5.1 تعارف

آپ پہلے سے ہی جانتے ہیں کہ کسی دی گئی شکل میں مختلف خطوط، خطی قطعات اور زاویوں کی شناخت کیسے کی جاتی ہے۔ کیا آپ مندرجہ ذیل اشکال میں بننے والے مختلف خطی قطعات اور زاویوں کی شناخت کر سکتے ہیں؟ (شکل 5.1)

کیا آپ یہ بھی شناخت کر سکتے ہیں کہ بننے والے زاویے حادہ ہیں یا منفرجہ یا قائمہ؟

یاد کریں کہ ایک خطی قطعہ کے دو نقطہ ہائے انتہا ہوتے ہیں۔ اگر ہم دونوں نقطہ ہائے انتہا کو کسی بھی سمت میں لامتناہی طور پر بڑھائیں تو ہمیں ایک خط ملتا ہے۔ اس طرح، ہم کہہ سکتے ہیں کہ ایک خط کا کوئی نقطہ انتہا نہیں ہوتا۔ دوسری طرف، یاد کریں کہ ایک شعاع کا ایک نقطہ انتہا ہوتا ہے (یعنی اس کا نقطہ آغاز)۔ مثال کے طور پر، نیچے دی گئی اشکال کو دیکھیں:

یہاں، شکل 5.2 (i) ایک خطی قطعہ دکھاتی ہے، شکل 5.2 (ii) ایک خط دکھاتی ہے اور شکل 5.2 (iii) ایک شعاع کی ہے۔ ایک خطی قطعہ $PQ$ کو عام طور پر علامت $\overline{PQ}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، ایک خط $AB$ کو علامت $\overrightarrow{{}AB}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے اور شعاع OP کو $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اپنی روزمرہ زندگی سے خطی قطعات اور شعاعوں کی کچھ مثالیں دیں اور ان پر اپنے دوستوں کے ساتھ بحث کریں۔

پھر یاد کریں کہ جب خطوط یا خطی قطعات ملتے ہیں تو ایک زاویہ بنتا ہے۔ شکل 5.1 میں، کونوں کو مشاہدہ کریں۔ یہ کونے اس وقت بنتے ہیں جب دو خطوط یا خطی قطعات ایک نقطہ پر ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، نیچے دی گئی اشکال کو دیکھیں:

شکل 5.3 (i) میں خطی قطعات $AB$ اور $BC$، $B$ پر ایک دوسرے کو قطع کر کے زاویہ $A B C$ بناتے ہیں، اور پھر خطی قطعات $B C$ اور $A C$، $C$ پر ایک دوسرے کو قطع کر کے زاویہ $ACB$ بناتے ہیں اور اسی طرح۔ جبکہ، شکل 5.3 (ii) میں خطوط $PQ$ اور $RS$، $O$ پر ایک دوسرے کو قطع کر کے چار زاویے POS، SOQ، QOR اور ROP بناتے ہیں۔ ایک زاویہ ABC کو علامت $\angle ABC$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس طرح، شکل 5.3 (i) میں، بننے والے تین زاویے $\angle ABC, \angle BCA$ اور $\angle BAC$ ہیں، اور شکل 5.3 (ii) میں، بننے والے چار زاویے $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ اور $\angle POR$ ہیں۔ آپ پہلے ہی

یہ کریں

اپنے اردگرد دس اشکال کی فہرست بنائیں اور ان میں پائے جانے والے حادہ، منفرجہ اور قائمہ زاویوں کی شناخت کریں۔ یہ پڑھ چکے ہیں کہ زاویوں کو حادہ، منفرجہ یا قائمہ زاویہ کے طور پر کیسے درجہ بندی کیا جاتا ہے۔

نوٹ: جب کسی زاویہ $ABC$ کی پیمائش کا حوالہ دیا جائے گا، تو ہم $m \angle ABC$ کو صرف $\angle ABC$ لکھیں گے۔ سیاق و سباق سے واضح ہو جائے گا کہ ہم زاویہ کا حوالہ دے رہے ہیں یا اس کی پیمائش کا۔

5.2 متعلقہ زاویے

5.2.1 تکمیلی زاویے

جب دو زاویوں کی پیمائشوں کا مجموعہ $90^{\circ}$ ہو، تو زاویوں کو تکمیلی زاویے کہتے ہیں۔

کیا یہ دونوں زاویے تکمیلی ہیں؟

شکل 5.4

نہیں

جب بھی دو زاویے تکمیلی ہوں، ہر زاویہ دوسرے زاویے کا تکملہ کہلاتا ہے۔ اوپر کے نقشے (شکل 5.4) میں، ‘$30^{\circ}$ زاویہ’، ‘$60^{\circ}$ زاویہ’ کا تکملہ ہے اور اس کے برعکس۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. کیا دو حادہ زاویے ایک دوسرے کے تکملہ ہو سکتے ہیں؟

2. کیا دو منفرجہ زاویے ایک دوسرے کے تکملہ ہو سکتے ہیں؟

3. کیا دو قائمہ زاویے ایک دوسرے کے تکملہ ہو سکتے ہیں؟

یہ کریں

1. مندرجہ ذیل زاویوں میں سے کون سے جوڑے تکمیلی ہیں؟ (شکل 5.5)

2. مندرجہ ذیل ہر زاویے کے تکملہ کی پیمائش کیا ہے؟

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. دو تکمیلی زاویوں کی پیمائشوں میں فرق $12^{\circ}$ ہے۔ زاویوں کی پیمائشیں معلوم کریں۔

5.2.2 متمم زاویے

آئیے اب زاویوں کے مندرجہ ذیل جوڑوں پر نظر ڈالتے ہیں (شکل 5.6):

کیا آپ نے غور کیا کہ اوپر کے ہر جوڑ (شکل 5.6) میں زاویوں کی پیمائشوں کا مجموعہ $180^{\circ}$ بنتا ہے؟ زاویوں کے ایسے جوڑوں کو متمم زاویے کہتے ہیں۔ جب دو زاویے متمم ہوں، تو ہر زاویہ دوسرے کا متمم کہلاتا ہے۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

1. کیا دو منفرجہ زاویے متمم ہو سکتے ہیں؟

2. کیا دو حادہ زاویے متمم ہو سکتے ہیں؟

3. کیا دو قائمہ زاویے متمم ہو سکتے ہیں؟

یہ کریں

1. شکل 5.7 میں متمم زاویوں کے جوڑے تلاش کریں:

2. مندرجہ ذیل ہر زاویے کے متمم کی پیمائش کیا ہوگی؟

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. دو متمم زاویوں میں سے بڑے زاویے کی پیمائش چھوٹے زاویے کی پیمائش سے $44^{\circ}$ زیادہ ہے۔ ان کی پیمائشیں معلوم کریں۔

مشق 5.1

1. مندرجہ ذیل ہر زاویے کا تکملہ معلوم کریں:

2. مندرجہ ذیل ہر زاویے کا متمم معلوم کریں:

(iii)

3. شناخت کریں کہ مندرجہ ذیل زاویوں کے جوڑوں میں سے کون سے تکمیلی ہیں اور کون سے متمم۔

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. وہ زاویہ معلوم کریں جو اپنے تکملہ کے برابر ہے۔

5. وہ زاویہ معلوم کریں جو اپنے متمم کے برابر ہے۔

6. دی گئی شکل میں، $\angle 1$ اور $\angle 2$ متمم زاویے ہیں۔

اگر $\angle 1$ کم کر دیا جائے، تو $\angle 2$ میں کیا تبدیلیاں ہونی چاہئیں تاکہ دونوں زاویے پھر بھی متمم رہیں۔

7. کیا دو زاویے متمم ہو سکتے ہیں اگر وہ دونوں:

(i) حادہ ہوں؟

(ii) منفرجہ ہوں؟

(iii) قائمہ ہوں؟

8. ایک زاویہ $45^{\circ}$ سے بڑا ہے۔ کیا اس کا تکمیلی زاویہ $45^{\circ}$ سے بڑا ہے یا $45^{\circ}$ کے برابر ہے یا $45^{\circ}$ سے چھوٹا ہے؟

9. خالی جگہیں پُر کریں:

(i) اگر دو زاویے تکمیلی ہوں، تو ان کی پیمائشوں کا مجموعہ _______ ہوتا ہے۔

(ii) اگر دو زاویے متمم ہوں، تو ان کی پیمائشوں کا مجموعہ _______ ہوتا ہے۔

(iii) اگر دو متصل زاویے متمم ہوں، تو وہ _______ بناتے ہیں۔

10. ملحقہ شکل میں، زاویوں کے مندرجہ ذیل جوڑوں کے نام دیں۔

(i) منفرجہ عمودی متقابل زاویے

(ii) متصل تکمیلی زاویے

(iii) برابر متمم زاویے

(iv) غیر برابر متمم زاویے

(v) متصل زاویے جو خطی جوڑی نہیں بناتے

5.3 خطوط کے جوڑے

5.3.1 قطع کرنے والے خطوط

شکل 5.8

اپنے اسٹینڈ پر تختہ سیاہ، خطی قطعات سے بنے حرف Y اور کسی کھڑکی کی جالی دار دروازہ (شکل 5.8)، ان سب میں کیا چیز مشترک ہے؟ یہ قطع کرنے والے خطوط کی مثالیں ہیں۔

دو خطوط $l$ اور $m$ قطع کرتے ہیں اگر ان کا ایک مشترک نقطہ ہو۔ یہ مشترک نقطہ $O$ ان کا نقطہ تقاطع ہے۔

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

شکل 5.9 میں، $AC$ اور $BE$، $P$ پر قطع کرتے ہیں۔

$AC$ اور $BC$، $C, AC$ پر قطع کرتے ہیں اور $EC$، $C$ پر قطع کرتے ہیں۔

قطع کرنے والے خطی قطعات کے دس اور جوڑے تلاش کرنے کی کوشش کریں۔

کیا کوئی بھی دو خطوط یا خطی قطعات ضرور قطع کریں گے؟ کیا آپ شکل میں قطع نہ کرنے والے خطی قطعات کے دو جوڑے تلاش کر سکتے ہیں؟

کیا دو خطوط ایک سے زیادہ نقاط پر قطع کر سکتے ہیں؟ اس کے بارے میں سوچیں۔

شکل 5.9

یہ کریں

1. اپنے اردگرد سے ایسی مثالیں تلاش کریں جہاں خطوط قائمہ زاویوں پر قطع کرتے ہیں۔

2. ایک متساوی الاضلاع مثلث کے راسوں پر قطع کرنے والے خطوط سے بننے والے زاویوں کی پیمائشیں معلوم کریں۔

3. کوئی بھی مستطیل بنائیں اور قطع کرنے والے خطوط سے چاروں راسوں پر بننے والے زاویوں کی پیمائشیں معلوم کریں۔

4. اگر دو خطوط قطع کریں، تو کیا وہ ہمیشہ قائمہ زاویوں پر قطع کرتے ہیں؟

5.3.2 قاطع

آپ نے شاید ایک سڑک کو دو یا زیادہ سڑکوں کو قطع کرتے دیکھا ہوگا یا ایک ریلوے لائن کو کئی دوسری لائنوں کو قطع کرتے دیکھا ہوگا (شکل 5.10)۔ یہ قاطع کا تصور دیتے ہیں۔

ایک خط جو دو یا زیادہ خطوط کو مختلف نقاط پر قطع کرتا ہے، قاطع کہلاتا ہے۔

شکل 5.11 میں، $p$ خطوط $l$ اور $m$ کا قاطع ہے۔

شکل 5.12 میں خط $p$ قاطع نہیں ہے، حالانکہ یہ دو خطوط $l$ اور $m$ کو قطع کرتا ہے۔ کیا آپ کہہ سکتے ہیں، ‘کیوں’؟

5.3.3. ایک قاطع سے بننے والے زاویے

شکل 5.13 میں، آپ دیکھتے ہیں کہ خطوط $l$ اور $m$ قاطع $p$ سے قطع ہوئے ہیں۔ 1 سے 8 تک نشان زدہ آٹھ زاویوں کے خاص نام ہیں:

شکل 5.13

یہ کریں

1. فرض کریں دو خطوط دیے گئے ہیں۔ آپ ان خطوط کے لیے کتنے قاطع بنا سکتے ہیں؟

2. اگر ایک خط تین خطوط کا قاطع ہے، تو تقاطع کے کتنے نقاط ہیں؟

3. اپنے اردگرد کچھ قاطعوں کی شناخت کرنے کی کوشش کریں۔

نوٹ: متناظر زاویے (جیسے شکل 5.14 میں $\angle 1$ اور $\angle 5$) شامل کرتے ہیں

(i) مختلف راس

(ii) قاطع کے ایک ہی طرف ہوتے ہیں اور

(iii) دو خطوط کے نسبت ‘متناظر’ پوزیشنوں (اوپر یا نیچے، بائیں یا دائیں) میں ہوتے ہیں۔

یکے بعد دیگرے اندرونی زاویے (جیسے شکل 5.15 میں $\angle 3$ اور $\angle 6$)

(i) مختلف راس رکھتے ہیں

(ii) قاطع کے مخالف سمتوں پر ہوتے ہیں اور

(iii) دو خطوط کے ‘درمیان’ واقع ہوتے ہیں۔

شکل 5.15

یہ کریں

ہر شکل میں زاویوں کے جوڑوں کے نام دیں:

5.3.4 متوازی خطوط کا قاطع

کیا آپ کو یاد ہے کہ متوازی خطوط کیا ہیں؟ وہ ایک مستوی پر ایسے خطوط ہیں جو کہیں بھی نہیں ملتے۔ کیا آپ مندرجہ ذیل اشکال میں متوازی خطوط کی شناخت کر سکتے ہیں؟ (شکل 5.16)

متوازی خطوط کے قاطع کافی دلچسپ نتائج دیتے ہیں۔

یہ کریں

ایک لکیری کاغذ کی شیٹ لیں۔ (موٹے رنگ سے) دو متوازی خطوط $l$ اور $m$ بنائیں۔

خطوط $l$ اور $m$ کا ایک قاطع $t$ بنائیں۔ $\angle 1$ اور $\angle 2$ کو نشان زد کریں جیسا کہ دکھایا گیا ہے [شکل 5.17(i)]۔ بنائی گئی شکل پر ٹریسنگ پیپر رکھیں۔ خطوط $l, m$ اور $t$ کا ٹریس کریں۔

ٹریسنگ پیپر کو $t$ کے ساتھ ساتھ سرکائیں، یہاں تک کہ $l$، $m$ کے ساتھ منطبق ہو جائے۔

آپ دیکھتے ہیں کہ ٹریس کی گئی شکل پر $\angle 1$، اصلی شکل کے $\angle 2$ کے ساتھ منطبق ہو جاتا ہے۔

درحقیقت، آپ مندرجہ ذیل تمام نتائج کو اسی طرح کے ٹریس اور سرکانے کی سرگرمی سے دیکھ سکتے ہیں۔

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

یہ سرگرمی مندرجہ ذیل حقیقت کو واضح کرتی ہے:

اگر دو متوازی خطوط ایک قاطع سے قطع ہوں، تو متناظر زاویوں کے ہر جوڑ کی پیمائش برابر ہوتی ہے۔

ہم اس نتیجے کو استعمال کرتے ہوئے ایک اور دلچسپ نتیجہ حاصل کرتے ہیں۔ شکل 5.18 کو دیکھیں۔

جب $t$ متوازی خطوط، $l, m$ کو قطع کرتا ہے، تو ہمیں ملتا ہے، $\angle 3=\angle 7$ (عمودی متقابل زاویے)۔

لیکن $\angle 7=\angle 8$ (متناظر زاویے)۔ اس لیے، $\angle 3=\angle 8$

آپ اسی طرح دکھا سکتے ہیں کہ $\angle 1=\angle 6$۔ اس طرح، ہمارے پاس مندرجہ ذیل نتیجہ ہے:

اگر دو متوازی خطوط ایک قاطع سے قطع ہوں، تو یکے بعد دیگرے اندرونی زاویوں کے ہر جوڑ کی پیمائش برابر ہوتی ہے۔

یہ دوسرا نتیجہ ایک اور دلچسپ خاصیت کی طرف لے جاتا ہے۔ پھر، شکل 5.18 سے۔

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ($\angle 3$ اور $\angle 1$ ایک خطی جوڑی بناتے ہیں)

لیکن $\angle 1=\angle 6$ (یکے بعد دیگرے اندرونی زاویوں کا ایک جوڑا)

اس لیے، ہم کہہ سکتے ہیں کہ $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$۔

اسی طرح، $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$۔ اس طرح، ہم مندرجہ ذیل نتیجہ حاصل کرتے ہیں:

اگر دو متوازی خطوط ایک قاطع سے قطع ہوں، تو قاطع کے ایک ہی طرف اندرونی زاویوں کے ہر جوڑ متمم ہوتے ہیں۔

آپ ان نتائج کو بہت آسانی سے یاد کر سکتے ہیں اگر آپ متعلقہ ‘شکلوں’ کو دیکھ سکیں۔

یہ کریں

متوازی خطوط کا ایک جوڑا اور ایک قاطع بنائیں۔ زاویوں کی اصل پیمائش کر کے اوپر کے تین بیان کی تصدیق کریں۔

یہ کریں

5.4 متوازی خطوط کی جانچ

اگر دو خطوط متوازی ہوں، تو آپ جانتے ہیں کہ ایک قاطع برابر متناظر زاویوں کے جوڑے، برابر یکے بعد دیگرے اندرونی زاویوں اور قاطع کے ایک ہی طرف اندرونی زاویوں کے متمم ہونے کا سبب بنتا ہے۔

جب دو خطوط دیے جائیں، تو کیا یہ جانچنے کا کوئی طریقہ ہے کہ وہ متوازی ہیں یا نہیں؟ آپ کو زندگی سے متعلق بہت سے حالات میں یہ مہارت درکار ہوتی ہے۔

ایک ڈرافٹسمین بڑھئی کے مربع اور ایک سیدھے کنارے (مسطر) کا استعمال کرتے ہوئے ان قطعات کو بناتا ہے (شکل 5.19)۔ وہ دعویٰ کرتا ہے کہ وہ متوازی ہیں۔ کیسے؟

کیا آپ یہ دیکھنے کے قابل ہیں کہ اس نے متناظر زاویوں کو برابر رکھا ہے؟ (یہاں قاطع کیا ہے؟)

اس طرح، جب ایک قاطع دو خطوط کو قطع کرے، اس طرح کہ متناظر زاویوں کے جوڑے برابر ہوں، تو خطوط کو متوازی ہونا پڑتا ہے۔

حرف Z کو دیکھیں (شکل 5.20)۔ یہاں افقی قطعات متوازی ہیں، کیونکہ یکے بعد دیگرے زاویے برابر ہیں۔

جب ایک قاطع دو خطوط کو قطع کرے، اس طرح کہ یکے بعد دیگرے اندرونی زاویوں کے جوڑے برابر ہوں، تو خطوط کو متوازی ہونا پڑتا ہے۔

شکل 5.19

شکل 5.20

ایک خط $l$ بنائیں (شکل 5.21)۔

ایک خط $m$ بنائیں، جو $l$ پر عمود ہو۔ پھر ایک خط $p$ بنائیں، اس طرح کہ $p$، $m$ پر عمود ہو۔

اس طرح، $p$، $l$ پر عمود کے عمود ہے۔

آپ پاتے ہیں $p | l$۔ کیسے؟ یہ اس لیے ہے کہ آپ $p$ اس طرح بناتے ہیں کہ $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$۔

شکل 5.21

اس طرح، جب ایک قاطع دو خطوط کو قطع کرے، اس طرح کہ قاطع کے ایک ہی طرف اندرونی زاویوں کے جوڑے متمم ہوں، تو خطوط کو متوازی ہونا پڑتا ہے۔

یہ کریں

مشق 5.2

1. مندرجہ ذیل بیانات میں سے ہر ایک میں استعمال ہونے والی خاصیت بیان کریں؟

(i) اگر $a || b$، تو $\angle 1=\angle 5$۔

(ii) اگر $\angle 4=\angle 6$، تو $a \ || b$۔

(iii) اگر $\angle 4+\angle 5=180^{\circ}$، تو $a \ || b$۔

2. ملحقہ شکل میں، شناخت کریں

(i) متناظر زاویوں کے جوڑے۔

(ii) یکے بعد دیگرے اندرونی زاویوں کے جوڑے۔

(iii) قاطع کے ایک ہی طرف اندرونی زاویوں کے جوڑے۔

(iv) عمودی متقابل زاویے۔

3. ملحقہ شکل میں، $p || q$۔ نامعلوم زاویے معلوم کریں۔

4. مندرجہ ذیل ہر شکل میں $x$ کی قیمت معلوم کریں اگر $l || m$۔

5. دی گئی شکل میں، دو زاویوں کی بازو متوازی ہیں۔

اگر $\angle ABC=70^{\circ}$، تو معلوم کریں

(i) $\angle DGC$

(ii) $\angle DEF$

6. دی گئی اشکال میں، فیصلہ کریں کہ آیا $l$، $m$ کے متوازی ہے۔

ہم نے کیا بحث کی؟

1. ہم یاد کرتے ہیں کہ (i) ایک خطی قطعہ کے دو نقطہ ہائے انتہا ہوتے ہیں۔

(ii) ایک شعاع کا صرف ایک نقطہ انتہا ہوتا ہے (اس کا نقطہ آغاز)؛ اور

(iii) ایک خط کے دونوں طرف کوئی نقطہ انتہا نہیں ہوتا۔

2. جب دو خطوط $l$ اور $m$ ملتے ہیں، تو ہم کہتے ہیں کہ وہ قطع کرتے ہیں؛ ملنے والے نقطہ کو نقطہ تقاطع کہتے ہیں۔

جب کاغذ کی شیٹ پر بنائے گئے خطوط ملتے نہیں ہیں، خواہ کتنا ہی بڑھا دیے جائیں، تو ہم انہیں متوازی خطوط کہتے ہیں۔