5.1 પરિચય

તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે આપેલ આકૃતિમાં વિવિધ રેખાઓ, રેખાખંડો અને ખૂણાઓને કેવી રીતે ઓળખવા. શું તમે નીચેની આકૃતિઓમાં બનેલા વિવિધ રેખાખંડો અને ખૂણાઓને ઓળખી શકો છો? (આકૃતિ 5.1)

શું તમે એ પણ ઓળખી શકો છો કે બનેલા ખૂણાઓ લઘુકોણ છે કે ગુરુકોણ છે કે કાટખૂણો છે?

યાદ કરો કે રેખાખંડના બે અંત્યબિંદુઓ હોય છે. જો આપણે બંને અંત્યબિંદુઓને બંને દિશામાં અનંત રીતે લંબાવીએ, તો આપણને રેખા મળે છે. આમ, આપણે કહી શકીએ કે રેખાના કોઈ અંત્યબિંદુઓ નથી. બીજી બાજુ, યાદ કરો કે કિરણનું એક અંત્યબિંદુ (એટલે કે તેનું પ્રારંભિક બિંદુ) હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચે આપેલી આકૃતિઓ જુઓ:

અહીં, આકૃતિ 5.2 (i) એક રેખાખંડ દર્શાવે છે, આકૃતિ 5.2 (ii) એક રેખા દર્શાવે છે અને આકૃતિ 5.2 (iii) એક કિરણની છે. રેખાખંડ $PQ$ સામાન્ય રીતે $\overline{PQ}$ ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, રેખા $AB$ ને $\overrightarrow{{}AB}$ ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે અને કિરણ OP ને $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તમારા રોજિંદા જીવનમાંથી રેખાખંડો અને કિરણોના કેટલાક ઉદાહરણો આપો અને તેમના વિશે તમારા મિત્રો સાથે ચર્ચા કરો.

ફરીથી યાદ કરો કે જ્યારે રેખાઓ અથવા રેખાખંડો મળે છે ત્યારે ખૂણો બને છે. આકૃતિ 5.1 માં, ખૂણાઓ (કોર્નર્સ) ને ધ્યાનથી જુઓ. આ ખૂણાઓ ત્યારે બને છે જ્યારે બે રેખાઓ અથવા રેખાખંડો એક બિંદુ પર છેદે છે. ઉદાહરણ તરીકે, નીચે આપેલી આકૃતિઓ જુઓ:

આકૃતિ 5.3 (i) માં રેખાખંડો $AB$ અને $BC$, $B$ પર છેદે છે અને ખૂણો $A B C$ બનાવે છે, અને ફરીથી રેખાખંડો $B C$ અને $A C$, $C$ પર છેદે છે અને ખૂણો $ACB$ બનાવે છે અને આમ જ. જ્યારે, આકૃતિ 5.3 (ii) માં રેખાઓ $PQ$ અને $RS$, $O$ પર છેદે છે અને ચાર ખૂણાઓ POS, SOQ, QOR અને ROP બનાવે છે. ખૂણો ABC ને $\angle ABC$ ચિહ્ન દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. આમ, આકૃતિ 5.3 (i) માં, બનેલા ત્રણ ખૂણાઓ $\angle ABC, \angle BCA$ અને $\angle BAC$ છે, અને આકૃતિ 5.3 (ii) માં, બનેલા ચાર ખૂણાઓ $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ અને $\angle POR$ છે. તમે પહેલેથી જ

આ પ્રયાસ કરો

તમારી આસપાસની દસ આકૃતિઓની યાદી બનાવો અને તેમાં મળતા લઘુકોણ, ગુરુકોણ અને કાટખૂણાને ઓળખો. ખૂણાઓને લઘુકોણ, ગુરુકોણ અથવા કાટખૂણા તરીકે વર્ગીકૃત કરવાની રીત પહેલેથી જ અભ્યાસ કરી ચૂક્યા છો.

નોંધ: જ્યારે ખૂણા $ABC$ ના માપનો સંદર્ભ આપીએ છીએ, ત્યારે આપણે $m \angle ABC$ ને ફક્ત $\angle ABC$ તરીકે લખીશું. સંદર્ભથી સ્પષ્ટ થઈ જશે કે આપણે ખૂણાનો સંદર્ભ આપી રહ્યા છીએ કે તેના માપનો.

5.2 સંબંધિત ખૂણાઓ

5.2.1 પૂરક ખૂણાઓ

જ્યારે બે ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $90^{\circ}$ થાય, ત્યારે તે ખૂણાઓને પૂરક ખૂણાઓ કહેવામાં આવે છે.

શું આ બે ખૂણાઓ પૂરક છે?

આકૃતિ 5.4

ના

જ્યારે પણ બે ખૂણાઓ પૂરક હોય, ત્યારે દરેક ખૂણો બીજા ખૂણાનો પૂરક કહેવાય છે. ઉપરના આકૃતિ (આકૃતિ 5.4) માં, ‘$30^{\circ}$ ખૂણો’ એ ‘$60^{\circ}$ ખૂણો’ નો પૂરક છે અને ઊલટું.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. શું બે લઘુકોણ એકબીજાના પૂરક હોઈ શકે?

2. શું બે ગુરુકોણ એકબીજાના પૂરક હોઈ શકે?

3. શું બે કાટખૂણા એકબીજાના પૂરક હોઈ શકે?

આ પ્રયાસ કરો

1. નીચેના ખૂણાઓમાંથી કયા જોડા પૂરક છે? (આકૃતિ 5.5)

2. નીચેના દરેક ખૂણાના પૂરકનું માપ શું છે?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. બે પૂરક ખૂણાઓના માપનો તફાવત $12^{\circ}$ છે. ખૂણાઓના માપ શોધો.

5.2.2 પૂરક ખૂણાઓ (સપ્લિમેન્ટરી)

ચાલો હવે ખૂણાઓના નીચેના જોડાઓ જોઈએ (આકૃતિ 5.6):

શું તમે નોંધો છો કે ઉપરના દરેક જોડ (આકૃતિ 5.6) માં ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે? આવા ખૂણાઓના જોડાઓને પૂરક ખૂણાઓ (સપ્લિમેન્ટરી એંગલ્સ) કહેવામાં આવે છે. જ્યારે બે ખૂણાઓ પૂરક હોય, ત્યારે દરેક ખૂણો બીજા ખૂણાનો પૂરક કહેવાય છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

1. શું બે ગુરુકોણ પૂરક હોઈ શકે?

2. શું બે લઘુકોણ પૂરક હોઈ શકે?

3. શું બે કાટખૂણા પૂરક હોઈ શકે?

આ પ્રયાસ કરો

1. આકૃતિ 5.7 માં પૂરક ખૂણાઓના જોડા શોધો:

2. નીચેના દરેક ખૂણાના પૂરકનું માપ શું હશે?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. બે પૂરક ખૂણાઓમાં મોટા ખૂણાનું માપ નાના ખૂણાના માપ કરતાં $44^{\circ}$ વધુ છે. તેમના માપ શોધો.

કસરત 5.1

1. નીચેના દરેક ખૂણાનો પૂરક ખૂણો શોધો:

2. નીચેના દરેક ખૂણાનો પૂરક ખૂણો (સપ્લિમેન્ટ) શોધો:

(iii)

3. ઓળખો કે નીચેના ખૂણાઓના જોડાઓમાંથી કયા પૂરક છે અને કયા પૂરક (સપ્લિમેન્ટરી) છે.

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. એ ખૂણો શોધો જે તેના પૂરક ખૂણા જેટલો જ છે.

5. એ ખૂણો શોધો જે તેના પૂરક ખૂણા (સપ્લિમેન્ટ) જેટલો જ છે.

6. આપેલ આકૃતિમાં, $\angle 1$ અને $\angle 2$ પૂરક ખૂણાઓ છે.

જો $\angle 1$ ઘટાડવામાં આવે, તો $\angle 2$ માં કયા ફેરફાર કરવા જોઈએ જેથી બંને ખૂણા હજુ પણ પૂરક રહે.

7. શું બે ખૂણાઓ પૂરક હોઈ શકે જો બંને:

(i) લઘુકોણ હોય?

(ii) ગુરુકોણ હોય?

(iii) કાટખૂણો હોય?

8. એક ખૂણો $45^{\circ}$ કરતાં મોટો છે. શું તેનો પૂરક ખૂણો $45^{\circ}$ કરતાં મોટો હશે અથવા $45^{\circ}$ બરાબર હશે અથવા $45^{\circ}$ કરતાં ઓછો હશે?

9. ખાલી જગ્યા પૂરો:

(i) જો બે ખૂણાઓ પૂરક હોય, તો તેમના માપનો સરવાળો _______ થાય.

(ii) જો બે ખૂણાઓ પૂરક (સપ્લિમેન્ટરી) હોય, તો તેમના માપનો સરવાળો _______ થાય.

(iii) જો બે સંલગ્ન ખૂણાઓ પૂરક હોય, તો તે એક _______ બનાવે છે.

10. સંલગ્ન આકૃતિમાં, ખૂણાઓના નીચેના જોડાઓને નામ આપો.

(i) ગુરુકોણ ઊર્ધ્વવિરોધી ખૂણાઓ

(ii) સંલગ્ન પૂરક ખૂણાઓ

(iii) સમાન પૂરક ખૂણાઓ

(iv) અસમાન પૂરક ખૂણાઓ

(v) સંલગ્ન ખૂણાઓ જે રેખીય જોડી બનાવતા નથી

5.3 રેખાઓના જોડા

5.3.1 છેદતી રેખાઓ

આકૃતિ 5.8

તેના સ્ટેન્ડ પરનું બ્લેકબોર્ડ, રેખાખંડોથી બનેલો અક્ષર Y અને વિન્ડોનું ગ્રીલ-દરવાજું (આકૃતિ 5.8), આ બધામાં શું સામ્યતા છે? તેઓ છેદતી રેખાઓના ઉદાહરણો છે.

બે રેખાઓ $l$ અને $m$ છેદે છે જો તેમનું એક સામાન્ય બિંદુ હોય. આ સામાન્ય બિંદુ $O$ તેમનું છેદન બિંદુ છે.

વિચારો, ચર્ચા કરો અને લખો

આકૃતિ 5.9 માં, $AC$ અને $BE$, $P$ પર છેદે છે.

$AC$ અને $BC$, $C, AC$ પર છેદે છે અને $EC$, $C$ પર છેદે છે.

છેદતા રેખાખંડોના બીજા દસ જોડા શોધવાનો પ્રયત્ન કરો.

શું કોઈ પણ બે રેખાઓ અથવા રેખાખંડો જરૂરી રીતે છેદે જ? શું તમે આકૃતિમાં છેદતા ન હોય તેવા રેખાખંડોના બે જોડા શોધી શકો છો?

શું બે રેખાઓ એક કરતાં વધુ બિંદુઓ પર છેદી શકે? તે વિશે વિચારો.

આકૃતિ 5.9

આ પ્રયાસ કરો

1. તમારી આસપાસથી એવા ઉદાહરણો શોધો જ્યાં રેખાઓ કાટખૂણે છેદે છે.

2. સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર છેદતી રેખાઓથી બનતા ખૂણાઓના માપ શોધો.

3. કોઈ પણ લંબચોરસ દોરો અને છેદતી રેખાઓથી ચાર શિરોબિંદુઓ પર બનતા ખૂણાઓના માપ શોધો.

4. જો બે રેખાઓ છેદે, તો શું તેઓ હંમેશા કાટખૂણે જ છેદે છે?

5.3.2 છેદિકા (ટ્રાન્સવર્સલ)

તમે કદાચ એક રસ્તો બે અથવા વધુ રસ્તાઓને કાપતો હોય અથવા રેલવે લાઈન અનેક બીજી લાઈનોને કાપતી હોય તે જોયું હશે (આકૃતિ 5.10). આ છેદિકાનો ખ્યાલ આપે છે.

એક રેખા જે બે અથવા વધુ રેખાઓને અલગ અલગ બિંદુઓ પર છેદે છે તેને છેદિકા કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 5.11 માં, $p$ એ રેખાઓ $l$ અને $m$ માટે છેદિકા છે.

આકૃતિ 5.12 માં રેખા $p$ છેદિકા નથી, છતાં તે બે રેખાઓ $l$ અને $m$ ને કાપે છે. શું તમે કહી શકો છો, ‘શા માટે’?

5.3.3. છેદિકા દ્વારા બનતા ખૂણાઓ

આકૃતિ 5.13 માં, તમે રેખાઓ $l$ અને $m$ ને છેદિકા $p$ દ્વારા કપાયેલી જોશો. 1 થી 8 સુધી ચિહ્નિત કરેલા આઠ ખૂણાઓના વિશેષ નામ છે:

આકૃતિ 5.13

આ પ્રયાસ કરો

1. ધારો કે બે રેખાઓ આપેલી છે. આ રેખાઓ માટે તમે કેટલી છેદિકાઓ દોરી શકો?

2. જો એક રેખા ત્રણ રેખાઓ માટે છેદિકા હોય, તો કેટલા છેદન બિંદુઓ હશે?

3. તમારી આસપાસ કેટલીક છેદિકાઓ ઓળખવાનો પ્રયાસ કરો.

નોંધ: સંગત ખૂણાઓ (જેમ કે આકૃતિ 5.14 માં $\angle 1$ અને $\angle 5$) સમાવે છે

(i) જુદા જુદા શિરોબિંદુઓ

(ii) છેદિકાની એક જ બાજુએ હોય છે અને

(iii) બે રેખાઓની સાપેક્ષ ‘સંગત’ સ્થિતિમાં (ઉપર અથવા નીચે, ડાબે અથવા જમણે) હોય છે.

એકાંતર અંતઃકોણો (જેમ કે આકૃતિ 5.15 માં $\angle 3$ અને $\angle 6$)

(i) જુદા જુદા શિરોબિંદુઓ ધરાવે છે

(ii) છેદિકાની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય છે અને

(iii) બે રેખાઓ વચ્ચે ‘હોય છે.

આકૃતિ 5.15

આ પ્રયાસ કરો

દરેક આકૃતિમાં ખૂણાઓના જોડાઓને નામ આપો:

5.3.4 સમાંતર રેખાઓની છેદિકા

તમને યાદ છે કે સમાંતર રેખાઓ શું છે? તે સમતલ પરની રેખાઓ છે જે ક્યાંય મળતી નથી. શું તમે નીચેની આકૃતિઓમાં સમાંતર રેખાઓ ઓળખી શકો છો? (આકૃતિ 5.16)

સમાંતર રેખાઓની છેદિકાઓથી ખૂબ રસપ્રદ પરિણામો મળે છે.

આ કરો

લીટીવાળા કાગળનો એક શીટ લો. (જાડા રંગમાં) બે સમાંતર રેખાઓ $l$ અને $m$ દોરો.

રેખાઓ $l$ અને $m$ માટે છેદિકા $t$ દોરો. $\angle 1$ અને $\angle 2$ ને દર્શાવ્યા પ્રમાણે લેબલ કરો [આકૃતિ 5.17(i)]. દોરેલી આકૃતિ પર ટ્રેસિંગ પેપર મૂકો. રેખાઓ $l, m$ અને $t$ ને ટ્રેસ કરો.

$t$ સાથે ટ્રેસિંગ પેપરને સરકાવો, જ્યાં સુધી $l$, $m$ સાથે એકરુપ ન થાય.

તમે જોશો કે ટ્રેસ કરેલી આકૃતિ પરનો $\angle 1$, મૂળ આકૃતિના $\angle 2$ સાથે એકરુપ થાય છે.

હકીકતમાં, તમે સમાન ટ્રેસિંગ અને સ્લાઇડિંગ પ્રવૃત્તિ દ્વારા નીચેના બધા પરિણામો જોઈ શકો છો.

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

આ પ્રવૃત્તિ નીચેની હકીકત સમજાવે છે:

જો બે સમાંતર રેખાઓને છેદિકા દ્વારા કાપવામાં આવે, તો સંગત ખૂણાઓનો દરેક જોડ માપમાં સમાન હોય છે.

આ પરિણામનો ઉપયોગ કરીને આપણે બીજું રસપ્રદ પરિણામ મેળવીએ છીએ. આકૃતિ 5.18 જુઓ.

જ્યારે $t$ સમાંતર રેખાઓ $l, m$ ને કાપે છે, ત્યારે આપણને $\angle 3=\angle 7$ મળે છે (ઊર્ધ્વવિરોધી ખૂણાઓ).

પરંતુ $\angle 7=\angle 8$ (સંગત ખૂણાઓ). તેથી, $\angle 3=\angle 8$

તમે એ જ રીતે બતાવી શકો છો કે $\angle 1=\angle 6$. આમ, આપણને નીચેનું પરિણામ મળે છે:

જો બે સમાંતર રેખાઓને છેદિકા દ્વારા કાપવામાં આવે, તો એકાંતર અંતઃકોણોનો દરેક જોડ સમાન હોય છે.

આ બીજું પરિણામ બીજા રસપ્રદ ગુણધર્મ તરફ દોરી જાય છે. ફરીથી, આકૃતિ 5.18 માંથી.

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ($\angle 3$ અને $\angle 1$ એક રેખીય જોડી બનાવે છે)

પરંતુ $\angle 1=\angle 6$ (એકાંતર અંતઃકોણોનો એક જોડ)

તેથી, આપણે કહી શકીએ કે $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$.

એ જ રીતે, $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$. આમ, આપણે નીચેનું પરિણામ મેળવીએ છીએ:

જો બે સમાંતર રેખાઓને છેદિકા દ્વારા કાપવામાં આવે, તો છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો દરેક જોડ પૂરક હોય છે.

તમે આ પરિણામો ખૂબ જ સરળતાથી યાદ રાખી શકો છો જો તમે સંબંધિત ‘આકારો’ શોધી શકો.

આ કરો

સમાંતર રેખાઓનો એક જોડ અને છેદિકા દોરો. ખૂણાઓનું વાસ્તવિક માપ લઈને ઉપરનાં ત્રણ વિધાનો ચકાસો.

આ પ્રયાસ કરો

5.4 સમાંતર રેખાઓ માટે ચકાસણી

જો બે રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તમે જાણો છો કે છેદિકા સમાન સંગત ખૂણાઓના જોડ, સમાન એકાંતર અંતઃકોણો અને છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો પૂરક હોય તેવા જોડ પેદા કરે છે.

જ્યારે બે રેખાઓ આપવામાં આવે, તો શું તેઓ સમાંતર છે કે નહીં તે ચકાસવાની કોઈ પદ્ધતિ છે? જીવન-કેન્દ્રિત ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં તમને આ કુશળતાની જરૂર પડે છે.

ડ્રાફ્ટ્સમેન આ ખંડો દોરવા માટે કારપેન્ટરનો સ્ક્વેર અને સીધી ધાર (રૂલર) નો ઉપયોગ કરે છે (આકૃતિ 5.19). તે દાવો કરે છે કે તેઓ સમાંતર છે. કેવી રીતે?

શું તમે જોઈ શકો છો કે તેમણે સંગત ખૂણાઓ સમાન રાખ્યા છે? (અહીં છેદિકા કઈ છે?)

આમ, જ્યારે છેદિકા બે રેખાઓને કાપે છે, જેમ કે સંગત ખૂણાઓના જોડ સમાન હોય, તો રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ.

અક્ષર Z (આકૃતિ 5.20) જુઓ. અહીં આડા ખંડો સમાંતર છે, કારણ કે એકાંતર ખૂણાઓ સમાન છે.

જ્યારે છેદિકા બે રેખાઓને કાપે છે, જેમ કે એકાંતર અંતઃકોણોના જોડ સમાન હોય, તો રેખાઓ સમાંતર હોવી જોઈએ.

આકૃતિ 5.19

આક