९.१ समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ

चौरस आणि आयत यांच्याशिवाय आपल्याला अनेक आकार दिसतात.

समांतरभुज चौकोनाच्या आकाराच्या जमिनीचे क्षेत्रफळ तुम्हाला कसे काढायचे?

समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ काढण्याची एक पद्धत आपण शोधूया.

समांतरभुज चौकोनाचे समान क्षेत्रफळ असलेल्या आयतामध्ये रूपांतर करता येते का?

ग्राफ पेपरवर आकृती ९.१(i) प्रमाणे एक समांतरभुज चौकोन काढा. समांतरभुज चौकोन कापून घ्या. समांतरभुज चौकोनाच्या एका शिरोबिंदूपासून विरुद्ध बाजूस लंब असणारी रेषा काढा [आकृती ९.१(ii)]. त्रिकोण कापून घ्या. त्या त्रिकोणाला समांतरभुज चौकोनाच्या दुसऱ्या बाजूस हलवा.

तुम्हाला काय आकार मिळतो? तुम्हाला एक आयत मिळतो.

समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ आणि तयार झालेल्या आयताचे क्षेत्रफळ समान आहे का?

होय, समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $=$ तयार झालेल्या आयताचे क्षेत्रफळ

आयताची लांबी आणि रुंदी किती आहे?

आकृती ९.२

आपल्याला असे आढळून येते की तयार झालेल्या आयताची लांबी ही समांतरभुज चौकोनाच्या पायाएवढी आहे आणि आयताची रुंदी ही समांतरभुज चौकोनाच्या उंचीएवढी आहे (आकृती ९.२).

आता,

$ \begin{aligned} \text{ समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ } & =\text{ आयताचे क्षेत्रफळ } \\ & =\text{ लांबी } \times \text{ रुंदी }=l \times b \end{aligned} $

पण आयताची लांबी $l$ आणि रुंदी $b$ ही अनुक्रमे समांतरभुज चौकोनाचा पाया $b$ आणि उंची $h$ याच्याशी नक्की जुळते.

अशाप्रकारे, समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $=$ पाया $\times$ उंची $=b \times h$.

समांतरभुज चौकोनाची कोणतीही बाजू पाया म्हणून निवडता येते. विरुद्ध शिरोबिंदूपासून त्या बाजूवर टाकलेला लंब ही उंची (उंची) म्हणून ओळखली जाते. समांतरभुज चौकोनात $ABCD, DE$ आहे

c हा $A B$ ला लंब आहे. येथे $A B$ हा पाया आहे आणि DE ही समांतरभुज चौकोनाची उंची आहे.

या समांतरभुज चौकोनात $ABCD, BF$ हा विरुद्ध बाजू AD ला लंब आहे. येथे $AD$ हा पाया आहे आणि $BF$ ही उंची आहे.

खालील समांतरभुज चौकोनांचा विचार करा (आकृती ९.२).

आकृती ९.३

आकृतींमध्ये बंदिस्त केलेल्या चौरसांची संख्या मोजून समांतरभुज चौकोनांचे क्षेत्रफळ शोधा आणि बाजू मोजून परिमितीही शोधा.

खालील सारणी पूर्ण करा:

तुम्हाला असे आढळून येईल की या सर्व समांतरभुज चौकोनांचे क्षेत्रफळ समान आहे पण परिमिती वेगवेगळी आहे. आता, बाजू $7 ~cm$ आणि $5 ~cm$ असलेल्या खालील समांतरभुज चौकोनांचा विचार करा (आकृती ९.४).

आकृती ९.४

यापैकी प्रत्येक समांतरभुज चौकोनाची परिमिती आणि क्षेत्रफळ शोधा. तुमच्या निकालांचे विश्लेषण करा.

तुम्हाला असे आढळून येईल की या समांतरभुज चौकोनांचे क्षेत्रफळ वेगवेगळे आहे पण परिमिती समान आहे.

समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, तुम्हाला फक्त समांतरभुज चौकोनाचा पाया आणि त्याच्याशी संबंधित उंची माहित असणे आवश्यक आहे.

प्रयत्न करा

खालील समांतरभुज चौकोनांचे क्षेत्रफळ शोधा:

(i)

(ii)

(iii) समांतरभुज चौकोनात $A B C D, A B=7.2 ~cm$ आणि $C$ वरून $A B$ वर टाकलेला लंब $4.5 ~cm$ आहे.

९.२ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

एक माळी त्रिकोणी बाग संपूर्णपणे गवताने झाकण्यासाठी किती खर्च येईल हे जाणून घेऊ इच्छितो.

या प्रकरणात आपल्याला त्रिकोणी प्रदेशाचे क्षेत्रफळ माहित असणे आवश्यक आहे.

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्याची एक पद्धत आपण शोधूया.

कागदाच्या तुकड्यावर एक विषमबाजू त्रिकोण काढा. त्रिकोण कापून घ्या. हा त्रिकोण दुसऱ्या कागदाच्या तुकड्यावर ठेवा आणि त्याच आकाराचा दुसरा त्रिकोण कापून घ्या.

तर आता तुमच्याकडे समान आकाराचे दोन विषमबाजू त्रिकोण आहेत.

दोन्ही त्रिकोण एकरूप आहेत का?

एक त्रिकोण दुसऱ्या त्रिकोणावर अशा प्रकारे ठेवा की ते जुळतील. तुम्हाला दोन त्रिकोणांपैकी एक फिरवावा लागू शकतो.

आता दोन्ही त्रिकोण अशा प्रकारे ठेवा की संबंधित बाजूंची एक जोडी जोडली जाईल जसे आकृती ९.५ मध्ये दाखवले आहे.

अशा प्रकारे तयार झालेली आकृती ही समांतरभुज चौकोन आहे का?

प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ यांची तुलना करा.

त्रिकोणांचा पाया आणि उंची यांची समांतरभुज चौकोनाच्या पाया आणि उंचीशी तुलना करा.

तुम्हाला असे आढळून येईल की दोन्ही त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज ही समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रफळाएवढी आहे. त्रिकोणाचा पाया आणि उंची ही अनुक्रमे समांतरभुज चौकोनाच्या पाया आणि उंचीशी समान आहे.

प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ $=\frac{1}{2}($ समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $)$

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(\text{ पाया } \times \text{ उंची })(\text{ कारण समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ }=\text{ पाया } \times \text{ उंची }) \\ & =\frac{1}{2}(b \times h)(\text{ किंवा थोडक्यात } \frac{1}{2} b h) \end{aligned} $

प्रयत्न करा

१. वेगवेगळ्या प्रकारच्या त्रिकोणांसह वरील क्रिया करून पहा.

२. वेगवेगळे समांतरभुज चौकोन घ्या. प्रत्येक समांतरभुज चौकोनाला त्याच्या कोणत्याही कर्णावर कापून दोन त्रिकोणांमध्ये विभाजित करा. त्रिकोण एकरूप आहेत का?

आकृतीत (आकृती ९.६) सर्व त्रिकोण पाया $AB=6 ~cm$ वर आहेत.

पाया $AB$ शी संबंधित प्रत्येक त्रिकोणाची उंची बद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता?

आपण असे म्हणू शकतो की सर्व त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ समान आहे का? होय.

त्रिकोण एकरूपही आहेत का? नाही.

आपण असा निष्कर्ष काढतो की सर्व एकरूप त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ समान असते पण क्षेत्रफळाने समान असलेले त्रिकोण एकरूप असणे आवश्यक नाही.

आकृती ९.६

आकृती ९.७

पाया $6 ~cm$ असलेला विशालकोन त्रिकोण $ABC$ विचारात घ्या (आकृती ९.७).

त्याची उंची $A D$ जी शिरोबिंदू $A$ पासूनचा लंब आहे तो त्रिकोणाच्या बाहेर आहे.

तुम्हाला त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढता येईल का?

उदाहरण १ समांतरभुज चौकोनाची एक बाजू आणि त्याच्याशी संबंधित उंची अनुक्रमे $4 ~cm$ आणि $3 ~cm$ आहे. समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ शोधा (आकृती ९.८).

उकल

दिलेले की पायाची लांबी $(b)=4 ~cm$, उंची $(h)=3 ~cm$

समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $=b \times h$

$ =४ ~सेमी \times ३ ~सेमी=१२ ~सेमी^{2} $

उदाहरण २ उंची ’ $x$ ’ शोधा जर समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $24 ~cm^{2}$ असेल आणि पाया $4 ~cm$ असेल.

आकृती ९.८

आकृती ९.९

उकल

समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $=b \times h$

म्हणून, $24=4 \times x$ (आकृती ९.९)

$ \text{ किंवा } \quad \frac{24}{4}=x \text{ किंवा } \quad x=६ ~सेमी $

तर, समांतरभुज चौकोनाची उंची $6 ~cm$ आहे.

उदाहरण ३ समांतरभुज चौकोन $ABCD$ च्या दोन बाजू $6 ~cm$ आणि $4 ~cm$ आहेत. पाया $CD$ शी संबंधित उंची $3 ~cm$ आहे (आकृती ९.१०). शोधा: (i) समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ. (ii) पाया $AD$ शी संबंधित उंची.

उकल

(i) समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $=b \times h$

$ =६ ~सेमी \times ३ ~सेमी=१८ ~सेमी^{2} $

(ii)

$ \text{ पाया }(b)=४ ~सेमी \text{, उंची }=x \text{ (समजा), } $

$ \text{ क्षेत्रफळ }=१८ ~सेमी^{2} $

समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $=b \times x$

$ \begin{aligned} & १८=४ \times x \\ & \frac{१८}{४}=x \end{aligned} $

म्हणून,

$ x=४.५ ~सेमी $

अशाप्रकारे, पाया $AD$ शी संबंधित उंची $4.5 ~cm$ आहे.

आकृती ९.१०

उदाहरण ४ खालील त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ शोधा (आकृती ९.११).

(i) आकृती ९.११

(ii)

उकल

(i) त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times QR \times PS$

$ =\frac{1}{2} \times ४ ~सेमी \times २ ~सेमी=४ ~सेमी^{2} $

(ii) त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times MN \times LO$

$ =\frac{1}{2} \times ३ ~सेमी \times २ ~सेमी=३ ~सेमी^{2} $

उदाहरण ५ $BC$ शोधा, जर त्रिकोण $ABC$ चे क्षेत्रफळ $36 ~cm^{2}$ असेल आणि उंची $A D$ $3 ~cm$ असेल (आकृती ९.१२).

उकल

उंची $=3 ~cm$, क्षेत्रफळ $=36 ~cm^{2}$

किंवा

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ $ABC=\frac{1}{2} b h$

आकृती ९.१२

म्हणून,

$ ३६=\frac{1}{2} \times b \times ३ \text{ म्हणजे, } \quad b=\frac{३६ \times २}{३}=२४ ~सेमी $

उदाहरण ६ $\triangle PQR, PR=8 ~cm, QR=4$ मध्ये $~cm$ आणि $PL=5 ~cm$ आहे (आकृती ९.१३). शोधा:

(i) $\triangle PQR$ चे क्षेत्रफळ

(ii) $QM$

उकल

(i) $QR=$ पाया $=4 ~cm, PL=$ उंची $=5 ~cm$

आकृती ९.१३

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ $PQR=\frac{1}{2} b h$

$ =\frac{1}{2} \times ४ ~सेमी \times ५ ~सेमी=१० ~सेमी^{2} $

(ii) $PR=$ पाया $=8 ~cm$

$ QM=\text{ उंची }=? $

क्षेत्रफळ $=10 ~cm^{2}$

$ \begin{matrix} \text{ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ } & =\frac{1}{2} \times b \times h & \text{ म्हणजे, } & & १० & =\frac{1}{2} \times ८ \times h \\ h & =\frac{१०}{४}=\frac{५}{२}=२.५ . & \text{ तर, } & QM & =२.५ ~सेमी \end{matrix} $

कसोटी ९.१

१. खालील प्रत्येक समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ शोधा:

२. खालील प्रत्येक त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा:

३. गहाळ मूल्ये शोधा:

४. गहाळ मूल्ये शोधा:

आकृती ९.१४

५. $PQRS$ हा समांतरभुज चौकोन आहे (आकृती ९.१४). QM ही Q पासून SR पर्यंतची उंची आहे आणि QN ही Q पासून $P S$ पर्यंतची उंची आहे. जर $S R=12 ~cm$ आणि $Q M=7.6 ~cm$. शोधा:

(अ) समांतरभुज चौकोन $PQRS$ चे क्षेत्रफळ

(ब) $QN$, जर $PS=8 ~cm$

६. $DL$ आणि $BM$ ही अनुक्रमे समांतरभुज चौकोन $ABCD$ च्या बाजू $AB$ आणि $AD$ वरील उंची आहेत (आकृती ९.१५). जर

आकृती ९.१५ समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ $1470 ~cm^{2}, AB=35 ~cm$ आणि $AD=$ $49 ~cm$ असेल, तर BM आणि DL ची लांबी शोधा.

७. $\triangle ABC$ हा $A$ वर काटकोन आहे (आकृती ९.१६). $AD$ हा $BC$ ला लंब आहे. जर $AB=5 ~cm$, $B C=13 ~cm$ आणि $A C=12 ~cm$, तर $\triangle A B C$ चे क्षेत्रफळ शोधा. तसेच $AD$ ची लांबी शोधा.

आकृती ९.१६

आकृती ९.१७

८. $\triangle ABC$ हा समद्विभुज त्रिकोण आहे ज्यामध्ये $AB=AC=7.5 ~cm$ आणि $BC=9 ~cm$ आहे (आकृती ९.१७). $A D$ पासून $A$ पर्यंतची उंची $B C$, $6 ~cm$ आहे. $\triangle A B C$ चे क्षेत्रफळ शोधा. $C$ पासून $AB$ पर्यंतची उंची म्हणजे $CE$ किती असेल?

९.३ वर्तुळे

एक धावपट्टी दोन्ही टोकांना अर्धवर्तुळाकार आहे (आकृती ९.१८).

एखादा खेळाडू धावपट्टीचे दोन फेरे घेतल्यास त्याने कापलेले अंतर तुम्हाला काढता येईल का? जेव्हा आकार वर्तुळाकार असतो तेव्हा त्याभोवतीचे अंतर शोधण्याची पद्धत आपल्याला शोधायची आहे.

आकृती ९.१८

९.३.१ वर्तुळाचा परिघ

तान्याने वेगवेगळ्या कार्डबोर्डपासून वक्र आकाराची वेगवेगळी कार्डे कापली. ती ही कार्डे सजवण्यासाठी त्यांच्या काठावर लेस लावू इच्छिते. तिला प्रत्येकासाठी किती लांबीची लेस लागेल? (आकृती ९.१९)

तुम्ही वक्र रेषा रूलरच्या साहाय्याने मोजू शकत नाही, कारण ही आकृत्या “सरळ” नाहीत.

आकृती ९.२० तुम्ही काय करू शकता?

आकृती ९.१९(अ) मधील आकारासाठी लागणारी लेसची लांबी शोधण्याचा एक मार्ग येथे आहे. कार्डच्या काठावर एक बिंदू चिन्हांकित करा आणि कार्ड टेबलावर ठेवा. टेबलावरील बिंदूची स्थिती देखील चिन्हांकित करा (आकृती ९.२०).

आता वर्तुळाकार कार्डला टेबलावर सरळ रेषेने तोपर्यंत फिरवा जोपर्यंत चिन्हांकित बिंदू पुन्हा टेबलला स्पर्श करत नाही. अंतर मोजा

आकृती ९.२१ रेषेच्या बाजूने. ही लागणारी लेसची लांबी आहे (आकृती ९.२१). हे चिन्हांकित बिंदूपासून परत चिन्हांकित बिंदूपर्यंत कार्डच्या काठावरील अंतर देखील आहे.

तुम्ही वर्तुळाकार वस्तूच्या काठावर दोरी ठेवून आणि ती सर्व बाजूंनी घेऊन देखील अंतर शोधू शकता.

वर्तुळाकार प्रदेशाभोवतीचे अंतर याला त्याचा परिघ म्हणतात.

हे करा

एक बाटलीचे झाकण, एक चुडी किंवा इतर कोणतीही वर्तुळाकार वस्तू घ्या आणि परिघ शोधा.

आता, या पद्धतीने तुम्ही धावपट्टीवरील खेळाडूने कापलेले अंतर शोधू शकता का?

तरीही, दोरीद्वारे मोजून धावपट्टी किंवा इतर कोणत्याही वर्तुळाकार वस्तूभोवतीचे अंतर शोधणे खूप कठीण होईल. शिवाय, मोजमाप अचूक होणार नाही.

म्हणून, आपल्याला यासाठी काही सूत्राची आवश्यकता आहे, जसे की आपल्याकडे सरळ रेषीय आकृत्या किंवा आकारांसाठी आहे.

वर्तुळांच्या व्यास आणि परिघ यांच्यात काही संबंध आहे का ते पाहूया.

खालील सारणीचा विचार करा: वेगवेगळ्या त्रिज्या असलेली सहा वर्तुळे काढा आणि दोरीचा वापर करून त्यांचा परिघ शोधा. तसेच परिघाचे व्यासाशी गुणोत्तर शोधा.

वरील सारणीवरून तुम्ही काय अनुमान काढता? हे गुणोत्तर अंदाजे समान आहे का? होय.

तुम्ही असे म्हणू शकता की वर्तुळाचा परिघ नेहमीच त्याच्या व्यासाच्या तिप्पटपेक्षा जास्त असतो? होय.

हे गुणोत्तर एक स्थिरांक आहे आणि $\pi$ (पाय) द्वारे दर्शविले जाते. त्याचे अंदाजे मूल्य $\frac{22}{7}$ किंवा ३.१४ आहे.

तर, आपण असे म्हणू शकतो की $\frac{C}{d}=\pi$, जेथे ’ $C$ ’ वर्तुळाचा परिघ दर्शवितो आणि ’ $d$ ’ त्याचा व्यास दर्शवितो.

किंवा

$ C=\pi d $

आपल्याला माहित आहे की वर्तुळाचा व्यास $(d)$ हा त्रिज्या $(r)$ च्या दुप्पट आहे म्हणजेच $d=2 r$

तर, $\quad C=\pi d=\pi \times 2 r \quad$ किंवा $\quad C=2 \pi r$.

प्रयत्न करा

आकृती ९.२२ मध्ये,

(अ) कोणत्या चौरसाची परिमिती मोठी आहे?

(ब) लहान चौरसाची परिमिती आणि वर्तुळाचा परिघ यापैकी कोणते मोठे आहे?

आकृती ९.२२

हे करा

एक चतुर्थांश प्लेट आणि अर्धी प्लेट अशा प्रत्येकी एक घ्या. यापैकी प्रत्येकी एकदा टेबलटॉपवर फिरवा. एका पूर्ण फेऱ्यात कोणती प्लेट जास्त अंतर कापते? टेबलटॉपची लांबी कापण्यासाठी कोणती प्लेट कमी संख्येने फेरे घेईल?

उदाहरण ७ व्यास $10 ~cm$ असलेल्या वर्तुळाचा परिघ किती आहे? ($\pi=3.14$ घ्या)?

उकल

वर्तुळाचा व्यास $(d)=10 ~cm$

वर्तुळाचा परिघ $=\pi d$

$ =३.१४ \times १० ~सेमी=३१.४ ~सेमी $

तर, व्यास $10 ~cm$ असलेल्या वर्तुळाचा परिघ $31.4 ~cm$ आहे.

उदाहरण ८ त्रिज्या $14 ~cm$ असलेल्या वर्तुळाकार डिस्कचा परिघ किती आहे?

$ (\text{ वापरा } \pi=\frac{22}{7}) $

उकल

वर्तुळाकार डिस्कची त्रिज्या $(r)=14 ~cm$

डिस्कचा परिघ $=2 \pi r$

$ =२ \times \frac{22}{7} \times १४ ~सेमी=८८ ~सेमी $

तर, वर्तुळाकार डिस्कचा परिघ $88 ~cm$ आहे.

उदाहरण ९ एका वर्तुळाकार पाईपची त्रिज्या $10 ~cm$ आहे. पाईपभोवती एकदा गुंडाळण्यासाठी किती लांबीची टेप लागेल $(\pi=3.14)$ ?

उकल

पाईपची त्रिज्या $(r)=10 ~cm$

टेपची आवश्यक लांबी ही पाईपच्या परिघाएवढी आहे.

पाईपचा परिघ $=2 \pi r$

$ \begin{aligned} & =२ \times ३.१४ \times १० ~सेमी \\ & =६२.८ ~सेमी \end{aligned} $

म्हणून, पाईपभोवती एकदा गुंडाळण्यासाठी लागणारी टेपची लांबी $62.8 ~cm$ आहे