5.1 அறிமுகம்

ஒரு கொடுக்கப்பட்ட வடிவத்தில் உள்ள வெவ்வேறு கோடுகள், கோட்டுத்துண்டுகள் மற்றும் கோணங்களை எவ்வாறு அடையாளம் காண்பது என்பது உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். பின்வரும் படங்களில் உருவாக்கப்பட்டுள்ள வெவ்வேறு கோட்டுத்துண்டுகள் மற்றும் கோணங்களை அடையாளம் காண முடியுமா? (படம் 5.1)

அந்த கோணங்கள் குறுங்கோணமா, விரிகோணமா அல்லது செங்கோணமா என்பதையும் அடையாளம் காண முடியுமா?

ஒரு கோட்டுத்துண்டுக்கு இரண்டு முனைப் புள்ளிகள் உள்ளன என்பதை நினைவுகூருங்கள். இரண்டு முனைப் புள்ளிகளையும் இரு திசைகளிலும் முடிவில்லாமல் நீட்டினால், நமக்கு ஒரு கோடு கிடைக்கும். எனவே, ஒரு கோட்டுக்கு முனைப் புள்ளிகள் இல்லை என்று சொல்லலாம். மறுபுறம், ஒரு கதிருக்கு ஒரு முனைப் புள்ளி (அதாவது அதன் தொடக்கப் புள்ளி) உள்ளது என்பதை நினைவுகூருங்கள். எடுத்துக்காட்டாக, கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள படங்களைப் பாருங்கள்:

இங்கே, படம் 5.2 (i) ஒரு கோட்டுத்துண்டைக் காட்டுகிறது, படம் 5.2 (ii) ஒரு கோட்டைக் காட்டுகிறது மற்றும் படம் 5.2 (iii) ஒரு கதிரைக் காட்டுகிறது. ஒரு கோட்டுத்துண்டு $PQ$ பொதுவாக $\overline{PQ}$ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது, ஒரு கோடு $AB$ $\overrightarrow{{}AB}$ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது மற்றும் OP கதிர் $\stackrel{\text{ UP }}{OP}$ என்று குறிக்கப்படுகிறது. உங்கள் அன்றாட வாழ்வில் இருந்து கோட்டுத்துண்டுகள் மற்றும் கதிர்களுக்கு சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் கொடுத்து, அவற்றை உங்கள் நண்பர்களுடன் விவாதிக்கவும்.

மீண்டும் நினைவுகூருங்கள், கோடுகள் அல்லது கோட்டுத்துண்டுகள் சந்திக்கும் போது ஒரு கோணம் உருவாகிறது. படம் 5.1 இல், மூலைகளைக் கவனியுங்கள். இந்த மூலைகள் இரண்டு கோடுகள் அல்லது கோட்டுத்துண்டுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டும் போது உருவாகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள படங்களைப் பாருங்கள்:

படம் 5.3 (i) இல், கோட்டுத்துண்டுகள் $AB$ மற்றும் $BC$ ஆகியவை $B$ இல் வெட்டி $A B C$ கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, மீண்டும் கோட்டுத்துண்டுகள் $B C$ மற்றும் $A C$ ஆகியவை $C$ இல் வெட்டி $ACB$ கோணத்தை உருவாக்குகின்றன, மற்றும் பல. அதேசமயம், படம் 5.3 (ii) இல், கோடுகள் $PQ$ மற்றும் $RS$ ஆகியவை $O$ இல் வெட்டி POS, SOQ, QOR மற்றும் ROP ஆகிய நான்கு கோணங்களை உருவாக்குகின்றன. ஒரு கோணம் ABC என்பது $\angle ABC$ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. எனவே, படம் 5.3 (i) இல், உருவாகும் மூன்று கோணங்கள் $\angle ABC, \angle BCA$ மற்றும் $\angle BAC$ ஆகும், மற்றும் படம் 5.3 (ii) இல், உருவாகும் நான்கு கோணங்கள் $\angle POS, \angle SOQ, \angle QOR$ மற்றும் $\angle POR$ ஆகும். கோணங்களை குறுங்கோணம், விரிகோணம் அல்லது செங்கோணம் என வகைப்படுத்துவது எப்படி என்பதை நீங்கள் ஏற்கனவே படித்துள்ளீர்கள்.

முயற்சி செய்யுங்கள்

உங்களைச் சுற்றிலும் உள்ள பத்து வடிவங்களை பட்டியலிடுங்கள் மற்றும் அவற்றில் காணப்படும் குறுங்கோணங்கள், விரிகோணங்கள் மற்றும் செங்கோணங்களை அடையாளம் காணுங்கள்.

குறிப்பு: ஒரு கோணத்தின் அளவைக் குறிப்பிடும் போது $ABC$, நாம் $m \angle ABC$ என்பதை வெறுமனே $\angle ABC$ என்று எழுதுவோம். நாம் கோணத்தைக் குறிப்பிடுகிறோமா அல்லது அதன் அளவைக் குறிப்பிடுகிறோமா என்பதை சூழல் தெளிவுபடுத்தும்.

5.2 தொடர்புடைய கோணங்கள்

5.2.1 நிரப்புக் கோணங்கள்

இரண்டு கோணங்களின் அளவுகளின் கூடுதல் $90^{\circ}$ ஆக இருக்கும் போது, அந்த கோணங்கள் நிரப்புக் கோணங்கள் எனப்படும்.

இந்த இரண்டு கோணங்களும் நிரப்புக் கோணங்களா?

படம் 5.4

இல்லை

இரண்டு கோணங்கள் நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்கும் போதெல்லாம், ஒவ்வொரு கோணமும் மற்ற கோணத்தின் நிரப்புக் கோணம் என்று கூறப்படுகிறது. மேலே உள்ள வரைபடத்தில் (படம் 5.4), ‘$30^{\circ}$ கோணம்’ என்பது ‘$60^{\circ}$ கோணத்தின்’ நிரப்புக் கோணம் மற்றும் நேர்மாறாகவும் உள்ளது.

சிந்தியுங்கள், விவாதியுங்கள் மற்றும் எழுதுங்கள்

1. இரண்டு குறுங்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்க முடியுமா?

2. இரண்டு விரிகோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்க முடியுமா?

3. இரண்டு செங்கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்க முடியுமா?

முயற்சி செய்யுங்கள்

1. பின்வரும் கோணங்களில் எந்த இணைகள் நிரப்புக் கோணங்களாகும்? (படம் 5.5)

2. பின்வரும் ஒவ்வொரு கோணத்தின் நிரப்புக் கோணத்தின் அளவு என்ன?

(i) $45^{\circ}$

(ii) $65^{\circ}$

(iii) $41^{\circ}$

(iv) $54^{\circ}$

3. இரண்டு நிரப்புக் கோணங்களின் அளவுகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம் $12^{\circ}$ ஆகும். அந்த கோணங்களின் அளவுகளைக் கண்டறியவும்.

5.2.2 மிகை நிரப்புக் கோணங்கள்

இப்போது பின்வரும் கோண இணைகளைப் பார்ப்போம் (படம் 5.6):

மேலே உள்ள ஒவ்வொரு இணையிலும் (படம் 5.6) கோணங்களின் அளவுகளின் கூடுதல் $180^{\circ}$ ஆக வருவதை நீங்கள் கவனிக்கிறீர்களா? இத்தகைய கோண இணைகள் மிகை நிரப்புக் கோணங்கள் எனப்படும். இரண்டு கோணங்கள் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்கும் போது, ஒவ்வொரு கோணமும் மற்ற கோணத்தின் மிகை நிரப்புக் கோணம் என்று கூறப்படுகிறது.

சிந்தியுங்கள், விவாதியுங்கள் மற்றும் எழுதுங்கள்

1. இரண்டு விரிகோணங்கள் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்க முடியுமா?

2. இரண்டு குறுங்கோணங்கள் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்க முடியுமா?

3. இரண்டு செங்கோணங்கள் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்க முடியுமா?

முயற்சி செய்யுங்கள்

1. படம் 5.7 இல் மிகை நிரப்புக் கோண இணைகளைக் கண்டறியவும்:

2. பின்வரும் ஒவ்வொரு கோணத்தின் மிகை நிரப்புக் கோணத்தின் அளவு என்னவாக இருக்கும்?

(i) $100^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $55^{\circ}$

(iv) $125^{\circ}$

3. இரண்டு மிகை நிரப்புக் கோணங்களில், பெரிய கோணத்தின் அளவு சிறிய கோணத்தின் அளவை விட $44^{\circ}$ அதிகம். அவற்றின் அளவுகளைக் கண்டறியவும்.

பயிற்சி 5.1

1. பின்வரும் ஒவ்வொரு கோணத்தின் நிரப்புக் கோணத்தைக் கண்டறியவும்:

2. பின்வரும் ஒவ்வொரு கோணத்தின் மிகை நிரப்புக் கோணத்தைக் கண்டறியவும்:

(iii)

3. பின்வரும் கோண இணைகளில் எவை நிரப்புக் கோணங்கள் மற்றும் எவை மிகை நிரப்புக் கோணங்கள் என அடையாளம் காணவும்.

(i) $65^{\circ}, 115^{\circ}$

(ii) $63^{\circ}, 27^{\circ}$

(iii) $112^{\circ}, 68^{\circ}$

(iv) $130^{\circ}, 50^{\circ}$

(v) $45^{\circ}, 45^{\circ}$

(vi) $80^{\circ}, 10^{\circ}$

4. அதன் நிரப்புக் கோணத்திற்குச் சமமான கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

5. அதன் மிகை நிரப்புக் கோணத்திற்குச் சமமான கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

6. கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், $\angle 1$ மற்றும் $\angle 2$ ஆகியவை மிகை நிரப்புக் கோணங்கள்.

$\angle 1$ குறைக்கப்பட்டால், இரண்டு கோணங்களும் இன்னும் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்க $\angle 2$ இல் என்ன மாற்றங்கள் நடக்க வேண்டும்.

7. இரண்டு கோணங்கள் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்க முடியுமா, அவை இரண்டும்:

(i) குறுங்கோணங்களாக இருந்தால்?

(ii) விரிகோணங்களாக இருந்தால்?

(iii) செங்கோணங்களாக இருந்தால்?

8. ஒரு கோணம் $45^{\circ}$ ஐ விடப் பெரியது. அதன் நிரப்புக் கோணம் $45^{\circ}$ ஐ விடப் பெரியதா அல்லது $45^{\circ}$ க்குச் சமமா அல்லது $45^{\circ}$ ஐ விடச் சிறியதா?

9. வெற்றிடங்களை நிரப்புக:

(i) இரண்டு கோணங்கள் நிரப்புக் கோணங்களாக இருந்தால், அவற்றின் அளவுகளின் கூடுதல் _______

(ii) இரண்டு கோணங்கள் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருந்தால், அவற்றின் அளவுகளின் கூடுதல் _______

(iii) இரண்டு அடுத்தடுத்த கோணங்கள் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருந்தால், அவை ஒரு _______ ஐ உருவாக்குகின்றன.

10. அடுத்துள்ள படத்தில், பின்வரும் கோண இணைகளுக்குப் பெயரிடவும்.

(i) விரிகோண முழு எதிர்க் கோணங்கள்

(ii) அடுத்தடுத்த நிரப்புக் கோணங்கள்

(iii) சமமான மிகை நிரப்புக் கோணங்கள்

(iv) சமமற்ற மிகை நிரப்புக் கோணங்கள்

(v) ஒரு கோட்டிய இணையை உருவாக்காத அடுத்தடுத்த கோணங்கள்

5.3 கோட்டு இணைகள்

5.3.1 வெட்டும் கோடுகள்

படம் 5.8

அதன் நிலையில் உள்ள கரும்பலகை, கோட்டுத்துண்டுகளால் ஆன Y என்ற எழுத்து மற்றும் ஒரு சாளரத்தின் கிரில்-கதவு (படம் 5.8), இவை அனைத்திற்கும் பொதுவானது என்ன? அவை வெட்டும் கோடுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்.

இரண்டு கோடுகள் $l$ மற்றும் $m$ ஒரு பொதுப் புள்ளியைக் கொண்டிருந்தால் வெட்டுகின்றன. இந்த பொதுப் புள்ளி $O$ அவற்றின் வெட்டுப்புள்ளி.

சிந்தியுங்கள், விவாதியுங்கள் மற்றும் எழுதுங்கள்

படம் 5.9 இல், $AC$ மற்றும் $BE$ ஆகியவை $P$ இல் வெட்டுகின்றன.

$AC$ மற்றும் $BC$ ஆகியவை $C, AC$ இல் வெட்டுகின்றன மற்றும் $EC$ ஆகியவை $C$ இல் வெட்டுகின்றன.

வெட்டும் கோட்டுத்துண்டுகளின் மற்றொரு பத்து இணைகளைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும்.

எந்த இரண்டு கோடுகள் அல்லது கோட்டுத்துண்டுகளும் அவசியம் வெட்ட வேண்டுமா? படத்தில் வெட்டாத இரண்டு இணை கோட்டுத்துண்டுகளைக் காண முடியுமா?

இரண்டு கோடுகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட புள்ளிகளில் வெட்ட முடியுமா? அதைப் பற்றி சிந்தியுங்கள்.

படம் 5.9

முயற்சி செய்யுங்கள்

1. கோடுகள் செங்கோணங்களில் வெட்டும் உங்களைச் சுற்றிலும் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைக் கண்டறியவும்.

2. ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளில் வெட்டும் கோடுகளால் உருவாக்கப்பட்ட கோணங்களின் அளவுகளைக் கண்டறியவும்.

3. ஏதேனும் ஒரு செவ்வகத்தை வரைந்து, வெட்டும் கோடுகளால் நான்கு உச்சிகளில் உருவாகும் கோணங்களின் அளவுகளைக் கண்டறியவும்.

4. இரண்டு கோடுகள் வெட்டினால், அவை எப்போதும் செங்கோணங்களில் வெட்டுகின்றனவா?

5.3.2 குறுக்குவெட்டி

ஒரு சாலை இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சாலைகளைக் கடப்பதையோ அல்லது ஒரு ரயில் பாதை பல கோடுகளைக் கடப்பதையோ நீங்கள் பார்த்திருக்கலாம் (படம் 5.10). இவை ஒரு குறுக்குவெட்டியைப் பற்றிய யோசனையைத் தருகின்றன.

இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கோடுகளை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டும் ஒரு கோடு குறுக்குவெட்டி எனப்படும்.

படம் 5.11 இல், $p$ என்பது $l$ மற்றும் $m$ கோடுகளுக்கு ஒரு குறுக்குவெட்டியாகும்.

படம் 5.12 இல், $p$ என்ற கோடு ஒரு குறுக்குவெட்டி அல்ல, அது இரண்டு கோடுகளை $l$ மற்றும் $m$ வெட்டினாலும். ‘ஏன்’ என்று சொல்ல முடியுமா?

5.3.3. ஒரு குறுக்குவெட்டியால் உருவாகும் கோணங்கள்

படம் 5.13 இல், $l$ மற்றும் $m$ கோடுகள் $p$ என்ற குறுக்குவெட்டியால் வெட்டப்படுவதை நீங்கள் காண்கிறீர்கள். 1 முதல் 8 வரை குறிக்கப்பட்ட எட்டு கோணங்களுக்கு சிறப்புப் பெயர்கள் உள்ளன:

படம் 5.13

முயற்சி செய்யுங்கள்

1. இரண்டு கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த கோடுகளுக்கு எத்தனை குறுக்குவெட்டிகளை வரைய முடியும்?

2. ஒரு கோடு மூன்று கோடுகளுக்கு குறுக்குவெட்டியாக இருந்தால், எத்தனை வெட்டுப்புள்ளிகள் உள்ளன?

3. உங்களைச் சுற்றிலும் சில குறுக்குவெட்டிகளை அடையாளம் காண முயற்சிக்கவும்.

குறிப்பு: ஒத்த கோணங்கள் (படம் 5.14 இல் உள்ள $\angle 1$ மற்றும் $\angle 5$ போன்றவை) பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்குகின்றன:

(i) வெவ்வேறு உச்சிகள்

(ii) குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கத்தில் உள்ளன

(iii) இரண்டு கோடுகளுடன் தொடர்புடைய ‘ஒத்த’ நிலைகளில் (மேலே அல்லது கீழே, இடது அல்லது வலது) உள்ளன.

மாற்று உட்கோணங்கள் (படம் 5.15 இல் உள்ள $\angle 3$ மற்றும் $\angle 6$ போன்றவை)

(i) வெவ்வேறு உச்சிகள் கொண்டவை

(ii) குறுக்குவெட்டியின் எதிரெதிர் பக்கங்களில் உள்ளன

(iii) இரண்டு கோடுகளுக்கு ‘இடையே’ அமைந்துள்ளன.

படம் 5.15

முயற்சி செய்யுங்கள்

ஒவ்வொரு படத்திலும் உள்ள கோண இணைகளுக்குப் பெயரிடுங்கள்:

5.3.4 இணைகோடுகளின் குறுக்குவெட்டி

இணைகோடுகள் என்றால் என்ன என்பது உங்களுக்கு நினைவிருக்கிறதா? அவை ஒரு தளத்தில் எங்கும் சந்திக்காத கோடுகள். பின்வரும் படங்களில் இணைகோடுகளை அடையாளம் காண முடியுமா? (படம் 5.16)

இணைகோடுகளின் குறுக்குவெட்டிகள் மிகவும் சுவாரஸ்யமான முடிவுகளைத் தருகின்றன.

இதைச் செய்யுங்கள்

ஒரு வரிகளுடன் கூடிய காகிதத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். (தடித்த நிறத்தில்) இரண்டு இணைகோடுகள் $l$ மற்றும் $m$ ஐ வரையவும்.

$l$ மற்றும் $m$ கோடுகளுக்கு ஒரு குறுக்குவெட்டி $t$ ஐ வரையவும். [படம் 5.17(i)] இல் காட்டப்பட்டுள்ளபடி $\angle 1$ மற்றும் $\angle 2$ ஐக் குறிக்கவும். வரையப்பட்ட படத்தின் மேல் ஒரு காகிதத்தை வைத்து தடவவும். $l, m$ மற்றும் $t$ கோடுகளைத் தடவவும்.

$t$ வழியாக காகிதத்தை நகர்த்தவும், $l$ ஆனது $m$ உடன் ஒத்துப்போகும் வரை.

தடவப்பட்ட படத்தில் உள்ள $\angle 1$ ஆனது அசல் படத்தில் உள்ள $\angle 2$ உடன் ஒத்துப்போவதை நீங்கள் காண்பீர்கள்.

உண்மையில், இதே போன்ற தடவுதல் மற்றும் நகர்த்தும் செயல்பாட்டின் மூலம் பின்வரும் அனைத்து முடிவுகளையும் நீங்கள் பார்க்கலாம்.

(i) $\angle 1=\angle 2\quad$ (ii) $\angle 3=\angle 4$

(iii) $\angle 5=\angle 6\quad$ (iv) $\angle 7=\angle 8$

இந்த செயல்பாடு பின்வரும் உண்மையை விளக்குகிறது:

இரண்டு இணைகோடுகள் ஒரு குறுக்குவெட்டியால் வெட்டப்பட்டால், ஒத்த கோணங்களின் ஒவ்வொரு இணையும் அளவில் சமமாக இருக்கும்.

இந்த முடிவைப் பயன்படுத்தி மற்றொரு சுவாரஸ்யமான முடிவைப் பெறுகிறோம். படம் 5.18 ஐப் பாருங்கள்.

$t$ ஆனது இணைகோடுகளை வெட்டும் போது, $l, m$, நமக்குக் கிடைக்கிறது, $\angle 3=\angle 7$ (முழு எதிர்க் கோணங்கள்).

ஆனால் $\angle 7=\angle 8$ (ஒத்த கோணங்கள்). எனவே, $\angle 3=\angle 8$

$\angle 1=\angle 6$ என்பதை இதேபோல் நீங்கள் காட்டலாம். எனவே, நமக்கு பின்வரும் முடிவு கிடைக்கிறது:

இரண்டு இணைகோடுகள் ஒரு குறுக்குவெட்டியால் வெட்டப்பட்டால், மாற்று உட்கோணங்களின் ஒவ்வொரு இணையும் சமமாக இருக்கும்.

இந்த இரண்டாவது முடிவு மற்றொரு சுவாரஸ்யமான பண்புக்கு வழிவகுக்கிறது. மீண்டும், படம் 5.18 இலிருந்து.

$\angle 3+\angle 1=180^{\circ}$ ( $\angle 3$ மற்றும் $\angle 1$ ஒரு கோட்டிய இணையை உருவாக்குகின்றன)

ஆனால் $\angle 1=\angle 6$ (மாற்று உட்கோணங்களின் ஒரு இணை)

எனவே, $\angle 3+\angle 6=180^{\circ}$ என்று சொல்லலாம்.

இதேபோல், $\angle 1+\angle 8=180^{\circ}$. எனவே, நாம் பின்வரும் முடிவைப் பெறுகிறோம்:

இரண்டு இணைகோடுகள் ஒரு குறுக்குவெட்டியால் வெட்டப்பட்டால், குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கத்தில் உள்ள உட்கோணங்களின் ஒவ்வொரு இணையும் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்கும்.

தொடர்புடைய ‘வடிவங்களை’ நீங்கள் தேட முடிந்தால் இந்த முடிவுகளை மிக எளிதாக நினைவில் வைத்துக் கொள்ளலாம்.

இதைச் செய்யுங்கள்

ஒரு இணைகோடுகள் மற்றும் ஒரு குறுக்குவெட்டியை வரையவும். கோணங்களை உண்மையில் அளவிடுவதன் மூலம் மேலே உள்ள மூன்று கூற்றுகளையும் சரிபார்க்கவும்.

முயற்சி செய்யுங்கள்

5.4 இணைகோடுகளுக்கான சரிபார்ப்பு

இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருந்தால், ஒரு குறுக்குவெட்டி சமமான ஒத்த கோண இணைகள், சமமான மாற்று உட்கோணங்கள் மற்றும் குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கத்தில் உள்ள உட்கோணங்கள் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருக்கும் என்பது உங்களுக்குத் தெரியும்.

இரண்டு கோடுகள் கொடுக்கப்பட்டால், அவை இணையானதா இல்லையா என்பதைச் சரிபார்க்க எந்த முறையும் உள்ளதா? வாழ்க்கைசார் பல சூழ்நிலைகளில் உங்களுக்கு இந்த திறன் தேவைப்படுகிறது.

ஒரு வரைவாளர் ஒரு தச்சரின் சதுரம் மற்றும் ஒரு நேரான விளிம்பு (அளவுகோல்) ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி இந்த கோட்டுத்துண்டுகளை வரைகிறார் (படம் 5.19). அவை இணையானவை என்று அவர் கூறுகிறார். எப்படி?

அவர் ஒத்த கோணங்களை சமமாக வைத்திருக்கிறார் என்பதை நீங்கள் பார்க்க முடிகிறதா? (இங்கே குறுக்குவெட்டி எது?)

எனவே, ஒரு குறுக்குவெட்டி இரண்டு கோடுகளை வெட்டும் போது, ஒத்த கோணங்களின் இணைகள் சமமாக இருந்தால், அந்த கோடுகள் இணையாக இருக்க வேண்டும்.

Z என்ற எழுத்தைப் பாருங்கள் (படம் 5.20). இங்கே உள்ள கிடைமட்ட கோட்டுத்துண்டுகள் இணையானவை, ஏனெனில் மாற்றுக் கோணங்கள் சமமாக உள்ளன.

ஒரு குறுக்குவெட்டி இரண்டு கோடுகளை வெட்டும் போது, மாற்று உட்கோணங்களின் இணைகள் சமமாக இருந்தால், அந்த கோடுகள் இணையாக இருக்க வேண்டும்.

படம் 5.19

படம் 5.20

ஒரு கோடு $l$ ஐ வரையவும் (படம் 5.21).

ஒரு கோடு $m$ ஐ வரையவும், அது $l$ க்கு செங்குத்தாக இருக்கும். மீண்டும் ஒரு கோடு $p$ ஐ வரையவும், அது $p$ ஆனது $m$ க்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

எனவே, $p$ ஆனது $l$ க்கு செங்குத்தாக உள்ள ஒரு செங்குத்துக்கு செங்குத்தாக உள்ளது.

நீங்கள் $p | l$ என்பதைக் காண்கிறீர்கள். எப்படி? ஏனென்றால் நீங்கள் $p$ ஐ $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$ ஆக இருக்கும் வகையில் வரைந்துள்ளீர்கள்.

படம் 5.21

எனவே, ஒரு குறுக்குவெட்டி இரண்டு கோடுகளை வெட்டும் போது, குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கத்தில் உள்ள உட்கோணங்களின் இணைகள் மிகை நிரப்புக் கோணங்களாக இருந்தால், அந்த கோடுகள் இணையாக இருக்க வேண்டும்.

முயற்சி செய்யுங்கள்

பயிற்சி 5.2

1. பின்வரும் கூற்றுகளில் ஒவ்வொன்றிலும் பயன்படுத்தப்படும் பண்பு என்ன எனக் கூறுக?

(i) $a || b$ எனில், $\angle 1=\angle 5$.

(ii) $\angle 4=\angle 6$ எனில், $a \ || b$.

(iii) $\angle 4+\angle 5=180^{\circ}$ எனில், $a \ || b$.

2. அடுத்துள்ள படத்தில், அடையாளம் காணவும்

(i) ஒத்த கோணங்களின் இணைகள்.

(ii) மாற்று உட்கோணங்களின் இணைகள்.

(iii) குறுக்குவெட்டியின் ஒரே பக்கத்தில் உள்ள உட்கோணங்களின் இணைகள்.

(iv) முழு எதிர்க் கோணங்கள்.

3. அடுத்துள்ள படத்தில், $p || q$. அறியப்படாத கோணங்களைக் கண்டறியவும்.

4. $l || m$ எனில், பின்வரும் ஒவ்வொரு படத்திலும் $x$ இன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

5. கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், இரண்டு கோணங்களின் கைகள்