9.1 സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം

സമചതുരങ്ങളും ചതുരങ്ങളും അല്ലാതെ നമുക്ക് പല രൂപങ്ങളും കാണാം.

സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ ആകൃതിയിലുള്ള ഒരു പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം നിങ്ങള് എങ്ങനെ കണ്ടെത്തും?

സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു രീതി നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

ഒരു സമാന്തര ചതുര്ജത്തിനെ തുല്യ വിസ്തീര്ണ്ണമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിലേക്ക് മാറ്റാമോ?

ചിത്രം 9.1(i) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു ഗ്രാഫ് പേപ്പറില് ഒരു സമാന്തര ചതുര്ജം വരയ്ക്കുക. സമാന്തര ചതുര്ജം മുറിച്ചെടുക്കുക. സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ ഒരു ശീര്ഷത്തില് നിന്നും എതിര് വശത്തേക്ക് ലംബമായി ഒരു വര വരയ്ക്കുക [ചിത്രം 9.1(ii)]. ത്രികോണം മുറിച്ചെടുക്കുക. ത്രികോണം സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ മറുവശത്തേക്ക് നീക്കുക.

നിങ്ങള് ഏത് രൂപമാണ് ലഭിക്കുന്നത്? നിങ്ങള് ഒരു ചതുരം ലഭിക്കുന്നു.

സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണവും രൂപപ്പെട്ട ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണവും തുല്യമാണോ?

അതെ, സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $=$ രൂപപ്പെട്ട ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം

ചതുരത്തിന്റെ നീളവും വീതിയും എന്താണ്?

ചിത്രം 9.2

രൂപപ്പെട്ട ചതുരത്തിന്റെ നീളം സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ പാദത്തിന് തുല്യവും ചതുരത്തിന്റെ വീതി സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ ഉയരത്തിന് തുല്യവുമാണെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം (ചിത്രം 9.2).

ഇപ്പോള്,

$ \begin{aligned} \text{ സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം } & =\text{ ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം } \\ & =\text{ നീളം } \times \text{ വീതി }=l \times b \end{aligned} $

എന്നാല് ചതുരത്തിന്റെ നീളം $l$ ഉം വീതി $b$ ഉം യഥാക്രമം സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ പാദം $b$ ഉം ഉയരം $h$ ഉം തന്നെയാണ്.

അതിനാല്, സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $=$ പാദം $\times$ ഉയരം $=b \times h$.

സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ ഏത് വശവും അതിന്റെ പാദമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ആ വശത്തിലേക്ക് എതിര് ശീര്ഷത്തില് നിന്ന് ലംബമായി വീഴ്ത്തുന്നത് ഉയരം (ഉന്നതി) ആയി അറിയപ്പെടുന്നു. സമാന്തര ചതുര്ജം $ABCD, DE$ ൽ

c $A B$ ലേക്ക് ലംബമാണ്. ഇവിടെ $A B$ ആണ് പാദവും DE ആണ് സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ ഉയരവും.

ഈ സമാന്തര ചതുര്ജത്തിൽ $ABCD, BF$ എതിര് വശമായ AD യിലേക്ക് ലംബമാണ്. ഇവിടെ $AD$ ആണ് പാദവും $BF$ ആണ് ഉയരവും.

ഇനി പറയുന്ന സമാന്തര ചതുര്ജങ്ങള് പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 9.2).

ചിത്രം 9.3

ചിത്രങ്ങളില് അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ചതുരങ്ങള് എണ്ണി സമാന്തര ചതുര്ജങ്ങളുടെ വിസ്തീര്ണ്ണവും വശങ്ങള് അളന്ന് ചുറ്റളവും കണ്ടെത്തുക.

ഇനി പറയുന്ന പട്ടിക പൂര്ത്തിയാക്കുക:

ഈ സമാന്തര ചതുര്ജങ്ങള്ക്കെല്ലാം വിസ്തീര്ണ്ണം തുല്യമാണെങ്കിലും ചുറ്റളവ് വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് നിങ്ങള് കണ്ടെത്തും. ഇനി, വശങ്ങള് $7 ~cm$ ഉം $5 ~cm$ ഉം ആയ ഇനി പറയുന്ന സമാന്തര ചതുര്ജങ്ങള് പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 9.4).

ചിത്രം 9.4

ഈ സമാന്തര ചതുര്ജങ്ങളുടെ ചുറ്റളവും വിസ്തീര്ണ്ണവും കണ്ടെത്തുക. നിങ്ങളുടെ ഫലങ്ങള് വിശകലനം ചെയ്യുക.

ഈ സമാന്തര ചതുര്ജങ്ങള്ക്ക് വിസ്തീര്ണ്ണം വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിലും ചുറ്റളവ് തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങള് കണ്ടെത്തും.

ഒരു സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കാന്, അതിന്റെ പാദവും അതിനനുസരിച്ചുള്ള ഉയരവും മാത്രം അറിയാന് ആവശ്യമാണ്.

ശ്രമിക്കുക

ഇനി പറയുന്ന സമാന്തര ചതുര്ജങ്ങളുടെ വിസ്തീര്ണ്ണം കണ്ടെത്തുക:

(i)

(ii)

(iii) ഒരു സമാന്തര ചതുര്ജത്തിൽ $A B C D, A B=7.2 ~cm$ ഉം $C$ ല് നിന്ന് $A B$ മേലുള്ള ലംബം $4.5 ~cm$ ഉം ആണ്.

9.2 ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം

ഒരു ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള തോട്ടം മുഴുവന് പുല്ല് കൊണ്ട് മൂടാനുള്ള ചെലവ് ഒരു തോട്ടക്കാരന് അറിയാന് ആഗ്രഹമുണ്ട്.

ഇത്തരം സന്ദര്ഭങ്ങളില് ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം അറിയാന് ആവശ്യമാണ്.

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു രീതി നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

ഒരു കടലാസില് ഒരു അസമഭുജ ത്രികോണം വരയ്ക്കുക. ത്രികോണം മുറിച്ചെടുക്കുക. ഈ ത്രികോണം മറ്റൊരു കടലാസില് വെച്ച് അതേ വലിപ്പമുള്ള മറ്റൊരു ത്രികോണം മുറിച്ചെടുക്കുക.

അതിനാല് ഇപ്പോള് നിങ്ങള്ക്ക് ഒരേ വലിപ്പമുള്ള രണ്ട് അസമഭുജ ത്രികോണങ്ങള് ഉണ്ട്.

രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളും സര്വ്വസമമാണോ?

ഒരു ത്രികോണം മറ്റേ ത്രികോണത്തിന്മേല് വെച്ച് അവ യോജിക്കുന്നതുവരെ അതിനെ തിരിക്കുക.

ഇപ്പോള് രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളും അവയുടെ ഒരു ജോഡി അനുരൂപ വശങ്ങള് ചേര്ന്ന് ചിത്രം 9.5 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വയ്ക്കുക.

ഇങ്ങനെ രൂപപ്പെട്ട ചിത്രം ഒരു സമാന്തര ചതുര്ജമാണോ?

ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും വിസ്തീര്ണ്ണവും സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണവും താരതമ്യം ചെയ്യുക.

ത്രികോണങ്ങളുടെ പാദവും ഉയരവും സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ പാദവും ഉയരവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക.

രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെയും വിസ്തീര്ണ്ണങ്ങളുടെ തുക സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങള് കണ്ടെത്തും. ത്രികോണത്തിന്റെ പാദവും ഉയരവും യഥാക്രമം സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ പാദത്തിനും ഉയരത്തിനും തുല്യമാണ്.

ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും വിസ്തീര്ണ്ണം $=\frac{1}{2}($ സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $)$

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(\text{ പാദം } \times \text{ ഉയരം })(\text{ സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം }=\text{ പാദം } \times \text{ ഉയരം } ആയതിനാല്) \\ & =\frac{1}{2}(b \times h)(\text{ അല്ലെങ്കില് ചുരുക്കത്തില് } \frac{1}{2} b h) \end{aligned} $

ശ്രമിക്കുക

1. വ്യത്യസ്ത തരം ത്രികോണങ്ങള് ഉപയോഗിച്ച് മുകളിലെ പ്രവര്ത്തനം ചെയ്യുക.

2. വ്യത്യസ്ത സമാന്തര ചതുര്ജങ്ങള് എടുക്കുക. ഓരോ സമാന്തര ചതുര്ജത്തെയും അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും വികര്ണ്ണത്തില് മുറിച്ച് രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളാക്കുക. ത്രികോണങ്ങള് സര്വ്വസമമാണോ?

ചിത്രത്തില് (ചിത്രം 9.6) എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളും $AB=6 ~cm$ എന്ന പാദത്തിലാണ്.

പാദം $AB$ എന്നതിനനുസരിച്ചുള്ള ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും ഉയരത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങള്ക്ക് എന്ത് പറയാന് കഴിയും?

എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളുടെയും വിസ്തീര്ണ്ണം തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാമോ? അതെ.

ത്രികോണങ്ങള് സര്വ്വസമവുമാണോ? അല്ല.

സര്വ്വസമ ത്രികോണങ്ങളെല്ലാം വിസ്തീര്ണ്ണത്തില് തുല്യമാണെങ്കിലും വിസ്തീര്ണ്ണത്തില് തുല്യമായ ത്രികോണങ്ങള് സര്വ്വസമമാകണമെന്നില്ലെന്ന് നമ്മള് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

ചിത്രം 9.6

ചിത്രം 9.7

പാദം $6 ~cm$ ആയ വികടകോണ ത്രികോണം $ABC$ പരിഗണിക്കുക (ചിത്രം 9.7).

അതിന്റെ ഉയരം $A D$ ആണ്, അത് ശീര്ഷം $A$ ല് നിന്നുള്ള ലംബമാണ്, അത് ത്രികോണത്തിന് പുറത്താണ്.

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം നിങ്ങള്ക്ക് കണ്ടെത്താന് കഴിയുമോ?

ഉദാഹരണം 1 ഒരു സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ ഒരു വശവും അതിനനുസരിച്ചുള്ള ഉയരവും യഥാക്രമം $4 ~cm$ ഉം $3 ~cm$ ഉം ആണ്. സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം കണ്ടെത്തുക (ചിത്രം 9.8).

പരിഹാരം

പാദത്തിന്റെ നീളം $(b)=4 ~cm$, ഉയരം $(h)=3 ~cm$ എന്ന് നല്കിയിരിക്കുന്നു

സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $=b \times h$

$ =4 ~cm \times 3 ~cm=12 ~cm^{2} $

ഉദാഹരണം 2 സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $24 ~cm^{2}$ ഉം പാദം $4 ~cm$ ഉം ആണെങ്കില് ’ $x$ ’ എന്ന ഉയരം കണ്ടെത്തുക.

ചിത്രം 9.8

ചിത്രം 9.9

പരിഹാരം

സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $=b \times h$

അതിനാല്, $24=4 \times x$ (ചിത്രം 9.9)

$ \text{ അല്ലെങ്കില് } \quad \frac{24}{4}=x \text{ അല്ലെങ്കില് } \quad x=6 ~cm $

അതിനാല്, സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ ഉയരം $6 ~cm$ ആണ്.

ഉദാഹരണം 3 സമാന്തര ചതുര്ജം $ABCD$ ന്റെ രണ്ട് വശങ്ങള് $6 ~cm$ ഉം $4 ~cm$ ഉം ആണ്. പാദം $CD$ എന്നതിനനുസരിച്ചുള്ള ഉയരം $3 ~cm$ ആണ് (ചിത്രം 9.10). കണ്ടെത്തുക: (i) സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം. (ii) പാദം $AD$ എന്നതിനനുസരിച്ചുള്ള ഉയരം.

പരിഹാരം

(i) സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $=b \times h$

$ =6 ~cm \times 3 ~cm=18 ~cm^{2} $

(ii)

$ \text{ പാദം }(b)=4 ~cm \text{, ഉയരം }=x \text{ (എന്ന് കരുതുക), } $

$ \text{ വിസ്തീര്ണ്ണം }=18 ~cm^{2} $

സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $=b \times x$

$ \begin{aligned} & 18=4 \times x \\ & \frac{18}{4}=x \end{aligned} $

അതിനാല്,

$ x=4.5 ~cm $

അങ്ങനെ, പാദം $AD$ എന്നതിനനുസരിച്ചുള്ള ഉയരം $4.5 ~cm$ ആണ്.

ചിത്രം 9.10

ഉദാഹരണം 4 ഇനി പറയുന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീര്ണ്ണം കണ്ടെത്തുക (ചിത്രം 9.11).

(i) ചിത്രം 9.11

(ii)

പരിഹാരം

(i) ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times QR \times PS$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 2 ~cm=4 ~cm^{2} $

(ii) ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times MN \times LO$

$ =\frac{1}{2} \times 3 ~cm \times 2 ~cm=3 ~cm^{2} $

ഉദാഹരണം 5 ത്രികോണം $ABC$ ന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $36 ~cm^{2}$ ഉം ഉയരം $A D$ $3 ~cm$ ഉം ആണെങ്കില് $BC$ കണ്ടെത്തുക (ചിത്രം 9.12).

പരിഹാരം

ഉയരം $=3 ~cm$, വിസ്തീര്ണ്ണം $=36 ~cm^{2}$

അല്ലെങ്കില്

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $ABC=\frac{1}{2} b h$

ചിത്രം 9.12

അതിനാല്,

$ 36=\frac{1}{2} \times b \times 3 \text{ അതായത്, } \quad b=\frac{36 \times 2}{3}=24 ~cm $

ഉദാഹരണം 6 $\triangle PQR, PR=8 ~cm, QR=4$ ൽ $~cm$ ഉം $PL=5 ~cm$ ഉം ആണ് (ചിത്രം 9.13). കണ്ടെത്തുക:

(i) $\triangle PQR$ ന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം

(ii) $QM$

പരിഹാരം

(i) $QR=$ പാദം $=4 ~cm, PL=$ ഉയരം $=5 ~cm$

ചിത്രം 9.13

ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $PQR=\frac{1}{2} b h$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 5 ~cm=10 ~cm^{2} $

(ii) $PR=$ പാദം $=8 ~cm$

$ QM=\text{ ഉയരം }=? $

വിസ്തീര്ണ്ണം $=10 ~cm^{2}$

$ \begin{matrix} \text{ ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം } & =\frac{1}{2} \times b \times h & \text{ അതായത്, } & & 10 & =\frac{1}{2} \times 8 \times h \\ h & =\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2.5 . & \text{ അതിനാല്, } & QM & =2.5 ~cm \end{matrix} $

ഉദ്ദീപനം 9.1

1. ഇനി പറയുന്ന ഓരോ സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെയും വിസ്തീര്ണ്ണം കണ്ടെത്തുക:

2. ഇനി പറയുന്ന ഓരോ ത്രികോണത്തിന്റെയും വിസ്തീര്ണ്ണം കണ്ടെത്തുക:

3. വിട്ടുപോയ മൂല്യങ്ങള് കണ്ടെത്തുക:

4. വിട്ടുപോയ മൂല്യങ്ങള് കണ്ടെത്തുക:

ചിത്രം 9.14

5. $PQRS$ ഒരു സമാന്തര ചതുര്ജമാണ് (ചിത്രം 9.14). QM എന്നത് Q യില് നിന്ന് SR ലേക്കുള്ള ഉയരവും QN എന്നത് Q യില് നിന്ന് $P S$ ലേക്കുള്ള ഉയരവുമാണ്. $S R=12 ~cm$ ഉം $Q M=7.6 ~cm$ ഉം ആണെങ്കില് കണ്ടെത്തുക:

(a) സമാന്തര ചതുര്ജം $PQRS$ ന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം

(b) $QN$, $PS=8 ~cm$ ആണെങ്കില്

6. $DL$ ഉം $BM$ ഉം യഥാക്രമം സമാന്തര ചതുര്ജം $ABCD$ ന്റെ വശങ്ങളായ $AB$ ഉം $AD$ ഉം മേലുള്ള ഉയരങ്ങളാണ് (ചിത്രം 9.15). സമാന്തര ചതുര്ജത്തിന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം $1470 ~cm^{2}, AB=35 ~cm$ ഉം $AD=$ $49 ~cm$ ഉം ആണെങ്കില്, BM ന്റെയും DL ന്റെയും നീളം കണ്ടെത്തുക.

ചിത്രം 9.15

7. $\triangle ABC$ $A$ ല് ലംബകോണമാണ് (ചിത്രം 9.16). $AD$ $BC$ ലേക്ക് ലംബമാണ്. $AB=5 ~cm$, $B C=13 ~cm$, $A C=12 ~cm$ ആണെങ്കില് $\triangle A B C$ ന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം കണ്ടെത്തുക. $AD$ ന്റെ നീളവും കണ്ടെത്തുക.

ചിത്രം 9.16

ചിത്രം 9.17

8. $\triangle ABC$ സമദ്വിബാഹു ത്രികോണമാണ്, $AB=AC=7.5 ~cm$ ഉം $BC=9 ~cm$ ഉം ആണ് (ചിത്രം 9.17). $A D$ ല് നിന്ന് $A$ ലേക്കുള്ള ഉയരം $B C$, $6 ~cm$ ആണ്. $\triangle A B C$ ന്റെ വിസ്തീര്ണ്ണം കണ്ടെത്തുക. $C$ ല് നിന്ന് $AB$ ലേക്കുള്ള ഉയരം, അതായത് $CE$, എത്രയായിരിക്കും?

9.3 വൃത്തങ്ങള്

ഒരു ഓട്ടപ്പistaഴയുടെ രണ്ടറ്റവും അര്ദ്ധവൃത്താകൃതിയിലാണ് (ചിത്രം 9.18).

ഒരു ഓട്ടക്കാരന് ഒരു ഓട്ടപ്പistaഴയുടെ രണ്ട് ചുറ്റുകള് ഓടിയാല് അയാള് സഞ്ചരിക്കുന്ന ദൂരം നിങ്ങള്ക്ക് കണ്ടെത്താന് കഴിയുമോ? ഒരു ആകൃതി വൃത്താകൃതിയിലാകുമ്പോള് ചുറ്റുമുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്താനുള്ള ഒരു രീതി നമുക്ക് ആവശ്യമാണ്.

ചിത്രം 9.18

9.3.1 വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ്

ടാന്യ വിവിധ കാര്ഡുകള്, വളഞ്ഞ ആകൃതിയില്, ഒരു കാര്ഡ്ബോര്ഡില് നിന്ന് മുറിച്ചെടുത്തു. ഈ കാര്ഡുകള് അലങ്കരിക്കാന് അവയുടെ ചുറ്റും ലേസ് വയ്ക്കാന് അവര്ക്ക് ആഗ്രഹമുണ്ട്. ഓരോന്നിനും എത്ര നീളം ലേസ് ആവശ്യമാണ്? (ചിത്രം 9.19)

ഈ ചിത്രങ്ങള് “നേര്” ആയിരിക്കാത്തതിനാല് ഒരു രൂലര് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങള്ക്ക് വളവുകള് അളക്കാന് കഴിയില്ല.

ചിത്രം 9.20 നിങ്ങള്ക്ക് എന്ത് ചെയ്യാന് കഴിയും?

ചിത്രം