৯.১ একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল

আমরা বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্র ছাড়াও আরও অনেক আকৃতি দেখতে পাই।

একটি জমির ক্ষেত্রফল কীভাবে বের করবে যদি তার আকৃতি সামান্তরিক হয়?

চলো একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের করার পদ্ধতি খুঁজে বের করি।

একটি সামান্তরিককে কি সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রে রূপান্তরিত করা যায়?

গ্রাফ পেপারে একটি সামান্তরিক আঁকো যেমন চিত্র ৯.১(i)-এ দেখানো হয়েছে। সামান্তরিকটি কেটে নাও। সামান্তরিকের একটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর একটি লম্ব আঁকো [চিত্র ৯.১(ii)]। ত্রিভুজটি কেটে নাও। ত্রিভুজটিকে সামান্তরিকের অপর পাশে সরিয়ে নাও।

তুমি কী আকৃতি পেলে? তুমি একটি আয়তক্ষেত্র পেলে।

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কি গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান?

হ্যাঁ, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $=$ গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত?

চিত্র ৯.২

আমরা দেখতে পাই যে গঠিত আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য সামান্তরিকের ভূমির সমান এবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ সামান্তরিকের উচ্চতার সমান (চিত্র ৯.২)।

এখন,

$ \begin{aligned} \text{ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল } & =\text{ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল } \\ & =\text{ দৈর্ঘ্য } \times \text{ প্রস্থ }=l \times b \end{aligned} $

কিন্তু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $l$ এবং প্রস্থ $b$ যথাক্রমে সামান্তরিকের ভূমি $b$ এবং উচ্চতা $h$-এর ঠিক সমান।

সুতরাং, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $=$ ভূমি $\times$ উচ্চতা $=b \times h$।

সামান্তরিকের যেকোনো বাহুকে এর ভূমি হিসেবে নির্বাচন করা যায়। বিপরীত শীর্ষবিন্দু থেকে সেই বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বকে উচ্চতা (উচ্চতা) বলা হয়। সামান্তরিক $ABCD, DE$-এ

c $A B$-এর উপর লম্ব। এখানে $A B$ হল ভূমি এবং DE হল সামান্তরিকের উচ্চতা।

এই সামান্তরিকটিতে $ABCD, BF$ বিপরীত বাহু AD-এর উপর লম্ব। এখানে $AD$ হল ভূমি এবং $BF$ হল উচ্চতা।

নিচের সামান্তরিকগুলি বিবেচনা করো (চিত্র ৯.২)।

চিত্র ৯.৩

চিত্রের মধ্যে আবদ্ধ বর্গক্ষেত্রগুলি গণনা করে সামান্তরিকগুলির ক্ষেত্রফল বের করো এবং বাহুগুলি মেপে পরিসীমাও বের করো।

নিচের সারণিটি পূরণ করো:

তুমি দেখবে যে এই সব সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সমান কিন্তু পরিসীমা ভিন্ন। এখন, নিচের সামান্তরিকগুলি বিবেচনা করো যাদের বাহু $7 ~cm$ এবং $5 ~cm$ (চিত্র ৯.৪)।

চিত্র ৯.৪

এই প্রতিটি সামান্তরিকের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল বের করো। তোমার ফলাফল বিশ্লেষণ করো।

তুমি দেখবে যে এই সামান্তরিকগুলির ক্ষেত্রফল ভিন্ন কিন্তু পরিসীমা সমান।

একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের করতে, তোমার শুধু সামান্তরিকের ভূমি এবং সংশ্লিষ্ট উচ্চতা জানা প্রয়োজন।

চেষ্টা করো

নিচের সামান্তরিকগুলির ক্ষেত্রফল বের করো:

(i)

(ii)

(iii) একটি সামান্তরিকে $A B C D, A B=7.2 ~cm$ এবং $C$ থেকে $A B$-এর উপর অঙ্কিত লম্ব $4.5 ~cm$।

৯.২ একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

একজন মালী একটি ত্রিভুজাকার বাগানের পুরোটা ঘাস দিয়ে ঢাকতে কত খরচ হবে তা জানতে চায়।

এই ক্ষেত্রে আমাদের ত্রিভুজাকার অঞ্চলের ক্ষেত্রফল জানা প্রয়োজন।

চলো একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার একটি পদ্ধতি খুঁজে বের করি।

একটি কাগজের টুকরোতে একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। ত্রিভুজটি কেটে নাও। এই ত্রিভুজটি অন্য একটি কাগজের টুকরোর উপর রাখো এবং একই আকারের আরেকটি ত্রিভুজ কেটে নাও।

সুতরাং এখন তোমার কাছে একই আকারের দুটি বিষমবাহু ত্রিভুজ আছে।

দুটি ত্রিভুজ কি সর্বসম?

একটি ত্রিভুজকে অপরটির উপর এমনভাবে স্থাপন করো যাতে তারা মিলে যায়। তোমাকে হয়তো দুটি ত্রিভুজের একটি ঘুরিয়ে নিতে হতে পারে।

এখন দুটি ত্রিভুজকে এমনভাবে স্থাপন করো যাতে একজোড়া অনুরূপ বাহু যুক্ত হয়ে যায় যেমন চিত্র ৯.৫-এ দেখানো হয়েছে।

এইভাবে গঠিত আকৃতিটি কি একটি সামান্তরিক?

প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের সাথে তুলনা করো।

ত্রিভুজগুলির ভূমি ও উচ্চতা সামান্তরিকের ভূমি ও উচ্চতার সাথে তুলনা করো।

তুমি দেখবে যে দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের সমান। ত্রিভুজের ভূমি ও উচ্চতা যথাক্রমে সামান্তরিকের ভূমি ও উচ্চতার সমান।

প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}($ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $)$

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(\text{ ভূমি } \times \text{ উচ্চতা })(\text{ যেহেতু একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল }=\text{ ভূমি } \times \text{ উচ্চতা }) \\ & =\frac{1}{2}(b \times h)(\text{ বা সংক্ষেপে } \frac{1}{2} b h) \end{aligned} $

চেষ্টা করো

১. বিভিন্ন ধরনের ত্রিভুজ নিয়ে উপরের কাজটি চেষ্টা করো।

২. বিভিন্ন সামান্তরিক নাও। প্রতিটি সামান্তরিককে এর যেকোনো কর্ণ বরাবর কেটে দুটি ত্রিভুজে ভাগ করো। ত্রিভুজগুলি কি সর্বসম?

চিত্রে (চিত্র ৯.৬) সব ত্রিভুজই ভূমি $AB=6 ~cm$-এর উপর অবস্থিত।

ভূমি $AB$-এর জন্য প্রতিটি ত্রিভুজের উচ্চতা সম্পর্কে তুমি কী বলতে পারো?

আমরা কি বলতে পারি সব ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান? হ্যাঁ।

ত্রিভুজগুলি কি সর্বসমও? না।

আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাই যে সব সর্বসম ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান কিন্তু ক্ষেত্রফলে সমান ত্রিভুজগুলিকে সর্বসম হতে হবে না।

চিত্র ৯.৬

চিত্র ৯.৭

ভূমি $6 ~cm$ বিশিষ্ট স্থূলকোণী ত্রিভুজ $ABC$ বিবেচনা করো (চিত্র ৯.৭)।

এর উচ্চতা $A D$ যা শীর্ষবিন্দু $A$ থেকে অঙ্কিত লম্ব এবং এটি ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত।

তুমি কি ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল বের করতে পারো?

উদাহরণ ১ একটি সামান্তরিকের একটি বাহু এবং সংশ্লিষ্ট উচ্চতা যথাক্রমে $4 ~cm$ এবং $3 ~cm$। সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল বের করো (চিত্র ৯.৮)।

সমাধান

প্রদত্ত যে ভূমির দৈর্ঘ্য $(b)=4 ~cm$, উচ্চতা $(h)=3 ~cm$

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $=b \times h$

$ =4 ~cm \times 3 ~cm=12 ~cm^{2} $

উদাহরণ ২ উচ্চতা ’ $x$ ’ বের করো যদি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $24 ~cm^{2}$ এবং ভূমি $4 ~cm$ হয়।

চিত্র ৯.৮

চিত্র ৯.৯

সমাধান

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $=b \times h$

সুতরাং, $24=4 \times x$ (চিত্র ৯.৯)

$ \text{ বা } \quad \frac{24}{4}=x \text{ বা } \quad x=6 ~cm $

সুতরাং, সামান্তরিকের উচ্চতা হল $6 ~cm$।

উদাহরণ ৩ সামান্তরিক $ABCD$-এর দুটি বাহু হল $6 ~cm$ এবং $4 ~cm$। ভূমি $CD$-এর জন্য সংশ্লিষ্ট উচ্চতা হল $3 ~cm$ (চিত্র ৯.১০)। বের করো: (i) সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল। (ii) ভূমি $AD$-এর জন্য সংশ্লিষ্ট উচ্চতা।

সমাধান

(i) সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $=b \times h$

$ =6 ~cm \times 3 ~cm=18 ~cm^{2} $

(ii)

$ \text{ ভূমি }(b)=4 ~cm \text{, উচ্চতা }=x \text{ (ধরা যাক), } $

$ \text{ ক্ষেত্রফল }=18 ~cm^{2} $

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $=b \times x$

$ \begin{aligned} & 18=4 \times x \\ & \frac{18}{4}=x \end{aligned} $

সুতরাং,

$ x=4.5 ~cm $

অতএব, ভূমি $AD$-এর জন্য সংশ্লিষ্ট উচ্চতা হল $4.5 ~cm$।

চিত্র ৯.১০

উদাহরণ ৪ নিচের ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফল বের করো (চিত্র ৯.১১)।

(i) চিত্র ৯.১১

(ii)

সমাধান

(i) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times QR \times PS$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 2 ~cm=4 ~cm^{2} $

(ii) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times MN \times LO$

$ =\frac{1}{2} \times 3 ~cm \times 2 ~cm=3 ~cm^{2} $

উদাহরণ ৫ $BC$ বের করো, যদি ত্রিভুজ $ABC$-এর ক্ষেত্রফল $36 ~cm^{2}$ এবং উচ্চতা $A D$ হয় $3 ~cm$ (চিত্র ৯.১২)।

সমাধান

উচ্চতা $=3 ~cm$, ক্ষেত্রফল $=36 ~cm^{2}$

বা

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $ABC=\frac{1}{2} b h$

চিত্র ৯.১২

সুতরাং,

$ 36=\frac{1}{2} \times b \times 3 \text{ অর্থাৎ, } \quad b=\frac{36 \times 2}{3}=24 ~cm $

উদাহরণ ৬ $\triangle PQR, PR=8 ~cm, QR=4$-এ $~cm$ এবং $PL=5 ~cm$ (চিত্র ৯.১৩)। বের করো:

(i) $\triangle PQR$-এর ক্ষেত্রফল

(ii) $QM$

সমাধান

(i) $QR=$ ভূমি $=4 ~cm, PL=$ উচ্চতা $=5 ~cm$

চিত্র ৯.১৩

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $PQR=\frac{1}{2} b h$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 5 ~cm=10 ~cm^{2} $

(ii) $PR=$ ভূমি $=8 ~cm$

$ QM=\text{ উচ্চতা }=? $

ক্ষেত্রফল $=10 ~cm^{2}$

$ \begin{matrix} \text{ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল } & =\frac{1}{2} \times b \times h & \text{ অর্থাৎ, } & & 10 & =\frac{1}{2} \times 8 \times h \\ h & =\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2.5 . & \text{ সুতরাং, } & QM & =2.5 ~cm \end{matrix} $

অনুশীলনী ৯.১

১. নিচের প্রতিটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল বের করো:

২. নিচের প্রতিটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করো:

৩. শূন্যস্থান পূরণ করো:

৪. শূন্যস্থান পূরণ করো:

চিত্র ৯.১৪

৫. $PQRS$ একটি সামান্তরিক (চিত্র ৯.১৪)। QM হল Q থেকে SR-এর উপর উচ্চতা এবং QN হল Q থেকে $P S$-এর উপর উচ্চতা। যদি $S R=12 ~cm$ এবং $Q M=7.6 ~cm$ হয়। বের করো:

(ক) সামান্তরিক $PQRS$-এর ক্ষেত্রফল

(খ) $QN$, যদি $PS=8 ~cm$ হয়

৬. $DL$ এবং $BM$ হল সামান্তরিক $ABCD$-এর যথাক্রমে $AB$ এবং $AD$ বাহুর উপর উচ্চতা (চিত্র ৯.১৫)। যদি

চিত্র ৯.১৫ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $1470 ~cm^{2}, AB=35 ~cm$ এবং $AD=$ $49 ~cm$ হয়, BM এবং DL-এর দৈর্ঘ্য বের করো।

৭. $\triangle ABC$ $A$-এ সমকোণী (চিত্র ৯.১৬)। $AD$ $BC$-এর উপর লম্ব। যদি $AB=5 ~cm$, $B C=13 ~cm$ এবং $A C=12 ~cm$ হয়, $\triangle A B C$-এর ক্ষেত্রফল বের করো। $AD$-এর দৈর্ঘ্যও বের করো।

চিত্র ৯.১৬

চিত্র ৯.১৭

৮. $\triangle ABC$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যেখানে $AB=AC=7.5 ~cm$ এবং $BC=9 ~cm$ (চিত্র ৯.১৭)। $A D$ থেকে $A$-এর উপর উচ্চতা $B C$, হল $6 ~cm$। $\triangle A B C$-এর ক্ষেত্রফল বের করো। $C$ থেকে $AB$-এর উপর উচ্চতা অর্থাৎ $CE$ কত হবে?

৯.৩ বৃত্ত

একটি দৌড়ের ট্র্যাক দুপ্রান্তে অর্ধবৃত্তাকার (চিত্র ৯.১৮)।

একজন অ্যাথলিট যদি একটি দৌড়ের ট্র্যাকের দুটি পাক দেয় তবে সে কত দূরত্ব অতিক্রম করে? আমরা যখন একটি আকৃতি বৃত্তাকার হয় তখন তার চারপাশের দূরত্ব বের করার একটি পদ্ধতি খুঁজে বের করতে চাই।

চিত্র ৯.১৮

৯.৩.১ একটি বৃত্তের পরিধি

তানিয়া বিভিন্ন কার্ডবোর্ড থেকে বাঁকা আকৃতির বিভিন্ন কার্ড কেটেছে। সে এগুলি সাজাতে কার্ডগুলির চারপাশে ফিতা লাগাতে চায়। প্রতিটির জন্য তার কত দৈর্ঘ্যের ফিতা প্রয়োজন? (চিত্র ৯.১৯)

তুমি একটি স্কেল দিয়ে বক্ররেখা মাপতে পারবে না, কারণ এই আকৃতিগুলি “সরলরৈখিক” নয়।

চিত্র ৯.২০ তুমি কী করতে পারো?

চিত্র ৯.১৯(ক)-এর আকৃতির জন্য প্রয়োজনীয় ফিতার দৈর্ঘ্য বের করার একটি উপায় এখানে দেওয়া হল। কার্ডের কিনারায় একটি বিন্দু চিহ্নিত করো এবং কার্ডটিকে টেবিলের উপর রাখো। টেবিলের উপরও বিন্দুটির অবস্থান চিহ্নিত করো (চিত্র ৯.২০)।

এখন বৃত্তাকার কার্ডটিকে টেবিলের উপর একটি সরলরেখা বরাবর গড়িয়ে নাও যতক্ষণ না চিহ্নিত বিন্দুটি আবার টেবিলকে স্পর্শ করে। রেখা বরাবর দূরত্ব

চিত্র ৯.২১ মাপো। এটি প্রয়োজনীয় ফিতার দৈর্ঘ্য (চিত্র ৯.২১)। এটি কার্ডের কিনারা বরাবর চিহ্নিত বিন্দু থেকে চিহ্নিত বিন্দুতে ফিরে আসার দূরত্যও বটে।

তুমি একটি বৃত্তাকার বস্তুর কিনারায় একটি সুতা রেখে এবং পুরোটা ঘুরিয়ে নিয়েও দূরত্ব বের করতে পারো।

একটি বৃত্তাকার অঞ্চলের চারপাশের দূরত্বকে এর পরিধি বলে।

এটি করো

একটি বোতলের ঢাকনা, একটি চুড়ি বা অন্য কোনো বৃত্তাকার বস্তু নিয়ে এর পরিধি বের করো।

এখন, তুমি কি এই পদ্ধতিতে ট্র্যাকের উপর অ্যাথলিট দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্ব বের করতে পারো?

তবুও, সুতা দিয়ে মেপে ট্র্যাক বা অন্য কোনো বৃত্তাকার বস্তুর চারপাশের দূরত্ব বের করা খুব কঠিন হবে। তাছাড়া, পরিমাপটি সঠিক হবে না।

সুতরাং, আমাদের এর জন্য কিছু সূত্রের প্রয়োজন, যেমন আমরা সরলরৈখিক আকৃতি বা চিত্রের জন্য পেয়েছি।

চলো দেখি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির মধ্যে কোনো সম্পর্ক আছে কিনা।

নিচের সারণিটি বিবেচনা করো: ছয়টি ভিন্ন ব্যাসার্ধের বৃত্ত আঁকো এবং সুতা ব্যবহার করে তাদের পরিধি বের করো। এছাড়াও পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত বের করো।

উপরের সারণি থেকে তুমি কী অনুমান করো? এই অনুপাতটি কি প্রায় একই? হ্যাঁ।

তুমি কি বলতে পারো যে একটি বৃত্তের পরিধি সর্বদা তার ব্যাসের তিন গুণের বেশি? হ্যাঁ।

এই অনুপাতটি একটি ধ্রুবক এবং একে $\pi$ (পাই) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এর আনুমানিক মান হল $\frac{22}{7}$ বা ৩.১৪।

সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে $\frac{C}{d}=\pi$, যেখানে ’ $C$ ’ বৃত্তের পরিধি এবং ’ $d$ ’ এর ব্যাসকে নির্দেশ করে।

বা

$ C=\pi d $

আমরা জানি যে একটি বৃত্তের ব্যাস $(d)$ ব্যাসার্ধ $(r)$-এর দ্বিগুণ অর্থাৎ $d=2 r$

সুতরাং, $\quad C=\pi d=\pi \times 2 r \quad$ বা $\quad C=2 \pi r$।

চেষ্টা করো

চিত্র ৯.২২-এ,

(ক) কোন বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা বেশি?

(খ) কোনটি বড়, ছোট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নাকি বৃত্তের পরিধি?

চিত্র ৯.২২

এটি করো

একটি চতুর্থাংশ প্লেট এবং একটি অর্ধেক প্লেট নাও। এই প্রতিটি প্লেটকে একটি টেবিল-টপে একবার গড়িয়ে নাও। কোন প্লেট একবার সম্পূর্ণ ঘূর্ণনে বেশি দূরত্ব অতিক্রম করে? টেবিল-টপের দৈর্ঘ্য ঢাকতে কোন প্লেট কম সংখ্যক ঘূর্ণন নেবে?

উদাহরণ ৭ ব্যাস $10 ~cm$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের পরিধি কত? ($\pi=3.14$ নাও)

সমাধান

বৃত্তের ব্যাস $(d)=10 ~cm$

বৃত্তের পরিধি $=\pi d$

$ =3.14 \times 10 ~cm=31.4 ~cm $

সুতরাং, ব্যাস $10 ~cm$ বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি হল $31.4 ~cm$।

উদাহরণ ৮ ব্যাসার্ধ $14 ~cm$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার ডিস্কের পরিধি কত?

$ (\text{ ব্যবহার করো } \pi=\frac{22}{7}) $

সমাধান

বৃত্তাকার ডিস্কের ব্যাসার্ধ $(r)=14 ~cm$

ডিস্কের পরিধি $=2 \pi r$

$ =2 \times \frac{22}{7} \times 14 ~cm=88 ~cm $

সুতরাং, বৃত্তাকার ডিস্কের পরিধি হল $88 ~cm$।

উদাহরণ ৯ একটি বৃত্তাকার পাইপের ব্যাসার্ধ $10 ~cm$। পাইপটিকে একবার পেঁচিয়ে রাখতে কত দৈর্ঘ্যের একটি ফিতা প্রয়োজন $(\pi=3.14)$?

সমাধান

পাইপের ব্যাসার্ধ $(r)=10 ~cm$

প্রয়োজনীয় ফিতার দৈর্ঘ্য পাইপের পরিধির সমান।

পাইপের পরিধি $=2 \pi r$

$ \begin{aligned} & =2 \times 3.14 \times 10 ~cm \\ & =62.8 ~cm \end{aligned} $

সুতরাং, পাইপটিকে একবার পেঁচিয়ে রাখতে প্রয়োজনীয় ফিতার দৈর্ঘ্য হল $62.8 ~cm$।

উদাহরণ ১০ প্রদত্ত আকৃতিটির পরিসীমা বের করো (চিত্র ৯.২৩) ($\pi=\frac{22}{7}$ নাও)।

সমাধান

এই আকৃতিতে আমাদের বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি পাশের অর্ধবৃত্তের পরিধি বের করতে হবে। তোমার কি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমাও বের করতে হবে? না। এই চিত্রের বাইরের সীমানা অর্ধবৃত্ত দ্বারা গঠিত। প্রতিটি অর্ধবৃত্তের ব্যাস হল $14 ~cm$।

আমরা জানি যে:

বৃত্তের পরিধি $=\pi d$

অর্ধবৃত্তের পরিধি $=\frac{1}{2} \pi d$

$ =\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 14 ~cm=22 ~cm $

প্রতিটি অর্ধবৃত্তের পরিধি হল $22 ~cm$

সুতরাং, প্রদত্ত চিত্রের পরিসীমা $=4 \times 22 ~cm=88 ~cm$

চিত্র ৯.২৩

উদাহরণ ১১ সুধাংশু ব্যাসার্ধ $7 ~cm$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার ডিস্ককে দুটি সমান অংশে ভাগ করে।

প্রতিটি অর্ধবৃত্তাকার ডিস্কের পরিসীমা কত? ($\pi=\frac{22}{7}$ ব্যবহার করো)

সমাধান

অর্ধবৃত্তাকার ডিস্কের পরিসীমা বের করতে (চিত্র ৯.২৪), আমাদের বের করতে হবে

(i) অর্ধবৃত্তাকার আকৃতির পরিধি

(ii) ব্যাস

প্রদত্ত যে ব্যাসার্ধ $(r)=7 ~cm$। আমরা জানি যে বৃত্তের পরিধি $=2 \pi r$

সুতরাং, অর্ধবৃত্তের পরিধি $=\frac{1}{2}\times 2 \pi r=\pi r$

$=\frac{22}{7}\times 7 ~cm=22 ~cm$

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস = $2r = 2 \times 7 cm = 14 cm$

অতএব, প্রতিটি অর্ধবৃত্তাকার ডিস্কের পরিসীমা $=22 ~cm+14 ~cm=36 ~cm$

৯.৩.২ বৃত্তের ক্ষেত্রফল

নিচের বিষয়গুলি বিবেচনা করো:

• একজন কৃষক একটি মাঠের কেন্দ্রে ব্যাসার্ধ $7 m$ বিশিষ্ট একটি ফুলের বেড খনন করেছে। তাকে সার কিনতে হবে। যদি ১ বর্গ মিটার এলাকার জন্য $1 kg$ সার প্রয়োজন হয়, তাহলে তাকে কত সার কিনতে হবে?
• ব্যাসার্ধ $2 m$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার টেবিল-টপ পালিশ করার খরচ কত হবে যদি হার হয় ₹ ১০ প্রতি বর্গ মিটার?

তুমি কি বলতে পারো এমন ক্ষেত্রে আমাদের কী বের করতে হবে, ক্ষেত্রফল নাকি পরিসীমা? এমন ক্ষেত্রে আমাদের বৃত্তাকার অঞ্চলের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে। চলো গ্রাফ পেপার ব্যবহার করে একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করি।

চিত্র ৯.২৫

গ্রাফ পেপারে ব্যাসার্ধ $4 ~cm$ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকো (চিত্র ৯.২৫)। আবদ্ধ বর্গক্ষেত্রের সংখ্যা গণনা করে ক্ষেত্রফল বের করো।

যেহেতু কিনারা সরল নয়, তাই এই পদ্ধতিতে আমরা বৃত্তের ক্ষেত্রফলের একটি মোটামুটি অনুমান পাই। বৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করার আরেকটি উপায় আছে।

একটি বৃত্ত আঁকো এবং বৃত্তের অর্ধেক অংশ ছায়া দাও [চিত্র ৯.২৬(i)]। এখন বৃত্তটিকে আট ভাগে ভাঁজ করো এবং ভাঁজ বরাবর কেটে নাও [চিত্র ৯.২৬(ii)]।

(i)

(ii)

চিত্র ৯.২৬

চিত্র ৯.২৭

কাটা টুকরোগুলি চিত্র ৯.২৭-এ দেখানোভাবে সাজাও, যা মোটামুটি একটি সামান্তরিক।

আমাদের যত বেশি খণ্ড থাকে, আমরা ততই একটি উপযুক্ত সামান্তরিকের কাছাকাছি পৌঁছাই।

উপরে করা মতো যদি আমরা বৃত্তটিকে ৬৪টি খণ্ডে ভাগ করি এবং এই খণ্ডগুলিকে সাজাই। এটি প্রায় একটি আয়তক্ষেত্র দেয় (চিত্র ৯.২৮)।

চিত্র ৯.২৮

এই আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ কত? এই আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ হল বৃত্তের ব্যাসার্ধ, অর্থাৎ ’ $r$ ‘।

যেহেতু পুরো বৃত্তটি ৬৪টি খণ্ডে বিভক্ত এবং প্রতিটি পাশে আমাদের ৩২টি খণ্ড আছে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য হল ৩২টি খণ্ডের দৈর্ঘ্য, যা পরিধির অর্ধেক। (চিত্র ৯.২৮)

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=$ এইভাবে গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=l \times b$

$=($ পরিধির অর্ধেক $) \times$ ব্যাসার্ধ $=(\frac{1}{2} \times 2 \pi r) \times r=\pi r^{2}$

সুতরাং, বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\pi r^{2}$

চেষ্টা করো

গ্রাফ পেপারে বিভিন্ন ব্যাসার্ধের বৃত্ত আঁকো। বর্গক্ষেত্র গণনা করে ক্ষেত্রফল বের করো। সূত্র ব্যবহার করেও ক্ষেত্রফল বের করো। দুটি উত্তর তুলনা করো।

উদাহরণ ১২ ব্যাসার্ধ $30 ~cm$ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করো ($\pi=3.14$ ব্যবহার করো)।

সমাধান

ব্যাসার্ধ, $r=30 ~cm$

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\pi r^{2}=3.14 \times 30^{2}=2,826 ~cm^{2}$

উদাহরণ ১৩ একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাস হল $9.8 m$। এর ক্ষেত্রফল বের করো।

সমাধান

ব্যাস, $d=9.8 m$। সুতরাং, ব্যাসার্ধ $r=9.8 \div 2=4.9 m$

বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\pi r^{2}=\frac{22}{7} \times(4.9)^{2} m^{2}=\frac{22}{7} \times 4.9 \times 4.9 m^{2}=75.46 m^{2}$

উদাহরণ ১৪ সংলগ্ন চিত্রটি একই কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত দেখায়। বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $10 ~cm$ এবং ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $4 ~cm$।

বের করো: (ক) বড় বৃত্তের ক্ষেত্রফল

(খ) ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রফল

(গ) দুটি বৃত্তের মধ্যবর্তী ছায়াযুক্ত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল। $(\pi=3.14)$

সমাধান

(ক) বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $=10 ~cm$

সুতরাং, বড় বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\pi r^{2}$

$ =3.14 \times 10 \times 10=314 ~cm^{2} $

(খ) ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $=4 ~cm$

ছোট বৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\pi r^{2}$

$ =3.14 \times 4 \times 4=50.24 ~cm^{2} $

(গ) ছায়াযুক্ত অঞ্চলের ক্ষেত্রফল $=(314-50.24) ~cm^{2}=263.76 ~cm^{2}$

অনুশীলনী ৯.২

১. নিচের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তগুলির পরিধি বের করো: ($\pi=\frac{22}{7}$ নাও)

(ক) $14 ~cm$

(খ