5.1 ಪರಿಚಯ

ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ನೀಡಲಾದ ಆಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ರೇಖೆಗಳು, ರೇಖಾಖಂಡಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದೀರಿ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ವಿವಿಧ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ನೀವು ಗುರುತಿಸಬಲ್ಲಿರಾ? (ಚಿತ್ರ 5.1)

ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳು ಲಘುಕೋನ, ಗುರುಕೋನ ಅಥವಾ ಲಂಬಕೋನವೇ ಎಂದು ನೀವು ಗುರುತಿಸಬಲ್ಲಿರಾ?

ನೆನಪಿಡಿ, ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡಕ್ಕೆ ಎರಡು ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ. ನಾವು ಎರಡೂ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದಂತೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ, ನಮಗೆ ಒಂದು ರೇಖೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ರೇಖೆಗೆ ತುದಿ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ನೆನಪಿಡಿ, ಒಂದು ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ತುದಿ ಬಿಂದು ಇರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ ಅದರ ಆರಂಭ ಬಿಂದು). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ:

ಇಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರ 5.2 (i) ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಚಿತ್ರ 5.2 (ii) ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 5.2 (iii) ಒಂದು ಕಿರಣದ್ದಾಗಿದೆ. ಒಂದು ರೇಖಾಖಂಡ $PQ$ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಚಿಹ್ನೆ $\overline{PQ}$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ರೇಖೆ $AB$ ಅನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ $\overrightarrow{{}AB}$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು OP ಕಿರಣವನ್ನು $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಿಂದ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು ಮತ್ತು ಕಿರಣಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚಿಸಿ.

ಮತ್ತೆ ನೆನಪಿಡಿ, ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು ಸಂಧಿಸಿದಾಗ ಒಂದು ಕೋನ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಚಿತ್ರ 5.1 ರಲ್ಲಿ, ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಮೂಲೆಗಳು ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದಾಗ ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾದ ಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ:

ಚಿತ್ರ 5.3 (i) ರಲ್ಲಿ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು $AB$ ಮತ್ತು $BC$ ಗಳು $B$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ ಕೋನ $A B C$ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು $B C$ ಮತ್ತು $A C$ ಗಳು $C$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ ಕೋನ $ACB$ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ಚಿತ್ರ 5.3 (ii) ರಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳು $PQ$ ಮತ್ತು $RS$ ಗಳು $O$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳಾದ POS, SOQ, QOR ಮತ್ತು ROP ಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ಕೋನ ABC ಅನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ $\angle ABC$ ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಚಿತ್ರ 5.3 (i) ರಲ್ಲಿ, ರೂಪುಗೊಂಡ ಮೂರು ಕೋನಗಳು $\angle ABC, \angle BCA$ ಮತ್ತು $\angle BAC$, ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 5.3 (ii) ರಲ್ಲಿ, ರೂಪುಗೊಂಡ ನಾಲ್ಕು ಕೋನಗಳು $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ ಮತ್ತು $\angle POR$. ಕೋನಗಳನ್ನು ಲಘುಕೋನ, ಗುರುಕೋನ ಅಥವಾ ಲಂಬಕೋನ ಎಂದು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನ ಹತ್ತು ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವ ಲಘುಕೋನ, ಗುರುಕೋನ ಮತ್ತು ಲಂಬಕೋನಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ.

ಗಮನಿಸಿ: ಒಂದು ಕೋನ $ABC$ ನ ಮಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವಾಗ, ನಾವು $m \angle ABC$ ಅನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ $\angle ABC$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂದರ್ಭವು ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುತ್ತದೆ, ನಾವು ಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆಯೋ ಅಥವಾ ಅದರ ಮಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆಯೋ ಎಂಬುದು.

5.2 ಸಂಬಂಧಿತ ಕೋನಗಳು

5.2.1 ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು

ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮಾನಗಳ ಮೊತ್ತ $90^{\circ}$ ಆದಾಗ, ಆ ಕೋನಗಳನ್ನು ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿವೆಯೇ?

ಚಿತ್ರ 5.4

ಇಲ್ಲ

ಯಾವಾಗಲೂ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿರುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಕೋನವು ಇನ್ನೊಂದು ಕೋನದ ಪೂರಕ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೇಲಿನ ನಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 5.4), ‘$30^{\circ}$ ಕೋನ’ವು ‘$60^{\circ}$ ಕೋನ’ದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಎರಡು ಲಘುಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕವಾಗಬಹುದೇ?

2. ಎರಡು ಗುರುಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕವಾಗಬಹುದೇ?

3. ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪೂರಕವಾಗಬಹುದೇ?

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಕೆಳಗಿನ ಕೋನಗಳ ಯಾವ ಜೋಡಿಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿವೆ? (ಚಿತ್ರ 5.5)

2. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಗಳ ಪೂರಕದ ಮಾನ ಎಷ್ಟು?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. ಎರಡು ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ಮಾನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $12^{\circ}$ ಆಗಿದೆ. ಆ ಕೋನಗಳ ಮಾನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5.2.2 ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು

ಈಗ ಕೆಳಗಿನ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 5.6):

ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಜೋಡಿಯಲ್ಲೂ (ಚಿತ್ರ 5.6) ಕೋನಗಳ ಮಾನಗಳ ಮೊತ್ತ $180^{\circ}$ ಆಗಿ ಬರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಗಮನಿಸುತ್ತೀರಾ? ಅಂತಹ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿರುವಾಗ, ಪ್ರತಿ ಕೋನವು ಇನ್ನೊಂದರ ಪೂರಕ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

1. ಎರಡು ಗುರುಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಬಹುದೇ?

2. ಎರಡು ಲಘುಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಬಹುದೇ?

3. ಎರಡು ಲಂಬಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಬಹುದೇ?

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಚಿತ್ರ 5.7 ರಲ್ಲಿ ಪೂರಕ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

2. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಗಳ ಪೂರಕದ ಮಾನ ಎಷ್ಟು ಆಗುತ್ತದೆ?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. ಎರಡು ಪೂರಕ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡ ಕೋನದ ಮಾನವು ಚಿಕ್ಕ ಕೋನದ ಮಾನಕ್ಕಿಂತ $44^{\circ}$ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಮಾನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ 5.1

1. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಗಳ ಪೂರಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

2. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೋನಗಳ ಪೂರಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

(iii)

3. ಕೆಳಗಿನ ಕೋನಗಳ ಯಾವ ಜೋಡಿಗಳು ಪೂರಕ ಮತ್ತು ಯಾವುವು ಪೂರಕ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಿ.

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. ತನ್ನ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

5. ತನ್ನ ಪೂರಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

6. ನೀಡಲಾದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, $\angle 1$ ಮತ್ತು $\angle 2$ ಪೂರಕ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

$\angle 1$ ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ, ಎರಡೂ ಕೋನಗಳು ಇನ್ನೂ ಪೂರಕವಾಗಿ ಉಳಿಯಲು $\angle 2$ ನಲ್ಲಿ ಯಾವ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಸಂಭವಿಸಬೇಕು?

7. ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಬಹುದೇ ಅವೆರಡೂ:

(i) ಲಘುಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ?

(ii) ಗುರುಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ?

(iii) ಲಂಬಕೋನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ?

8. ಒಂದು ಕೋನವು $45^{\circ}$ ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ. ಅದರ ಪೂರಕ ಕೋನವು $45^{\circ}$ ಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ $45^{\circ}$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ $45^{\circ}$ ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆಯೇ?

9. ಖಾಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ತುಂಬಿರಿ:

(i) ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಮಾನಗಳ ಮೊತ್ತ _______ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(ii) ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಮಾನಗಳ ಮೊತ್ತ _______ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

(iii) ಎರಡು ಪಾರ್ಶ್ವಿಕ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು _______ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

10. ಪಕ್ಕದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಕೆಳಗಿನ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿರಿ.

(i) ಗುರು ಲಂಬವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳು

(ii) ಪಾರ್ಶ್ವಿಕ ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು

(iii) ಸಮ ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು

(iv) ಅಸಮ ಪೂರಕ ಕೋನಗಳು

(v) ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸದ ಪಾರ್ಶ್ವಿಕ ಕೋನಗಳು

5.3 ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳು

5.3.1 ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳು

ಚಿತ್ರ 5.8

ಅದರ ಸ್ಟ್ಯಾಂಡ್ ಮೇಲಿನ ಬ್ಲ್ಯಾಕ್ಬೋರ್ಡ್, ರೇಖಾಖಂಡಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ Y ಅಕ್ಷರ ಮತ್ತು ಕಿಟಕಿಯ ಗ್ರಿಲ್-ದ್ವಾರ (ಚಿತ್ರ 5.8), ಇವೆಲ್ಲದರಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದುದೇನು? ಅವು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು $l$ ಮತ್ತು $m$ ಗಳು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು $O$ ಅವುಗಳ ಛೇದನ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ಯೋಚಿಸಿ, ಚರ್ಚಿಸಿ ಮತ್ತು ಬರೆಯಿರಿ

ಚಿತ್ರ 5.9 ರಲ್ಲಿ, $AC$ ಮತ್ತು $BE$ ಗಳು $P$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

$AC$ ಮತ್ತು $BC$ ಗಳು $C, AC$ ನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು $EC$ ಮತ್ತು $C$ ಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಛೇದಿಸುವ ರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಇನ್ನೂ ಹತ್ತು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಯಾವುದೇ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಅಥವಾ ರೇಖಾಖಂಡಗಳು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಛೇದಿಸಬೇಕೇ? ಈ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸದ ರೇಖಾಖಂಡಗಳ ಎರಡು ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಲ್ಲಿರಾ?

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಹುದೇ? ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 5.9

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನಿಂದ ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

2. ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೋನಗಳ ಮಾನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

3. ಯಾವುದೇ ಆಯತವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳ ಮಾನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

4. ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅವು ಯಾವಾಗಲೂ ಲಂಬಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆಯೇ?

5.3.2 ಛೇದಕ

ಒಂದು ರಸ್ತೆಯು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ರಸ್ತೆಗಳನ್ನು ದಾಟುವುದನ್ನು ಅಥವಾ ಒಂದು ರೈಲು ಮಾರ್ಗವು ಹಲವಾರು ಇತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ದಾಟುವುದನ್ನು ನೀವು ನೋಡಿರಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 5.10). ಇವು ಛೇದಕದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ಛೇದಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.11 ರಲ್ಲಿ, $p$ ರೇಖೆಗಳು $l$ ಮತ್ತು $m$ ಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಛೇದಕವಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ 5.12 ರಲ್ಲಿ ರೇಖೆ $p$ ಒಂದು ಛೇದಕವಲ್ಲ, ಅದು ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು $l$ ಮತ್ತು $m$ ಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದರೂ ಸಹ. ‘ಏಕೆ’ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಲ್ಲಿರಾ?

5.3.3. ಛೇದಕದಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಕೋನಗಳು

ಚಿತ್ರ 5.13 ರಲ್ಲಿ, ನೀವು ರೇಖೆಗಳು $l$ ಮತ್ತು $m$ ಗಳನ್ನು ಛೇದಕ $p$ ನಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಲ್ಪಟ್ಟುದನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಿ. 1 ರಿಂದ 8 ರವರೆಗೆ ಗುರುತಿಸಲಾದ ಎಂಟು ಕೋನಗಳು ಅವುಗಳ ವಿಶೇಷ ಹೆಸರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಚಿತ್ರ 5.13

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

1. ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ನೀವು ಎಷ್ಟು ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಲ್ಲಿರಾ?

2. ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಮೂರು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಛೇದಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಷ್ಟು ಛೇದನ ಬಿಂದುಗಳಿವೆ?

3. ನಿಮ್ಮ ಸುತ್ತಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಗಮನಿಸಿ: ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು (ಚಿತ್ರ 5.14 ರಲ್ಲಿನ $\angle 1$ ಮತ್ತು $\angle 5$ ಗಳಂತೆ)

(i) ವಿಭಿನ್ನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ

(ii) ಛೇದಕದ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು

(iii) ಎರಡು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ‘ಅನುರೂಪ’ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿ (ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ಕೆಳಗೆ, ಎಡ ಅಥವಾ ಬಲ) ಇರುತ್ತವೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು (ಚಿತ್ರ 5.15 ರಲ್ಲಿನ $\angle 3$ ಮತ್ತು $\angle 6$ ಗಳಂತೆ)

(i) ವಿಭಿನ್ನ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ

(ii) ಛೇದಕದ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು

(iii) ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ‘ಮಧ್ಯೆ’ ಇರುತ್ತವೆ.

ಚಿತ್ರ 5.15

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿರಿ:

5.3.4 ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕ

ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಯಾವುವು ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿದೆಯೇ? ಅವು ಒಂದು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಎಲ್ಲಿಯೂ ಸಂಧಿಸದ ರೇಖೆಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಗುರುತಿಸಬಲ್ಲಿರಾ? (ಚಿತ್ರ 5.16)

ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದಕಗಳು ಸಾಕಷ್ಟು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಒಂದು ರೂಲ್ಡ್ ಕಾಗದದ ಹಾಳೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. (ದಪ್ಪ ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ) ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು $l$ ಮತ್ತು $m$ ಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ರೇಖೆಗಳು $l$ ಮತ್ತು $m$ ಗಳಿಗೆ ಒಂದು ಛೇದಕ $t$ ಅನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. $\angle 1$ ಮತ್ತು $\angle 2$ ಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿದಂತೆ ಗುರುತಿಸಿ [ಚಿತ್ರ 5.17(i)]. ಬರೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಟ್ರೇಸಿಂಗ್ ಕಾಗದವನ್ನು ಇರಿಸಿ. ರೇಖೆಗಳು $l, m$ ಮತ್ತು $t$ ಗಳನ್ನು ಟ್ರೇಸ್ ಮಾಡಿ.

$t$ ನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಟ್ರೇಸಿಂಗ್ ಕಾಗದವನ್ನು ಸ್ಲೈಡ್ ಮಾಡಿ, $l$ ಅನ್ನು $m$ ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವವರೆಗೆ.

ಟ್ರೇಸ್ ಮಾಡಿದ ಚಿತ್ರದ ಮೇಲಿನ $\angle 1$ ಮೂಲ ಚಿತ್ರದ $\angle 2$ ನೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಕಾಣುತ್ತೀರಿ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಟ್ರೇಸಿಂಗ್ ಮತ್ತು ಸ್ಲೈಡಿಂಗ್ ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ನೀವು ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ನೋಡಬಹುದು.

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

ಈ ಕ್ರಿಯೆಯು ಕೆಳಗಿನ ಸತ್ಯವನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ:

ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಕದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಯ ಮಾನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇನ್ನೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಚಿತ್ರ 5.18 ಅನ್ನು ನೋಡಿ.

$t$ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ, $l, m$, ನಮಗೆ $\angle 3=\angle 7$ (ಲಂಬವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳು) ಸಿಗುತ್ತದೆ.

ಆದರೆ $\angle 7=\angle 8$ (ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳು). ಆದ್ದರಿಂದ, $\angle 3=\angle 8$

$\angle 1=\angle 6$ ಎಂದು ನೀವು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ನಮಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವಿದೆ:

ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಕದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಪರ್ಯಾಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಎರಡನೇ ಫಲಿತಾಂಶವು ಇನ್ನೊಂದು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಗುಣಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೆ, ಚಿತ್ರ 5.18 ರಿಂದ.

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ($\angle 3$ ಮತ್ತು $\angle 1$ ಒಂದು ರೇಖೀಯ ಜೋಡಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ)

ಆದರೆ $\angle 1=\angle 6$ (ಪರ್ಯಾಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಒಂದು ಜೋಡಿ)

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಅದೇ ರೀತಿ, $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕೆಳಗಿನ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡು ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ಛೇದಕದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ, ಛೇದಕದ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿಯು ಪೂರಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಸಂಬಂಧಿತ ‘ಆಕಾರಗಳನ್ನು’ ನೋಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಹಳ ಸುಲಭವಾಗಿ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಛೇದಕವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಕೋನಗಳನ್ನು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಳತೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

5.4 ಸಮಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಿಗಾಗಿ ಪರಿಶೀಲನೆ

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಒಂದು ಛೇದಕವು ಸಮಾನ ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳು, ಸಮಾನ ಪರ್ಯಾಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಛೇದಕದ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳು ಪೂರಕವಾಗಿರುವುದನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅವು ಸಮಾಂತರವಾಗಿವೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಯಾವುದೇ ವಿಧಾನವಿದೆಯೇ? ಜೀವನೋಪಾಯದ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿಮಗೆ ಈ ಕೌಶಲ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ಒಬ್ಬ ಡ್ರಾಫ್ಟ್ಸ್ಮನ್ ಈ ಖಂಡಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು (ಚಿತ್ರ 5.19) ಒಂದು ಬಡಗಿಯ ಚೌಕ ಮತ್ತು ಒಂದು ನೇರ ಅಂಚು (ಶಾಸಕ) ಬಳಸುತ್ತಾನೆ. ಅವು ಸಮಾಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಅವನು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ. ಹೇಗೆ?

ಅವನು ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆಯೇ? (ಇಲ್ಲಿ ಛೇದಕ ಯಾವುದು?)

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಛೇದಕವು ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ, ಅನುರೂಪ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವಂತೆ, ಆ ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿರಬೇಕು.

Z ಅಕ್ಷರವನ್ನು ನೋಡಿ (ಚಿತ್ರ 5.20). ಇಲ್ಲಿನ ಸಮತಲ ಖಂಡಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಪರ್ಯಾಯ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಒಂದು ಛೇದಕವು ಎರಡು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ, ಪರ್ಯಾಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಜೋಡಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವಂತೆ, ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾಂತರವಾಗಿರಬೇಕು.

ಚಿತ್ರ 5.19

ಚಿತ್ರ 5.20

ಒಂದು ರೇ