3.1 ప్రతినిధి విలువలు

మీరు సగటు అనే పదం గురించి తెలుసుకొని ఉండవచ్చు మరియు మీ రోజువారీ జీవితంలో ‘సగటు’ అనే పదాన్ని కలిగి ఉన్న ప్రకటనలను చూసి ఉండవచ్చు:

• ఇషా తన చదువు కోసం రోజుకు సుమారు 5 గంటల సగటున ఖర్చు చేస్తుంది.
• ఈ సమయంలో సంవత్సరం సగటు ఉష్ణోగ్రత సుమారు 40 డిగ్రీల సెల్సియస్.
• నా తరగతిలోని విద్యార్థుల సగటు వయస్సు 12 సంవత్సరాలు.
• తన ఫైనల్ పరీక్ష సమయంలో ఒక పాఠశాలలో విద్యార్థుల సగటు హాజరు 98 శాతం.

ఇలాంటి మరెన్నో ప్రకటనలు ఉండవచ్చు. పైన ఇవ్వబడిన ప్రకటనల గురించి ఆలోచించండి.

మొదటి ప్రకటనలోని పిల్లవాడు రోజుకు ఖచ్చితంగా 5 గంటలు చదువుతాడని మీరు అనుకుంటున్నారా?

లేదా, ఆ ప్రదేశం యొక్క ఉష్ణోగ్రత ఆ నిర్దిష్ట సమయంలో ఎల్లప్పుడూ 40 డిగ్రీలు ఉంటుందా?

లేదా, ఆ తరగతిలోని ప్రతి విద్యార్థి వయస్సు 12 సంవత్సరాలా? స్పష్టంగా కాదు.

అప్పుడు ఈ ప్రకటనలు మీకు ఏమి చెబుతాయి?

సగటు ద్వారా మనం అర్థం చేసుకుంటే, ఇషా సాధారణంగా 5 గంటలు చదువుతుంది. కొన్ని రోజుల్లో, ఆమె తక్కువ గంటలు చదువుతుంది మరియు ఇతర రోజుల్లో ఆమె ఎక్కువ సమయం చదువుతుంది.

అదేవిధంగా, 40 డిగ్రీల సెల్సియస్ సగటు ఉష్ణోగ్రత అంటే, చాలా తరచుగా, ఈ సమయంలో సంవత్సరం యొక్క ఉష్ణోగ్రత 40 డిగ్రీల సెల్సియస్ చుట్టూ ఉంటుంది. కొన్నిసార్లు, ఇది 40 డిగ్రీల సెల్సియస్ కంటే తక్కువగా ఉండవచ్చు మరియు ఇతర సమయాల్లో, ఇది $40^{\circ} C$ కంటే ఎక్కువగా ఉండవచ్చు.

ఈ విధంగా, సగటు అనేది పరిశీలనలు లేదా డేటా యొక్క సమూహం యొక్క కేంద్ర ధోరణిని సూచించే లేదా చూపించే సంఖ్య అని మనం గ్రహిస్తాము. సగటు ఇచ్చిన డేటా యొక్క అత్యధిక మరియు అత్యల్ప విలువల మధ్య ఉన్నందున, డేటా సమూహం యొక్క కేంద్ర ధోరణికి సగటు ఒక కొలత అని మనం చెప్పగలం. వివిధ రూపాల డేటాకు దానిని వివరించడానికి వివిధ రూపాల ప్రతినిధి లేదా కేంద్ర విలువ అవసరం. ఈ ప్రతినిధి విలువలలో ఒకటి “అంకగణిత సగటు”. మీరు అధ్యాయం యొక్క తరువాతి భాగంలో ఇతర ప్రతినిధి విలువల గురించి తెలుసుకుంటారు.

3.2 అంకగణిత సగటు

డేటా సమూహం యొక్క అత్యంత సాధారణ ప్రతినిధి విలువ అంకగణిత సగటు లేదా సగటు. దీన్ని మెరుగ్గా అర్థం చేసుకోవడానికి, కింది ఉదాహరణను చూద్దాం:

రెండు పాత్రలు వరుసగా 20 లీటర్లు మరియు 60 లీటర్ల పాలను కలిగి ఉన్నాయి. రెండూ పాలను సమానంగా పంచుకుంటే, ప్రతి పాత్రకు ఎంత మొత్తం ఉంటుంది? మేము ఈ ప్రశ్నను అడిగినప్పుడు, మేము అంకగణిత సగటును కోరుతున్నాము.

పై సందర్భంలో, సగటు లేదా అంకగణిత సగటు

$ \frac{\text{ మొత్తం పాల పరిమాణం }}{\text{ పాత్రల సంఖ్య }}=\frac{20+60}{2} \text{ లీటర్లు }=40 \text{ లీటర్లు. } $

ఈ విధంగా, ప్రతి పాత్రకు 40 లీటర్ల పాలు ఉంటాయి.

సగటు లేదా అంకగణిత సగటు (A.M.) లేదా కేవలం సగటు ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచించబడింది:

$ \text{ సగటు }=\frac{\text{ అన్ని పరిశీలనల మొత్తం }}{\text{ పరిశీలనల సంఖ్య }} $

ఈ ఉదాహరణలను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 1 ఆశిష్ వరుసగా మూడు రోజుల్లో 4 గంటలు, 5 గంటలు మరియు 3 గంటలు చదువుతాడు. అతను సగటున రోజుకు ఎన్ని గంటలు చదువుతాడు?

పరిష్కారం

ఆశిష్ యొక్క సగటు చదువు సమయం

$ \frac{\text{ చదివిన మొత్తం గంటల సంఖ్య }}{\text{ అతను చదివిన రోజుల సంఖ్య }}=\frac{4+5+3}{3} \text{ గంటలు }=4 \text{ గంటలు రోజుకు } $

ఈ విధంగా, ఆశిష్ సగటున రోజుకు 4 గంటలు చదువుతాడని మనం చెప్పగలం.

ఉదాహరణ 2 ఒక బ్యాట్స్మన్ ఆరు ఇన్నింగ్స్లలో క్రింది పరుగులు చేశాడు:

$ 36,35,50,46,60,55 $

అతను ఒక ఇన్నింగ్స్లో చేసిన సగటు పరుగులను లెక్కించండి.

పరిష్కారం

మొత్తం పరుగులు $=36+35+50+46+60+55=282$.

సగటును కనుగొనడానికి, మేము అన్ని పరిశీలనల మొత్తాన్ని కనుగొని, దానిని పరిశీలనల సంఖ్యతో భాగిస్తాము.

అందువల్ల, ఈ సందర్భంలో, సగటు $=\frac{282}{6}=47$. ఈ విధంగా, ఒక ఇన్నింగ్స్లో చేసిన సగటు పరుగులు 47.

అంకగణిత సగటు ఎక్కడ ఉంటుంది

ఇవి చేయండి

మీ మొత్తం వారం యొక్క చదువు గంటల సగటును మీరు ఎలా కనుగొంటారు?

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు వ్రాయండి

పై ఉదాహరణలలోని డేటాను పరిగణించి ఈ క్రింది వాటిపై ఆలోచించండి:

• సగటు ప్రతి పరిశీలన కంటే పెద్దదా?
• ఇది ప్రతి పరిశీలన కంటే చిన్నదా?

మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. ఈ రకమైన మరో ఉదాహరణను రూపొందించి, అదే ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి.

సగటు గరిష్ట మరియు కనిష్ట పరిశీలనల మధ్య ఉంటుందని మీరు కనుగొంటారు.

ప్రత్యేకించి, రెండు సంఖ్యల సగటు ఎల్లప్పుడూ ఆ రెండు సంఖ్యల మధ్య ఉంటుంది. ఉదాహరణకు 5 మరియు 11 యొక్క సగటు $\frac{5+11}{2}=8$, ఇది 5 మరియు 11 మధ్య ఉంటుంది.

మీకు నచ్చినంత భిన్న సంఖ్యలను మీరు ఏదైనా రెండు భిన్న సంఖ్యల మధ్య కనుగొనవచ్చని చూపించడానికి మీరు ఈ ఆలోచనను ఉపయోగించగలరా. ఉదాహరణకు $\frac{1}{2}$ మరియు $\frac{1}{4}$ మధ్య వాటి సగటు $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2}=\frac{3}{8}$ మరియు తరువాత $\frac{1}{2}$ మరియు $\frac{3}{8}$ మధ్య, వాటి సగటు $\frac{7}{16}$ మరియు మొదలగునవి ఉంటాయి.

ఇవి చేయండి

1. ఒక వారంలో మీ నిద్ర గంటల సగటును కనుగొనండి.

2. $\frac{1}{2}$ మరియు $\frac{1}{3}$ మధ్య కనీసం 5 సంఖ్యలను కనుగొనండి.

3.2.1 పరిధి

అత్యధిక మరియు అత్యల్ప పరిశీలన మధ్య వ్యత్యాసం మనకు పరిశీలనల వ్యాప్తి గురించి ఒక ఆలోచనను ఇస్తుంది. ఇది అత్యల్ప పరిశీలనను అత్యధిక పరిశీలన నుండి తీసివేయడం ద్వారా కనుగొనవచ్చు. మేము ఫలితాన్ని పరిశీలన యొక్క పరిధి అని పిలుస్తాము. కింది ఉదాహరణను చూడండి:

ఉదాహరణ 3 ఒక పాఠశాల యొక్క 10 ఉపాధ్యాయుల వయస్సు సంవత్సరాలలో:

$ 32,41,28,54,35,26,23,33,38,40 $

(i) పెద్ద ఉపాధ్యాయుని వయస్సు మరియు చిన్న ఉపాధ్యాయుని వయస్సు ఎంత?

(ii) ఉపాధ్యాయుల వయస్సుల పరిధి ఎంత?

(iii) ఈ ఉపాధ్యాయుల సగటు వయస్సు ఎంత?

పరిష్కారం

(i) వయస్సులను ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది:

$23,26,28,32,33,35,38,40,41,54$

పెద్ద ఉపాధ్యాయుని వయస్సు 54 సంవత్సరాలు మరియు చిన్న ఉపాధ్యాయుని వయస్సు 23 సంవత్సరాలు అని మనం కనుగొంటాము.

(ii) ఉపాధ్యాయుల వయస్సుల పరిధి $=(54-23)$ సంవత్సరాలు $=31$ సంవత్సరాలు

(iii) ఉపాధ్యాయుల సగటు వయస్సు

$=\frac{23+26+28+32+33+35+38+40+41+54}{10}$ సంవత్సరాలు

$=\frac{350}{10}$ సంవత్సరాలు $=35$ సంవత్సరాలు

అభ్యాసం 3.1

1. మీ తరగతిలోని ఏదైనా పది మంది విద్యార్థుల ఎత్తుల పరిధిని కనుగొనండి.

2. కింది మార్కులను ఒక తరగతి మూల్యాంకనంలో, పట్టిక రూపంలో నిర్వహించండి.

$ 4,6,7,5,3,5,4,5,2,6,2,5,1,9,6,5,8,4,6,7 $

(i) ఏ సంఖ్య అత్యధికం?

(ii) ఏ సంఖ్య అత్యల్పం?

(iii) డేటా యొక్క పరిధి ఎంత?

(iv) అంకగణిత సగటును కనుగొనండి.

3. మొదటి ఐదు పూర్ణ సంఖ్యల సగటును కనుగొనండి.

4. ఒక క్రికెటర్ ఎనిమిది ఇన్నింగ్స్లలో క్రింది పరుగులు చేశాడు:

$ 58,76,40,35,46,45,0,100 . $

సగటు స్కోరును కనుగొనండి.

5. కింది పట్టిక నాలుగు ఆటలలో ప్రతి ఆటగాడు స్కోర్ చేసిన పాయింట్లను చూపుతుంది:

ఇప్పుడు కింది ప్రశ్నలకు సమాధానం ఇవ్వండి:

(i) A యొక్క సగటు పాయింట్లను నిర్ణయించడానికి సగటును కనుగొనండి.

(ii) $C$ కోసం ఆటకు సగటు పాయింట్ల సంఖ్యను కనుగొనడానికి, మీరు మొత్తం పాయింట్లను 3 లేదా 4 తో భాగిస్తారా? ఎందుకు?

(iii) B అన్ని నాలుగు ఆటలలో ఆడాడు. మీరు సగటును ఎలా కనుగొంటారు?

(iv) ఉత్తమ ప్రదర్శన ఎవరు?

6. ఒక సైన్స్ పరీక్షలో విద్యార్థుల సమూహం పొందిన మార్కులు (100లో) 85, 76, $90,85,39,48,56,95,81$ మరియు 75. కనుగొనండి:

(i) విద్యార్థులు పొందిన అత్యధిక మరియు అత్యల్ప మార్కులు.

(ii) పొందిన మార్కుల పరిధి.

(iii) సమూహం పొందిన సగటు మార్కులు.

7. ఆరు వరుస సంవత్సరాలలో ఒక పాఠశాలలో నమోదు ఈ విధంగా ఉంది:

$1555,1670,1750,2013,2540,2820$

ఈ కాలానికి పాఠశాల యొక్క సగటు నమోదును కనుగొనండి.

8. ఒక నిర్దిష్ట వారం యొక్క 7 రోజులలో ఒక నగరంలో వర్షపాతం ($mm$ లో) ఈ విధంగా రికార్డ్ చేయబడింది:

(i) పై డేటాలో వర్షపాతం యొక్క పరిధిని కనుగొనండి.

(ii) వారానికి సగటు వర్షపాతాన్ని కనుగొనండి.

(iii) ఎన్ని రోజుల్లో వర్షపాతం సగటు వర్షపాతం కంటే తక్కువగా ఉంది.

9. 10 మంది బాలికల ఎత్తులు $~cm$ లో కొలవబడ్డాయి మరియు ఫలితాలు ఈ విధంగా ఉన్నాయి: 135, 150, 139, 128, 151, 132, 146, 149, 143, 141.

(i) పొడవైన బాలిక ఎత్తు ఎంత?

(ii) పొట్టి బాలిక ఎత్తు ఎంత?

(iii) డేటా యొక్క పరిధి ఎంత?

(iv) బాలికల సగటు ఎత్తు ఎంత?

(v) ఎత్తు సగటు ఎత్తు కంటే ఎక్కువ ఉన్న బాలికలు ఎందరు?

3.3 బాహుళకం

మనం చెప్పినట్లుగా, సగటు మాత్రమే కేంద్ర ధోరణి కొలత కాదు లేదా ప్రతినిధి విలువ యొక్క ఏకైక రూపం కాదు. డేటా నుండి వివిధ అవసరాల కోసం, కేంద్ర ధోరణి యొక్క ఇతర కొలతలు ఉపయోగించబడతాయి.

కింది ఉదాహరణను చూడండి

వివిధ పరిమాణాల చొక్కాలకు వారపు డిమాండ్ను కనుగొనడానికి, ఒక దుకాణదారుడు $90 ~cm, 95 ~cm, 100 ~cm, 105 ~cm, 110 ~cm$ పరిమాణాల అమ్మకాల రికార్డ్లను ఉంచాడు. ఒక వారం కోసం రికార్డ్ ఈ క్రింది విధంగా ఉంది:

అతను అమ్మబడిన చొక్కాల సగటు సంఖ్యను కనుగొన్నట్లయితే, స్టాక్లో ఏ చొక్కా పరిమాణాలను ఉంచాలో నిర్ణయించడానికి అతనికి సాధ్యమవుతుందని మీరు అనుకుంటున్నారా?

$ \text{ మొత్తం అమ్మబడిన చొక్కాల సగటు }=\frac{\text{ అమ్మబడిన మొత్తం చొక్కాల సంఖ్య }}{\text{ చొక్కాల వివిధ పరిమాణాల సంఖ్య }}=\frac{105}{5}=21 $

అతను ప్రతి పరిమాణానికి 21 చొక్కాలను పొందాలా? అతను అలా చేస్తే, కస్టమర్ల అవసరాలను పూర్తి చేయగలడా?

దుకాణదారుడు, రికార్డును చూస్తూ, $95 ~cm$, $100 ~cm, 105 ~cm$ పరిమాణాల చొక్కాలను సేకరించాలని నిర్ణయించుకున్నాడు. తక్కువ సంఖ్యలో కొనుగోలుదారులు ఉన్నందున ఇతర పరిమాణాల చొక్కాల సేకరణను వాయిదా వేయాలని అతను నిర్ణయించుకున్నాడు.

మరొక ఉదాహరణను చూడండి

ఒక రెడీమేడ్ డ్రెస్ దుకాణం యజమాని చెప్పింది, “నేను అమ్మే డ్రెస్ యొక్క అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన పరిమాణం $90 ~cm$ పరిమాణం.

ఇక్కడ కూడా, యజమాని వివిధ పరిమాణాల చొక్కాల అమ్మకాల సంఖ్య గురించి ఆందోళన చెందుతున్నారని గమనించండి. అయితే ఆమె అత్యంతగా విక్రయించబడిన చొక్కా పరిమాణాన్ని చూస్తోంది. ఇది డేటా కోసం మరొక ప్రతినిధి విలువ. అత్యధికంగా సంభవించే సంఘటన $90 ~cm$ పరిమాణం అమ్మకం. ఈ ప్రతినిధి విలువను డేటా యొక్క బాహుళకం అంటారు.

పరిశీలనల సమితి యొక్క బాహుళకం అనేది చాలా తరచుగా సంభవించే పరిశీలన.

ఉదాహరణ 4 ఇవ్వబడిన సంఖ్యల సమితి యొక్క బాహుళకాన్ని కనుగొనండి: 1, 1, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 2, 4

పరిష్కారం

సమాన విలువలతో సంఖ్యలను కలిపి అమర్చడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$ 1,1,1,2,2,2,2,3,4,4 $

ఈ డేటా యొక్క బాహుళకం 2 ఎందుకంటే ఇది ఇతర పరిశీలనల కంటే ఎక్కువ సార్లు సంభవిస్తుంది.

3.3.1 పెద్ద డేటా యొక్క బాహుళకం

పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలనలు ఉంటే, అదే పరిశీలనలను కలిపి వాటిని లెక్కించడం సులభం కాదు. అలాంటి సందర్భాల్లో మేము డేటాను పట్టికలో చేస్తాము. మీరు మీ మునుపటి తరగతిలో చేసినట్లుగా, గణనీయ గుర్తులను ఉంచడం మరియు పౌనఃపున్యాన్ని కనుగొనడం ద్వారా పట్టిక ప్రారంభించవచ్చు. కింది ఉదాహరణను చూడండి:

ఉదాహరణ 5 ఫుట్బాల్ లీగ్ మ్యాచ్లలో విజయం యొక్క మార్జిన్లు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి.

$ \begin{aligned} & 1,3,2,5,1,4,6,2,5,2,2,2,4,1,2,3,1,1,2,3,2 \\ & 6,4,3,2,1,1,4,2,1,5,3,3,2,3,2,4,2,1,2 \end{aligned} $

ఈ డేటా యొక్క బాహుళకాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

డేటాను పట్టిక రూపంలో ఉంచుదాం:

పట్టికను చూస్తే, 2 అత్యధిక సార్లు సంభవించినందున 2 ‘బాహుళకం’ అని మనం త్వరగా చెప్పగలం. ఈ విధంగా, చాలా మ్యాచ్లు 2 గోలుల విజయ మార్జిన్తో గెలుపొందాయి.

ఇవి చేయండి

బాహుళకాన్ని కనుగొనండి

(i) $2,6,5,3,0,3,4,3,2,4,5$, 2,4

(ii) $2,14,16,12,14,14,16$, $14,10,14,18,14$

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు వ్రాయండి

సంఖ్యల సమితికి ఒకటి కంటే ఎక్కువ బాహుళకాలు ఉండగలవా?

ఉదాహరణ 6 సంఖ్యల బాహుళకాన్ని కనుగొనండి: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8

పరిష్కారం

ఇక్కడ, 2 మరియు 5 రెండూ మూడు సార్లు సంభవిస్తాయి. అందువల్ల, అవి రెండూ డేటా యొక్క బాహుళకాలు.

దీన్ని చేయండి

1. మీ తరగతి సహాధ్యాయులందరి వయస్సును సంవత్సరాలలో రికార్డ్ చేయండి. డేటాను పట్టిక చేసి బాహుళకాన్ని కనుగొనండి.

2. మీ తరగతి సహాధ్యాయుల ఎత్తులను సెంటీమీటర్లలో రికార్డ్ చేయండి మరియు బాహుళకాన్ని కనుగొనండి.

ఇవి చేయండి

1. కింది డేటా యొక్క బాహుళకాన్ని కనుగొనండి:

$12,14,12,16,15,13,14,18,19,12,14,15,16,15,16,16,15$,

$17,13,16,16,15,15,13,15,17,15,14,15,13,15,14$

2. 25 మంది పిల్లల ఎత్తులు ($~cm$ లో) క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి:

$168,165,163,160,163,161,162,164,163,162,164,163,160,163,160$,

$165,163,162,163,164,163,160,165,163,162$

వారి ఎత్తుల బాహుళకం ఏమిటి? ఇక్కడ బాహుళకం ద్వారా మనం ఏమి అర్థం చేసుకుంటాము?

సగటు మనకు డేటా యొక్క అన్ని పరిశీలనల సగటును ఇస్తుంది, బాహుళకం డేటాలో చాలా తరచుగా సంభవించే పరిశీలనను ఇస్తుంది.

కింది ఉదాహరణలను పరిగణించండి:

(a) విందు కోసం పిలువబడిన 25 మంది వ్యక్తులకు అవసరమైన చపాతీల సంఖ్యను మీరు నిర్ణయించుకోవాలి.

(b) చొక్కాలు విక్రయించే దుకాణదారుడు తన స్టాక్ను నింపుకోవాలని నిర్ణయించుకున్నాడు.

(c) మా ఇంట్లో అవసరమైన తలుపు ఎత్తును మనం కనుగొనాలి.

(d) పిక్నిక్కు వెళుతున్నప్పుడు, ప్ర