৫.১ ভূমিকা

তুমি ইতিমধ্যেই জানো কিভাবে একটি প্রদত্ত আকৃতিতে বিভিন্ন রেখা, রেখাংশ এবং কোণ চিহ্নিত করতে হয়। নিচের চিত্রগুলিতে গঠিত বিভিন্ন রেখাংশ এবং কোণ তুমি চিহ্নিত করতে পারো কি? (চিত্র ৫.১)

তুমি কি এটাও চিহ্নিত করতে পারো যে গঠিত কোণগুলি সূক্ষ্মকোণ, স্থূলকোণ না সমকোণ?

মনে রেখো, একটি রেখাংশের দুটি প্রান্তবিন্দু থাকে। যদি আমরা দুটি প্রান্তবিন্দুকে যেকোনো দিকে অনন্ত পর্যন্ত বর্ধিত করি, তাহলে আমরা একটি রেখা পাই। সুতরাং, আমরা বলতে পারি একটি রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই। অন্যদিকে, মনে রেখো একটি রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু থাকে (অর্থাৎ তার প্রারম্ভিক বিন্দু)। উদাহরণস্বরূপ, নিচে প্রদত্ত চিত্রগুলি দেখো:

এখানে, চিত্র ৫.২ (i) একটি রেখাংশ দেখাচ্ছে, চিত্র ৫.২ (ii) একটি রেখা দেখাচ্ছে এবং চিত্র ৫.২ (iii) একটি রশ্মির চিত্র। একটি রেখাংশ $PQ$ সাধারণত $\overline{PQ}$ চিহ্ন দ্বারা, একটি রেখা $AB$ $\overrightarrow{{}AB}$ চিহ্ন দ্বারা এবং OP রশ্মি $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। তোমার দৈনন্দিন জীবনের কিছু রেখাংশ এবং রশ্মির উদাহরণ দাও এবং সেগুলি তোমার বন্ধুদের সাথে আলোচনা করো।

আবার মনে রেখো, যখন রেখা বা রেখাংশগুলি মিলিত হয় তখন একটি কোণ গঠিত হয়। চিত্র ৫.১-এ, কোণগুলি লক্ষ্য করো। এই কোণগুলি গঠিত হয় যখন দুটি রেখা বা রেখাংশ একটি বিন্দুতে ছেদ করে। উদাহরণস্বরূপ, নিচে প্রদত্ত চিত্রগুলি দেখো:

চিত্র ৫.৩ (i)-এ রেখাংশ $AB$ এবং $BC$ $B$ বিন্দুতে ছেদ করে $A B C$ কোণ গঠন করেছে, এবং আবার রেখাংশ $B C$ এবং $A C$ $C$ বিন্দুতে ছেদ করে $ACB$ কোণ গঠন করেছে ইত্যাদি। অন্যদিকে, চিত্র ৫.৩ (ii)-এ রেখা $PQ$ এবং $RS$ $O$ বিন্দুতে ছেদ করে চারটি কোণ POS, SOQ, QOR এবং ROP গঠন করেছে। একটি কোণ ABC কে $\angle ABC$ চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সুতরাং, চিত্র ৫.৩ (i)-এ, গঠিত তিনটি কোণ হল $\angle ABC, \angle BCA$ এবং $\angle BAC$, এবং চিত্র ৫.৩ (ii)-এ, গঠিত চারটি কোণ হল $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ এবং $\angle POR$। তুমি ইতিমধ্যেই

চেষ্টা করো

তোমার চারপাশের দশটি বস্তুর তালিকা করো এবং তাদের মধ্যে পাওয়া সূক্ষ্মকোণ, স্থূলকোণ এবং সমকোণ চিহ্নিত করো। কোণগুলিকে সূক্ষ্মকোণ, স্থূলকোণ বা সমকোণ হিসেবে শ্রেণীবিভাগ করা শিখেছো।

দ্রষ্টব্য: একটি কোণ $ABC$-এর পরিমাপ উল্লেখ করার সময়, আমরা $m \angle ABC$ কে শুধু $\angle ABC$ হিসেবে লিখব। প্রসঙ্গই স্পষ্ট করে দেবে, আমরা কোণটিকে নাকি তার পরিমাপকে উল্লেখ করছি।

৫.২ সম্পর্কিত কোণ

৫.২.১ পূরক কোণ

যখন দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি $90^{\circ}$ হয়, তখন কোণগুলিকে পূরক কোণ বলে।

এই দুটি কোণ কি পূরক?

চিত্র ৫.৪

না

যখনই দুটি কোণ পূরক হয়, প্রতিটি কোণকে অপর কোণের পূরক বলা হয়। উপরের চিত্রে (চিত্র ৫.৪), ‘$30^{\circ}$ কোণ’ হল ‘$60^{\circ}$ কোণ’-এর পূরক এবং বিপরীতক্রমে।

ভাবো, আলোচনা করো এবং লেখো

১. দুটি সূক্ষ্মকোণ কি একে অপরের পূরক হতে পারে?

২. দুটি স্থূলকোণ কি একে অপরের পূরক হতে পারে?

৩. দুটি সমকোণ কি একে অপরের পূরক হতে পারে?

চেষ্টা করো

১. নিচের কোন কোন কোণের জোড়া পূরক? (চিত্র ৫.৫)

২. নিচের প্রতিটি কোণের পূরক কোণের পরিমাপ কত?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

৩. দুটি পূরক কোণের পরিমাপের পার্থক্য $12^{\circ}$। কোণগুলির পরিমাপ নির্ণয় করো।

৫.২.২ সম্পূরক কোণ

আসুন এখন নিচের কোণের জোড়াগুলি দেখি (চিত্র ৫.৬):

তুমি কি লক্ষ্য করছ যে উপরের প্রতিটি জোড়ার (চিত্র ৫.৬) কোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি $180^{\circ}$ হয়? এই ধরনের কোণের জোড়াকে সম্পূরক কোণ বলে। যখন দুটি কোণ সম্পূরক হয়, প্রতিটি কোণকে অপর কোণের সম্পূরক বলা হয়।

ভাবো, আলোচনা করো এবং লেখো

১. দুটি স্থূলকোণ কি সম্পূরক হতে পারে?

২. দুটি সূক্ষ্মকোণ কি সম্পূরক হতে পারে?

৩. দুটি সমকোণ কি সম্পূরক হতে পারে?

চেষ্টা করো

১. চিত্র ৫.৭-এ সম্পূরক কোণের জোড়াগুলি খুঁজে বের করো:

২. নিচের প্রতিটি কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাপ কত হবে?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

৩. দুটি সম্পূরক কোণের মধ্যে বড় কোণের পরিমাপ ছোট কোণের পরিমাপের চেয়ে $44^{\circ}$ বেশি। তাদের পরিমাপ নির্ণয় করো।

অনুশীলনী ৫.১

১. নিচের প্রতিটি কোণের পূরক কোণ নির্ণয় করো:

২. নিচের প্রতিটি কোণের সম্পূরক কোণ নির্ণয় করো:

(iii)

৩. চিহ্নিত করো নিচের কোন কোন কোণের জোড়া পূরক এবং কোনগুলি সম্পূরক।

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

৪. সেই কোণটি নির্ণয় করো যা তার পূরক কোণের সমান।

৫. সেই কোণটি নির্ণয় করো যা তার সম্পূরক কোণের সমান।

৬. প্রদত্ত চিত্রে, $\angle 1$ এবং $\angle 2$ সম্পূরক কোণ।

যদি $\angle 1$ কমানো হয়, তাহলে $\angle 2$-এ কী পরিবর্তন আনতে হবে যাতে উভয় কোণই সম্পূরক থাকে।

৭. দুটি কোণ কি সম্পূরক হতে পারে যদি উভয়েই হয়:

(i) সূক্ষ্মকোণ?

(ii) স্থূলকোণ?

(iii) সমকোণ?

৮. একটি কোণ $45^{\circ}$-এর চেয়ে বড়। এর পূরক কোণটি কি $45^{\circ}$-এর চেয়ে বড়, না $45^{\circ}$-এর সমান, না $45^{\circ}$-এর চেয়ে ছোট?

৯. শূন্যস্থান পূরণ করো:

(i) যদি দুটি কোণ পূরক হয়, তাহলে তাদের পরিমাপের সমষ্টি _______

(ii) যদি দুটি কোণ সম্পূরক হয়, তাহলে তাদের পরিমাপের সমষ্টি _______

(iii) যদি দুটি সন্নিহিত কোণ সম্পূরক হয়, তারা একটি _______ গঠন করে।

১০. সংলগ্ন চিত্রে, নিচের কোণের জোড়াগুলির নাম লেখো।

(i) স্থূল উল্লম্ব বিপ্রতীপ কোণ

(ii) সন্নিহিত পূরক কোণ

(iii) সমান সম্পূরক কোণ

(iv) অসমান সম্পূরক কোণ

(v) সন্নিহিত কোণ যা একটি রৈখিক যুগল গঠন করে না

৫.৩ রেখার জোড়া

৫.৩.১ ছেদকারী রেখা

চিত্র ৫.৮

তার স্ট্যান্ডে রাখা ব্ল্যাকবোর্ড, রেখাংশ দিয়ে তৈরি Y অক্ষর এবং একটি জানালার গ্রিল-দরজা (চিত্র ৫.৮), এগুলির মধ্যে সাধারণ কী? এগুলি হল ছেদকারী রেখার উদাহরণ।

দুটি রেখা $l$ এবং $m$ ছেদ করে যদি তাদের একটি সাধারণ বিন্দু থাকে। এই সাধারণ বিন্দু $O$ হল তাদের ছেদবিন্দু।

ভাবো, আলোচনা করো এবং লেখো

চিত্র ৫.৯-এ, $AC$ এবং $BE$ $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$AC$ এবং $BC$ $C, AC$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং $EC$ $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।

আরও দশ জোড়া ছেদকারী রেখাংশ খুঁজে বের করার চেষ্টা করো।

কোনো দুটি রেখা বা রেখাংশ কি অগত্যা ছেদ করবে? চিত্রে ছেদবিহীন রেখাংশের দুটি জোড়া খুঁজে পেতে পারো কি?

দুটি রেখা কি একাধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে? এটা নিয়ে ভাবো।

চিত্র ৫.৯

চেষ্টা করো

১. তোমার চারপাশ থেকে এমন উদাহরণ খুঁজে বের করো যেখানে রেখাগুলি সমকোণে ছেদ করে।

২. একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে ছেদকারী রেখাগুলি দ্বারা গঠিত কোণগুলির পরিমাপ নির্ণয় করো।

৩. যেকোনো আয়তক্ষেত্র আঁকো এবং ছেদকারী রেখাগুলি দ্বারা চারটি শীর্ষবিন্দুতে গঠিত কোণগুলির পরিমাপ নির্ণয় করো।

৪. যদি দুটি রেখা ছেদ করে, তারা কি সর্বদা সমকোণে ছেদ করে?

৫.৩.২ ছেদক

তুমি হয়তো দেখেছ একটি রাস্তা দুটি বা ততোধিক রাস্তাকে অতিক্রম করছে বা একটি রেললাইন বেশ কয়েকটি অন্য লাইনকে অতিক্রম করছে (চিত্র ৫.১০)। এগুলি একটি ছেদকের ধারণা দেয়।

একটি রেখা যা দুটি বা ততোধিক রেখাকে পৃথক বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ছেদক বলে।

চিত্র ৫.১১-এ, $p$ হল রেখা $l$ এবং $m$-এর একটি ছেদক।

চিত্র ৫.১২-এ রেখা $p$ একটি ছেদক নয়, যদিও এটি দুটি রেখা $l$ এবং $m$ কে ছেদ করে। তুমি বলতে পারো ‘কেন’?

৫.৩.৩ একটি ছেদক দ্বারা গঠিত কোণ

চিত্র ৫.১৩-এ, তুমি দেখছ রেখা $l$ এবং $m$ ছেদক $p$ দ্বারা ছেদিত হয়েছে। ১ থেকে ৮ পর্যন্ত চিহ্নিত আটটি কোণের বিশেষ নাম আছে:

চিত্র ৫.১৩

চেষ্টা করো

১. মনে করো দুটি রেখা দেওয়া আছে। এই রেখাগুলির জন্য তুমি কতগুলি ছেদক আঁকতে পারো?

২. যদি একটি রেখা তিনটি রেখার ছেদক হয়, তাহলে কতগুলি ছেদবিন্দু আছে?

৩. তোমার চারপাশে কয়েকটি ছেদক চিহ্নিত করার চেষ্টা করো।

দ্রষ্টব্য: অনুরূপ কোণ (যেমন চিত্র ৫.১৪-এ $\angle 1$ এবং $\angle 5$) অন্তর্ভুক্ত করে

(i) ভিন্ন শীর্ষবিন্দু

(ii) ছেদকের একই পাশে থাকে এবং

(iii) দুটি রেখার সাপেক্ষে ‘অনুরূপ’ অবস্থানে (উপরে বা নিচে, বাম বা ডান) থাকে।

একান্তর অন্তঃস্থ কোণ (যেমন চিত্র ৫.১৫-এ $\angle 3$ এবং $\angle 6$)

(i) ভিন্ন শীর্ষবিন্দু থাকে

(ii) ছেদকের বিপরীত পাশে থাকে এবং

(iii) দুটি রেখার ‘মধ্যে’ অবস্থান করে।

চিত্র ৫.১৫

চেষ্টা করো

প্রতিটি চিত্রে কোণের জোড়াগুলির নাম লেখো:

৫.৩.৪ সমান্তরাল রেখার ছেদক

তুমি কি মনে রেখেছ সমান্তরাল রেখা কী? তারা হল একটি সমতলের উপর এমন রেখা যা কোথাও মিলিত হয় না। তুমি কি নিচের চিত্রগুলিতে সমান্তরাল রেখা চিহ্নিত করতে পারো? (চিত্র ৫.১৬)

সমান্তরাল রেখার ছেদক বেশ আকর্ষণীয় ফলাফল দেয়।

এটা করো

একটি দাগকাটা কাগজের পাতা নাও। (গাঢ় রঙে) দুটি সমান্তরাল রেখা $l$ এবং $m$ আঁকো।

রেখা $l$ এবং $m$-এর একটি ছেদক $t$ আঁকো। $\angle 1$ এবং $\angle 2$ কে দেখানো হয়েছে এমনভাবে চিহ্নিত করো [চিত্র ৫.১৭(i)]। আঁকা চিত্রের উপর একটি ট্রেসিং পেপার রাখো। রেখা $l, m$ এবং $t$ ট্রেস করো।

$t$ বরাবর ট্রেসিং পেপারটি স্লাইড করো, যতক্ষণ না $l$ $m$-এর সাথে মিলে যায়।

তুমি দেখবে ট্রেস করা চিত্রের $\angle 1$ মূল চিত্রের $\angle 2$-এর সাথে মিলে যায়।

আসলে, তুমি অনুরূপ ট্রেসিং এবং স্লাইডিং কার্যকলাপের মাধ্যমে নিচের সব ফলাফল দেখতে পাবে।

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

এই কার্যকলাপটি নিচের সত্যটি ব্যাখ্যা করে:

যদি দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি ছেদক কর্তন করে, তাহলে অনুরূপ কোণের প্রতিটি জোড়ার পরিমাপ সমান হয়।

আমরা এই ফলাফল ব্যবহার করে আরেকটি আকর্ষণীয় ফলাফল পাই। চিত্র ৫.১৮ দেখো।

যখন $t$ সমান্তরাল রেখাগুলিকে, $l, m$, কর্তন করে, আমরা পাই, $\angle 3=\angle 7$ (উল্লম্ব বিপ্রতীপ কোণ)।

কিন্তু $\angle 7=\angle 8$ (অনুরূপ কোণ)। সুতরাং, $\angle 3=\angle 8$

তুমি একইভাবে দেখাতে পারো যে $\angle 1=\angle 6$। সুতরাং, আমাদের নিচের ফলাফলটি আছে:

যদি দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি ছেদক কর্তন করে, তাহলে একান্তর অন্তঃস্থ কোণের প্রতিটি জোড়া সমান হয়।

এই দ্বিতীয় ফলাফল আরেকটি আকর্ষণীয় ধর্মের দিকে নিয়ে যায়। আবার, চিত্র ৫.১৮ থেকে।

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ($\angle 3$ এবং $\angle 1$ একটি রৈখিক যুগল গঠন করে)

কিন্তু $\angle 1=\angle 6$ (একান্তর অন্তঃস্থ কোণের একটি জোড়া)

সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$।

একইভাবে, $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$। সুতরাং, আমরা নিচের ফলাফলটি পাই:

যদি দুটি সমান্তরাল রেখাকে একটি ছেদক কর্তন করে, তাহলে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের প্রতিটি জোড়া সম্পূরক হয়।

তুমি খুব সহজেই এই ফলাফলগুলি মনে রাখতে পারবে যদি তুমি প্রাসঙ্গিক ‘আকৃতি’ খুঁজে দেখো।

এটা করো

এক জোড়া সমান্তরাল রেখা এবং একটি ছেদক আঁকো। কোণগুলি প্রকৃতপক্ষে মেপে উপরের তিনটি বিবৃতি যাচাই করো।

চেষ্টা করো

৫.৪ সমান্তরাল রেখা পরীক্ষা করা

যদি দুটি রেখা সমান্তরাল হয়, তাহলে তুমি জানো যে একটি ছেদক সমান অনুরূপ কোণের জোড়া, সমান একান্তর অন্তঃস্থ কোণ এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণগুলিকে সম্পূরক করে তোলে।

যখন দুটি রেখা দেওয়া থাকে, তারা সমান্তরাল কি না তা পরীক্ষা করার কোনো পদ্ধতি আছে কি? জীবনের অনেক দিকনির্দেশক পরিস্থিতিতে তোমার এই দক্ষতার প্রয়োজন হয়।

একজন ড্রাফটসম্যান একটি কাঠমিস্ত্রির বর্গক্ষেত্র এবং একটি সরেজমিন (রুলার) ব্যবহার করে এই রেখাংশগুলি আঁকে (চিত্র ৫.১৯)। তিনি দাবি করেন তারা সমান্তরাল। কীভাবে?

তুমি কি দেখতে পাচ্ছ যে তিনি অনুরূপ কোণগুলিকে সমান রেখেছেন? (এখানে ছেদক কী?)

সুতরাং, যখন একটি ছেদক দুটি রেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যে অনুরূপ কোণের জোড়াগুলি সমান হয়, তখন রেখাগুলিকে সমান্তরাল হতে হয়।

Z অক্ষরটি দেখো (চিত্র ৫.২০)। এখানে অনুভূমিক রেখাংশগুলি সমান্তরাল, কারণ একান্তর কোণগুলি সমান।

যখন একটি ছেদক দুটি রেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যে একান্তর অন্তঃস্থ কোণের জোড়াগুলি সমান হয়, রেখাগুলিকে সমান্তরাল হতে হয়।

চিত্র ৫.১৯

চিত্র ৫.২০

একটি রেখা $l$ আঁকো (চিত্র ৫.২১)।

একটি রেখা $m$ আঁকো, যা $l$-এর উপর লম্ব। আবার একটি রেখা $p$ আঁকো, এমনভাবে যেন $p$ $m$-এর উপর লম্ব হয়।

সুতরাং, $p$ হল $l$-এর উপর একটি লম্বের উপর লম্ব।

তুমি পাবে $p | l$। কীভাবে? এটি কারণ তুমি $p$ এমনভাবে আঁকছ যে $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$।

চিত্র ৫.২১

সুতরাং, যখন একটি ছেদক দুটি রেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যে ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের জোড়াগুলি সম্পূরক হয়, রেখাগুলিকে সমান্তরাল হতে হয়।

চেষ্টা করো

অনুশীলনী ৫.২

১. নিচের প্রতিটি বিবৃতিতে কোন ধর্ম ব্যবহৃত হয়েছে তা উল্লেখ করো?

(i) যদি $a || b$, তাহলে $\angle 1=\angle 5$।

(ii) যদি $\angle 4=\angle 6$, তাহলে $a \ || b$।

(iii) যদি $\angle 4+\angle 5=180^{\circ}$, তাহলে $a \ || b$।

২. সংলগ্ন চিত্রে, চিহ্নিত করো

(i) অনুরূপ কোণের জোড়াগুলি।

(ii) একান্তর অন্তঃস্থ কোণের জোড়াগুলি।

(iii) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণের জোড়াগুলি।

(iv) উল্লম্ব বিপ্রতীপ কোণগুলি।

৩. সংলগ্ন চিত্রে, $p || q$। অজানা কোণগুলি নির্ণয় করো।

৪. নিচের প্রতিটি চিত্রে $x$-এর মান নির্ণয় করো যদি $l || m$।

৫. প্রদত্ত চিত্রে, দুটি কোণের বাহুগুলি সমান্তরাল।

যদি $\angle ABC=70^{\circ}$, তাহলে নির্ণয় করো

(i) $\angle DGC$

(ii) $\angle DEF$

৬. নিচের প্রদত্ত চিত্রগুলিতে, সিদ্ধান্ত নাও $l$ কি $m$-এর সমান্তরাল।

আমরা কী আলোচনা করেছি?

১. আমরা স্মরণ করি যে (i) একটি রেখাংশের দুটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

(ii) একটি রশ্মির শুধুমাত্র একটি প্রান্তবিন্দু থাকে (তার প্রারম্ভিক বিন্দু); এবং

(iii) একটি রেখার উভয় পাশে কোন প্রান্তবিন্দু থাকে না।

২. যখন দুটি রেখা $l$ এবং $m$ মিলিত হয়, আমরা বলি তারা ছেদ করে; মিলিত বিন্দুটিকে ছেদবিন্দু বলে।

যখন কাগজের একটি পাতায় আঁকা রেখাগুলি মিলিত হয় না, যতদূরই বর্ধিত করা হোক না কেন, আমরা তাদের সমান্তরাল রেখা বলি।