५.१ परिचय

तुम्हाला आधीच माहित आहे की दिलेल्या आकृतीमध्ये विविध रेषा, रेषाखंड आणि कोन ओळखायचे कसे. खालील आकृत्यांमध्ये तयार झालेले विविध रेषाखंड आणि कोन तुम्ही ओळखू शकता का? (आकृती ५.१)

तयार झालेले कोन लघुकोन, विशालकोन किंवा काटकोन आहेत का हे देखील तुम्ही ओळखू शकता का?

आठवा की रेषाखंडाला दोन टोकबिंदू असतात. जर आपण दोन्ही टोकबिंदूंना दोन्ही दिशांना अमर्यादपणे वाढवले तर आपल्याला रेषा मिळते. अशाप्रकारे, आपण असे म्हणू शकतो की रेषेला कोणतेही टोकबिंदू नसतात. दुसरीकडे, आठवा की किरणाला एक टोकबिंदू असतो (म्हणजे त्याचा प्रारंभ बिंदू). उदाहरणार्थ, खाली दिलेल्या आकृत्यांकडे पहा:

येथे, आकृती ५.२ (i) एक रेषाखंड दर्शवते, आकृती ५.२ (ii) एक रेषा दर्शवते आणि आकृती ५.२ (iii) एक किरण दर्शवते. रेषाखंड $PQ$ हे सामान्यतः चिन्ह $\overline{PQ}$ द्वारे दर्शवले जाते, रेषा $AB$ हे चिन्ह $\overrightarrow{{}AB}$ द्वारे दर्शवले जाते आणि किरण OP हे $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ द्वारे दर्शवले जाते. तुमच्या दैनंदिन जीवनातील रेषाखंड आणि किरणांची काही उदाहरणे द्या आणि ती तुमच्या मित्रांशी चर्चा करा.

पुन्हा आठवा की रेषा किंवा रेषाखंड एकमेकांना भेटतात तेव्हा कोन तयार होतो. आकृती ५.१ मध्ये, कोपरे पहा. हे कोपरे दोन रेषा किंवा रेषाखंड एका बिंदूवर छेदतात तेव्हा तयार होतात. उदाहरणार्थ, खाली दिलेल्या आकृत्यांकडे पहा:

आकृती ५.३ (i) मध्ये रेषाखंड $AB$ आणि $BC$ हे $B$ वर छेदतात आणि कोन $A B C$ तयार करतात, आणि पुन्हा रेषाखंड $B C$ आणि $A C$ हे $C$ वर छेदतात आणि कोन $ACB$ तयार करतात आणि असेच. तर, आकृती ५.३ (ii) मध्ये रेषा $PQ$ आणि $RS$ ह्या $O$ वर छेदतात आणि चार कोन POS, SOQ, QOR आणि ROP तयार करतात. कोन ABC हे चिन्ह $\angle ABC$ द्वारे दर्शवले जाते. अशाप्रकारे, आकृती ५.३ (i) मध्ये, तयार झालेले तीन कोन $\angle ABC, \angle BCA$ आणि $\angle BAC$ आहेत, आणि आकृती ५.३ (ii) मध्ये, तयार झालेले चार कोन $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ आणि $\angle POR$ आहेत. तुम्ही आधीच

हे करून पहा

तुमच्या आजूबाजूला दहा आकृत्या सूचीबद्ध करा आणि त्यामध्ये आढळणारे लघुकोन, विशालकोन आणि काटकोन ओळखा. कोनांचे लघुकोन, विशालकोन किंवा काटकोन म्हणून वर्गीकरण कसे करायचे ते तुम्ही आधीच अभ्यासले आहे.

टीप: कोन $ABC$ चे माप संदर्भित करताना, आपण $m \angle ABC$ ला फक्त $\angle ABC$ असे लिहू. संदर्भानुसार हे स्पष्ट होईल की आपण कोनाचा उल्लेख करत आहोत की त्याच्या मापाचा.

५.२ संबंधित कोन

५.२.१ कोटिकोन

जेव्हा दोन कोनांच्या मापांची बेरीज $90^{\circ}$ असते, तेव्हा त्या कोनांना कोटिकोन म्हणतात.

हे दोन कोन कोटिकोन आहेत का?

आकृती ५.४

नाही

जेव्हाही दोन कोन कोटिकोन असतात, तेव्हा प्रत्येक कोनाला दुसऱ्या कोनाचा कोटिकोन म्हणतात. वरील आकृतीत (आकृती ५.४), ‘$30^{\circ}$ कोन’ हा ‘$60^{\circ}$ कोन’ चा कोटिकोन आहे आणि त्याउलट.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

१. दोन लघुकोन एकमेकांचे कोटिकोन असू शकतात का?

२. दोन विशालकोन एकमेकांचे कोटिकोन असू शकतात का?

३. दोन काटकोन एकमेकांचे कोटिकोन असू शकतात का?

हे करून पहा

१. खालीलपैकी कोणते कोनांचे जोडे कोटिकोन आहेत? (आकृती ५.५)

२. खालील प्रत्येक कोनाच्या कोटिकोनाचे माप किती आहे?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

३. दोन कोटिकोनांच्या मापांतील फरक $12^{\circ}$ आहे. त्या कोनांची मापे शोधा.

५.२.२ पूरक कोन

आता खालील कोनांच्या जोड्याकडे पाहूया (आकृती ५.६):

तुमच्या लक्षात आले का की वरील प्रत्येक जोडीतील कोनांच्या मापांची बेरीज (आकृती ५.६) $180^{\circ}$ येते? अशा कोनांच्या जोड्यांना पूरक कोन म्हणतात. जेव्हा दोन कोन पूरक असतात, तेव्हा प्रत्येक कोनाला दुसऱ्या कोनाचा पूरक कोन म्हणतात.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

१. दोन विशालकोन पूरक असू शकतात का?

२. दोन लघुकोन पूरक असू शकतात का?

३. दोन काटकोन पूरक असू शकतात का?

हे करून पहा

१. आकृती ५.७ मध्ये पूरक कोनांच्या जोड्या शोधा:

२. खालील प्रत्येक कोनाच्या पूरक कोनाचे माप किती असेल?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

३. दोन पूरक कोनांपैकी मोठ्या कोनाचे माप लहान कोनाच्या मापापेक्षा $44^{\circ}$ ने जास्त आहे. त्यांची मापे शोधा.

क्रियाकलाप ५.१

१. खालील प्रत्येक कोनाचा कोटिकोन शोधा:

२. खालील प्रत्येक कोनाचा पूरक कोन शोधा:

(iii)

३. खालीलपैकी कोणते कोनांचे जोडे कोटिकोन आहेत आणि कोणते पूरक कोन आहेत ते ओळखा.

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

४. असा कोन शोधा जो त्याच्या कोटिकोनाइतकाच आहे.

५. असा कोन शोधा जो त्याच्या पूरक कोनाइतकाच आहे.

६. दिलेल्या आकृतीत, $\angle 1$ आणि $\angle 2$ हे पूरक कोन आहेत.

जर $\angle 1$ कमी केला, तर $\angle 2$ मध्ये काय बदल करावेत जेणेकरून दोन्ही कोन अजूनही पूरक राहतील.

७. दोन कोन पूरक असू शकतात का जर ते दोन्ही:

(i) लघुकोन असतील?

(ii) विशालकोन असतील?

(iii) काटकोन असतील?

८. एक कोन $45^{\circ}$ पेक्षा मोठा आहे. त्याचा कोटिकोन $45^{\circ}$ पेक्षा मोठा आहे की $45^{\circ}$ बरोबर आहे की $45^{\circ}$ पेक्षा लहान आहे?

९. रिकाम्या जागा भरा:

(i) जर दोन कोन कोटिकोन असतील, तर त्यांच्या मापांची बेरीज _______ असते.

(ii) जर दोन कोन पूरक असतील, तर त्यांच्या मापांची बेरीज _______ असते.

(iii) जर दोन लगतचे कोन पूरक असतील, तर ते _______ तयार करतात.

१०. लगतच्या आकृतीत, खालील कोनांच्या जोड्यांची नावे द्या.

(i) विशाल शिरोलंब विरुद्ध कोन

(ii) लगतचे कोटिकोन

(iii) समान पूरक कोन

(iv) असमान पूरक कोन

(v) लगतचे कोन जे रेषीय जोडी तयार करत नाहीत

५.३ रेषांच्या जोड्या

५.३.१ छेदणाऱ्या रेषा

आकृती ५.८

त्याच्या स्टँडवरील ब्लॅकबोर्ड, रेषाखंडांनी बनलेले अक्षर Y आणि खिडकीचे ग्रिल-दरवाजे (आकृती ५.८), या सर्वांमध्ये काय साम्य आहे? ते छेदणाऱ्या रेषांची उदाहरणे आहेत.

दोन रेषा $l$ आणि $m$ एकमेकांना छेदतात जर त्यांना एक समान बिंदू असेल. हा समान बिंदू $O$ हा त्यांचा छेदनबिंदू आहे.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

आकृती ५.९ मध्ये, $AC$ आणि $BE$ ह्या $P$ वर छेदतात.

$AC$ आणि $BC$ ह्या $C, AC$ वर छेदतात आणि $EC$ ह्या $C$ वर छेदतात.

आणखी दहा जोड्या छेदणाऱ्या रेषाखंडांच्या शोधण्याचा प्रयत्न करा.

कोणत्याही दोन रेषा किंवा रेषाखंडांना आवश्यकपणे छेदायचेच का? तुम्ही आकृतीमध्ये न छेदणाऱ्या रेषाखंडांच्या दोन जोड्या शोधू शकता का?

दोन रेषा एकापेक्षा जास्त बिंदूंवर छेदू शकतात का? याचा विचार करा.

आकृती ५.९

हे करून पहा

१. तुमच्या आजूबाजूची अशी उदाहरणे शोधा जिथे रेषा काटकोनात छेदतात.

२. समभुज त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूंवर छेदणाऱ्या रेषांनी तयार केलेल्या कोनांची मापे शोधा.

३. कोणताही आयत काढा आणि छेदणाऱ्या रेषांनी चारही शिरोबिंदूंवर तयार केलेल्या कोनांची मापे शोधा.

४. जर दोन रेषा छेदतात, तर त्या नेहमीच काटकोनात छेदतात का?

५.३.२ छेदिका

तुम्ही एक रस्ता दोन किंवा अधिक रस्त्यांना छेदताना किंवा एक रेल्वे लाइन अनेक इतर लाइन्सना छेदताना पाहिले असेल (आकृती ५.१०). यामुळे छेदिकेची कल्पना मिळते.

एक रेषा जी दोन किंवा अधिक रेषांना वेगवेगळ्या बिंदूंवर छेदते तिला छेदिका म्हणतात.

आकृती ५.११ मध्ये, $p$ ही रेषा $l$ आणि $m$ या रेषांसाठी छेदिका आहे.

आकृती ५.१२ मध्ये रेषा $p$ ही छेदिका नाही, जरी ती दोन रेषा $l$ आणि $m$ यांना छेदते. तुम्ही ‘का’ म्हणू शकता का?

५.३.३ छेदिकेने तयार केलेले कोन

आकृती ५.१३ मध्ये, तुम्ही रेषा $l$ आणि $m$ यांना छेदिका $p$ ने छेदलेले पाहता. १ ते ८ अशी चिन्हांकित केलेली आठ कोनांची विशेष नावे आहेत:

आकृती ५.१३

हे करून पहा

१. समजा दोन रेषा दिलेल्या आहेत. या रेषांसाठी तुम्ही किती छेदिका काढू शकता?

२. जर एक रेषा तीन रेषांसाठी छेदिका असेल, तर किती छेदनबिंदू असतील?

३. तुमच्या आजूबाजूला काही छेदिका ओळखण्याचा प्रयत्न करा.

टीप: संगत कोन (जसे आकृती ५.१४ मधील $\angle 1$ आणि $\angle 5$) यामध्ये समाविष्ट आहे

(i) भिन्न शिरोबिंदू

(ii) छेदिकेच्या एकाच बाजूला असणे आणि

(iii) दोन रेषांच्या सापेक्ष ‘संगत’ स्थानात (वर किंवा खाली, डावीकडे किंवा उजवीकडे) असणे.

एकांतर अंतर्गत कोन (जसे आकृती ५.१५ मधील $\angle 3$ आणि $\angle 6$)

(i) भिन्न शिरोबिंदू असतात

(ii) छेदिकेच्या विरुद्ध बाजूंवर असतात आणि

(iii) दोन रेषांमध्ये ‘मध्ये’ असतात.

आकृती ५.१५

हे करून पहा

प्रत्येक आकृतीतील कोनांच्या जोड्यांची नावे द्या:

५.३.४ समांतर रेषांची छेदिका

तुम्हाला समांतर रेषा काय असतात हे आठवते का? त्या एकाच समतलात असलेल्या अशा रेषा असतात ज्या कुठेही भेटत नाहीत. खालील आकृत्यांमध्ये तुम्ही समांतर रेषा ओळखू शकता का? (आकृती ५.१६)

समांतर रेषांच्या छेदिकांमुळे अगदी मनोरंजक निष्कर्ष निघतात.

हे करा

रेखांकित कागदाचा एक पत्रक घ्या. जाड रंगात दोन समांतर रेषा $l$ आणि $m$ काढा.

रेषा $l$ आणि $m$ साठी एक छेदिका $t$ काढा. $\angle 1$ आणि $\angle 2$ अशी चिन्हांकित करा [आकृती ५.१७(i)]. काढलेल्या आकृतीवर ट्रेसिंग पेपर ठेवा. रेषा $l, m$ आणि $t$ ट्रेस करा.

ट्रेसिंग पेपरला $t$ बाजूने सरकवा, जोपर्यंत $l$ हा $m$ शी एकरूप होत नाही.

तुम्हाला आढळेल की ट्रेस केलेल्या आकृतीवरील $\angle 1$ हा मूळ आकृतीतील $\angle 2$ शी एकरूप होतो.

खरेतर, तुम्ही समान ट्रेसिंग आणि स्लाइडिंग क्रियेद्वारे खालील सर्व निष्कर्ष पाहू शकता.

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

ही क्रिया खालील तथ्य दर्शवते:

जर दोन समांतर रेषांना एका छेदिकेने छेदले, तर संगत कोनांच्या प्रत्येक जोडीचे माप समान असते.

आपण हा निष्कर्ष वापरून दुसरा मनोरंजक निष्कर्ष मिळवतो. आकृती ५.१८ कडे पहा.

जेव्हा $t$ समांतर रेषा $l, m$ यांना छेदते, तेव्हा आपल्याला $\angle 3=\angle 7$ मिळते (शिरोलंब विरुद्ध कोन).

परंतु $\angle 7=\angle 8$ (संगत कोन). म्हणून, $\angle 3=\angle 8$

तुम्ही असेच दाखवू शकता की $\angle 1=\angle 6$. अशाप्रकारे, आपल्याला खालील निष्कर्ष प्राप्त होतो:

जर दोन समांतर रेषांना एका छेदिकेने छेदले, तर एकांतर अंतर्गत कोनांच्या प्रत्येक जोडीचे माप समान असते.

हा दुसरा निष्कर्ष दुसऱ्या मनोरंजक गुणधर्माकडे नेतो. पुन्हा, आकृती ५.१८ वरून.

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ($\angle 3$ आणि $\angle 1$ हे रेषीय जोडी तयार करतात)

परंतु $\angle 1=\angle 6$ (एकांतर अंतर्गत कोनांची एक जोडी)

म्हणून, आपण असे म्हणू शकतो की $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$.

त्याचप्रमाणे, $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$. अशाप्रकारे, आपल्याला खालील निष्कर्ष प्राप्त होतो:

जर दोन समांतर रेषांना एका छेदिकेने छेदले, तर छेदिकेच्या एकाच बाजूला असलेल्या अंतर्गत कोनांच्या प्रत्येक जोडीची बेरीज पूरक असते.

तुम्ही या निष्कर्षांची सहज आठवण करू शकता जर तुम्ही संबंधित ‘आकार’ शोधू शकता.

हे करा

समांतर रेषांची एक जोडी आणि एक छेदिका काढा. कोन प्रत्यक्षात मोजून वरील तीन विधाने तपासा.

हे करून पहा

५.४ समांतर रेषा तपासणे

जर दोन रेषा समांतर असतील, तर तुम्हाला माहित आहे की छेदिकेमुळे समान संगत कोनांच्या जोड्या, समान एकांतर अंतर्गत कोनांच्या जोड्या आणि छेदिकेच्या एकाच बाजूला असलेले अंतर्गत कोन पूरक असतात.

दोन रेषा दिल्या असता, त्या समांतर आहेत की नाही हे तपासण्याची काही पद्धत आहे का? अशा अनेक जीवनोपयोगी परिस्थितींमध्ये तुम्हाला हे कौशल्य आवश्यक आहे.

एक ड्राफ्ट्समन हे खंड काढण्यासाठी सुताराचा चौकोन आणि सरळ कडा (रूलर) वापरतो (आकृती ५.१९). तो दावा करतो की ते समांतर आहेत. कसे?

तो संगत कोन समान ठेवलेले आहेत हे तुम्ही पाहू शकता का? (येथे छेदिका कोणती?)

अशाप्रकारे, जेव्हा छेदिका दोन रेषांना अशा प्रकारे छेदते की संगत कोनांच्या जोड्या समान असतात, तेव्हा त्या रेषा समांतर असल्या पाहिजेत.

अक्षर Z (आकृती ५.२०) कडे पहा. येथील क्षैतिज खंड समांतर आहेत, कारण एकांतर कोन समान आहेत.

जेव्हा छेदिका दोन रेषांना अशा प्रकारे छेदते की एकांतर अंतर्गत कोनांच्या जोड्या समान असतात, तेव्हा त्या रेषा समांतर असल्या पाहिजेत.

आकृती ५.१९

आकृती ५.२०

एक रेषा $l$ काढा (आकृती ५.२१).

एक रेषा $m$ काढा, जी $l$ ला लंब असेल. पुन्हा एक रेषा $p$ काढा, जी $p$ ला लंब असेल.

अशाप्रकारे, $p$ ही $l$ ला लंब असलेल्या रेषेला लंब आहे.

तुम्हाला आढळेल की $p | l$. कसे? हे असे आहे कारण तुम्ही $p$ अशा प्रकारे काढले आहे की $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$.

आकृती ५.२१

अशाप्रकारे, जेव्हा छेदिका दोन रेषांना अशा प्रकारे छेदते की छेदिकेच्या एकाच बाजूला असलेल्या अंतर्गत कोनांच्या जोड्यांची बेरीज पूरक असते, तेव्हा त्या रेषा समांतर असल्या पाहिजेत.

हे करून पहा

क्रियाकलाप ५.२

१. खालील प्रत्येक विधानात कोणता गुणधर्म वापरला आहे ते सांगा?

(i) जर $a || b$, तर $\angle 1=\angle 5$.

(ii) जर $\angle 4=\angle 6$, तर $a \ || b$.

(iii) जर $\angle 4+\angle 5=180^{\circ}$, तर $a \ || b$.

२. लगतच्या आकृतीत, ओळखा

(i) संगत कोनांच्या जोड्या.

(ii) एकांतर अंतर्गत कोनांच्या जोड्या.

(iii) छेदिकेच्या एकाच बाजूला असलेल्या अंतर्गत कोनांच्या जोड्या.

(iv) शिरोलंब विरुद्ध कोन.

३. लगतच्या आकृतीत, $p || q$. अज्ञात कोन शोधा.

४. खालील प्रत्येक आकृतीत $x$ चे मूल्य शोधा जर $l || m$.

५. दिलेल्या आकृतीत, दोन कोनांच्या बाजू समांतर आहेत.

जर $\angle ABC=70^{\circ}$, तर शोधा

(i) $\angle DGC$

(ii) $\angle DEF$

६. खालील दिलेल्या आकृत्यांमध्ये, $l$ ही $m$ ला समांतर आहे का ते ठरवा.

आपण काय चर्चा केली?

१. आपण आठवतो की (i) रेषाखंडाला दोन टोकबिंदू असतात.

(ii) किरणाला फक्त एक टोकबिंदू असतो (त्याचा प्रारंभ बिंदू); आणि

(iii) रेषेला दोन्ही बाजूंना कोणतेही टोकबिंदू नसतात.

२. जेव्हा दोन रेषा $l$ आणि $m$ भेटतात, तेव्हा आपण म्हणतो की त्या छेदतात; भेटण्याच्या बिंदूला छेदनबिंदू म्हणतात.

जेव्हा कागदावर काढलेल्या रेषा भेटत नाहीत, तेव्हा त्या कितीही वाढवल्या तरीही, आपण त्यांना समांतर रेषा म्हणतो.