5.1 పరిచయం

మీరు ఇప్పటికే ఇచ్చిన ఆకారంలో వివిధ రేఖలు, రేఖాఖండాలు మరియు కోణాలను గుర్తించడం ఎలాగో తెలుసు. కింది పటాలలో ఏర్పడే వివిధ రేఖాఖండాలు మరియు కోణాలను మీరు గుర్తించగలరా? (Fig 5.1)

ఏర్పడిన కోణాలు అల్పకోణాలు, అధికకోణాలు లేదా లంబకోణాలా అని కూడా మీరు గుర్తించగలరా?

గుర్తుకు తెచ్చుకోండి, ఒక రేఖాఖండానికి రెండు చివరి బిందువులు ఉంటాయి. మనం ఆ రెండు చివరి బిందువులను ఏ దిశలోనైనా అనంతంగా విస్తరిస్తే, మనకు ఒక రేఖ లభిస్తుంది. అందువల్ల, ఒక రేఖకు చివరి బిందువులు ఉండవు అని చెప్పవచ్చు. మరోవైపు, గుర్తుకు తెచ్చుకోండి, ఒక కిరణానికి ఒక చివరి బిందువు (అంటే దాని ప్రారంభ బిందువు) ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, కింద ఇవ్వబడిన పటాలను చూడండి:

ఇక్కడ, Fig 5.2 (i) ఒక రేఖాఖండాన్ని చూపిస్తుంది, Fig 5.2 (ii) ఒక రేఖను చూపిస్తుంది మరియు Fig 5.2 (iii) ఒక కిరణాన్ని చూపిస్తుంది. ఒక రేఖాఖండం $PQ$ సాధారణంగా $\overline{PQ}$ గుర్తుతో సూచించబడుతుంది, ఒక రేఖ $AB$ $\overrightarrow{{}AB}$ గుర్తుతో సూచించబడుతుంది మరియు OP కిరణం $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ తో సూచించబడుతుంది. మీ రోజువారీ జీవితం నుండి రేఖాఖండాలు మరియు కిరణాలకు కొన్ని ఉదాహరణలు ఇవ్వండి మరియు వాటిని మీ స్నేహితులతో చర్చించండి.

మళ్ళీ గుర్తుకు తెచ్చుకోండి, రేఖలు లేదా రేఖాఖండాలు కలిసినప్పుడు ఒక కోణం ఏర్పడుతుంది. Fig 5.1 లో, మూలలను గమనించండి. ఈ మూలలు రెండు రేఖలు లేదా రేఖాఖండాలు ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకున్నప్పుడు ఏర్పడతాయి. ఉదాహరణకు, కింద ఇవ్వబడిన పటాలను చూడండి:

Fig 5.3 (i) లో రేఖాఖండాలు $AB$ మరియు $BC$ $B$ వద్ద ఖండించుకుని $A B C$ కోణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి, మరలా రేఖాఖండాలు $B C$ మరియు $A C$ $C$ వద్ద ఖండించుకుని $ACB$ కోణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి మరియు ఇలాగే చేస్తాయి. అయితే, Fig 5.3 (ii) లో రేఖలు $PQ$ మరియు $RS$ $O$ వద్ద ఖండించుకుని POS, SOQ, QOR మరియు ROP అనే నాలుగు కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి. ఒక కోణం ABC ను $\angle ABC$ గుర్తుతో సూచిస్తారు. అందువల్ల, Fig 5.3 (i) లో, ఏర్పడిన మూడు కోణాలు $\angle ABC, \angle BCA$ మరియు $\angle BAC$, మరియు Fig 5.3 (ii) లో, ఏర్పడిన నాలుగు కోణాలు $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ మరియు $\angle POR$. కోణాలను అల్పకోణాలు, అధికకోణాలు లేదా లంబకోణాలుగా ఎలా వర్గీకరించాలో మీరు ఇప్పటికే

TRY THESE

మీ చుట్టూ ఉన్న పది ఆకారాలను జాబితా చేయండి మరియు వాటిలో కనిపించే అల్పకోణాలు, అధికకోణాలు మరియు లంబకోణాలను గుర్తించండి. అధ్యయనం చేశారు.

గమనిక: ఒక కోణం $ABC$ యొక్క కొలతను సూచించేటప్పుడు, మనం $m \angle ABC$ ని కేవలం $\angle ABC$ గా వ్రాస్తాము. సందర్భం దానిని స్పష్టం చేస్తుంది, మనం కోణాన్ని సూచిస్తున్నామా లేదా దాని కొలతను సూచిస్తున్నామా.

5.2 సంబంధిత కోణాలు

5.2.1 పూరక కోణాలు

రెండు కోణాల కొలతల మొత్తం $90^{\circ}$ అయినప్పుడు, ఆ కోణాలను పూరక కోణాలు అంటారు.

ఈ రెండు కోణాలు పూరక కోణాలా?

Fig 5.4

కాదు

రెండు కోణాలు పూరక కోణాలు అయినప్పుడల్లా, ప్రతి కోణం మరొక కోణానికి పూరకం అని చెప్పబడుతుంది. పై రేఖాచిత్రంలో (Fig 5.4), ’ $30^{\circ}$ కోణం’ ’ $60^{\circ}$ కోణం’ కి పూరకం మరియు దీనికి విరుద్ధంగా కూడా.

THINK, DISCUSS AND WRITE

1. రెండు అల్పకోణాలు ఒకదానికొకటి పూరకాలు కాగలవా?

2. రెండు అధికకోణాలు ఒకదానికొకటి పూరకాలు కాగలవా?

3. రెండు లంబకోణాలు ఒకదానికొకటి పూరకాలు కాగలవా?

TRY THESE

1. కింది కోణాల జతలలో ఏవి పూరక కోణాలు? (Fig 5.5)

2. కింది కోణాలలో ప్రతి ఒక్కటి యొక్క పూరక కోణం యొక్క కొలత ఎంత?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. రెండు పూరక కోణాల కొలతల మధ్య వ్యత్యాసం $12^{\circ}$. ఆ కోణాల కొలతలను కనుగొనండి.

5.2.2 సంపూరక కోణాలు

ఇప్పుడు కింది కోణాల జతలను చూద్దాం (Fig 5.6):

పై జతలలో (Fig 5.6) ప్రతి జతలోని కోణాల కొలతల మొత్తం $180^{\circ}$ అవుతుందని మీరు గమనించారా? అలాంటి కోణాల జతలను సంపూరక కోణాలు అంటారు. రెండు కోణాలు సంపూరక కోణాలు అయినప్పుడు, ప్రతి కోణం మరొక కోణానికి సంపూరకం అని చెప్పబడుతుంది.

THINK, DISCUSS AND WRITEe

1. రెండు అధికకోణాలు సంపూరకాలు కాగలవా?

2. రెండు అల్పకోణాలు సంపూరకాలు కాగలవా?

3. రెండు లంబకోణాలు సంపూరకాలు కాగలవా?

TRY THESE

1. Fig 5.7 లో సంపూరక కోణాల జతలను కనుగొనండి:

2. కింది కోణాలలో ప్రతి ఒక్కటి యొక్క సంపూరక కోణం యొక్క కొలత ఎంత అవుతుంది?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. రెండు సంపూరక కోణాలలో, పెద్ద కోణం యొక్క కొలత చిన్న కోణం యొక్క కొలత కంటే $44^{\circ}$ ఎక్కువ. వాటి కొలతలను కనుగొనండి.

EXERCISE 5.1

1. కింది కోణాలలో ప్రతి ఒక్కటి యొక్క పూరక కోణాన్ని కనుగొనండి:

2. కింది కోణాలలో ప్రతి ఒక్కటి యొక్క సంపూరక కోణాన్ని కనుగొనండి:

(iii)

3. కింది కోణాల జతలలో ఏవి పూరక కోణాలు మరియు ఏవి సంపూరక కోణాలు అని గుర్తించండి.

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. దాని పూరక కోణానికి సమానమైన కోణాన్ని కనుగొనండి.

5. దాని సంపూరక కోణానికి సమానమైన కోణాన్ని కనుగొనండి.

6. ఇచ్చిన పటంలో, $\angle 1$ మరియు $\angle 2$ సంపూరక కోణాలు.

$\angle 1$ తగ్గించబడితే, రెండు కోణాలు ఇంకా సంపూరక కోణాలుగా ఉండడానికి $\angle 2$ లో ఎలాంటి మార్పులు జరగాలి.

7. రెండు కోణాలు సంపూరకాలు కాగలవా, అవి రెండూ:

(i) అల్పకోణాలు అయితే?

(ii) అధికకోణాలు అయితే?

(iii) లంబకోణాలు అయితే?

8. ఒక కోణం $45^{\circ}$ కంటే పెద్దది. దాని పూరక కోణం $45^{\circ}$ కంటే పెద్దదా లేదా $45^{\circ}$ కి సమానమా లేదా $45^{\circ}$ కంటే చిన్నదా?

9. ఖాళీలను పూరించండి:

(i) రెండు కోణాలు పూరక కోణాలు అయితే, అప్పుడు వాటి కొలతల మొత్తం _______

(ii) రెండు కోణాలు సంపూరక కోణాలు అయితే, అప్పుడు వాటి కొలతల మొత్తం _______

(iii) రెండు ఆసన్న కోణాలు సంపూరకాలు అయితే, అవి ఒక _______ ను ఏర్పరుస్తాయి.

10. ప్రక్క పటంలో, కింది కోణాల జతలను పేర్కొనండి.

(i) అధిక శీర్షాభిముఖ కోణాలు

(ii) ఆసన్న పూరక కోణాలు

(iii) సమాన సంపూరక కోణాలు

(iv) అసమాన సంపూరక కోణాలు

(v) ఆసన్న కోణాలు కానీ రేఖీయ జతను ఏర్పరచని కోణాలు

5.3 రేఖల జతలు

5.3.1 ఖండించే రేఖలు

Fig 5.8

దాని స్టాండ్ మీద ఉన్న బ్లాక్బోర్డ్, రేఖాఖండాలతో తయారైన Y అక్షరం మరియు కిటికీ యొక్క గ్రిల్-డోర్ (Fig 5.8), వీటన్నింటికి ఏది సామాన్యం? అవి ఖండించే రేఖలకు ఉదాహరణలు.

రెండు రేఖలు $l$ మరియు $m$ ఒక సామాన్య బిందువును కలిగి ఉంటే అవి ఖండించుకుంటాయి. ఈ సామాన్య బిందువు $O$ వాటి ఖండన బిందువు.

THINK, DISCUSS AND WRITE

Fig 5.9 లో, $AC$ మరియు $BE$ $P$ వద్ద ఖండించుకుంటాయి.

$AC$ మరియు $BC$ $C, AC$ వద్ద ఖండించుకుంటాయి మరియు $EC$ $C$ వద్ద ఖండించుకుంటాయి.

ఇంకా పది జతల ఖండించే రేఖాఖండాలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

ఏవైనా రెండు రేఖలు లేదా రేఖాఖండాలు తప్పనిసరిగా ఖండించుకుంటాయా? ఈ పటంలో ఖండించుకోని రేఖాఖండాల యొక్క రెండు జతలను మీరు కనుగొనగలరా?

రెండు రేఖలు ఒకటి కంటే ఎక్కువ బిందువుల వద్ద ఖండించుకోగలవా? దాని గురించి ఆలోచించండి.

Fig 5.9

TRY THESE

1. మీ చుట్టూ ఉన్న వాటి నుండి రేఖలు లంబకోణాల వద్ద ఖండించుకునే ఉదాహరణలను కనుగొనండి.

2. ఒక సమబాహు త్రిభుజం యొక్క శీర్షాల వద్ద ఖండించే రేఖలు చేసే కోణాల కొలతలను కనుగొనండి.

3. ఏదైనా దీర్ఘచతురస్రాన్ని గీయండి మరియు ఖండించే రేఖలు చేసే నాలుగు శీర్షాల వద్ద ఉన్న కోణాల కొలతలను కనుగొనండి.

4. రెండు రేఖలు ఖండించుకుంటే, అవి ఎల్లప్పుడూ లంబకోణాల వద్ద ఖండించుకుంటాయా?

5.3.2 తిర్యగ్రేఖ

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రోడ్లను దాటుతున్న రోడ్డు లేదా అనేక ఇతర రేఖలను దాటుతున్న రైల్వే లైన్ (Fig 5.10) మీరు చూసి ఉండవచ్చు. ఇవి తిర్యగ్రేఖ యొక్క భావనను ఇస్తాయి.

రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రేఖలను విభిన్న బిందువుల వద్ద ఖండించే రేఖను తిర్యగ్రేఖ అంటారు.

Fig 5.11 లో, $p$ రేఖలు $l$ మరియు $m$ కి ఒక తిర్యగ్రేఖ.

Fig 5.12 లో రేఖ $p$ ఒక తిర్యగ్రేఖ కాదు, అది రెండు రేఖలు $l$ మరియు $m$ ను కత్తిరించినప్పటికీ. ‘ఎందుకు’ అని మీరు చెప్పగలరా?

5.3.3. తిర్యగ్రేఖ చేసే కోణాలు

Fig 5.13 లో, మీరు రేఖలు $l$ మరియు $m$ తిర్యగ్రేఖ $p$ చే కత్తిరించబడినట్లు చూస్తారు. 1 నుండి 8 వరకు గుర్తించబడిన ఎనిమిది కోణాలకు ప్రత్యేక పేర్లు ఉన్నాయి:

Fig 5.13

TRY THESE

1. రెండు రేఖలు ఇవ్వబడ్డాయి అనుకోండి. ఈ రేఖలకు మీరు ఎన్ని తిర్యగ్రేఖలను గీయగలరు?

2. ఒక రేఖ మూడు రేఖలకు తిర్యగ్రేఖ అయితే, ఎన్ని ఖండన బిందువులు ఉంటాయి?

3. మీ చుట్టూ ఉన్న కొన్ని తిర్యగ్రేఖలను గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి.

గమనిక: సదృశ్య కోణాలు (Fig 5.14 లో $\angle 1$ మరియు $\angle 5$ వంటివి)

(i) విభిన్న శీర్షాలను కలిగి ఉంటాయి

(ii) తిర్యగ్రేఖ యొక్క ఒకే వైపు ఉంటాయి మరియు

(iii) రెండు రేఖలకు సంబంధించి ‘సదృశ్య’ స్థానాలలో (పైన లేదా క్రింద, ఎడమ లేదా కుడి) ఉంటాయి.

ఏకాంతర అంతర కోణాలు (Fig 5.15 లో $\angle 3$ మరియు $\angle 6$ వంటివి)

(i) విభిన్న శీర్షాలను కలిగి ఉంటాయి

(ii) తిర్యగ్రేఖ యొక్క వ్యతిరేక వైపులా ఉంటాయి మరియు

(iii) రెండు రేఖల ‘మధ్య’ ఉంటాయి.

Fig 5.15

TRY THESE

ప్రతి పటంలో కోణాల జతలను పేర్కొనండి:

5.3.4 సమాంతర రేఖల తిర్యగ్రేఖ

సమాంతర రేఖలు అంటే ఏమిటో మీరు గుర్తుంచుకుంటున్నారా? అవి ఒక తలంలో ఎక్కడా కలవని రేఖలు. కింది పటాలలో సమాంతర రేఖలను మీరు గుర్తించగలరా? (Fig 5.16)

సమాంతర రేఖల తిర్యగ్రేఖ చాలా ఆసక్తికరమైన ఫలితాలను ఇస్తుంది.

DO THIS

గీతలు గీయబడిన కాగితపు షీట్ తీసుకోండి. (మందపాటి రంగులో) రెండు సమాంతర రేఖలు $l$ మరియు $m$ గీయండి.

రేఖలు $l$ మరియు $m$ కి ఒక తిర్యగ్రేఖ $t$ గీయండి. [Fig 5.17(i)] లో చూపినట్లుగా $\angle 1$ మరియు $\angle 2$ లను లేబుల్ చేయండి. గీయబడిన పటం మీద ట్రేసింగ్ పేపర్ ఉంచండి. రేఖలు $l, m$ మరియు $t$ ను ట్రేస్ చేయండి.

$t$ వెంబడి ట్రేసింగ్ పేపర్ ను జార్చండి, $l$ $m$ తో ఏకీభవించే వరకు.

ట్రేస్ చేయబడిన పటంలోని $\angle 1$ అసలు పటంలోని $\angle 2$ తో ఏకీభవిస్తుందని మీరు కనుగొంటారు.

నిజానికి, ఇలాంటి ట్రేసింగ్ మరియు స్లైడింగ్ కార్యాచరణ ద్వారా మీరు కింది ఫలితాలన్నింటినీ చూడగలరు.

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

ఈ కార్యాచరణ కింది వాస్తవాన్ని వివరిస్తుంది:

రెండు సమాంతర రేఖలు ఒక తిర్యగ్రేఖ చే కత్తిరించబడితే, సదృశ్య కోణాల యొక్క ప్రతి జత కొలతలో సమానంగా ఉంటాయి.

మరో ఆసక్తికరమైన ఫలితాన్ని పొందడానికి మనం ఈ ఫలితాన్ని ఉపయోగిస్తాము. Fig 5.18 ను చూడండి.

$t$ సమాంతర రేఖలను కత్తిరించినప్పుడు, $l, m$, మనకు లభిస్తుంది, $\angle 3=\angle 7$ (శీర్షాభిముఖ కోణాలు).

కానీ $\angle 7=\angle 8$ (సదృశ్య కోణాలు). అందువల్ల, $\angle 3=\angle 8$

$\angle 1=\angle 6$ అని కూడా మీరు ఇలాగే చూపించగలరు. అందువల్ల, మనకు కింది ఫలితం ఉంది:

రెండు సమాంతర రేఖలు ఒక తిర్యగ్రేఖ చే కత్తిరించబడితే, ఏకాంతర అంతర కోణాల యొక్క ప్రతి జత సమానంగా ఉంటాయి.

ఈ రెండవ ఫలితం మరో ఆసక్తికరమైన లక్షణానికి దారి తీస్తుంది. మళ్ళీ, Fig 5.18 నుండి.

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ( $\angle 3$ మరియు $\angle 1$ ఒక రేఖీయ జతను ఏర్పరుస్తాయి)

కానీ $\angle 1=\angle 6$ (ఏకాంతర అంతర కోణాల జత)

అందువల్ల, మనం చెప్పగలం $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$.

అదేవిధంగా, $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$. అందువల్ల, మనం కింది ఫలితాన్ని పొందుతాము:

రెండు సమాంతర రేఖలు ఒక తిర్యగ్రేఖ చే కత్తిరించబడితే, అప్పుడు తిర్యగ్రేఖ యొక్క ఒకే వైపు ఉన్న అంతర కోణాల యొక్క ప్రతి జత సంపూరకాలు.

సంబంధిత ‘ఆకారాలు’ కోసం మీరు చూడగలిగితే, ఈ ఫలితాలను మీరు చాలా సులభంగా గుర్తుంచుకోగలరు.

DO THIS

సమాంతర రేఖల జత మరియు ఒక తిర్యగ్రేఖ గీయండి. కోణాలను నిజంగా కొలవడం ద్వారా పై మూడు ప్రవచనాలను ధృవీకరించండి.

TRY THESE

5.4 సమాంతర రేఖల కోసం పరిశీలన

రెండు రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు ఒక తిర్యగ్రేఖ సమాన సదృశ్య కోణాల జతలు, సమాన ఏకాంతర అంతర కోణాలు మరియు తిర్యగ్రేఖ యొక్క ఒకే వైపు ఉన్న అంతర కోణాలు సంపూరకాలు అనే జతలను ఇస్తుందని మీకు తెలుసు.

రెండు రేఖలు ఇవ్వబడినప్పుడు, అవి సమాంతరంగా ఉన్నాయా లేదా అని పరిశీలించడానికి ఏదైనా పద్ధతి ఉందా? జీవనోపయోగ పరిస్థితులలో మీకు ఈ నైపుణ్యం అవసరం.

ఒక డ్రాఫ్ట్స్మాన్ ఈ ఖండాలను గీయడానికి (Fig 5.19) ఒక కార్పెంటర్ స్క్వేర్ మరియు స్ట్రెయిట్ ఎడ్జ్ (రూలర్) ను ఉపయోగిస్తాడు. అవి సమాంతరంగా ఉన్నాయని అతను చెప్పాడు. ఎలా?

అతను సదృశ్య కోణాలను సమానంగా ఉంచాడని మీరు చూడగలరా? (ఇక్కడ తిర్యగ్రేఖ ఏది?)

అందువల్ల, ఒక తిర్యగ్రేఖ రెండు రేఖలను కత్తిరించినప్పుడు, సదృశ్య కోణాల జతలు సమానంగా ఉండే విధంగా ఉంటే, రేఖలు సమాంతరంగా ఉండాలి.

Z అక్షరాన్ని చూడండి (Fig 5.20). ఇక్కడ ఉన్న క్షితిజ సమాంత