11.1 లంబ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం

మనం ఇప్పటికే ఘనం, దీర్ఘఘనం మరియు స్థూపం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాలను అధ్యయనం చేసాము. ఇప్పుడు మనం శంఖువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము. ఇప్పటి వరకు, మనం సర్వసమాన ఆకృతులను పేర్చడం ద్వారా ఘనపదార్థాలను ఉత్పత్తి చేస్తున్నాము. సంయోగవశాత్తూ, అటువంటి ఆకృతులను ప్రిజమ్లు అంటారు. ఇప్పుడు మరొక రకమైన ఘనాన్ని చూద్దాం, అది ప్రిజం కాదు (ఈ రకమైన ఘనాలను పిరమిడ్లు అంటారు.). వాటిని మనం ఎలా ఉత్పత్తి చేయవచ్చో చూద్దాం.

కృత్యం : ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని కత్తిరించండి $\mathrm{ABC}$ లంబకోణం $\mathrm{B}$ వద్ద ఉంటుంది. త్రిభుజం యొక్క లంబ భుజాలలో ఒకదాని, ఉదాహరణకు AB, వెంట పొడవాటి మందమైన దారాన్ని అంటించండి [చిత్రం 11.1(a) చూడండి]. దారాన్ని రెండు చేతులతో త్రిభుజం యొక్క రెండు వైపులా పట్టుకొని, త్రిభుజాన్ని దారం చుట్టూ అనేక సార్లు తిప్పండి. ఏమి జరుగుతుంది? త్రిభుజం దారం చుట్టూ తిరిగేటప్పుడు ఏ ఆకారాన్ని ఏర్పరుస్తుందో మీరు గుర్తించగలరా [చిత్రం 11.1(b) చూడండి]? ఆ ఆకారంలోని కంటైనర్లో ఐస్ క్రీమ్ ను పోసి తిన్న సమయం మీకు గుర్తుకు వస్తుందా [చిత్రం 11.1(c) మరియు (d) చూడండి]?

చిత్రం 11.1

దీనిని లంబ వృత్తాకార శంఖువు అంటారు. చిత్రం 11.1(c) లోని లంబ వృత్తాకార శంఖువులో, బిందువు $\mathrm{A}$ ను శీర్షం అంటారు, $\mathrm{AB}$ ను ఎత్తు అంటారు, $\mathrm{BC}$ ను వ్యాసార్థం అంటారు మరియు $A C$ ను శంఖువు యొక్క తిర్యక్ ఎత్తు (slant height) అంటారు. ఇక్కడ $B$ శంఖువు యొక్క వృత్తాకార పాదం యొక్క కేంద్రం అవుతుంది. శంఖువు యొక్క ఎత్తు, వ్యాసార్థం మరియు తిర్యక్ ఎత్తులను సాధారణంగా వరుసగా $h, r$ మరియు $l$ తో సూచిస్తారు. మరోసారి, మనం ఏ రకమైన శంఖువును లంబ వృత్తాకార శంఖువు అని పిలవలేమో చూద్దాం. ఇక్కడ, మీరు చూస్తున్నారు (చిత్రం 11.2 చూడండి)! ఈ చిత్రాలలో మీరు చూస్తున్నవి లంబ వృత్తాకార శంఖువులు కావు; ఎందుకంటే (a) లో, దాని శీర్షాన్ని దాని పాదం యొక్క కేంద్రానికి కలిపే రేఖ పాదానికి లంబకోణంలో లేదు, మరియు (b) లో పాదం వృత్తాకారంలో లేదు.

చిత్రం 11.2

స్థూపం విషయంలో వలె, మనం లంబ వృత్తాకార శంఖువుల గురించి మాత్రమే అధ్యయనం చేయబోతున్నందున, ఈ అధ్యాయంలో ‘శంఖువు’ అంటే ‘లంబ వృత్తాకార శంఖువు’ అని గుర్తుంచుకోండి.

కృత్యం : (i) ఒక సరిగ్గా తయారు చేయబడిన కాగితం శంఖువును కత్తిరించండి, దానిపై ఎక్కువ భాగం కాగితం ఉండకూడదు, దాని ప్రక్క వెంట నేరుగా కత్తిరించి, తెరిచి, శంఖువు యొక్క ఉపరితలాన్ని ఏర్పరుచే కాగితం యొక్క ఆకారాన్ని చూడండి. (మీరు శంఖువును కత్తిరించిన రేఖ శంఖువు యొక్క తిర్యక్ ఎత్తు, దానిని $l$ తో సూచిస్తారు). ఇది ఒక గుండ్రని కేక్ యొక్క భాగం లాగా కనిపిస్తుంది.

(ii) ఇప్పుడు మీరు చివరల A మరియు B గుర్తులు పెట్టిన భుజాలను కలిపితే, చిత్రం 11.3 (c) యొక్క వక్ర భాగం శంఖువు యొక్క వృత్తాకార పాదాన్ని ఏర్పరుస్తుందని మీరు చూడవచ్చు.

చిత్రం 11.3

(iii) చిత్రం 11.3 (c) లోని కాగితాన్ని ఇప్పుడు వందలాది చిన్న ముక్కలుగా కత్తిరించినట్లయితే, బిందువు $\mathrm{O}$ నుండి గీసిన రేఖల వెంట, ప్రతి కత్తిరించిన భాగం దాదాపు ఒక చిన్న త్రిభుజం, దాని ఎత్తు శంఖువు యొక్క తిర్యక్ ఎత్తు $l$.

(iv) ఇప్పుడు ప్రతి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం $=\frac{1}{2} \times$ ప్రతి త్రిభుజం యొక్క పాదం $\times l$.

కాబట్టి, కాగితం మొత్తం ముక్క యొక్క వైశాల్యం

$$ \begin{aligned} & =\text { sum of the areas of all the triangles } \\ & =\frac{1}{2} b_{1} l+\frac{1}{2} b_{2} l+\frac{1}{2} b_{3} l+\cdots=\frac{1}{2} l\left(b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots\right) \\ & =\frac{1}{2} \times l \times \text { length of entire curved boundary of Fig. 11.3(c) } \end{aligned} $$

$\quad$ (ఎందుకంటే $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots$ ఆకృతి యొక్క వక్ర భాగాన్ని ఏర్పరుస్తుంది)

కానీ ఆకృతి యొక్క వక్ర భాగం శంఖువు యొక్క పాదం యొక్క చుట్టుకొలతను మరియు శంఖువు యొక్క పాదం యొక్క పరిధి $=2 \pi r$ ను ఏర్పరుస్తుంది, ఇక్కడ $r$ శంఖువు యొక్క పాద వ్యాసార్థం.

కాబట్టి, ఒక శంఖువు యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం $=\frac{1}{2} \times l \times 2 \pi r=\pi r l$

ఇక్కడ $r$ దాని పాద వ్యాసార్థం మరియు $l$ దాని తిర్యక్ ఎత్తు.

గమనించండి $l^{2}=r^{2}+h^{2}$ (చిత్రం 11.4 నుండి చూడవచ్చు), పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా. ఇక్కడ $h$ శంఖువు యొక్క ఎత్తు.

అందువల్ల, $l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}$

చిత్రం 11.4

ఇప్పుడు శంఖువు యొక్క పాదం మూసివేయబడాలంటే, $r$ వ్యాసార్థం కలిగిన వృత్తాకార కాగితం ముక్క కూడా అవసరం, దాని వైశాల్యం $\pi r^{2}$.

కాబట్టి, ఒక శంఖువు యొక్క సంపూర్ణ ఉపరితల వైశాల్యం $=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$

ఉదాహరణ 1 : ఒక లంబ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి, దాని తిర్యక్ ఎత్తు $10 \mathrm{~cm}$ మరియు పాద వ్యాసార్థం $7 \mathrm{~cm}$.

సాధన : వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =\frac{22}{7} \times 7 \times 10 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =220 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 2 : ఒక శంఖువు యొక్క ఎత్తు $16 \mathrm{~cm}$ మరియు దాని పాద వ్యాసార్థం $12 \mathrm{~cm}$. శంఖువు యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం మరియు సంపూర్ణ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి ($\pi=3.14$ ఉపయోగించండి).

సాధన : ఇక్కడ, $h=16 \mathrm{~cm}$ మరియు $r=12 \mathrm{~cm}$.

కాబట్టి, $l^{2}=h^{2}+r^{2}$ నుండి, మనకు ఉంది

$$ l=\sqrt{16^{2}+12^{2}} \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm} $$

కాబట్టి, వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం $=\pi r l$

$$ \begin{aligned} & =3.14 \times 12 \times 20 \mathrm{~cm}^{2} \\ & =753.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ఇంకా, సంపూర్ణ ఉపరితల వైశాల్యం $=\pi r l+\pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =(753.6+3.14 \times 12 \times 12) \mathrm{cm}^{2} \\ & =(753.6+452.16) \mathrm{cm}^{2} \\ & =1205.76 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 3 : ఒక మొక్కజొన్న గడ్డ (చిత్రం 11.5 చూడండి), కొంతవరకు శంఖువు ఆకారంలో ఉంటుంది, దాని విశాలమైన చివర యొక్క వ్యాసార్థం $2.1 \mathrm{~cm}$ మరియు పొడవు (ఎత్తు) $20 \mathrm{~cm}$. గడ్డ యొక్క ఉపరితలం యొక్క ప్రతి $1 \mathrm{~cm}^{2}$ సగటున నాలుగు దాన్యాలు కలిగి ఉంటే, మొత్తం గడ్డపై మీరు ఎన్ని దాన్యాలు కనుగొంటారో కనుగొనండి.

చిత్రం 11.5

సాధన : మొక్కజొన్న గడ్డపై దాన్యాలు వక్ర ఉపరితలంపై మాత్రమే కనిపించడం వలన, దానిపై ఉన్న మొత్తం దాన్యాల సంఖ్యను తెలుసుకోవడానికి మనం గడ్డ యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యాన్ని తెలుసుకోవాలి. ఈ ప్రశ్నలో, మనకు శంఖువు యొక్క ఎత్తు ఇవ్వబడింది, కాబట్టి దాని తిర్యక్ ఎత్తును కనుగొనాలి.

ఇక్కడ, $\quad l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(2.1)^{2}+20^{2}} \mathrm{~cm}$

$$ =\sqrt{404.41} \mathrm{~cm}=20.11 \mathrm{~cm} $$

అందువల్ల, మొక్కజొన్న గడ్డ యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం $=\pi r l$

$$ =\frac{22}{7} \times 2.1 \times 20.11 \mathrm{~cm}^{2}=132.726 \mathrm{~cm}^{2}=132.73 \mathrm{~cm}^{2} \text { (approx.) } $$

మొక్కజొన్న గడ్డ యొక్క ఉపరితలం యొక్క $1 \mathrm{~cm}^{2}$ పై ఉన్న దాన్యాల సంఖ్య $=4$

అందువల్ల, గడ్డ యొక్క మొత్తం వక్ర ఉపరితలంపై ఉన్న దాన్యాల సంఖ్య

$$ =132.73 \times 4=530.92=531 \text { (approx.) } $$

కాబట్టి, గడ్డపై సుమారు 531 మొక్కజొన్న దాన్యాలు ఉంటాయి.

11.2 గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం

గోళం అంటే ఏమిటి? ఇది వృత్తం వలె ఉంటుందా? మీరు ఒక కాగితంపై వృత్తాన్ని గీయగలరా? అవును, మీరు గీయగలరు, ఎందుకంటే వృత్తం ఒక సమతల మూసిన ఆకృతి, దానిపై ప్రతి బిందువు ఒక స్థిర బిందువు నుండి స్థిరమైన దూరం (దీనిని వ్యాసార్థం అంటారు) వద్ద ఉంటుంది, దానిని వృత్తం యొక్క కేంద్రం అంటారు. ఇప్పుడు మీరు ఒక వృత్తాకార చక్రి యొక్క వ్యాసం వెంట ఒక దారాన్ని అంటించి, మునుపటి విభాగంలో త్రిభుజాన్ని తిప్పినట్లుగా దాన్ని తిప్పినట్లయితే, మీరు ఒక కొత్త ఘనాన్ని చూస్తారు (చిత్రం 11.6 చూడండి). ఇది దేన్ని పోలి ఉంటుంది? బంతినా? అవును. దీనిని గోళం అంటారు.

చిత్రం 11.6

వృత్తం తిరిగేటప్పుడు దాని కేంద్రం ఏమవుతుందో మీరు ఊహించగలరా? వాస్తవానికి, అది గోళం యొక్క కేంద్రం అవుతుంది. కాబట్టి, గోళం ఒక త్రిమితీయ ఆకృతి (ఘన ఆకృతి), ఇది అంతరాళంలోని అన్ని బిందువులతో రూపొందింది, ఇవి గోళం యొక్క కేంద్రం అని పిలువబడే ఒక స్థిర బిందువు నుండి వ్యాసార్థం అని పిలువబడే స్థిర దూరంలో ఉంటాయి.

గమనిక : గోళం బంతి యొక్క ఉపరితలం వలె ఉంటుంది. ఘన గోళం అనే పదం ఉపరితలం గోళంగా ఉన్న ఘనానికి ఉపయోగిస్తారు.

కృత్యం : మీరు ఎప్పుడైనా బొంగరంతో ఆడారా లేదా కనీసం ఎవరైనా ఆడటం చూసారా? దాని చుట్టూ దారం ఎలా చుట్టబడుతుందో మీకు తెలిసి ఉండాలి. ఇప్పుడు, ఒక రబ్బరు బంతిని తీసుకొని దానిలో ఒక మేకు వేయండి. మేకుకు ఆధారంగా, బంతి చుట్టూ ఒక దారాన్ని చుట్టండి. మీరు బంతి యొక్క ‘పూర్తి’ భాగానికి చేరుకున్నప్పుడు, దారాన్ని స్థానంలో ఉంచడానికి పిన్నులు ఉపయోగించండి, మరియు బంతి యొక్క మిగిలిన భాగం చుట్టూ దారాన్ని చుట్టడం కొనసాగించండి, మీరు బంతిని పూర్తిగా కప్పే వరకు [చిత్రం 11.7(a) చూడండి]. దారంపై ప్రారంభ మరియు ముగింపు బిందువులను గుర్తించండి, మరియు బంతి యొక్క ఉపరితలం నుండి దారాన్ని నెమ్మదిగా విప్పండి.

ఇప్పుడు, బంతి యొక్క వ్యాసాన్ని కొలవడంలో మీ ఉపాధ్యాయుని సహాయం కోరండి, దాని నుండి మీరు సులభంగా దాని వ్యాసార్థాన్ని పొందవచ్చు. అప్పుడు ఒక కాగితపు షీట్పై, బంతి వ్యాసార్థానికి సమానమైన వ్యాసార్థంతో నాలుగు వృత్తాలను గీయండి. బంతి చుట్టూ మీరు చుట్టిన దారంతో వృత్తాలను ఒక్కొక్కటిగా నింపడం ప్రారంభించండి [చిత్రం 11.7(b) చూడండి].

చిత్రం 11.7

ఇవన్నీ చేయడంలో మీరు ఏమి సాధించారు?

గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని పూర్తిగా కప్పిన దారం, గోళం వలె ఒకే వ్యాసార్థం కలిగిన నాలుగు వృత్తాల ప్రాంతాలను పూర్తిగా నింపడానికి ఉపయోగించబడింది.

కాబట్టి, దాని అర్థం ఏమిటి? ఇది $r$ వ్యాసార్థం కలిగిన గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం $=4$ సార్లు $r=4 \times\left(\pi r^{2}\right)$ వ్యాసార్థం కలిగిన వృత్తం యొక్క వైశాల్యం అని సూచిస్తుంది.

కాబట్టి,$\quad$గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం $=4 \pi r^{2}$

ఇక్కడ $r$ గోళం యొక్క వ్యాసార్థం.

గోళం యొక్క ఉపరితలంలో మీరు ఎన్ని ముఖాలు చూస్తారు? ఒకటి మాత్రమే ఉంటుంది, అది వక్రంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు, ఒక ఘన గోళాన్ని తీసుకొని, దాని కేంద్రం గుండా వెళ్లే సమతలంతో దాన్ని ఖచ్చితంగా ‘మధ్యలో’ నరికివేయండి. గోళానికి ఏమి జరుగుతుంది?

అవును, అది రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించబడుతుంది (చిత్రం 11.8 చూడండి)! ప్రతి సగాన్ని ఏమంటారు? దీనిని అర్ధగోళం అంటారు. (ఎందుకంటే ‘హెమి’ అంటే ‘సగం’ కూడా)

చిత్రం 11.8

మరియు అర్ధగోళం యొక్క ఉపరితలం గురించి ఏమిటి? దానికి ఎన్ని ముఖాలు ఉన్నాయి?

రెండు! ఒక వక్ర ముఖం మరియు ఒక సమతల ముఖం (పాదం) ఉన్నాయి.

అర్ధగోళం యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యంలో సగం, ఇది $\frac{1}{2}$ యొక్క $4 \pi r^{2}$.

అందువల్ల, అర్ధగోళం యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం $=\mathbf{2} \boldsymbol{\pi} r^{2}$

ఇక్కడ $r$ అర్ధగోళం ఒక భాగమైన గోళం యొక్క వ్యాసార్థం.

ఇప్పుడు అర్ధగోళం యొక్క రెండు ముఖాలను తీసుకుంటే, దాని ఉపరితల వైశాల్యం $2 \pi r^{2}+\pi r^{2}$

కాబట్టి, అర్ధగోళం యొక్క సంపూర్ణ ఉపరితల వైశాల్యం $=3 \pi r^{2}$

ఉదాహరణ 4 : $7 \mathrm{~cm}$ వ్యాసార్థం కలిగిన గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

సాధన : $7 \mathrm{~cm}$ వ్యాసార్థం కలిగిన గోళం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం

$$ 4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \mathrm{~cm}^{2}=616 \mathrm{~cm}^{2} $$

ఉదాహరణ 5 : $21 \mathrm{~cm}$ వ్యాసార్థం కలిగిన అర్ధగోళం యొక్క (i) వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం మరియు (ii) సంపూర్ణ ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

సాధన : $21 \mathrm{~cm}$ వ్యాసార్థం కలిగిన అర్ధగోళం యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం

$$ =2 \pi r^{2}=2 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=2772 \mathrm{~cm}^{2} $$

(ii) అర్ధగోళం యొక్క సంపూర్ణ ఉపరితల వైశాల్యం

$$ 3 \pi r^{2}=3 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 \mathrm{~cm}^{2}=4158 \mathrm{~cm}^{2} $$

ఉదాహరణ 6 : సర్కస్ మోటార్ సైకిలిస్ట్ తన ఎక్రోబాటిక్స్ ప్రదర్శించే బోలు గోళం యొక్క వ్యాసం $7 \mathrm{~m}$. సైకిలిస్ట్ కు రైడింగ్ కోసం అందుబాటులో ఉన్న ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి.

సాధన : గోళం యొక్క వ్యాసం $=7 \mathrm{~m}$. అందువల్ల, వ్యాసార్థం $3.5 \mathrm{~m}$. కాబట్టి, మోటార్ సైకిలిస్ట్ కు అందుబాటులో ఉన్న రైడింగ్ స్థలం ‘గోళం’ యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం, ఇది ఇవ్వబడింది

$$ \begin{aligned} 4 \pi r^{2} & =4 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \mathrm{~m}^{2} \\ & =154 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 7 : ఒక భవనం యొక్క అర్ధగోళాకార గుమ్మటాన్ని పెయింట్ చేయాలి (చిత్రం 11.9 చూడండి). గుమ్మటం యొక్క పాదం యొక్క చుట్టుకొలత $17.6 \mathrm{~m}$ అయితే, దాన్ని పెయింట్ చేయడానికి అయ్యే ఖర్చును కనుగొనండి, పెయింటింగ్ ఖర్చు ₹ 5 ప్రతి $100 \mathrm{~cm}^{2}$ కు ఇవ్వబడింది.

చిత్రం 11.9

సాధన : గుమ్మటం యొక్క వక్ర ఉపరితలం మాత్రమే పెయింట్ చేయబడాలి కాబట్టి, ఎంత పెయింటింగ్ చేయాలో తెలుసుకోవడానికి మనం అర్ధగోళం యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యాన్ని కనుగొనాలి. ఇప్పుడు, గుమ్మటం యొక్క చుట్టుకొలత $=17.6 \mathrm{~m}$. అందువల్ల, $17.6=2 \pi r$.

కాబట్టి, గుమ్మటం యొక్క వ్యాసార్థం $=17.6 \times \frac{7}{2 \times 22} \mathrm{~m}=2.8 \mathrm{~m}$

గుమ్మటం యొక్క వక్ర ఉపరితల వైశాల్యం $=2 \pi r^{2}$

$$ \begin{aligned} & =2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 \times 2.8 \mathrm{~m}^{2} \\ & =49.28 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

ఇప్పుడు, $100 \mathrm{~cm}^{2}$ ను పెయింట్ చేయడానికి ఖర్చు ₹ 5.

కాబట్టి, $1 \mathrm{~m}^{2}$ ను పెయింట్ చేయడానికి ఖర్చు =₹ 500

అందువల్ల, మొత్తం గుమ్మటాన్ని పెయింట్ చేయడానికి ఖర్చు =₹ 500 $\times 49.28$ = ₹ 24640

11.3 లంబ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం

మునుపటి తరగతులలో మనం ఘనం, దీర్ఘఘనం మరియు స్థూపం యొక్క ఘనపరిమాణాలను అధ్యయనం చేసాము

చిత్రం 11.11 లో, అదే పాద వ్యాసార్థం మరియు అదే ఎత్తు కలిగిన ఒక లంబ వృత్తాకార స్థూపం మరియు ఒక లంబ వృత్తాకార శంఖువు ఉన్నాయని మీరు చూడగలరా?

చిత్రం 11.11

కృత్యం : ఇలాంటి ఒక బోలు స్థూపం మరియు బోలు శంఖువును అదే పాద వ్యాసార్థం మరియు అదే ఎత్తుతో తయారు చేయడానికి ప్రయత్నించండి (చిత్రం 11.11 చూడండి). అప్పుడు, మనం ఒక ప్రయోగాన్ని ప్రయత్నించవచ్చు, అది లంబ వృత్తాకార శంఖువు యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత అని ఆచరణలో చూడడంలో మాకు సహాయపడుతుంది!

చిత్రం 11.12

కాబట్టి, ఇలా ప్రారంభిద్దాం.

ఒకసారి శంఖువును పూర్తిగా ఇసుకతో నింపి, దాన్ని స్థూపంలోకి ఖాళీ చేయండి. అది స్థూపంలో కేవలం ఒక భాగాన్ని మాత్రమే నింపుతుందని మనం కనుగొంటాము [చిత్రం 11.12(a) చూడండి].

మనం మళ్ళీ శంఖువును పూర్తిగా నింపి, దాన్ని స్థూపంలోకి ఖాళీ చేసినప్పుడు, స్థూపం ఇంకా పూర్తిగా నిండలేదని మనం చూస్తాము [చిత్రం 11.12(b) చూడండి].

శంఖువు మూడవసారి పూర్తిగా నింపబడి, స్థూపంలోకి ఖాళీ చేయబడినప్ప