৩.১ প্রতিনিধিত্বমূলক মান

আপনি ‘গড়’ শব্দটির সাথে পরিচিত হতে পারেন এবং দৈনন্দিন জীবনে ‘গড়’ শব্দটি জড়িত বক্তব্যের সম্মুখীন হয়েছেন:

• ঈশা পড়াশোনার জন্য দৈনিক গড়ে প্রায় ৫ ঘণ্টা সময় ব্যয় করে।
• বছরের এই সময়ে গড় তাপমাত্রা প্রায় ৪০ ডিগ্রি সেলসিয়াস।
• আমার শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের গড় বয়স ১২ বছর।
• একটি স্কুলে চূড়ান্ত পরীক্ষার সময় শিক্ষার্থীদের গড় উপস্থিতি ছিল ৯৮ শতাংশ।

এরকম আরও অনেক বক্তব্য থাকতে পারে। উপরে দেওয়া বক্তব্যগুলি নিয়ে ভাবুন।

আপনি কি মনে করেন প্রথম বক্তব্যের শিশুটি প্রতিদিন ঠিক ৫ ঘণ্টা পড়াশোনা করে?

অথবা, সেই নির্দিষ্ট সময়ে ওই স্থানের তাপমাত্রা কি সর্বদা ৪০ ডিগ্রি?

অথবা, ওই শ্রেণীর প্রতিটি শিক্ষার্থীর বয়স কি ১২ বছর? অবশ্যই না।

তাহলে এই বক্তব্যগুলি আপনাকে কী বলে?

গড় বলতে আমরা বুঝি যে ঈশা সাধারণত ৫ ঘণ্টা পড়াশোনা করে। কিছু দিন সে কম সংখ্যক ঘণ্টা পড়াশোনা করতে পারে এবং অন্য দিনগুলিতে সে দীর্ঘ সময় পড়াশোনা করতে পারে।

একইভাবে, ৪০ ডিগ্রি সেলসিয়াস গড় তাপমাত্রার অর্থ হল, প্রায়শই বছরের এই সময়ে তাপমাত্রা ৪০ ডিগ্রি সেলসিয়াসের কাছাকাছি থাকে। কখনও কখনও, এটি ৪০ ডিগ্রি সেলসিয়াসের চেয়ে কম হতে পারে এবং অন্য সময়ে, এটি $40^{\circ} C$ এর চেয়ে বেশি হতে পারে।

সুতরাং, আমরা উপলব্ধি করি যে গড় হল একটি সংখ্যা যা পর্যবেক্ষণ বা তথ্যের একটি দলের কেন্দ্রীয় প্রবণতাকে প্রতিনিধিত্ব করে বা দেখায়। যেহেতু গড় প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মানের মধ্যে অবস্থান করে, তাই আমরা বলি যে গড় হল তথ্যের দলের কেন্দ্রীয় প্রবণতার একটি পরিমাপ। বিভিন্ন ধরনের তথ্য বর্ণনা করার জন্য বিভিন্ন ধরনের প্রতিনিধিত্বমূলক বা কেন্দ্রীয় মানের প্রয়োজন হয়। এই প্রতিনিধিত্বমূলক মানগুলির মধ্যে একটি হল “গাণিতিক গড়”। আপনি অধ্যায়ের পরবর্তী অংশে অন্যান্য প্রতিনিধিত্বমূলক মান সম্পর্কে জানবেন।

৩.২ গাণিতিক গড়

তথ্যের একটি দলের সবচেয়ে সাধারণ প্রতিনিধিত্বমূলক মান হল গাণিতিক গড় বা গড়। এটি আরও ভালভাবে বুঝতে, আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেখি:

দুটি পাত্রে যথাক্রমে ২০ লিটার এবং ৬০ লিটার দুধ রয়েছে। দুধ সমানভাবে ভাগ করলে প্রতিটি পাত্রে কত পরিমাণ থাকবে? আমরা যখন এই প্রশ্ন করি, তখন আমরা গাণিতিক গড় খুঁজছি।

উপরের ক্ষেত্রে, গড় বা গাণিতিক গড় হবে

$ \frac{\text{ দুধের মোট পরিমাণ }}{\text{ পাত্রের সংখ্যা }}=\frac{20+60}{2} \text{ লিটার }=40 \text{ লিটার। } $

সুতরাং, প্রতিটি পাত্রে ৪০ লিটার দুধ থাকবে।

গড় বা গাণিতিক গড় (A.M.) বা সহজভাবে গড় নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়:

$ \text{ গড় }=\frac{\text{ সকল পর্যবেক্ষণের যোগফল }}{\text{ পর্যবেক্ষণের সংখ্যা }} $

এই উদাহরণগুলি বিবেচনা করুন।

উদাহরণ ১ আশীশ তিনটি ধারাবাহিক দিনে যথাক্রমে ৪ ঘণ্টা, ৫ ঘণ্টা এবং ৩ ঘণ্টা পড়াশোনা করে। সে গড়ে দৈনিক কত ঘণ্টা পড়াশোনা করে?

সমাধান

আশীশের গড় পড়াশোনার সময় হবে

$ \frac{\text{ পড়াশোনার মোট ঘণ্টা সংখ্যা }}{\text{ যে দিনগুলিতে সে পড়াশোনা করেছে তার সংখ্যা }}=\frac{4+5+3}{3} \text{ ঘণ্টা }=4 \text{ ঘণ্টা প্রতি দিন } $

সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে আশীশ গড়ে দৈনিক ৪ ঘণ্টা পড়াশোনা করে।

উদাহরণ ২ একজন ব্যাটসম্যান ছয় ইনিংসে নিম্নলিখিত রান সংগ্রহ করেছেন:

$ 36,35,50,46,60,55 $

এক ইনিংসে তার গড় রান গণনা করুন।

সমাধান

মোট রান $=36+35+50+46+60+55=282$।

গড় নির্ণয় করতে, আমরা সকল পর্যবেক্ষণের যোগফল নির্ণয় করি এবং পর্যবেক্ষণের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করি।

অতএব, এই ক্ষেত্রে, গড় $=\frac{282}{6}=47$। সুতরাং, এক ইনিংসে গড় রান ৪৭।

গাণিতিক গড় কোথায় অবস্থান করে

এগুলি চেষ্টা করুন

আপনি কীভাবে পুরো সপ্তাহের জন্য আপনার পড়াশোনার ঘণ্টার গড় নির্ণয় করবেন?

ভাবুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

উপরের উদাহরণগুলির তথ্য বিবেচনা করুন এবং নিম্নলিখিত বিষয়ে চিন্তা করুন:

• গড় কি প্রতিটি পর্যবেক্ষণের চেয়ে বড়?
• এটি কি প্রতিটি পর্যবেক্ষণের চেয়ে ছোট?

আপনার বন্ধুদের সাথে আলোচনা করুন। এই ধরনের আরও একটি উদাহরণ তৈরি করুন এবং একই প্রশ্নের উত্তর দিন।

আপনি দেখতে পাবেন যে গড় বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম পর্যবেক্ষণের মধ্যে অবস্থান করে।

বিশেষ করে, দুটি সংখ্যার গড় সর্বদা দুটি সংখ্যার মধ্যে অবস্থান করবে। উদাহরণস্বরূপ ৫ এবং ১১ এর গড় হল $\frac{5+11}{2}=8$, যা ৫ এবং ১১ এর মধ্যে অবস্থান করে।

আপনি কি এই ধারণা ব্যবহার করে দেখাতে পারেন যে যেকোনো দুটি ভগ্নাংশ সংখ্যার মধ্যে আপনি যতগুলি ভগ্নাংশ সংখ্যা চান তা খুঁজে পেতে পারেন? উদাহরণস্বরূপ $\frac{1}{2}$ এবং $\frac{1}{4}$ এর মধ্যে তাদের গড় $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2}=\frac{3}{8}$ রয়েছে এবং তারপর $\frac{1}{2}$ এবং $\frac{3}{8}$ এর মধ্যে তাদের গড় $\frac{7}{16}$ রয়েছে এবং এভাবেই চলতে পারে।

এগুলি চেষ্টা করুন

১. এক সপ্তাহের সময় আপনার ঘুমের ঘণ্টার গড় নির্ণয় করুন।

২. $\frac{1}{2}$ এবং $\frac{1}{3}$ এর মধ্যে অন্তত ৫টি সংখ্যা নির্ণয় করুন।

৩.২.১ পরিসর

সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পর্যবেক্ষণের মধ্যে পার্থক্য আমাদের পর্যবেক্ষণের বিস্তারের ধারণা দেয়। এটি সর্বনিম্ন পর্যবেক্ষণকে সর্বোচ্চ পর্যবেক্ষণ থেকে বিয়োগ করে পাওয়া যেতে পারে। আমরা ফলাফলটিকে পর্যবেক্ষণের পরিসর বলি। নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেখুন:

উদাহরণ ৩ একটি স্কুলের ১০ জন শিক্ষকের বয়স (বছরে) হল:

$ 32,41,28,54,35,26,23,33,38,40 $

(i) সবচেয়ে বয়স্ক শিক্ষকের বয়স কত এবং সবচেয়ে কম বয়সী শিক্ষকের বয়স কত?

(ii) শিক্ষকদের বয়সের পরিসর কত?

(iii) এই শিক্ষকদের গড় বয়স কত?

সমাধান

(i) বয়সগুলিকে ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে আমরা পাই:

$23,26,28,32,33,35,38,40,41,54$

আমরা দেখতে পাই যে সবচেয়ে বয়স্ক শিক্ষকের বয়স ৫৪ বছর এবং সবচেয়ে কম বয়সী শিক্ষকের বয়স ২৩ বছর।

(ii) শিক্ষকদের বয়সের পরিসর $=(54-23)$ বছর $=31$ বছর

(iii) শিক্ষকদের গড় বয়স

$=\frac{23+26+28+32+33+35+38+40+41+54}{10}$ বছর

$=\frac{350}{10}$ বছর $=35$ বছর

অনুশীলনী ৩.১

১. আপনার শ্রেণীর যেকোনো দশজন শিক্ষার্থীর উচ্চতার পরিসর নির্ণয় করুন।

২. একটি শ্রেণী মূল্যায়নে নিম্নলিখিত নম্বরগুলিকে সারণীবদ্ধ আকারে সাজান।

$ 4,6,7,5,3,5,4,5,2,6,2,5,1,9,6,5,8,4,6,7 $

(i) কোন সংখ্যাটি সর্বোচ্চ?

(ii) কোন সংখ্যাটি সর্বনিম্ন?

(iii) তথ্যের পরিসর কত?

(iv) গাণিতিক গড় নির্ণয় করুন।

৩. প্রথম পাঁচটি পূর্ণ সংখ্যার গড় নির্ণয় করুন।

৪. একজন ক্রিকেটার আট ইনিংসে নিম্নলিখিত রান সংগ্রহ করেছেন:

$ 58,76,40,35,46,45,0,100 . $

গড় রান নির্ণয় করুন।

৫. নিম্নলিখিত সারণীটি চারটি খেলায় প্রতিটি খেলোয়াড়ের অর্জিত পয়েন্ট দেখাচ্ছে:

এখন নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন:

(i) A এর প্রতি খেলায় গড় পয়েন্ট নির্ণয় করতে গড় নির্ণয় করুন।

(ii) $C$ এর জন্য প্রতি খেলায় গড় পয়েন্ট নির্ণয় করতে, আপনি কি মোট পয়েন্টকে ৩ দিয়ে ভাগ করবেন নাকি ৪ দিয়ে? কেন?

(iii) B সকল চারটি খেলায় খেলেছে। আপনি কীভাবে গড় নির্ণয় করবেন?

(iv) কে সবচেয়ে ভালো পারফর্মার?

৬. একটি বিজ্ঞান পরীক্ষায় একদল শিক্ষার্থী প্রাপ্ত নম্বর (১০০ এর মধ্যে) হল ৮৫, ৭৬, $90,85,39,48,56,95,81$ এবং ৭৫। নির্ণয় করুন:

(i) শিক্ষার্থীদের দ্বারা প্রাপ্ত সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন নম্বর।

(ii) প্রাপ্ত নম্বরের পরিসর।

(iii) দলের দ্বারা প্রাপ্ত গড় নম্বর।

৭. ছয়টি ধারাবাহিক বছরে একটি স্কুলের ভর্তি নিম্নরূপ ছিল:

$1555,1670,1750,2013,2540,2820$

এই সময়ের জন্য স্কুলের গড় ভর্তি নির্ণয় করুন।

৮. একটি শহরে নির্দিষ্ট সপ্তাহের ৭ দিনের বৃষ্টিপাত ($mm$ এ) নিম্নরূপ রেকর্ড করা হয়েছিল:

(i) উপরের তথ্যে বৃষ্টিপাতের পরিসর নির্ণয় করুন।

(ii) সপ্তাহের জন্য গড় বৃষ্টিপাত নির্ণয় করুন।

(iii) কত দিনে বৃষ্টিপাত গড় বৃষ্টিপাতের চেয়ে কম ছিল?

৯. ১০ জন মেয়ের উচ্চতা $~cm$ এ মাপা হয়েছিল এবং ফলাফলগুলি নিম্নরূপ: ১৩৫, ১৫০, ১৩৯, ১২৮, ১৫১, ১৩২, ১৪৬, ১৪৯, ১৪৩, ১৪১।

(i) সবচেয়ে লম্বা মেয়েটির উচ্চতা কত?

(ii) সবচেয়ে খাটো মেয়েটির উচ্চতা কত?

(iii) তথ্যের পরিসর কত?

(iv) মেয়েদের গড় উচ্চতা কত?

(v) কতজন মেয়ের উচ্চতা গড় উচ্চতার চেয়ে বেশি?

৩.৩ প্রচুরক

যেমন আমরা বলেছি গড় হল একমাত্র কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ বা একমাত্র প্রতিনিধিত্বমূলক মান নয়। তথ্য থেকে বিভিন্ন প্রয়োজনীয়তার জন্য, কেন্দ্রীয় প্রবণতার অন্যান্য পরিমাপ ব্যবহৃত হয়।

নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেখুন

বিভিন্ন সাইজের শার্টের সাপ্তাহিক চাহিদা বের করতে, একজন দোকানদার $90 ~cm, 95 ~cm, 100 ~cm, 105 ~cm, 110 ~cm$ সাইজের শার্টের বিক্রয়ের রেকর্ড রাখেন। নিম্নে একটি সপ্তাহের রেকর্ড দেওয়া হল:

যদি তিনি বিক্রিত শার্টের গড় সংখ্যা নির্ণয় করেন, আপনি কি মনে করেন যে তিনি কোন শার্টের সাইজগুলি স্টকে রাখবেন তা সিদ্ধান্ত নিতে সক্ষম হবেন?

$ \text{ মোট বিক্রিত শার্টের গড় }=\frac{\text{ বিক্রিত শার্টের মোট সংখ্যা }}{\text{ শার্টের বিভিন্ন সাইজের সংখ্যা }}=\frac{105}{5}=21 $

তাকে কি প্রতিটি সাইজের ২১টি করে শার্ট সংগ্রহ করা উচিত? যদি তিনি তা করেন, তাহলে কি তিনি গ্রাহকদের চাহিদা মেটাতে সক্ষম হবেন?

দোকানদার, রেকর্ড দেখে, $95 ~cm$, $100 ~cm, 105 ~cm$ সাইজের শার্ট সংগ্রহ করার সিদ্ধান্ত নেন। তিনি অন্যান্য সাইজের শার্ট সংগ্রহ স্থগিত রাখার সিদ্ধান্ত নেন কারণ তাদের ক্রেতার সংখ্যা কম।

আরেকটি উদাহরণ দেখুন

একজন রেডিমেড ড্রেস দোকানের মালিক বলেন, “আমি যে ড্রেস সবচেয়ে বেশি বিক্রি করি তার সাইজ হল $90 ~cm$।

লক্ষ্য করুন যে এখানেও, মালিক বিভিন্ন সাইজের বিক্রিত শার্টের সংখ্যা নিয়ে চিন্তিত। তবে তিনি সবচেয়ে বেশি বিক্রিত শার্টের সাইজটি দেখছেন। এটি তথ্যের জন্য আরেকটি প্রতিনিধিত্বমূলক মান। সর্বোচ্চ সংঘটিত ঘটনা হল $90 ~cm$ সাইজের বিক্রয়। এই প্রতিনিধিত্বমূলক মানটিকে তথ্যের প্রচুরক বলা হয়।

পর্যবেক্ষণের একটি সেটের প্রচুরক হল সেই পর্যবেক্ষণ যা সর্বাধিক বার ঘটে।

উদাহরণ ৪ প্রদত্ত সংখ্যার সেটের প্রচুরক নির্ণয় করুন: ১, ১, ২, ৪, ৩, ২, ১, ২, ২, ৪

সমাধান

একই মানের সংখ্যাগুলি একসাথে সাজালে, আমরা পাই

$ 1,1,1,2,2,2,2,3,4,4 $

এই তথ্যের প্রচুরক হল ২ কারণ এটি অন্যান্য পর্যবেক্ষণের চেয়ে বেশি বার ঘটেছে।

৩.৩.১ বৃহৎ তথ্যের প্রচুরক

একই পর্যবেক্ষণগুলিকে একসাথে রাখা এবং গণনা করা সহজ নয় যদি পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বেশি হয়। এমন ক্ষেত্রে আমরা তথ্যকে সারণীবদ্ধ করি। সারণীকরণ ট্যালি চিহ্ন দিয়ে শুরু করা যেতে পারে এবং আপনি যেমন পূর্ববর্তী শ্রেণীতে করেছিলেন তেমনভাবে গণসংখ্যা নির্ণয় করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত উদাহরণটি দেখুন:

উদাহরণ ৫ একটি লিগের ফুটবল ম্যাচে জয়ের ব্যবধান নিম্নরূপ:

$ \begin{aligned} & 1,3,2,5,1,4,6,2,5,2,2,2,4,1,2,3,1,1,2,3,2 \\ & 6,4,3,2,1,1,4,2,1,5,3,3,2,3,2,4,2,1,2 \end{aligned} $

এই তথ্যের প্রচুরক নির্ণয় করুন।

সমাধান

আসুন তথ্যটিকে একটি সারণীবদ্ধ আকারে রাখি:

সারণীটি দেখে, আমরা দ্রুত বলতে পারি যে ২ হল ‘প্রচুরক’ যেহেতু ২ সর্বাধিক সংখ্যক বার ঘটেছে। সুতরাং, বেশিরভাগ ম্যাচ ২ গোলের ব্যবধানে জিতেছে।

এগুলি চেষ্টা করুন

প্রচুরক নির্ণয় করুন

(i) $2,6,5,3,0,3,4,3,2,4,5$, 2,4

(ii) $2,14,16,12,14,14,16$, $14,10,14,18,14$

ভাবুন, আলোচনা করুন এবং লিখুন

সংখ্যার একটি সেটের কি একাধিক প্রচুরক থাকতে পারে?

উদাহরণ ৬ সংখ্যাগুলির প্রচুরক নির্ণয় করুন: ২, ২, ২, ৩, ৩, ৪, ৫, ৫, ৫, ৬, ৬, ৮

সমাধান

এখানে, ২ এবং ৫ উভয়ই তিনবার ঘটেছে। অতএব, তারা উভয়ই তথ্যের প্রচুরক।

এটি করুন

১. আপনার সকল সহপাঠীর বয়স (বছরে) রেকর্ড করুন। তথ্যটি সারণীবদ্ধ করুন এবং প্রচুরক নির্ণয় করুন।

২. আপনার সহপাঠীদের উচ্চতা সেন্টিমিটারে রেকর্ড করুন এবং প্রচুরক নির্ণয় করুন।

এগুলি চেষ্টা করুন

১. নিম্নলিখিত তথ্যের প্রচুরক নির্ণয় করুন:

$12,14,12,16,15,13,14,18,19,12,14,15,16,15,16,16,15$,

$17,13,16,16,15,15,13,15,17,15,14,15,13,15,14$

২. ২৫ জন শিশুর উচ্চতা ($~cm$ এ) নিচে দেওয়া হল:

$168,165,163,160,163,161,162,164,163,162,164,163,160,163,160$,

$165,163,162,163,164,163,160,165,163,162$

তাদের উচ্চতার প্রচুরক কী? এখানে প্রচুরক দ্বারা আমরা কী বুঝি?

গড় আমাদের তথ্যের সকল পর্যবেক্ষণের গড় দেয়, অন্যদিকে প্রচুরক আমাদের সেই পর্যবেক্ষণ দেয় যা তথ্যে সর্বাধিক বার ঘটে।

আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি বিবেচনা করি:

(ক) একটি ভোজের জন্য ডাকা ২৫ জন ব্যক্তির জন্য প্রয়োজনীয় চাপাটির সংখ্যা নির্ধারণ করতে আপনাকে সিদ্ধান্ত নিতে হবে।

(খ) শার্ট বিক্রি করা একজন দোকানদার তার স্টক পুনরায় পূরণ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছেন।

(গ) আমাদের বাড়িতে প্রয়োজনীয় দরজার উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।

(ঘ) পিকনিকে যাওয়ার সময়, যদি প্রত্যেকের জন্য শুধুমাত্র একটি ফল কেনা যায়, তাহলে আমরা কোন ফলটি কিনব।

এই পরিস্থিতিগুলির মধ্যে কোনগুলিতে আমরা একটি ভাল অনুমান হিসাবে প্রচুরক ব্যবহার করতে পারি?

প্রথম বক্তব্য বিবেচনা করুন। ধরা যাক প্রতিটি ব্যক্তির প্রয়োজনীয় চাপাটির সংখ্যা

হল

$2,3,2,3,2,1,2,3,2,2,4,2,2,3,2,4,4,2,3,2,4,2,4,3,5$

তথ্যের প্রচুরক হল ২টি চাপাটি। যদি আমরা এই তথ্যের জন্য প্রতিনিধিত্বমূলক মান হিসাবে প্রচুরক ব্যবহার করি, তাহলে আমাদের শুধুমাত্র ৫০টি চাপাটি প্রয়োজন, ২৫ জনের প্রত্যেকের জন্য ২টি। তবে মোট সংখ্যা স্পষ্টতই অপর্যাপ্ত হবে। গড় কি একটি উপযুক্ত প্রতিনিধিত্বমূলক মান হবে?

তৃতীয় বক্তব্যের জন্য দরজার উচ্চতা সেই দরজা ব্যবহারকারী ব্যক্তিদের উচ্চতার সাথে সম্পর্কিত। ধরা যাক দরজাটি ব্যবহার করছে ৫টি শিশু এবং ৪টি প্রাপ্তবয়স্ক এবং ৫টি শিশুর প্রত্যেকের উচ্চতা প্রায় ১৩৫ $~cm$। উচ্চতার জন্য প্রচুরক হল $135 ~cm$। আমাদের কি $144 ~cm$ উচ্চতার একটি দরজা নেওয়া উচিত? সকল প্রাপ্তবয়স্ক কি সেই দরজা দিয়ে যেতে সক্ষম হবে? এটা স্পষ্ট যে এই তথ্যের জন্য প্রচুরক উপযুক্ত প্রতিনিধিত্বমূলক মান নয়। এখানে গড় কি একটি উপযুক্ত প্রতিনিধিত্বমূলক মান হবে?

কেন হবে না? দরজার উচ্চতা নির্ধারণ করতে উচ্চতার কোন প্রতিনিধিত্বমূলক মান ব্যবহার করা উচিত?

একইভাবে বাকি বক্তব্যগুলি বিশ্লেষণ করুন এবং সেই বিষয়ের জন্য উপযোগী প্রতিনিধিত্বমূলক মান খুঁজে বের করুন।

এগুলি চেষ্টা করুন

আপনার বন্ধুদের সাথে আলোচনা করুন এবং দিন

(ক) দুটি পরিস্থিতি যেখানে গড় ব্যবহার করার জন্য একটি উপযুক্ত প্রতিনিধিত্বমূলক মান হবে, এবং

(খ) দুটি পরিস্থিতি যেখানে প্রচুরক ব্যবহার করার জন্য একটি উপযুক্ত প্রতিনিধিত্বমূলক মান হবে।

৩.৪ মধ্যমা

আমরা দেখেছি যে কিছু পরিস্থিতিতে, গাণিতিক গড় হল কেন্দ্রীয় প্রবণতার একটি উপযুক্ত পরিমাপ, আবার কিছু অন্যান্য পরিস্থিতিতে, প্রচুরক হল কেন্দ্রীয় প্রবণতার উপযুক্ত পরিমাপ।

আসুন এখন আরেকটি উদাহরণ দেখি। ১৭ জন শিক্ষার্থীর একটি দল বিবেচনা করুন যাদের উচ্চতা (সেমিতে) নিম্নরূপ: ১০৬, ১১০, ১২৩, ১২৫, ১১৭, ১২০, ১১২, ১১৫, ১১০, ১২০, ১১৫, ১০২, ১১৫, ১১৫, ১০৯, ১১৫, ১০১।

খেলার শিক্ষক শ্রেণীকে দুটি দলে বিভক্ত করতে চান যাতে প্রতিটি দলে সমান সংখ্যক শিক্ষার্থী থাকে, একটি দলে শিক্ষার্থীদের উচ্চতা একটি নির্দিষ্ট উচ্চতার চেয়ে কম এবং অন্য দলে শিক্ষার্থীদের উচ্চতা সেই নির্দিষ্ট উচ্চতার চেয়ে বেশি। তিনি কীভাবে তা করবেন?

আসুন দেখি তার কাছে বিভিন্ন বিকল্প রয়েছে:

(i) তিনি গড় নির্ণয় করতে পারেন। গড় হল

$ \begin{aligned} & \frac{106+110+123+125+117+120+112+115+110+120+115+102+115+115+109+115+101}{17} \\ & =\frac{1930}{17}=113.5 \end{aligned} $

সুতরাং, যদি শিক্ষক এই গড় উচ্চতার ভিত্তিতে শিক্ষার্থীদের দুটি দলে বিভক্ত করেন, যেমন একটি দলে গড় উচ্চতার চেয়ে কম উচ্চতার শিক্ষার্থী এবং অন্য দলে গড় উচ্চতার চেয়ে বেশি উচ্চতার শিক্ষার্থী থাকে, তাহলে দলগুলি অসম আকারের হবে। তাদের যথাক্রমে ৭ এবং ১০ জন সদস্য থাকবে।

(ii) তার দ্বিতীয় বিকল্প হল প্রচুরক নির্ণয় করা। সর্বোচ্চ গণসংখ্যা সহ পর্যবেক্ষণ হল $115 ~cm$, যা প্রচুরক হিসাবে নেওয়া হবে।

প্রচুরকের নিচে ৭টি শিশু এবং প্রচুরক এবং তার উপরে ১০টি শিশু রয়েছে। অতএব, আমরা দলটিকে সমান অংশে বিভক্ত করতে পারি না।

আসুন তাই একটি বিকল্প প্রতিনিধিত্বমূলক মান বা কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ সম্পর্কে চিন্তা করি। এটি করার জন্য আমরা আবার শিক্ষার্থীদের প্রদত্ত উচ্চতা ($~cm$ এ) দেখি এবং সেগুলিকে ঊর্ধ্বক্রমে সাজাই। আমাদের নিম্নলিখিত পর্যবেক্ষণ রয়েছে:

$101,102,106,109,110,110,112,115,115,115,115,115,117,120,120,123,125$

এই তথ্যের মধ্যম মান হল ১১৫ কারণ এই মান

এগুলি চেষ্টা করুন

আপনার বন্ধু একটি প্রদত্ত তথ্যের মধ্যমা এবং প্রচুরক নির্ণয় করেছে। আপনার বন্ধুর ত্রুটি থাকলে বর্ণনা করুন এবং সংশোধন করুন:

$35,32,35,42,38,32,34$

মধ্যমা $=42$, প্রচুরক $=32$ শিক্ষার্থীদের প্রতিটি ৮ জন শিক্ষার্থীর দুটি সমান দলে বিভক্ত করে। এই মানটিকে মধ্যমা বলা হয়। মধ্যমা সেই মানকে বোঝায় যা তথ্যের মাঝখানে অবস্থান করে (যখন বৃদ্ধি বা হ্রাস ক্রমে সাজানো হয়) যার অর্ধেক পর্যবেক্ষণ এর উপরে এবং অর্ধেক এর নিচে থাকে। খেলার শিক্ষক মধ্যম শিক্ষার্থীকে খেলায় রেফারি হিসাবে রাখার সিদ্ধান্ত নেন।

এখানে, আমরা শুধুমাত্র সেই ক্ষেত্রগুলি বিবেচনা করি যেখানে পর্যবেক্ষণের সংখ্যা বিজোড়।

সুতরাং, একটি প্রদত্ত তথ্যে, ঊর্ধ্বক্রম বা অধঃক্রমে সাজানো, মধ্যমা আমাদের মধ্যম পর্যবেক্ষণ দেয়।

লক্ষ্য করুন যে সাধারণভাবে, আমরা মধ্যমা এবং প্রচুরকের জন্য একই মান নাও পেতে পারি।

এইভাবে আমরা উপলব্ধি করি যে গড়, প্রচুরক এবং মধ্যমা হল সেই সংখ্যাগুলি যা পর্যবেক্ষণ বা তথ্যের একটি দলের প্রতিনিধিত্বমূলক মান। তারা তথ্যের সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ মানের মধ্যে অবস্থান করে। তাদের কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপও বলা হয়।

উদাহরণ ৭ তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করুন: ২৪, ৩৬, ৪৬, ১৭, ১৮, ২৫, ৩৫

সমাধান

আমরা তথ্যগুলিকে ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে, আমরা পাই ১৭, ১৮, ২৪, ২৫, ৩৫, ৩৬, ৪৬

মধ্যমা হল মধ্যম পর্যবেক্ষণ। অতএব ২৫ হল মধ্যমা।

অনুশীলনী ৩.২

১. ১৫ জন শিক্ষার্থীর গণিত পরীক্ষার নম্বর (২৫ এর মধ্যে) নিম্নরূপ:

$ 19,25,23,20,9,20,15,10,5,16,25,20,24,12,20 $

এই তথ্যের প্রচুরক এবং মধ্যমা নির্ণয় করুন। তারা কি একই?

২. ১১ জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট ম্যাচে করা রান নিম্নরূপ:

$ 6,15,120,50,100,80,10,15,8,10,15 $

এই তথ্যের গড়, প্রচুরক এবং মধ্যমা নির্ণয় করুন। তিনটি কি একই?

৩. একটি শ্রেণীর ১৫ জন শিক্ষার্থীর ওজন ($kg$. এ) হল:

$ 38,42,35,37,45,50,32,43,43,40,36,38,43,38,47 $

(i) এই তথ্যের প্রচুরক এবং মধ্যমা নির্ণয় করুন।

(ii) কি একাধিক প্রচুরক আছে?

৪. তথ্যের প্রচুরক এবং মধ্যমা নির্ণয় করুন: $13,16,12,14,19,12,14,13,14$

৫. বলুন বিবৃতিটি সত্য নাকি মিথ্যা:

(i) প্রচুরক সর্বদা তথ্যের একটি সংখ্যা হয়।

(ii) গড় তথ্যের একটি সংখ্যা হয়।

(iii) মধ্যমা সর্বদা তথ্যের একটি সংখ্যা হয়।

(iv) তথ্য ৬, ৪, ৩, ৮, ৯, ১২, ১৩, ৯ এর গড় ৯।

৩.৫ বার গ্রাফের ভিন্ন উদ্দেশ্যে ব্যবহার

গত বছর আমরা দেখেছি কীভাবে সংগৃহীত তথ্য প্রথমে একটি গণসংখ্যা বিভাজন সারণীতে সাজানো যেতে পারে এবং তারপর এই তথ্যটিকে চিত্রলেখ বা বার গ্রাফ আকারে একটি চাক্ষুষ উপস্থাপনা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। আপনি বার গ্রাফগুলি দেখতে পারেন এবং তথ্য সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিতে পারেন। আপনি এই বার গ্রাফগুলির ভিত্তিতেও তথ্য পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি বলতে পারেন যে প্রচুরক হল দীর্ঘতম বার যদি বারটি গণসংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে।

৩.৫.১ একটি স্কেল নির্বাচন

আমরা জানি যে বার গ্রাফ হল অভিন্ন প্রস্থের বার ব্যবহার করে সংখ্যার একটি উপস্থাপনা এবং বারগুলির দৈর্ঘ্য গণসংখ্যা এবং আপনি যে স্কেলটি বেছে নিয়েছেন তার উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বার গ্রাফে যেখানে একক সংখ্যা দেখাতে হবে, গ্রাফটি একটি পর্যবেক্ষণের জন্য একটি একক দৈর্ঘ্য প্রতিনিধিত্ব করে এবং যদি এটি দশ বা শত সংখ্যা দেখাতে হয়, একটি একক দৈর্ঘ্য ১০ বা ১০০ পর্যবেক্ষণ প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি বিবেচনা করুন:

উদাহরণ ৮ $6^{\text{th }}$ এবং $7^{\text{th }}$ শ্রেণীর দুইশত শিক্ষার্থীকে তাদের প্রিয় রঙের নাম বলতে বলা হয়েছিল যাতে তাদের স্কুল ভবনের রঙ কী হওয়া উচিত তা নির্ধারণ করা যায়। ফলাফল নিম্নলিখিত সারণীতে দেখানো হয়েছে। প্রদত্ত তথ্যটিকে একটি বার গ্রাফে উপস্থাপন করুন।

বার গ্রাফের সাহায্যে নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন:

(i) কোন রঙটি সবচেয়ে পছন্দনীয় এবং কোনটি সবচেয়ে কম পছন্দনীয়?

(ii) মোট কতগুলি রঙ আছে? সেগুলি কী কী?

সমাধান

নিম্নরূপ একটি উপযুক্ত স্কেল নির্বাচন করুন:

স্কেলটি ০ থেকে শুরু করুন। তথ্যের সর্বোচ্চ মান হল ৫৫, তাই স্কেলটি ৫৫ এর চেয়ে বড় একটি মান যেমন ৬০ এ শেষ করুন। অক্ষ বরাবর সমান বিভাগ ব্যবহার করুন, যেমন ১০ এর বৃদ্ধি। আপনি

(ii) সবুজ সবচেয়ে কম পছন্দনীয় রঙ। (কারণ সবুজকে প্রতিনিধিত্বকারী বারটি সবচেয়ে ছোট)।

(iii) পাঁচটি রঙ আছে। সেগুলি হল লাল, সবুজ, নীল, হলুদ এবং কমলা। (এগুলি অনুভূমিক রেখায় পর্যবেক্ষণ করা যায়)

উদাহরণ ৯ নিম্নলিখিত তথ্যটি একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর ছয়টি শিশুর প্রাপ্ত মোট নম্বর (৬০০ এর মধ্যে) দেয়। তথ্যটিকে একটি বার গ্রাফে উপস্থাপন করুন।

সমাধান

(i) একটি উপযুক্ত স্কেল নির্বাচন করতে আমরা ১০০ এর বৃদ্ধি নিয়ে সমান বিভাগ তৈরি করি। সুতরাং ১ একক ১০০ নম্বর প্রতিনিধিত্ব করবে। (যদি আমরা ১০ নম্বর প্রতিনিধিত্ব করতে একটি একক নির্বাচন করি তাহলে কী অসুবিধা হবে?)

(ii) এখন বার গ্রাফে তথ্যটি উপস্থাপন করুন।

দ্বৈত বার গ্রাফ অঙ্কন

নিম্নলিখিত দুটি তথ্য সংগ্রহ বিবেচনা করুন যা বছরের সমস্ত বারো মাসের জন্য দুইটি শহর এবারডিন এবং মার্গেটে গড় দৈনিক সূর্যালোকের ঘণ্টা দেয়। এই শহরগুলি দক্ষিণ মেরুর কাছাকাছি এবং তাই প্রতিদিন মাত্র কয়েক ঘণ্টা সূর্যালোক পায়।

| মার্গেটে | | | | | | | | | | | | | | :— | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—