3.1 प्रतिनिधि मान

आप औसत शब्द से परिचित होंगे और अपने दैनिक जीवन में ‘औसत’ शब्द वाले कथनों के संपर्क में आए होंगे:

• ईशा अपनी पढ़ाई के लिए औसतन प्रतिदिन लगभग 5 घंटे व्यतीत करती है।
• इस समय वर्ष का औसत तापमान लगभग 40 डिग्री सेल्सियस है।
• मेरी कक्षा में विद्यार्थियों की औसत आयु 12 वर्ष है।
• अपनी अंतिम परीक्षा के दौरान एक स्कूल में विद्यार्थियों की औसत उपस्थिति 98 प्रतिशत थी।

ऐसे और भी कई कथन हो सकते हैं। ऊपर दिए गए कथनों के बारे में सोचिए।

क्या आपको लगता है कि पहले कथन में बच्ची रोज़ ठीक 5 घंटे पढ़ती है?

या, क्या उस स्थान का तापमान उस विशेष समय के दौरान हमेशा 40 डिग्री रहता है?

या, क्या उस कक्षा में प्रत्येक विद्यार्थी की आयु 12 वर्ष है? स्पष्टतः नहीं।

तो ये कथन आपको क्या बताते हैं?

औसत से हम यह समझते हैं कि ईशा, सामान्यतः, 5 घंटे पढ़ती है। कुछ दिनों में, वह कम घंटे पढ़ सकती है और अन्य दिनों में वह अधिक देर तक पढ़ सकती है।

इसी प्रकार, 40 डिग्री सेल्सियस के औसत तापमान का अर्थ है कि, अक्सर, इस समय वर्ष का तापमान लगभग 40 डिग्री सेल्सियस के आसपास रहता है। कभी-कभी, यह 40 डिग्री सेल्सियस से कम हो सकता है और अन्य समय में, यह $40^{\circ} C$ से अधिक हो सकता है।

इस प्रकार, हम समझते हैं कि औसत एक ऐसी संख्या है जो प्रेक्षणों या आँकड़ों के एक समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति को प्रदर्शित या दर्शाती है। चूंकि औसत दिए गए आँकड़ों के उच्चतम और निम्नतम मान के बीच स्थित होता है, इसलिए हम कहते हैं कि औसत आँकड़ों के समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप है। आँकड़ों के विभिन्न रूपों का वर्णन करने के लिए प्रतिनिधि या केंद्रीय मान के विभिन्न रूपों की आवश्यकता होती है। इनमें से एक प्रतिनिधि मान “समांतर माध्य” है। आप अध्याय के बाद के भाग में अन्य प्रतिनिधि मानों के बारे में सीखेंगे।

3.2 समांतर माध्य

आँकड़ों के एक समूह का सबसे सामान्य प्रतिनिधि मान समांतर माध्य या माध्य होता है। इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

दो बर्तनों में क्रमशः 20 लीटर और 60 लीटर दूध है। यदि दोनों दूध को समान रूप से साझा करें तो प्रत्येक बर्तन में कितनी मात्रा होगी? जब हम यह प्रश्न पूछते हैं तो हम समांतर माध्य जानना चाह रहे होते हैं।

उपरोक्त मामले में, औसत या समांतर माध्य होगा

$ \frac{\text{ दूध की कुल मात्रा }}{\text{ बर्तनों की संख्या }}=\frac{20+60}{2} \text{ लीटर }=40 \text{ लीटर. } $

इस प्रकार, प्रत्येक बर्तन में 40 लीटर दूध होगा।

औसत या समांतर माध्य (A.M.) या केवल माध्य को निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है:

$ \text{ माध्य }=\frac{\text{ सभी प्रेक्षणों का योग }}{\text{ प्रेक्षणों की संख्या }} $

इन उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1 आशीष तीन लगातार दिनों में क्रमशः 4 घंटे, 5 घंटे और 3 घंटे पढ़ता है। वह औसतन प्रतिदिन कितने घंटे पढ़ता है?

हल

आशीष का औसत अध्ययन समय होगा

$ \frac{\text{ अध्ययन घंटों की कुल संख्या }}{\text{ जितने दिनों के लिए उसने अध्ययन किया }}=\frac{4+5+3}{3} \text{ घंटे }=4 \text{ घंटे प्रतिदिन } $

इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि आशीष औसतन प्रतिदिन 4 घंटे पढ़ता है।

उदाहरण 2 एक बल्लेबाज ने छह पारियों में निम्नलिखित रन बनाए:

$ 36,35,50,46,60,55 $

उसके द्वारा एक पारी में बनाए गए माध्य रन की गणना कीजिए।

हल

कुल रन $=36+35+50+46+60+55=282$.

माध्य ज्ञात करने के लिए, हम सभी प्रेक्षणों का योग ज्ञात करते हैं और इसे प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित करते हैं।

इसलिए, इस मामले में, माध्य $=\frac{282}{6}=47$. इस प्रकार, एक पारी में बनाए गए माध्य रन 47 हैं।

समांतर माध्य कहाँ स्थित होता है

यह करके देखें

आप पूरे सप्ताह के लिए अपने अध्ययन घंटों का औसत कैसे ज्ञात करेंगे?

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

उपरोक्त उदाहरणों के आँकड़ों पर विचार कीजिए और निम्नलिखित पर सोचिए:

• क्या माध्य प्रत्येक प्रेक्षण से बड़ा है?
• क्या यह प्रत्येक प्रेक्षण से छोटा है?

अपने मित्रों के साथ चर्चा कीजिए। इस प्रकार का एक और उदाहरण बनाइए और समान प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

आप पाएंगे कि माध्य सबसे बड़े और सबसे छोटे प्रेक्षण के बीच में स्थित होता है।

विशेष रूप से, दो संख्याओं का माध्य हमेशा दोनों संख्याओं के बीच स्थित होगा। उदाहरण के लिए 5 और 11 का माध्य $\frac{5+11}{2}=8$ है, जो 5 और 11 के बीच स्थित है।

क्या आप इस विचार का उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकते हैं कि किन्हीं दो भिन्नात्मक संख्याओं के बीच, आप जितनी चाहें उतनी भिन्नात्मक संख्याएँ पा सकते हैं। उदाहरण के लिए $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{4}$ के बीच आपके पास उनका औसत $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2}=\frac{3}{8}$ है और फिर $\frac{1}{2}$ और $\frac{3}{8}$ के बीच, आपके पास उनका औसत $\frac{7}{16}$ है और इसी तरह आगे।

यह करके देखें

1. एक सप्ताह के दौरान अपने सोने के घंटों का माध्य ज्ञात कीजिए।

2. $\frac{1}{2}$ और $\frac{1}{3}$ के बीच कम से कम 5 संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

3.2.1 परिसर

उच्चतम और निम्नतम प्रेक्षण के बीच का अंतर हमें प्रेक्षणों के प्रसार का एक विचार देता है। इसे उच्चतम प्रेक्षण में से निम्नतम प्रेक्षण को घटाकर ज्ञात किया जा सकता है। हम परिणाम को प्रेक्षणों का परिसर कहते हैं। निम्नलिखित उदाहरण देखें:

उदाहरण 3 एक स्कूल के 10 शिक्षकों की आयु वर्षों में है:

$ 32,41,28,54,35,26,23,33,38,40 $

(i) सबसे वरिष्ठ शिक्षक और सबसे कम उम्र के शिक्षक की आयु क्या है?

(ii) शिक्षकों की आयु का परिसर क्या है?

(iii) इन शिक्षकों की माध्य आयु क्या है?

हल

(i) आयु को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$23,26,28,32,33,35,38,40,41,54$

हम पाते हैं कि सबसे वरिष्ठ शिक्षक की आयु 54 वर्ष है और सबसे कम उम्र के शिक्षक की आयु 23 वर्ष है।

(ii) शिक्षकों की आयु का परिसर $=(54-23)$ वर्ष $=31$ वर्ष

(iii) शिक्षकों की माध्य आयु

$=\frac{23+26+28+32+33+35+38+40+41+54}{10}$ वर्ष

$=\frac{350}{10}$ वर्ष $=35$ वर्ष

प्रश्नावली 3.1

1. अपनी कक्षा के किन्हीं दस विद्यार्थियों की ऊँचाइयों का परिसर ज्ञात कीजिए।

2. एक कक्षा के मूल्यांकन में प्राप्त निम्नलिखित अंकों को एक सारणीबद्ध रूप में संगठित कीजिए।

$ 4,6,7,5,3,5,4,5,2,6,2,5,1,9,6,5,8,4,6,7 $

(i) कौन सी संख्या सबसे अधिक है?

(ii) कौन सी संख्या सबसे कम है?

(iii) आँकड़ों का परिसर क्या है?

(iv) समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

3. पहली पाँच प्राकृत संख्याओं का माध्य ज्ञात कीजिए।

4. एक क्रिकेट खिलाड़ी ने आठ पारियों में निम्नलिखित रन बनाए:

$ 58,76,40,35,46,45,0,100 . $

माध्य स्कोर ज्ञात कीजिए।

5. निम्नलिखित सारणी प्रत्येक खिलाड़ी द्वारा चार खेलों में अर्जित अंकों को दर्शाती है:

अब निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(i) A के प्रति खेल अर्जित औसत अंकों को ज्ञात करने के लिए माध्य ज्ञात कीजिए।

(ii) $C$ के लिए प्रति खेल अंकों का माध्य ज्ञात करने के लिए, क्या आप कुल अंकों को 3 से विभाजित करेंगे या 4 से? क्यों?

(iii) B ने सभी चार खेलों में भाग लिया। आप माध्य कैसे ज्ञात करेंगे?

(iv) सर्वश्रेष्ठ प्रदर्शन किसका है?

6. एक विज्ञान परीक्षा में विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा प्राप्त किए गए अंक (100 में से) 85, 76, $90,85,39,48,56,95,81$ और 75 हैं। ज्ञात कीजिए:

(i) विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त सबसे अधिक और सबसे कम अंक।

(ii) प्राप्त अंकों का परिसर।

(iii) समूह द्वारा प्राप्त माध्य अंक।

7. लगातार छह वर्षों के दौरान एक स्कूल में नामांकन निम्नानुसार था:

$1555,1670,1750,2013,2540,2820$

इस अवधि के लिए स्कूल के नामांकन का माध्य ज्ञात कीजिए।

8. एक निश्चित सप्ताह के 7 दिनों के लिए एक शहर में वर्षा ($mm$ में) निम्नानुसार दर्ज की गई थी:

(i) उपरोक्त आँकड़ों में वर्षा का परिसर ज्ञात कीजिए।

(ii) सप्ताह के लिए माध्य वर्षा ज्ञात कीजिए।

(iii) कितने दिनों में वर्षा, माध्य वर्षा से कम थी?

9. 10 लड़कियों की ऊँचाइयाँ $~cm$ में मापी गईं और परिणाम निम्नानुसार हैं: 135, 150, 139, 128, 151, 132, 146, 149, 143, 141.

(i) सबसे लंबी लड़की की ऊँचाई क्या है?

(ii) सबसे छोटी लड़की की ऊँचाई क्या है?

(iii) आँकड़ों का परिसर क्या है?

(iv) लड़कियों की माध्य ऊँचाई क्या है?

(v) कितनी लड़कियों की ऊँचाई माध्य ऊँचाई से अधिक है?

3.3 बहुलक

जैसा कि हमने कहा है, माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का एकमात्र माप या प्रतिनिधि मान का एकमात्र रूप नहीं है। आँकड़ों से विभिन्न आवश्यकताओं के लिए, केंद्रीय प्रवृत्ति के अन्य मापों का उपयोग किया जाता है।

निम्नलिखित उदाहरण देखें

विभिन्न आकारों की कमीजों की साप्ताहिक मांग ज्ञात करने के लिए, एक दुकानदार ने आकार $90 ~cm, 95 ~cm, 100 ~cm, 105 ~cm, 110 ~cm$ की बिक्री का रिकॉर्ड रखा। एक सप्ताह के लिए रिकॉर्ड इस प्रकार है:

यदि उसने बेची गई कमीजों की माध्य संख्या ज्ञात की, तो क्या आपको लगता है कि वह यह तय कर पाएगा कि कौन से शर्ट आकार स्टॉक में रखने हैं?

$ \text{ कुल बेची गई कमीजों का माध्य }=\frac{\text{ बेची गई कमीजों की कुल संख्या }}{\text{ कमीजों के विभिन्न आकारों की संख्या }}=\frac{105}{5}=21 $

क्या उसे प्रत्येक आकार की 21 कमीजें प्राप्त करनी चाहिए? यदि वह ऐसा करता है, तो क्या वह ग्राहकों की आवश्यकताओं को पूरा कर पाएगा?

दुकानदार, रिकॉर्ड देखकर, आकार $95 ~cm$, $100 ~cm, 105 ~cm$ की कमीजें खरीदने का निर्णय लेता है। उसने अन्य आकारों की कमीजों की खरीद को स्थगित करने का निर्णय लिया क्योंकि उनके खरीदारों की संख्या कम थी।

एक और उदाहरण देखें

एक रेडीमेड ड्रेस की दुकान की मालकिन कहती है, “मैं जो ड्रेस का सबसे लोकप्रिय आकार बेचती हूं वह आकार $90 ~cm$ है।

ध्यान दें कि यहाँ भी, मालकिन विभिन्न आकारों की बेची गई कमीजों की संख्या के बारे में चिंतित है। हालाँकि, वह सबसे अधिक बिकने वाले शर्ट आकार को देख रही है। यह आँकड़ों के लिए एक और प्रतिनिधि मान है। सबसे अधिक होने वाली घटना आकार $90 ~cm$ की बिक्री है। इस प्रतिनिधि मान को आँकड़ों का बहुलक कहा जाता है।

प्रेक्षणों के एक समूह का बहुलक वह प्रेक्षण है जो सबसे अधिक बार होता है।

उदाहरण 4 दी गई संख्याओं के समूह का बहुलक ज्ञात कीजिए: 1, 1, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 2, 4

हल

समान मान वाली संख्याओं को एक साथ व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ 1,1,1,2,2,2,2,3,4,4 $

इन आँकड़ों का बहुलक 2 है क्योंकि यह अन्य प्रेक्षणों की तुलना में अधिक बार आता है।

3.3.1 बड़े आँकड़ों का बहुलक

यदि प्रेक्षणों की संख्या बड़ी है तो समान प्रेक्षणों को एक साथ रखना और उन्हें गिनना आसान नहीं है। ऐसे मामलों में हम आँकड़ों को सारणीबद्ध करते हैं। सारणीकरण की शुरुआत चिह्न लगाकर और बारंबारता ज्ञात करके की जा सकती है, जैसा कि आपने अपनी पिछली कक्षा में किया था। निम्नलिखित उदाहरण देखें:

उदाहरण 5 एक लीग के फुटबॉल मैचों में जीत का अंतर निम्नलिखित है।

$ \begin{aligned} & 1,3,2,5,1,4,6,2,5,2,2,2,4,1,2,3,1,1,2,3,2 \\ & 6,4,3,2,1,1,4,2,1,5,3,3,2,3,2,4,2,1,2 \end{aligned} $

इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल

आइए हम आँकड़ों को एक सारणीबद्ध रूप में रखें:

सारणी को देखते हुए, हम तुरंत कह सकते हैं कि 2 ‘बहुलक’ है क्योंकि 2 सबसे अधिक बार आया है। इस प्रकार, अधिकांश मैच 2 गोल के जीत अंतर से जीते गए हैं।

यह करके देखें

बहुलक ज्ञात कीजिए

(i) $2,6,5,3,0,3,4,3,2,4,5$, 2,4

(ii) $2,14,16,12,14,14,16$, $14,10,14,18,14$

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

क्या संख्याओं के एक समूह में एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं?

उदाहरण 6 संख्याओं का बहुलक ज्ञात कीजिए: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8

हल

यहाँ, 2 और 5 दोनों तीन बार आते हैं। इसलिए, वे दोनों आँकड़ों के बहुलक हैं।

यह करें

1. अपनी कक्षा के सभी सहपाठियों की आयु वर्षों में दर्ज कीजिए। आँकड़ों को सारणीबद्ध कीजिए और बहुलक ज्ञात कीजिए।

2. अपने सहपाठियों की ऊँचाइयाँ सेंटीमीटर में दर्ज कीजिए और बहुलक ज्ञात कीजिए।

यह करके देखें

1. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए:

$12,14,12,16,15,13,14,18,19,12,14,15,16,15,16,16,15$,

$17,13,16,16,15,15,13,15,17,15,14,15,13,15,14$

2. 25 बच्चों की ऊँचाइयाँ ($~cm$ में) नीचे दी गई हैं:

$168,165,163,160,163,161,162,164,163,162,164,163,160,163,160$,

$165,163,162,163,164,163,160,165,163,162$

उनकी ऊँचाइयों का बहुलक क्या है? हम यहाँ बहुलक से क्या समझते हैं?

जहाँ माध्य हमें आँकड़ों के सभी प्रेक्षणों का औसत देता है, वहीं बहुलक वह प्रेक्षण देता है जो आँकड़ों में सबसे अधिक बार होता है।

आइए निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

(a) आपको एक भोज के लिए बुलाए गए 25 लोगों के लिए आवश्यक चपातियों की संख्या पर निर्णय लेना है।

(b) कमीजें बेचने वाले एक दुकानदार ने अपना स्टॉक फिर से भरने का निर्णय लिया है।

(c) हमें अपने घर में आवश्यक दरवाजे की ऊँचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है।

(d) पिकनिक पर जाते समय, यदि हर किसी के लिए केवल एक फल खरीदा जा सकता है, तो हम कौन सा फल लेंगे।

इनमें से किन स्थितियों में हम बहुलक का उपयोग एक अच्छे अनुमान के रूप में कर सकते हैं?

पहले कथन पर विचार करें। मान लीजिए कि प्रत्येक व्यक्ति द्वारा आवश्यक चपातियों की संख्या

है

$2,3,2,3,2,1,2,3,2,2,4,2,2,3,2,4,4,2,3,2,4,2,4,3,5$

आँकड़ों का बहुलक 2 चपातियाँ है। यदि हम इस आँकड़े के लिए प्रतिनिधि मान के रूप में बहुलक का उपयोग करते हैं, तो हमें केवल 50 चपातियों की आवश्यकता होगी, 25 व्यक्तियों में से प्रत्येक के लिए 2। हालाँकि, कुल संख्या स्पष्ट रूप से अपर्याप्त होगी। क्या माध्य एक उपयुक्त प्रतिनिधि मान होगा?

तीसरे कथन के लिए दरवाजे की ऊँचाई उस दरवाजे का उपयोग करने वाले व्यक्तियों की ऊँचाई से संबंधित है। मान लीजिए कि दरवाजे का उपयोग 5 बच्चे और 4 वयस्क कर रहे हैं और 5 बच्चों में से प्रत्येक की ऊँचाई लगभग 135 $~cm$ है। ऊँचाइयों का बहुलक $135 ~cm$ है। क्या हमें $144 ~cm$ ऊँचा दरवाजा लेना चाहिए? क्या सभी वयस्क उस दरवाजे से गुजर पाएंगे? यह स्पष्ट है कि बहुलक इस आँकड़े के लिए उपयुक्त प्रतिनिधि मान नहीं है। क्या माध्य यहाँ एक उपयुक्त प्रतिनिधि मान होगा?

क्यों नहीं? दरवाजे की ऊँचाई तय करने के लिए ऊँचाई के किस प्रतिनिधि मान का उपयोग किया जाना चाहिए?

इसी तरह शेष कथनों का विश्लेषण करें और उस मुद्दे के लिए उपयोगी प्रतिनिधि मान ज्ञात करें।

यह करके देखें

अपने मित्रों के साथ चर्चा करें और दीजिए

(a) दो स्थितियाँ जहाँ माध्य का उपयोग करने के लिए एक उपयुक्त प्रतिनिधि मान होगा, और

(b) दो स्थितियाँ जहाँ बहुलक का उपयोग करने के लिए एक उपयुक्त प्रतिनिधि मान होगा।

3.4 माध्यिका

हमने देखा है कि कुछ स्थितियों में, समांतर माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपयुक्त माप है जबकि कुछ अन्य स्थितियों में, बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति का उपयुक्त माप है।

आइए अब एक और उदाहरण देखें। 17 विद्यार्थियों के एक समूह पर विचार करें जिनकी ऊँचाइयाँ (~सेमी में) इस प्रकार हैं: 106, 110, 123, 125, 117, 120, 112, 115, 110, 120, 115, 102, 115, 115, 109, 115, 101।

खेल शिक्षक कक्षा को दो समूहों में विभाजित करना चाहती है ताकि प्रत्येक समूह में समान संख्या में विद्यार्थी हों, एक समूह में विद्यार्थी एक विशेष ऊँचाई से कम ऊँचाई वाले हों और दूसरे समूह में विद्यार्थी उस विशेष ऊँचाई से अधिक ऊँचाई वाले हों। वह ऐसा कैसे करेगी?

आइए देखें कि उसके पास विभिन्न विकल्प क्या हैं:

(i) वह माध्य ज्ञात कर सकती है। माध्य है

$ \begin{aligned} & \frac{106+110+123+125+117+120+112+115+110+120+115+102+115+115+109+115+101}{17} \\ & =\frac{1930}{17}=113.5 \end{aligned} $

इसलिए, यदि शिक्षक विद्यार्थियों को इस माध्य ऊँचाई के आधार पर दो समूहों में विभाजित करती है, ताकि एक समूह में विद्यार्थी माध्य ऊँचाई से कम ऊँचाई वाले हों और दूसरे समूह में विद्यार्थी माध्य ऊँचाई से अधिक ऊँचाई वाले हों, तो समूह असमान आकार के होंगे। उनमें क्रमशः 7 और 10 सदस्य होंगे।

(ii) उसके लिए दूसरा विकल्प बहुलक ज्ञात करना है। सबसे अधिक बारंबारता वाला प्रेक्षण $115 ~cm$ है, जिसे बहुलक के रूप में लिया जाएगा।

बहुलक से नीचे 7 बच्चे हैं और बहुलक पर और बहुलक से ऊपर 10 बच्चे हैं। इसलिए, हम समूह को समान भागों में विभाजित नहीं कर सकते।

आइए इसलिए एक वैकल्पिक प्रतिनिधि मान या केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के बारे में सोचें। ऐसा करने के लिए हम फिर से विद्यार्थियों की दी गई ऊँचाइयों ($~cm$ में) को देखते हैं और उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं। हमारे पास निम्नलिखित प्रेक्षण हैं:

$101,102,106,109,110,110,112,115,115,115,115,115,117,120,120,123,125$

इन आँकड़ों में मध्य मान 115 है क्योंकि यह मान

यह करके देखें

आपके मित्र ने दिए गए आँकड़ों की माध्यिका और बहुलक ज्ञात किए। यदि कोई त्रुटि है तो अपने मित्र की त्रुटि का वर्णन कीजिए और सुधार कीजिए: