૩.૧ પ્રતિનિધિત્વ કિંમતો

તમે ‘સરેરાશ’ શબ્દથી પરિચિત હશો અને તમારા રોજિંદા જીવનમાં ‘સરેરાશ’ શબ્દ ધરાવતા વિધાનો સામે આવ્યા હશો:

• ઈશા પોતાના અભ્યાસ માટે દરરોજ સરેરાશ લગભગ 5 કલાક ખર્ચ કરે છે.
• વર્ષના આ સમયે સરેરાશ તાપમાન લગભગ 40 ડિગ્રી સેલ્સિયસ હોય છે.
• મારી કક્ષામાં વિદ્યાર્થીઓની સરેરાશ ઉંમર 12 વર્ષ છે.
• અંતિમ પરીક્ષા દરમિયાન શાળામાં વિદ્યાર્થીઓની સરેરાશ હાજરી 98 ટકા હતી.

આવા અનેક વિધાનો હોઈ શકે છે. ઉપર આપેલા વિધાનો વિશે વિચારો.

શું તમને લાગે છે કે પહેલા વિધાનમાં બાળક દરરોજ બરાબર 5 કલાક જ અભ્યાસ કરે છે?

અથવા, આપેલ સ્થળનું તાપમાન તે ચોક્કસ સમયે હંમેશા 40 ડિગ્રી જ હોય છે?

અથવા, તે વર્ગમાં દરેક વિદ્યાર્થીની ઉંમર 12 વર્ષ છે? ચોક્કસપણે નહીં.

તો પછી આ વિધાનો તમને શું કહે છે?

સરેરાશ દ્વારા આપણે સમજીએ છીએ કે ઈશા સામાન્ય રીતે 5 કલાક અભ્યાસ કરે છે. કેટલાક દિવસો તે ઓછા કલાક અભ્યાસ કરી શકે છે અને અન્ય દિવસો તે વધુ સમય અભ્યાસ કરી શકે છે.

તેવી જ રીતે, 40 ડિગ્રી સેલ્સિયસનું સરેરાશ તાપમાન એટલે કે, ઘણી વાર, વર્ષના આ સમયે તાપમાન 40 ડિગ્રી સેલ્સિયસની આસપાસ હોય છે. ક્યારેક, તે 40 ડિગ્રી સેલ્સિયસથી ઓછું હોઈ શકે છે અને અન્ય સમયે, તે $40^{\circ} C$ કરતાં વધુ હોઈ શકે છે.

આમ, આપણે સમજીએ છીએ કે સરેરાશ એ એવી સંખ્યા છે જે અવલોકનો અથવા માહિતીના સમૂહની કેન્દ્રીય વલણને રજૂ કરે છે અથવા દર્શાવે છે. કારણ કે સરેરાશ આપેલ માહિતીના સૌથી વધુ અને સૌથી ઓછા મૂલ્ય વચ્ચે આવેલું હોય છે, તેથી આપણે કહીએ છીએ કે સરેરાશ એ માહિતીના સમૂહની કેન્દ્રીય વલણનું માપ છે. માહિતીના વિવિધ સ્વરૂપોને વર્ણવવા માટે વિવિધ સ્વરૂપની પ્રતિનિધિત્વ કિંમત અથવા કેન્દ્રીય કિંમતની જરૂર પડે છે. આ પ્રતિનિધિત્વ કિંમતોમાંની એક “સમાંતર મધ્યક” છે. તમે પ્રકરણના પછીના ભાગમાં અન્ય પ્રતિનિધિત્વ કિંમતો વિશે જાણશો.

૩.૨ સમાંતર મધ્યક

માહિતીના સમૂહની સૌથી સામાન્ય પ્રતિનિધિત્વ કિંમત એ સમાંતર મધ્યક અથવા મધ્યક છે. આને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો નીચેના ઉદાહરણ જોઈએ:

બે વાસણોમાં અનુક્રમે 20 લિટર અને 60 લિટર દૂધ છે. જો બંને દૂધ સમાન રીતે વહેંચે તો દરેક વાસણમાં કેટલી માત્રા હશે? જ્યારે આપણે આ પ્રશ્ન પૂછીએ છીએ ત્યારે આપણે સમાંતર મધ્યક શોધી રહ્યા હોઈએ છીએ.

ઉપરના કિસ્સામાં, સરેરાશ અથવા સમાંતર મધ્યક હશે

$ \frac{\text{ દૂધની કુલ માત્રા }}{\text{ વાસણોની સંખ્યા }}=\frac{20+60}{2} \text{ લિટર }=40 \text{ લિટર. } $

આમ, દરેક વાસણમાં 40 લિટર દૂધ હશે.

સરેરાશ અથવા સમાંતર મધ્યક (A.M.) અથવા ફક્ત મધ્યક નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

$ \text{ મધ્યક }=\frac{\text{ બધા અવલોકનોનો સરવાળો }}{\text{ અવલોકનોની સંખ્યા }} $

આ ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો.

ઉદાહરણ ૧ આશિષ ત્રણ ક્રમિક દિવસોમાં અનુક્રમે 4 કલાક, 5 કલાક અને 3 કલાક અભ્યાસ કરે છે. સરેરાશે તેણે દરરોજ કેટલા કલાક અભ્યાસ કર્યો?

ઉકેલ

આશિષનો સરેરાશ અભ્યાસ સમય હશે

$ \frac{\text{ અભ્યાસ કલાકોની કુલ સંખ્યા }}{\text{ જેટલા દિવસ તેણે અભ્યાસ કર્યો }}=\frac{4+5+3}{3} \text{ કલાક }=4 \text{ કલાક દરરોજ } $

આમ, આપણે કહી શકીએ કે આશિષ સરેરાશે દરરોજ 4 કલાક અભ્યાસ કરે છે.

ઉદાહરણ ૨ એક બેટ્સમેન છ ઇનિંગમાં નીચે પ્રમાણે રન બનાવ્યા:

$ 36,35,50,46,60,55 $

એક ઇનિંગમાં તેણે બનાવેલા સરેરાશ રન ગણો.

ઉકેલ

કુલ રન $=36+35+50+46+60+55=282$.

મધ્યક શોધવા માટે, આપણે બધા અવલોકનોનો સરવાળો કરીએ છીએ અને તેને અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગીએ છીએ.

તેથી, આ કિસ્સામાં, મધ્યક $=\frac{282}{6}=47$. આમ, એક ઇનિંગમાં સરેરાશ રન 47 છે.

સમાંતર મધ્યક ક્યાં આવેલું છે

આ પ્રયાસ કરો

તમે સમગ્ર અઠવાડિયા માટે તમારા અભ્યાસ કલાકોની સરેરાશ કેવી રીતે શોધશો?

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

ઉપરના ઉદાહરણોમાંની માહિતી અને નીચેના પ્રશ્નો પર વિચાર કરો:

• શું મધ્યક દરેક અવલોકન કરતાં મોટું છે?
• શું તે દરેક અવલોકન કરતાં નાનું છે?

તમારા મિત્રો સાથે ચર્ચા કરો. આ પ્રકારનું એક વધુ ઉદાહરણ બનાવો અને સમાન પ્રશ્નોના જવાબ આપો.

તમે જોશો કે મધ્યક સૌથી મોટા અને સૌથી નાના અવલોકનો વચ્ચે આવેલું છે.

ખાસ કરીને, બે સંખ્યાઓનું મધ્યક હંમેશા બે સંખ્યાઓ વચ્ચે આવેલું હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે 5 અને 11 નું મધ્યક $\frac{5+11}{2}=8$ છે, જે 5 અને 11 વચ્ચે આવેલું છે.

શું તમે આ વિચારનો ઉપયોગ કરીને બતાવી શકો છો કે કોઈપણ બે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ વચ્ચે, તમે તમને ગમે તેટલી અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ શોધી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે $\frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{4}$ વચ્ચે તમારી પાસે તેમની સરેરાશ $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2}=\frac{3}{8}$ છે અને પછી $\frac{1}{2}$ અને $\frac{3}{8}$ વચ્ચે, તમારી પાસે તેમની સરેરાશ $\frac{7}{16}$ છે અને આમ જ.

આ પ્રયાસ કરો

1. એક અઠવાડિયા દરમિયાન તમારા ઊંઘવાના કલાકોનું મધ્યક શોધો.

2. $\frac{1}{2}$ અને $\frac{1}{3}$ વચ્ચે ઓછામાં ઓછી 5 સંખ્યાઓ શોધો.

૩.૨.૧ વિસ્તાર

સૌથી વધુ અને સૌથી ઓછા અવલોકન વચ્ચેનો તફાવત આપણને અવલોકનોના વિસ્તારનો ખ્યાલ આપે છે. આ સૌથી ઓછા અવલોકનને સૌથી વધુ અવલોકનમાંથી બાદ કરીને શોધી શકાય છે. આપણે પરિણામને અવલોકનોનો વિસ્તાર કહીએ છીએ. નીચેના ઉદાહરણ જુઓ:

ઉદાહરણ ૩ એક શાળાના 10 શિક્ષકોની ઉંમર વર્ષમાં:

$ 32,41,28,54,35,26,23,33,38,40 $

(i) સૌથી વધુ ઉંમરના શિક્ષક અને સૌથી ઓછી ઉંમરના શિક્ષકની ઉંમર કેટલી છે?

(ii) શિક્ષકોની ઉંમરનો વિસ્તાર કેટલો છે?

(iii) આ શિક્ષકોની સરેરાશ ઉંમર કેટલી છે?

ઉકેલ

(i) ઉંમરને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતાં, આપણને મળે છે:

$23,26,28,32,33,35,38,40,41,54$

આપણે જોઈએ છીએ કે સૌથી વધુ ઉંમરના શિક્ષકની ઉંમર 54 વર્ષ છે અને સૌથી ઓછી ઉંમરના શિક્ષકની ઉંમર 23 વર્ષ છે.

(ii) શિક્ષકોની ઉંમરનો વિસ્તાર $=(54-23)$ વર્ષ $=31$ વર્ષ

(iii) શિક્ષકોની સરેરાશ ઉંમર

$=\frac{23+26+28+32+33+35+38+40+41+54}{10}$ વર્ષ

$=\frac{350}{10}$ વર્ષ $=35$ વર્ષ

કસરત ૩.૧

1. તમારા વર્ગના કોઈ પણ દસ વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈનો વિસ્તાર શોધો.

2. નીચે આપેલા ગુણોને વર્ગ મૂલ્યાંકનમાં, કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં ગોઠવો.

$ 4,6,7,5,3,5,4,5,2,6,2,5,1,9,6,5,8,4,6,7 $

(i) કઈ સંખ્યા સૌથી વધુ છે?

(ii) કઈ સંખ્યા સૌથી ઓછી છે?

(iii) માહિતીનો વિસ્તાર કેટલો છે?

(iv) સમાંતર મધ્યક શોધો.

3. પ્રથમ પાંચ પૂર્ણ સંખ્યાઓનો મધ્યક શોધો.

4. એક ક્રિકેટર આઠ ઇનિંગમાં નીચે પ્રમાણે રન બનાવે છે:

$ 58,76,40,35,46,45,0,100 . $

સરેરાશ સ્કોર શોધો.

5. નીચેનું કોષ્ટક દર્શાવે છે કે દરેક ખેલાડીએ ચાર રમતોમાં કેટલા પોઈન્ટ સ્કોર કર્યા:

હવે નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો:

(i) A ના સરેરાશ પોઈન્ટ દર રમતે શોધવા માટે મધ્યક શોધો.

(ii) $C$ માટે સરેરાશ પોઈન્ટ દર રમતે શોધવા માટે, તમે કુલ પોઈન્ટને 3 વડે ભાગશો કે 4 વડે? શા માટે?

(iii) B બધી ચાર રમતોમાં રમ્યો. તમે મધ્યક કેવી રીતે શોધશો?

(iv) સૌથી સારો પ્રદર્શન કરનાર કોણ છે?

6. વિજ્ઞાનની પરીક્ષામાં વિદ્યાર્થીઓના એક જૂથ દ્વારા મેળવેલા ગુણ (100 માંથી) 85, 76, $90,85,39,48,56,95,81$ અને 75 છે. શોધો:

(i) વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા મેળવેલા સૌથી વધુ અને સૌથી ઓછા ગુણ.

(ii) મેળવેલા ગુણોનો વિસ્તાર.

(iii) જૂથ દ્વારા મેળવેલા સરેરાશ ગુણ.

7. છ ક્રમિક વર્ષો દરમિયાન એક શાળામાં નામનોંધણી નીચે પ્રમાણે હતી:

$1555,1670,1750,2013,2540,2820$

આ સમયગાળા માટે શાળાની સરેરાશ નામનોંધણી શોધો.

8. એક શહેરમાં એક ચોક્કસ અઠવાડિયાના 7 દિવસોની વરસાદ ($mm$ માં) નીચે પ્રમાણે રેકોર્ડ કરવામાં આવી હતી:

(i) ઉપરની માહિતીમાં વરસાદનો વિસ્તાર શોધો.

(ii) અઠવાડિયાનો સરેરાશ વરસાદ શોધો.

(iii) કેટલા દિવસોમાં વરસાદ સરેરાશ વરસાદ કરતાં ઓછો હતો.

9. 10 છોકરીઓની ઊંચાઈ $~cm$ માં માપવામાં આવી અને પરિણામ નીચે પ્રમાણે છે: 135, 150, 139, 128, 151, 132, 146, 149, 143, 141.

(i) સૌથી ઊંચી છોકરીની ઊંચાઈ કેટલી છે?

(ii) સૌથી ઓછી ઊંચાઈની છોકરીની ઊંચાઈ કેટલી છે?

(iii) માહિતીનો વિસ્તાર કેટલો છે?

(iv) છોકરીઓની સરેરાશ ઊંચાઈ કેટલી છે?

(v) કેટલી છોકરીઓની ઊંચાઈ સરેરાશ ઊંચાઈ કરતાં વધુ છે.

૩.૩ બહુલક

જેમ આપણે કહ્યું છે, મધ્યક એ એકમાત્ર કેન્દ્રીય વલણનું માપ અથવા પ્રતિનિધિત્વ કિંમતનું એકમાત્ર સ્વરૂપ નથી. માહિતીમાંથી વિવિધ જરૂરિયાતો માટે, કેન્દ્રીય વલણના અન્ય માપનો ઉપયોગ થાય છે.

નીચેના ઉદાહરણ જુઓ

વિવિધ માપની શર્ટ માટે સાપ્તાહિક માંગ શોધવા માટે, એક દુકાનદારે માપ $90 ~cm, 95 ~cm, 100 ~cm, 105 ~cm, 110 ~cm$ની શર્ટની વેચાણની નોંધ રાખી. એક અઠવાડિયાની નોંધ નીચે પ્રમાણે છે:

જો તેણે વેચાયેલી શર્ટની સરેરાશ સંખ્યા શોધી, તો શું તમને લાગે છે કે તે કઈ શર્ટના માપ સ્ટોકમાં રાખવા તે નક્કી કરી શકશે?

$ \text{ કુલ વેચાયેલી શર્ટનો મધ્યક }=\frac{\text{ વેચાયેલી શર્ટની કુલ સંખ્યા }}{\text{ શર્ટના વિવિધ માપની સંખ્યા }}=\frac{105}{5}=21 $

શું તે દરેક માપની 21 શર્ટ મેળવવી જોઈએ? જો તે આમ કરે, તો શું તે ગ્રાહકોની જરૂરિયાતો પૂરી કરી શકશે?

દુકાનદાર, નોંધ જોઈને, માપ $95 ~cm$, $100 ~cm, 105 ~cm$ની શર્ટ મેળવવાનું નક્કી કરે છે. તેણે અન્ય માપની શર્ટ મેળવવાનું મુલતવી રાખ્યું કારણ કે તેમના ખરીદદારોની સંખ્યા ઓછી છે.

બીજું ઉદાહરણ જુઓ

રેડીમેડ ડ્રેસની દુકાનની માલિક કહે છે, “હું જે ડ્રેસનું સૌથી વધુ લોકપ્રિય માપ વેચું છું તે માપ $90 ~cm$ છે.

નોંધ કરો કે અહીં પણ, માલિક વિવિધ માપની શર્ટની વેચાણ સંખ્યા વિશે ચિંતિત છે. જો કે, તે સૌથી વધુ વેચાયેલી શર્ટના માપ તરફ જોઈ રહી છે. આ માહિતી માટેની બીજી પ્રતિનિધિત્વ કિંમત છે. સૌથી વધુ બનતી ઘટના એ માપ $90 ~cm$ની શર્ટની વેચાણ છે. આ પ્રતિનિધિત્વ કિંમતને માહિતીનો બહુલક કહેવામાં આવે છે.

માહિતીના સમૂહનો બહુલક એ સૌથી વધુ વખત આવતું અવલોકન છે.

ઉદાહરણ ૪ આપેલ સંખ્યાઓના સમૂહનો બહુલક શોધો: 1, 1, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 2, 4

ઉકેલ

સમાન મૂલ્યોવાળી સંખ્યાઓને એકસાથે ગોઠવતાં, આપણને મળે છે

$ 1,1,1,2,2,2,2,3,4,4 $

આ માહિતીનો બહુલક 2 છે કારણ કે તે અન્ય અવલોકનો કરતાં વધુ વખત આવે છે.

૩.૩.૧ મોટી માહિતીનો બહુલક

જો અવલોકનોની સંખ્યા મોટી હોય તો સમાન અવલોકનોને એકસાથે મૂકીને તેમની ગણતરી કરવી સરળ નથી. આવા કિસ્સાઓમાં આપણે માહિતીને કોષ્ટકમાં ગોઠવીએ છીએ. તમે તમારા પાછલા વર્ગમાં કર્યું હતું તેમ, ટેલી માર્ક મૂકીને અને આવૃત્તિ શોધીને કોષ્ટક બનાવવાનું શરૂ કરી શકાય છે. નીચેના ઉદાહરણ જુઓ:

ઉદાહરણ ૫ એક લીગના ફૂટબોલ મેચમાં વિજયનો માર્જિન નીચે પ્રમાણે છે.

$ \begin{aligned} & 1,3,2,5,1,4,6,2,5,2,2,2,4,1,2,3,1,1,2,3,2 \\ & 6,4,3,2,1,1,4,2,1,5,3,3,2,3,2,4,2,1,2 \end{aligned} $

આ માહિતીનો બહુલક શોધો.

ઉકેલ

ચાલો માહિતીને કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં મૂકીએ:

કોષ્ટક જોતાં, આપણે ઝડપથી કહી શકીએ કે 2 એ ‘બહુલક’ છે કારણ કે 2 સૌથી વધુ વખત આવ્યું છે. આમ, મોટાભાગની મેચ 2 ગોલના વિજય માર્જિનથી જીતવામાં આવી છે.

આ પ્રયાસ કરો

નીચેનાનો બહુલક શોધો:

(i) $2,6,5,3,0,3,4,3,2,4,5$, 2,4

(ii) $2,14,16,12,14,14,16$, $14,10,14,18,14$

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

શું સંખ્યાઓના સમૂહમાં એક કરતાં વધુ બહુલક હોઈ શકે?

ઉદાહરણ ૬ સંખ્યાઓનો બહુલક શોધો: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8

ઉકેલ

અહીં, 2 અને 5 બંને ત્રણ વખત આવે છે. તેથી, તે બંને માહિતીના બહુલક છે.

આ કરો

1. તમારા બધા સહપાઠીઓની ઉંમર વર્ષમાં રેકોર્ડ કરો. માહિતીને કોષ્ટકમાં ગોઠવો અને બહુલક શોધો.

2. તમારા સહપાઠીઓની ઊંચાઈ સેન્ટિમીટરમાં રેકોર્ડ કરો અને બહુલક શોધો.

આ પ્રયાસ કરો

1. નીચેની માહિતીનો બહુલક શોધો:

$12,14,12,16,15,13,14,18,19,12,14,15,16,15,16,16,15$,

$17,13,16,16,15,15,13,15,17,15,14,15,13,15,14$

2. 25 બાળકોની ઊંચાઈ ($~cm$ માં) નીચે આપેલી છે:

$168,165,163,160,163,161,162,164,163,162,164,163,160,163,160$,

$165,163,162,163,164,163,160,165,163,162$

તેમની ઊંચાઈનો બહુલક શું છે? અહીં બહુલક દ્વારા આપણે શું સમજીએ છીએ?

મધ્યક આપણને માહિતીના બધા અવલોકનોની સરેરાશ આપે છે, જ્યારે બહુલક એ અવલોકન આપે છે જે માહિતીમાં સૌથી વધુ વખત આવે છે.

ચાલો નીચેના ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ:

(a) તમારે ભોજન માટે બોલાવેલા 25 લોકો માટે જરૂરી ચપાતીની સંખ્યા નક્કી કરવી છે.

(b) શર