಾಂಡದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರತಿ $1 \mathrm{~cm}^{2}$ ನಲ್ಲಿ ಸರಾಸರಿ ನಾಲ್ಕು ದಾನೆಗಳಿದ್ದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಕಾಂಡದ ಮೇಲೆ ಎಷ್ಟು ದಾನೆಗಳಿವೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಚಿತ್ರ 11.5

ಪರಿಹಾರ : ಮೆಕ್ಕೆ ಜೋಳದ ದಾನೆಗಳು ಕಾಂಡದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಬರುವುದರಿಂದ, ಕಾಂಡದ ಮೇಲಿನ ಒಟ್ಟು ದಾನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಮೆಕ್ಕೆ ಜೋಳದ ಕಾಂಡದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದರ ತಿರ್ಯಕ್ ಎತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಇಲ್ಲಿ, $\quad l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(2.1)^{2}+20^{2}} \mathrm{~cm}$

$$ =\sqrt{404.41} \mathrm{~cm}=20.11 \mathrm{~cm} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೆಕ್ಕೆ ಜೋಳದ ಕಾಂಡದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\pi r l$

$$ =\frac{22}{7} \times 2.1 \times 20.11 \mathrm{~cm}^{2}=132.726 \mathrm{~cm}^{2}=132.73 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } $$

ಮೆಕ್ಕೆ ಜೋಳದ ಕಾಂಡದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಪ್ರತಿ $1 \mathrm{~cm}^{2}$ ನಲ್ಲಿರುವ ದಾನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ $=4$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾಂಡದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಮೇಲಿರುವ ದಾನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

$$ =132.73 \times 4=530.92=531 \text { (approx.) } $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾಂಡದ ಮೇಲೆ ಸರಿಸುಮಾರು 531 ಮೆಕ್ಕೆ ಜೋಳದ ದಾನೆಗಳು ಇರಬಹುದು.

11.2 ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

ಗೋಳ ಎಂದರೇನು? ಅದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನೇ? ನೀವು ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದೇ? ಹೌದು, ನೀವು ಎಳೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ವೃತ್ತವು ಒಂದು ಸಮತಲೀಯ ಮುಚ್ಚಿದ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿ ಬಿಂದುವು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ (ಕೇಂದ್ರ) ಸ್ಥಿರ ದೂರದಲ್ಲಿ (ತ್ರಿಜ್ಯ) ಇರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನೀವು ಒಂದು ವೃತ್ತಾಕಾರದ ತಟ್ಟೆಯ ವ್ಯಾಸದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ದಾರವನ್ನು ಅಂಟಿಸಿ, ಹಿಂದಿನ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದಂತೆಯೇ ಅದನ್ನು ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಒಂದು ಹೊಸ ಘನಾಕೃತಿಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ (ಚಿತ್ರ 11.6 ನೋಡಿ). ಅದು ಯಾವುದನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ? ಚೆಂಡನ್ನು? ಹೌದು. ಅದನ್ನು ಗೋಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 11.6

ವೃತ್ತವು ತಿರುಗುವಾಗ ಅದರ ಕೇಂದ್ರಕ್ಕೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದೇ? ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅದು ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗೋಳವು ಒಂದು ತ್ರಿಮಾತ್ರ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (ಘನಾಕೃತಿ), ಅದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳು ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ (ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರ) ಸ್ಥಿರ ದೂರದಲ್ಲಿ (ತ್ರಿಜ್ಯ) ಇರುತ್ತವೆ.

ಗಮನಿಸಿ : ಗೋಳವು ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಂತೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಘನ ಗೋಳ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಘನಾಕೃತಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈ ಗೋಳವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕ್ರಿಯಾಪದ್ಧತಿ : ನೀವು ಎಂದಾದರೂ ಬೊಂಬೆಯಾಟದ ಚೆಂಡಿನೊಂದಿಗೆ ಆಡಿದ್ದೀರಾ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಯಾರಾದರೂ ಆಡುವುದನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಾ? ದಾರವನ್ನು ಅದರ ಸುತ್ತ ಹೇಗೆ ಸುತ್ತಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ಈಗ, ಒಂದು ರಬ್ಬರ್ ಚೆಂಡನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉಗುರು ಚುಚ್ಚೋಣ. ಉಗುರಿನ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಚೆಂಡಿನ ಸುತ್ತ ದಾರವನ್ನು ಸುತ್ತೋಣ. ನೀವು ಚೆಂಡಿನ ‘ಪೂರ್ಣ’ ಭಾಗವನ್ನು ತಲುಪಿದಾಗ, ದಾರವನ್ನು ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲು ಪಿನ್ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮತ್ತು ಚೆಂಡಿನ ಉಳಿದ ಭಾಗದ ಸುತ್ತ ದಾರವನ್ನು ಸುತ್ತುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ನೀವು ಚೆಂಡನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮುಚ್ಚುವವರೆಗೆ [ಚಿತ್ರ 11.7(a) ನೋಡಿ]. ದಾರದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಮುಗಿತದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ, ಮತ್ತು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಚೆಂಡಿನ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ದಾರವನ್ನು ಸಡಿಲಿಸಿ.

ಈಗ, ನಿಮ್ಮ ಶಿಕ್ಷಕರಿಂದ ಚೆಂಡಿನ ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಸಹಾಯ ಕೇಳಿ, ಅದರಿಂದ ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಂತರ ಒಂದು ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ, ಚೆಂಡಿನ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ನಾಲ್ಕು ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಚೆಂಡಿನ ಸುತ್ತ ನೀವು ಸುತ್ತಿದ ದಾರದಿಂದ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದಾಗಿ ತುಂಬಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ [ಚಿತ್ರ 11.7(b) ನೋಡಿ].

ಚಿತ್ರ 11.7

ಈ ಎಲ್ಲದರಲ್ಲಿ ನೀವು ಏನು ಸಾಧಿಸಿದ್ದೀರಿ?

ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಿದ್ದ ದಾರವನ್ನು, ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ನಾಲ್ಕು ವೃತ್ತಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತುಂಬಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದು ತ್ರಿಜ್ಯ $r$ ನ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ತ್ರಿಜ್ಯ $r=4 \times\left(\pi r^{2}\right)$ ನ ವೃತ್ತದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ $=4$ ಪಟ್ಟು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,$\quad$ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=4 \pi r^{2}$

ಇಲ್ಲಿ $r$ ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ.

ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಮುಖಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ? ಕೇವಲ ಒಂದೇ ಇದೆ, ಅದು ವಕ್ರವಾಗಿದೆ.

ಈಗ, ಒಂದು ಘನ ಗೋಳವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದಿಂದ ಅದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ‘ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ’ ಕತ್ತರಿಸೋಣ. ಗೋಳಕ್ಕೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ?

ಹೌದು, ಅದು ಎರಡು ಸಮಾನ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 11.8 ನೋಡಿ)! ಪ್ರತಿ ಅರ್ಧಭಾಗವನ್ನು ಏನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಅದನ್ನು ಅರ್ಧಗೋಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. (‘ಅರ್ಧ’ ಎಂದರೆ ‘ಅರ್ಧ’ ಎಂದೂ ಅರ್ಥ)

ಚಿತ್ರ 11.8

ಮತ್ತು ಅರ್ಧಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಅದಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಮುಖಗಳಿವೆ?

ಎರಡು! ಒಂದು ವಕ್ರ ಮುಖ ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಮತಲ ಮುಖ (ತಳ) ಇದೆ.

ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣದ ಅರ್ಧ, ಅದು $4 \pi r^{2}$ ನ $\frac{1}{2}$ ಆಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=\mathbf{2} \boldsymbol{\pi} r^{2}$

ಇಲ್ಲಿ $r$ ಗೋಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ, ಅದರಿಂದ ಅರ್ಧಗೋಳವು ಒಂದು ಭಾಗ.

ಈಗ ಅರ್ಧಗೋಳದ ಎರಡು ಮುಖಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $2 \pi r^{2}+\pi r^{2}$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅರ್ಧಗೋಳದ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=3 \pi r^{2}$

ಉದಾಹರಣೆ 4 : ತ್ರಿಜ್ಯ $7 \mathrm{~cm}$ ನ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ತ್ರಿಜ್ಯ $7 \mathrm{~cm}$ ನ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$$ 4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \mathrm{~cm}^{2}=616 \mathrm{~cm}^{2} $$

ಉದಾಹರಣೆ 5 : ತ್ರಿಜ್ಯ $21 \mathrm{~cm}$ ನ ಅರ್ಧಗೋಳದ (i) ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು (ii) ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ತ್ರಿಜ್ಯ $21 \mathrm{~cm}$ ನ ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$$ =2 \pi r^{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=2772 \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) ಅರ್ಧಗೋಳದ ಒಟ್ಟು ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ

$$ 3 \pi r^{2}=3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=4158 \mathrm{~cm}^{2} $$

ಉದಾಹರಣೆ 6 : ಸರ್ಕಸ್ ಮೋಟಾರ್ಸೈಕ್ಲಿಸ್ಟ್ ತನ್ನ ಕಸರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸುವ ಖಾಲಿ ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸ $7 \mathrm{~m}$. ಮೋಟಾರ್ಸೈಕ್ಲಿಸ್ಟ್ಗೆ ಸವಾರಿ ಮಾಡಲು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸ $=7 \mathrm{~m}$. ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಜ್ಯ $3.5 \mathrm{~m}$. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೋಟಾರ್ಸೈಕ್ಲಿಸ್ಟ್ಗೆ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಸವಾರಿ ಮಾಡುವ ಸ್ಥಳವು ‘ಗೋಳ’ದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

$$ \begin{aligned} 4 \pi r^{2} & =4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~m}^{2} \\ & =154 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ಉದಾಹರಣೆ 7 : ಒಂದು ಕಟ್ಟಡದ ಅರ್ಧಗೋಳಾಕಾರದ ಗುಮ್ಮಟವನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 11.9 ನೋಡಿ). ಗುಮ್ಮಟದ ತಳದ ಪರಿಧಿ $17.6 \mathrm{~m}$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವ ವೆಚ್ಚವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವ ವೆಚ್ಚವು ಪ್ರತಿ $100 \mathrm{~cm}^{2}$ ಗೆ ₹ 5 ಆಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 11.9

ಪರಿಹಾರ : ಗುಮ್ಮಟದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಎಷ್ಟು ಬಣ್ಣ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲು ನಾವು ಅರ್ಧಗೋಳದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ, ಗುಮ್ಮಟದ ಪರಿಧಿ $=17.6 \mathrm{~m}$. ಆದ್ದರಿಂದ, $17.6=2 \pi r$.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಮ್ಮಟದ ತ್ರಿಜ್ಯ $=17.6 \times \frac{7}{2 \times 22} \mathrm{~m}=2.8 \mathrm{~m}$

ಗುಮ್ಮಟದ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=2 \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 \mathrm{~m}^{2} \\ & =49.28 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ಈಗ, $100 \mathrm{~cm}^{2}$ ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವ ವೆಚ್ಚ ₹ 5.

ಆದ್ದರಿಂದ, $1 \mathrm{~m}^{2}$ ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವ ವೆಚ್ಚ =₹ 500

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಗುಮ್ಮಟವನ್ನು ಬಣ್ಣ ಮಾಡುವ ವೆಚ್ಚ =₹ 500 $\times 49.28$ = ₹ 24640

11.3 ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಘನಾಕೃತಿ, ಘನಫಲಕ ಮತ್ತು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಘನಫಲಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ

ಚಿತ್ರ 11.11 ರಲ್ಲಿ, ಒಂದೇ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಎತ್ತರದ ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕು ಇದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದೇ?

ಚಿತ್ರ 11.11

ಕ್ರಿಯಾಪದ್ಧತಿ : ಒಂದೇ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಎತ್ತರದ (ಚಿತ್ರ 11.11 ನೋಡಿ) ಒಂದು ಖಾಲಿ ಸಿಲಿಂಡರ್ ಮತ್ತು ಖಾಲಿ ಶಂಕುವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ನಂತರ, ನಾವು ಒಂದು ಪ್ರಯೋಗವನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಅದು ಲಂಬ ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಏನಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡಲು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ!

ಚಿತ್ರ 11.12

ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೀಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ ಶಂಕುವನ್ನು ಮರಳಿನಿಂದ ತುಂಬಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಸಿಲಿಂಡರ್ನಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಮಾಡಿ. ಅದು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಕೇವಲ ಒಂದು ಭಾಗವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತುಂಬಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ [ಚಿತ್ರ 11.12(a) ನೋಡಿ].

ನಾವು ಮತ್ತೆ ಶಂಕುವನ್ನು ತುಂಬಿಸಿ, ಸಿಲಿಂಡರ್ನಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಮಾಡಿದಾಗ, ಸಿಲಿಂಡರ್ ಇನ್ನೂ ಪೂರ್ಣವಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ನೋಡುತ್ತೇವೆ [ಚಿತ್ರ 11.12(b) ನೋಡಿ].

ಶಂಕುವನ್ನು ಮೂರನೇ ಬಾರಿಗೆ ತುಂಬಿಸಿ, ಸಿಲಿಂಡರ್ನಲ್ಲಿ ಖಾಲಿ ಮಾಡಿದಾಗ, ಸಿಲಿಂಡರ್ ಸಹ ತುಂಬಿದೆ ಎಂದು ನೋಡಬಹುದು [ಚಿತ್ರ 11.12(c) ನೋಡಿ].

ಇದರೊಂದಿಗೆ, ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲದ ಮೂರು ಪಟ್ಟು, ಶಂಕುವಿನಂತೆಯೇ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವಿರುವ ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಘನಫಲವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲವು ಸಿಲಿಂಡರ್ನ ಘನಫಲದ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗ.

ಆದ್ದರಿಂದ, $\quad \text { Volume of a Cone }=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$

ಇಲ್ಲಿ $r$ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಮತ್ತು $h$ ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ.

ಉದಾಹರಣೆ 8 : ಒಂದು ಶಂಕುವಿನ ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ತಿರ್ಯಕ್ ಎತ್ತರ ಕ್ರಮವಾಗಿ $21 \mathrm{~cm}$ ಮತ್ತು $28 \mathrm{~cm}$ ಆಗಿವೆ. ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ ನಿಂದ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

$$ r=\sqrt{l^{2}-h^{2}}=\sqrt{28^{2}-21^{2}} \mathrm{~cm}=7 \sqrt{7} \mathrm{~cm} $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಶಂಕುವಿನ ಘನಫಲ $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \sqrt{7} \times 7 \sqrt{7} \times 21 \mathrm{~cm}^{3}$

$=7546 \mathrm{~cm}^{3}$

ಉದಾಹರಣೆ 9 : ಮೋನಿಕಾ ಬಳಸುವ ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $551 \mathrm{~m}^{2}$ ಆಗಿದೆ. ಅವಳು ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಶಂಕುವಿನ ಗುಡಾರವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾಳೆ, ಅದರ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ $7 \mathrm{~m}$. ಎಲ್ಲಾ ಹೊಲಿಗೆ ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಕತ್ತರಿಸುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ವ್ಯರ್ಥವು ಸರಿಸುಮಾರು $1 \mathrm{~m}^{2}$ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಅದರಿಂದ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಗುಡಾರದ ಘನಫಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ : ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=551 \mathrm{~m}^{2}$ ಮತ್ತು ವ್ಯರ್ಥವಾದ ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $1 \mathrm{~m}^{2}$ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಗುಡಾರ ಮಾಡಲು ಲಭ್ಯವಿರುವ ಕ್ಯಾನ್ವಾಸ್ನ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $(551-1) \mathrm{m}^{2}=550 \mathrm{~m}^{2}$.

ಈಗ, ಗುಡಾರದ ಮೇಲ್ಮೈ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ $=550 \mathrm{~m}^{2}$ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಶಂಕುವಿನ ಗುಡಾರದ ತಳದ ತ್ರಿಜ್ಯ $=7 \mathrm{~m}$

ಗಮನಿಸಿ ಗುಡಾರಕ್ಕೆ ಕೇವಲ ವಕ್ರ ಮೇಲ್ಮೈ ಇರುತ್ತದೆ (ಗುಡಾರದ ನೆಲವನ್ನು ಕ್ಯಾನ್ವ