3.1 نمائندہ اقدار

آپ اوسط (average) کی اصطلاح سے واقف ہوں گے اور آپ کی روزمرہ زندگی میں ‘اوسط’ سے متعلق بیانات سامنے آئے ہوں گے:

• عیشہ اپنی پڑھائی کے لیے روزانہ اوسطاً تقریباً 5 گھنٹے صرف کرتی ہے۔
• سال کے اس وقت اوسط درجہ حرارت تقریباً 40 ڈگری سینٹی گریڈ ہوتا ہے۔
• میری کلاس میں طلبہ کی اوسط عمر 12 سال ہے۔
• اپنے آخری امتحان کے دوران اسکول میں طلبہ کی اوسط حاضری 98 فیصد تھی۔

ایسے اور بھی بہت سے بیانات ہو سکتے ہیں۔ اوپر دیے گئے بیانات کے بارے میں سوچیں۔

کیا آپ کے خیال میں پہلے بیان میں بچی روزانہ بالکل 5 گھنٹے پڑھتی ہے؟

یا، کیا دیے گئے مقام کا درجہ حرارت اس خاص وقت کے دوران ہمیشہ 40 ڈگری ہوتا ہے؟

یا، کیا اس کلاس میں ہر طالب علم کی عمر 12 سال ہے؟ ظاہر ہے کہ نہیں۔

پھر یہ بیانات آپ کو کیا بتاتے ہیں؟

اوسط سے ہم یہ سمجھتے ہیں کہ عیشہ، عام طور پر، 5 گھنٹے پڑھتی ہے۔ کچھ دنوں میں، وہ کم گھنٹے پڑھ سکتی ہے اور دوسرے دنوں میں وہ زیادہ دیر تک پڑھ سکتی ہے۔

اسی طرح، 40 ڈگری سینٹی گریڈ کا اوسط درجہ حرارت، اس کا مطلب ہے کہ، اکثر اوقات، سال کے اس وقت درجہ حرارت 40 ڈگری سینٹی گریڈ کے آس پاس ہوتا ہے۔ کبھی کبھی، یہ 40 ڈگری سینٹی گریڈ سے کم ہو سکتا ہے اور دوسرے اوقات میں، یہ $40^{\circ} C$ سے زیادہ ہو سکتا ہے۔

اس طرح، ہم سمجھتے ہیں کہ اوسط ایک ایسی عددی قدر ہے جو مشاہدات یا ڈیٹا کے ایک گروپ کی مرکزی رجحان (central tendency) کو ظاہر کرتی ہے۔ چونکہ اوسط دیے گئے ڈیٹا کی سب سے زیادہ اور سب سے کم قدر کے درمیان ہوتی ہے، اس لیے ہم کہتے ہیں کہ اوسط ڈیٹا کے گروپ کے مرکزی رجحان کا ایک پیمانہ ہے۔ ڈیٹا کی مختلف اقسام کو بیان کرنے کے لیے نمائندہ یا مرکزی قدر کی مختلف اقسام کی ضرورت ہوتی ہے۔ ان نمائندہ اقدار میں سے ایک “حسابی اوسط (Arithmetic mean)” ہے۔ آپ باب کے بعد کے حصے میں دیگر نمائندہ اقدار کے بارے میں سیکھیں گے۔

3.2 حسابی اوسط

ڈیٹا کے ایک گروپ کی سب سے عام نمائندہ قدر حسابی اوسط یا اوسط (mean) ہے۔ اسے بہتر طور پر سمجھنے کے لیے، آئیے مندرجہ ذیل مثال دیکھتے ہیں:

دو برتنوں میں بالترتیب 20 لیٹر اور 60 لیٹر دودھ ہے۔ اگر دونوں برتن دودھ برابر بانٹیں تو ہر برتن میں کتنی مقدار ہوگی؟ جب ہم یہ سوال پوچھتے ہیں تو ہم حسابی اوسط تلاش کر رہے ہوتے ہیں۔

اوپر والے معاملے میں، اوسط یا حسابی اوسط ہوگی

$ \frac{\text{ دودھ کی کل مقدار }}{\text{ برتنوں کی تعداد }}=\frac{20+60}{2} \text{ لیٹر }=40 \text{ لیٹر۔ } $

اس طرح، ہر برتن میں 40 لیٹر دودھ ہوگا۔

اوسط یا حسابی اوسط (A.M.) یا صرف اوسط (mean) کو مندرجہ ذیل طور پر بیان کیا جاتا ہے:

$ \text{ اوسط }=\frac{\text{ تمام مشاہدات کا مجموعہ }}{\text{ مشاہدات کی تعداد }} $

ان مثالوں پر غور کریں۔

مثال 1 اشیش لگاتار تین دنوں میں بالترتیب 4 گھنٹے، 5 گھنٹے اور 3 گھنٹے پڑھتا ہے۔ وہ روزانہ اوسطاً کتنے گھنٹے پڑھتا ہے؟

حل

اشیش کا اوسط مطالعہ کا وقت ہوگا

$ \frac{\text{ مطالعہ کے کل گھنٹے }}{\text{ جن دنوں کے لیے اس نے پڑھا }}=\frac{4+5+3}{3} \text{ گھنٹے }=4 \text{ گھنٹے روزانہ } $

اس طرح، ہم کہہ سکتے ہیں کہ اشیش اوسطاً روزانہ 4 گھنٹے پڑھتا ہے۔

مثال 2 ایک بلے باز نے چھ اننگز میں مندرجہ ذیل رنز بنائے:

$ 36,35,50,46,60,55 $

اس کے ایک اننگ میں بنائے گئے اوسط رنز کا حساب لگائیں۔

حل

کل رنز $=36+35+50+46+60+55=282$۔

اوسط معلوم کرنے کے لیے، ہم تمام مشاہدات کا مجموعہ نکالتے ہیں اور اسے مشاہدات کی تعداد سے تقسیم کرتے ہیں۔

لہذا، اس معاملے میں، اوسط $=\frac{282}{6}=47$۔ اس طرح، ایک اننگ میں اوسط رنز 47 ہیں۔

حسابی اوسط کہاں واقع ہوتی ہے

کوشش کریں

آپ پورے ہفتے کے لیے اپنے مطالعہ کے گھنٹوں کا اوسط کیسے معلوم کریں گے؟

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

اوپر کی مثالوں میں دیے گئے ڈیٹا پر غور کریں اور مندرجہ ذیل پر سوچیں:

• کیا اوسط ہر مشاہدے سے بڑی ہے؟
• کیا یہ ہر مشاہدے سے چھوٹی ہے؟

اپنے دوستوں کے ساتھ بحث کریں۔ اس قسم کی ایک اور مثال بنائیں اور اسی سوالات کے جواب دیں۔

آپ دیکھیں گے کہ اوسط سب سے بڑے اور سب سے چھوٹے مشاہدے کے درمیان واقع ہوتی ہے۔

خاص طور پر، دو اعداد کی اوسط ہمیشہ ان دو اعداد کے درمیان ہوگی۔ مثال کے طور پر 5 اور 11 کی اوسط $\frac{5+11}{2}=8$ ہے، جو 5 اور 11 کے درمیان واقع ہے۔

کیا آپ اس خیال کو استعمال کر کے یہ دکھا سکتے ہیں کہ کسی دو کسری اعداد کے درمیان، آپ جتنے چاہیں کسری اعداد تلاش کر سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر $\frac{1}{2}$ اور $\frac{1}{4}$ کے درمیان ان کی اوسط $\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}{2}=\frac{3}{8}$ ہے اور پھر $\frac{1}{2}$ اور $\frac{3}{8}$ کے درمیان، ان کی اوسط $\frac{7}{16}$ ہے اور اسی طرح آگے۔

کوشش کریں

1. ایک ہفتے کے دوران آپ کے سونے کے گھنٹوں کا اوسط معلوم کریں۔

2. $\frac{1}{2}$ اور $\frac{1}{3}$ کے درمیان کم از کم 5 اعداد تلاش کریں۔

3.2.1 رینج (Range)

سب سے زیادہ اور سب سے کم مشاہدے کے درمیان فرق ہمیں مشاہدات کے پھیلاؤ (spread) کا اندازہ دیتا ہے۔ یہ سب سے کم مشاہدے کو سب سے زیادہ مشاہدے سے منفی کر کے معلوم کیا جا سکتا ہے۔ ہم نتیجے کو مشاہدات کا رینج کہتے ہیں۔ مندرجہ ذیل مثال دیکھیں:

مثال 3 ایک اسکول کے 10 اساتذہ کی عمریں سالوں میں یہ ہیں:

$ 32,41,28,54,35,26,23,33,38,40 $

(i) سب سے بوڑھے استاد اور سب سے چھوٹے استاد کی عمر کیا ہے؟

(ii) اساتذہ کی عمروں کا رینج کیا ہے؟

(iii) ان اساتذہ کی اوسط عمر کیا ہے؟

حل

(i) عمروں کو چڑھتے ترتیب میں ترتیب دینے پر، ہمیں ملتا ہے:

$23,26,28,32,33,35,38,40,41,54$

ہم دیکھتے ہیں کہ سب سے بوڑھے استاد کی عمر 54 سال ہے اور سب سے چھوٹے استاد کی عمر 23 سال ہے۔

(ii) اساتذہ کی عمروں کا رینج $=(54-23)$ سال $=31$ سال

(iii) اساتذہ کی اوسط عمر

$=\frac{23+26+28+32+33+35+38+40+41+54}{10}$ سال

$=\frac{350}{10}$ سال $=35$ سال

مشق 3.1

1. اپنی کلاس کے کسی دس طلبہ کی اونچائیوں کا رینج معلوم کریں۔

2. مندرجہ ذیل نمبروں کو کلاس اسسمنٹ میں، جدول کی شکل میں ترتیب دیں۔

$ 4,6,7,5,3,5,4,5,2,6,2,5,1,9,6,5,8,4,6,7 $

(i) کون سا نمبر سب سے زیادہ ہے؟

(ii) کون سا نمبر سب سے کم ہے؟

(iii) ڈیٹا کا رینج کیا ہے؟

(iv) حسابی اوسط معلوم کریں۔

3. پہلے پانچ مکمل اعداد (whole numbers) کا اوسط معلوم کریں۔

4. ایک کرکٹ کھلاڑی آٹھ اننگز میں مندرجہ ذیل رنز بناتا ہے:

$ 58,76,40,35,46,45,0,100 . $

اوسط اسکور معلوم کریں۔

5. مندرجہ ذیل جدول ہر کھلاڑی کے چار کھیلوں میں بنائے گئے پوائنٹس دکھاتا ہے:

اب مندرجہ ذیل سوالات کے جواب دیں:

(i) A کے فی کھیل اوسط پوائنٹس معلوم کرنے کے لیے اوسط معلوم کریں۔

(ii) $C$ کے لیے فی کھیل اوسط پوائنٹس معلوم کرنے کے لیے، کیا آپ کل پوائنٹس کو 3 سے تقسیم کریں گے یا 4 سے؟ کیوں؟

(iii) B نے تمام چاروں کھیل کھیلے۔ آپ اوسط کیسے معلوم کریں گے؟

(iv) بہترین کارکردگی کس کی ہے؟

6. ایک گروپ طلبہ کے سائنس ٹیسٹ میں حاصل کردہ نمبر (100 میں سے) 85, 76, $90,85,39,48,56,95,81$ اور 75 ہیں۔ معلوم کریں:

(i) طلبہ کے ذریعے حاصل کردہ سب سے زیادہ اور سب سے کم نمبر۔

(ii) حاصل کردہ نمبروں کا رینج۔

(iii) گروپ کے ذریعے حاصل کردہ اوسط نمبر۔

7. لگاتار چھ سالوں کے دوران ایک اسکول میں داخلہ مندرجہ ذیل تھا:

$1555,1670,1750,2013,2540,2820$

اس مدت کے لیے اسکول کا اوسط داخلہ معلوم کریں۔

8. ایک ہفتے کے 7 دنوں میں ایک شہر میں بارش ($mm$ میں) مندرجہ ذیل طور پر ریکارڈ کی گئی:

(i) اوپر کے ڈیٹا میں بارش کا رینج معلوم کریں۔

(ii) ہفتے کے لیے اوسط بارش معلوم کریں۔

(iii) کتنے دنوں میں بارش اوسط بارش سے کم تھی۔

9. 10 لڑکیوں کی اونچائیاں $~cm$ میں ناپی گئیں اور نتائج مندرجہ ذیل ہیں: 135, 150, 139, 128, 151, 132, 146, 149, 143, 141.

(i) سب سے لمبی لڑکی کی اونچائی کیا ہے؟

(ii) سب سے چھوٹی لڑکی کی اونچائی کیا ہے؟

(iii) ڈیٹا کا رینج کیا ہے؟

(iv) لڑکیوں کی اوسط اونچائی کیا ہے؟

(v) کتنی لڑکیوں کی اونچائی اوسط اونچائی سے زیادہ ہے۔

3.3 موڈ (Mode)

جیسا کہ ہم نے کہا، اوسط (mean) مرکزی رجحان کا واحد پیمانہ یا نمائندہ قدر کی واحد شکل نہیں ہے۔ ڈیٹا سے مختلف ضروریات کے لیے، مرکزی رجحان کے دیگر پیمانے استعمال ہوتے ہیں۔

مندرجہ ذیل مثال دیکھیں

مختلف سائز کی قمیضوں کی ہفتہ وار مانگ معلوم کرنے کے لیے، ایک دکاندار نے سائز $90 ~cm, 95 ~cm, 100 ~cm, 105 ~cm, 110 ~cm$ کی قمیضوں کی فروخت کا ریکارڈ رکھا۔ ایک ہفتے کا ریکارڈ مندرجہ ذیل ہے:

اگر اس نے فروخت ہونے والی قمیضوں کی اوسط تعداد معلوم کی، تو کیا آپ کے خیال میں وہ یہ فیصلہ کر پائے گا کہ اسٹاک میں کون سے قمیض کے سائز رکھنے ہیں؟

$ \text{ کل قمیضوں کی فروخت کا اوسط }=\frac{\text{ فروخت ہونے والی قمیضوں کی کل تعداد }}{\text{ قمیضوں کے مختلف سائز کی تعداد }}=\frac{105}{5}=21 $

کیا اسے ہر سائز کی 21 قمیضیں حاصل کرنی چاہئیں؟ اگر وہ ایسا کرتا ہے، تو کیا وہ گاہکوں کی ضروریات پوری کر پائے گا؟

دکاندار، ریکارڈ دیکھ کر، سائز $95 ~cm$, $100 ~cm, 105 ~cm$ کی قمیضیں حاصل کرنے کا فیصلہ کرتا ہے۔ اس نے دیگر سائز کی قمیضوں کی خریداری ملتوی کرنے کا فیصلہ کیا کیونکہ ان کے خریداروں کی تعداد کم ہے۔

ایک اور مثال دیکھیں

ایک ریڈی میڈ ڈریس شاپ کی مالکن کہتی ہے، “میں جو ڈریس کا سب سے مقبول سائز بیچتی ہوں وہ سائز $90 ~cm$ ہے۔

غور کریں کہ یہاں بھی، مالکن مختلف سائز کی فروخت ہونے والی قمیضوں کی تعداد کے بارے میں فکر مند ہے۔ تاہم وہ اس قمیض کے سائز کو دیکھ رہی ہے جو سب سے زیادہ فروخت ہوا ہے۔ یہ ڈیٹا کے لیے ایک اور نمائندہ قدر ہے۔ سب سے زیادہ وقوع پذیر ہونے والا واقعہ سائز $90 ~cm$ کی فروخت ہے۔ اس نمائندہ قدر کو ڈیٹا کا موڈ (mode) کہا جاتا ہے۔

مشاہدات کے ایک سیٹ کا موڈ وہ مشاہدہ ہے جو سب سے زیادہ کثرت سے وقوع پذیر ہوتا ہے۔

مثال 4 دیے گئے اعداد کے سیٹ کا موڈ معلوم کریں: 1, 1, 2, 4, 3, 2, 1, 2, 2, 4

حل

اعداد کو ایک جیسی اقدار کے ساتھ ترتیب دینے پر، ہمیں ملتا ہے

$ 1,1,1,2,2,2,2,3,4,4 $

اس ڈیٹا کا موڈ 2 ہے کیونکہ یہ دیگر مشاہدات کے مقابلے میں زیادہ کثرت سے وقوع پذیر ہوتا ہے۔

3.3.1 بڑے ڈیٹا کا موڈ

اگر مشاہدات کی تعداد بڑی ہو تو ایک جیسے مشاہدات کو اکٹھا کرنا اور انہیں گننا آسان نہیں ہے۔ ایسے معاملات میں ہم ڈیٹا کو جدول بندی (tabulate) کرتے ہیں۔ جدول بندی نشان لگا کر (tally marks) اور تعدد (frequency) معلوم کر کے شروع کی جا سکتی ہے، جیسا کہ آپ نے اپنی پچھلی کلاس میں کیا تھا۔ مندرجہ ذیل مثال دیکھیں:

مثال 5 مندرجہ ذیل ایک لیگ کے فٹ بال میچوں میں فتح کے مارجن ہیں۔

$ \begin{aligned} & 1,3,2,5,1,4,6,2,5,2,2,2,4,1,2,3,1,1,2,3,2 \\ & 6,4,3,2,1,1,4,2,1,5,3,3,2,3,2,4,2,1,2 \end{aligned} $

اس ڈیٹا کا موڈ معلوم کریں۔

حل

آئیے ڈیٹا کو جدولی شکل میں رکھتے ہیں:

ٹیبل دیکھ کر، ہم فوراً کہہ سکتے ہیں کہ 2 ‘موڈ’ ہے کیونکہ 2 سب سے زیادہ تعداد میں وقوع پذیر ہوا ہے۔ اس طرح، زیادہ تر میچ 2 گول کے فتح کے مارجن سے جیتے گئے ہیں۔

کوشش کریں

مندرجہ ذیل کا موڈ معلوم کریں

(i) $2,6,5,3,0,3,4,3,2,4,5$, 2,4

(ii) $2,14,16,12,14,14,16$, $14,10,14,18,14$

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

کیا اعداد کے ایک سیٹ کے ایک سے زیادہ موڈ ہو سکتے ہیں؟

مثال 6 اعداد کا موڈ معلوم کریں: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 8

حل

یہاں، 2 اور 5 دونوں تین بار وقوع پذیر ہوتے ہیں۔ لہذا، وہ دونوں ڈیٹا کے موڈ ہیں۔

یہ کریں

1. اپنے تمام ہم جماعتوں کی عمر سالوں میں ریکارڈ کریں۔ ڈیٹا کو جدول بنائیں اور موڈ معلوم کریں۔

2. اپنے ہم جماعتوں کی اونچائیاں سینٹی میٹر میں ریکارڈ کریں اور موڈ معلوم کریں۔

کوشش کریں

1. مندرجہ ذیل ڈیٹا کا موڈ معلوم کریں:

$12,14,12,16,15,13,14,18,19,12,14,15,16,15,16,16,15$,

$17,13,16,16,15,15,13,15,17,15,14,15,13,15,14$

2. 25 بچوں کی اونچائیاں ($~cm$ میں) مندرجہ ذیل ہیں:

$168,165,163,160,163,161,162,164,163,162,164,163,160,163,160$,

$165,163,162,163,164,163,160,165,163,162$

ان کی اونچائیوں کا موڈ کیا ہے؟ ہم یہاں موڈ سے کیا سمجھتے ہیں؟

جبکہ اوسط ہمیں ڈیٹا کے تمام مشاہدات کا اوسط دیتی ہے، موڈ وہ مشاہدہ دیتا ہے جو ڈیٹا میں سب سے زیادہ کثرت سے وقوع پذیر ہوتا ہے۔

آئیے مندرجہ ذیل مثالوں پر غور کریں:

(الف) آپ کو 25 افراد کے لیے دعوت پر بلائے گئے لوگوں کے لیے درکار چپاتیوں کی تعداد کا فیصلہ کرنا ہے۔

(ب) قمیضیں بیچنے والے دکاندار نے اپنا اسٹاک دوبارہ بھرنے کا فیصلہ کیا ہے۔

(ج) ہمیں اپنے گھر میں دروازے کی درکار اونچائی معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔

(د) جب پکنک پر جاتے ہوئے، اگر ہر ایک کے لیے صرف ایک پھل خریدا جا سکتا ہے، تو ہم کون سا پھل خریدیں گے۔

ان میں سے کن حالات میں ہم موڈ کو ایک اچھے تخمینے کے طور پر استعمال کر سکتے ہیں؟

پہلے بیان پر غور کریں۔ فرض کریں کہ ہر شخص کے لیے درکار چپاتیوں کی تعداد

ہے

$2,3,2,3,2,1,2,3,2,2,4,2,2,3,2,4,4,2,3,2,4,2,4,3,5$

ڈیٹا کا موڈ 2 چپاتیاں ہے۔ اگر ہم اس ڈیٹا کے لیے نمائندہ قدر کے طور پر موڈ استعمال کرتے ہیں، تو ہمیں صرف 50 چپاتیوں کی ضرورت ہے، 25 افراد میں سے ہر ایک کے لیے 2۔ تاہم کل تعداد واضح طور پر ناکافی ہوگی۔ کیا اوسط ایک مناسب نمائندہ قدر ہوگی؟

تیسرے بیان کے لیے دروازے کی اونچائی اس دروازے کو استعمال کرنے والے افراد کی اونچائی سے متعلق ہے۔ فرض کریں کہ 5 بچے اور 4 بالغ دروازہ استعمال کر رہے ہیں اور 5 بچوں میں سے ہر ایک کی اونچائی تقریباً 135 $~cm$ ہے۔ اونچائیوں کا موڈ $135 ~cm$ ہے۔ کیا ہمیں ایسا دروازہ لینا چاہیے جو $144 ~cm$ اونچا ہو؟ کیا تمام بالغ اس دروازے سے گزر پائیں گے؟ یہ واضح ہے کہ موڈ اس ڈیٹا کے لیے مناسب نمائندہ قدر نہیں ہے۔ کیا اوسط یہاں ایک مناسب نمائندہ قدر ہوگی؟

کیوں نہیں؟ دروازے کی اونچائی کا فیصلہ کرنے کے لیے اونچائی کی کون سی نمائندہ قدر استعمال ہونی چاہیے؟

اسی طرح باقی بیانات کا تجزیہ کریں اور اس مسئلے کے لیے مفید نمائندہ قدر تلاش کریں۔

کوشش کریں

اپنے دوستوں کے ساتھ بحث کریں اور دیں

(الف) دو حالات جہاں اوسط استعمال کرنے کے لیے ایک مناسب نمائندہ قدر ہوگی، اور

(ب) دو حالات جہاں موڈ استعمال کرنے کے لیے ایک مناسب نمائندہ قدر ہوگا۔

3.4 میڈین (Median)

ہم نے دیکھا ہے کہ کچھ حالات میں، حسابی اوسط مرکزی رجحان کا ایک مناسب پیمانہ ہے جبکہ کچھ دیگر حالات میں، موڈ مرکزی رجحان کا مناسب پیمانہ ہے۔

آئیے اب ایک اور مثال دیکھتے ہیں۔ 17 طلبہ کے ایک گروپ پر غور کریں جن کی اونچائیاں (سینٹی میٹر میں) یہ ہیں: 106, 110, 123, 125, 117, 120, 112, 115, 110, 120, 115, 102, 115, 115, 109, 115, 101 .

کھیلوں کے استاد کلاس کو دو گروپوں میں تقسیم کرنا چاہتے ہیں تاکہ ہر گروپ میں طلبہ کی برابر تعداد ہو، ایک گروپ میں طلبہ ہوں جن کی اونچائی ایک خاص اونچائی سے کم ہو اور دوسرے گروپ میں طلبہ ہوں جن کی اونچائیاں اس خاص اونچائی سے زیادہ ہوں۔ وہ یہ کیسے کریں گے؟

آئیے دیکھتے ہیں کہ ان کے پاس مختلف آپشنز کیا ہیں:

(i) وہ اوسط معلوم کر سکتے ہیں۔ اوسط ہے

$ \begin{aligned} & \frac{106+110+123+125+117+120+112+115+110+120+115+102+115+115+109+115+101}{17} \\ & =\frac{1930}{17}=113.5 \end{aligned} $

لہذا، اگر استاد طلبہ کو اس اوسط اونچائی کی بنیاد پر دو گروپوں میں تقسیم کرتے ہیں، اس طرح کہ ایک گروپ میں طلبہ کی اونچائی اوسط اونچائی سے کم ہو اور دوسرے گروپ میں طلبہ کی اونچائی اوسط اونچائی سے زیادہ ہو، تو گروپ غیر مساوی سائز کے ہوں گے۔ ان میں بالترتیب 7 اور 10 ارکان ہوں گے۔

(ii) ان کا دوسرا آپشن موڈ معلوم کرنا ہے۔ سب سے زیادہ تعدد والا مشاہدہ $115 ~cm$ ہے، جسے موڈ کے طور پر لیا جائے گا۔

موڈ سے نیچے 7 بچے ہیں اور موڈ پر اور موڈ سے اوپر 10 بچے ہیں۔ لہذا، ہم گروپ کو برابر حصوں میں تقسیم نہیں کر سکتے۔

آئیے اس لیے متبادل نمائندہ قدر یا مرکزی رجحان کے پیمانے کے بارے میں سوچتے ہیں۔ ایسا کرنے کے لیے ہم دوبارہ طلبہ کی دی گئی اونچائیوں ($~cm$ میں) کو دیکھتے ہیں اور انہیں چڑھتے ترتیب میں ترتیب دیتے ہیں۔ ہمارے پاس مندرجہ ذیل مشاہدات ہیں:

$101,102,106,109,110,110,112,115,115,115,115,115,117,120,120,123,125$

اس ڈیٹا میں درمیانی قدر 115 ہے کیونکہ یہ قدر

کوشش کریں

آپ کے دوست نے دیے گئے ڈیٹا کا میڈین اور موڈ معلوم کیا۔ اگر کوئی غلطی ہو تو اپنے دوست کی غلطی بیان کریں اور درست کریں:

$35,32,35,42,38,32,34$

میڈین $=42$, موڈ $=32$ طلبہ کو 8-8 طلبہ کے دو برابر گروپوں میں تقسیم کرتی ہے۔ اس قدر کو میڈین کہا جاتا ہے۔ میڈین اس قدر کی طرف اشارہ کرتی ہے جو ڈیٹا کے درمیان میں واقع ہوتی ہے (جب اسے بڑھتے یا گھٹتے ترتیب میں ترتیب دیا جائے) جس کے آدھے مشاہدات اس کے اوپر ہوں اور آدھے اس کے نیچے۔ کھیلوں کا استاد کھیل میں درمیانے طالب علم کو ریفری رکھنے کا فیصلہ کرتا ہے۔

یہاں، ہم صرف ان معاملات پر غور کرتے ہیں جہاں مشاہدات کی تعداد طاق (odd) ہو۔

اس طرح، دیے گئے ڈیٹا میں، جو چڑھتے یا اترتے ترتیب میں ترتیب دیا گیا ہو، میڈین ہمیں درمیانی مشاہدہ دیتی ہے۔

نوٹ کریں کہ عام طور پر، ہمیں میڈین اور موڈ کے لیے ایک جیسی قدر نہیں مل سکتی۔

اس طرح ہم سمجھتے ہیں کہ اوسط، موڈ اور میڈین وہ اعداد ہیں جو مشاہدات یا ڈیٹا کے ایک گروپ کی نمائندہ اقدار ہیں۔ وہ ڈیٹا کی کم از کم اور زیادہ سے زیادہ اقدار کے درمیان واقع ہوتی ہیں۔ انہیں مرکزی رجحان کے پیمانے بھی کہا جاتا ہے۔

مثال 7 ڈیٹا کا میڈین معلوم کریں: 24, 36, 46, 17, 18, 25, 35

حل

ہم ڈیٹا کو چڑھتے ترتیب میں ترتیب دیتے ہیں، ہمیں ملتا ہے 17, 18, 24, 25, 35, 36, 46

میڈین درمیانی مشاہدہ ہے۔ لہذا 25 میڈین ہے۔

مشق 3.2

1. 15 طلبہ کے ریاضی کے ٹیسٹ (25 میں سے) میں نمبر یہ ہیں:

$ 19,25,23,20,9,20,15,10,5,16,25,20,24,12,20 $

اس ڈیٹا کا موڈ اور میڈین معلوم کریں۔ کیا وہ ایک جیسے ہیں؟

2. 11 کھلاڑیوں کے ذریعے ایک کرکٹ میچ میں بنائے گئے رنز یہ ہیں:

$ 6,15,120,50,100,80,10,15,8,10,15 $

اس ڈیٹا کا اوسط، موڈ اور میڈین معلوم کریں۔ کیا تینوں ایک جیسے ہیں؟

3. ایک کلاس کے 15 طلبہ کے وزن ($kg$ میں) یہ ہیں:

$ 38,42,35,37,45,50,32,43,43,40,36,38,43,38,47 $

(i) اس ڈیٹا کا موڈ اور میڈین معلوم کریں۔

(ii) کیا ایک سے زیادہ موڈ ہیں؟

4. ڈیٹا کا موڈ اور میڈین معلوم کریں: $13,16,12,14,19,12,14,13,14$

5. بتائیں کہ بیان درست ہے یا غلط:

(i) موڈ ہمیشہ ڈیٹا میں موجود اعداد میں سے ایک ہوتا ہے۔

(ii) اوسط ڈیٹا میں موجود اعداد میں سے ا