9.1 సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం

చతురస్రాలు మరియు దీర్ఘచతురస్రాలు తప్ప మనం అనేక ఆకారాలను చూస్తాము.

సమాంతర చతుర్భుజం ఆకారంలో ఉన్న భూమి యొక్క వైశాల్యాన్ని మీరు ఎలా కనుగొంటారు?

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని పొందడానికి ఒక పద్ధతిని కనుగొందాం.

సమాంతర చతుర్భుజాన్ని సమాన వైశాల్యం ఉన్న దీర్ఘచతురస్రంగా మార్చవచ్చా?

గ్రాఫ్ కాగితంపై ఫిగ్ 9.1(i)లో చూపినట్లుగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజాన్ని గీయండి. సమాంతర చతుర్భుజాన్ని కత్తిరించండి. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఒక శీర్షం నుండి ఎదురుగా ఉన్న భుజానికి లంబంగా ఒక రేఖను గీయండి [ఫిగ్ 9.1(ii)]. త్రిభుజాన్ని కత్తిరించండి. త్రిభుజాన్ని సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క మరొక వైపుకు తరలించండి.

మీకు ఏ ఆకారం వస్తుంది? మీకు ఒక దీర్ఘచతురస్రం వస్తుంది.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం, ఏర్పడిన దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యానికి సమానమా?

అవును, సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం $=$ ఏర్పడిన దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం

దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పు ఏమిటి?

ఫిగ్ 9.2

ఏర్పడిన దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భూమికి సమానం మరియు దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వెడల్పు సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఎత్తుకు సమానం అని మనం కనుగొంటాము (ఫిగ్ 9.2).

ఇప్పుడు,

$ \begin{aligned} \text{ సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం } & =\text{ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం } \\ & =\text{ పొడవు } \times \text{ వెడల్పు }=l \times b \end{aligned} $

కానీ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు $l$ మరియు వెడల్పు $b$ వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భూమి $b$ మరియు ఎత్తు $h$ కి సరిగ్గా సమానం.

అందువల్ల, సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం $=$ భూమి $\times$ ఎత్తు $=b \times h$.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఏదైనా భుజాన్ని దాని భూమిగా ఎంచుకోవచ్చు. ఆ భుజంపై ఎదురుగా ఉన్న శీర్షం నుండి పడే లంబాన్ని ఎత్తు (ఉన్నతి) అంటారు. సమాంతర చతుర్భుజం ABCD లో $ABCD, DE$

c కి లంబంగా ఉంటుంది. ఇక్కడ $A B$ భూమి మరియు DE సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఎత్తు.

ఈ సమాంతర చతుర్భుజం ABCD లో $ABCD, BF$ ఎదురు భుజం AD కి లంబంగా ఉంటుంది. ఇక్కడ $AD$ భూమి మరియు $BF$ ఎత్తు.

క్రింది సమాంతర చతుర్భుజాలను పరిగణించండి (ఫిగ్ 9.2).

ఫిగ్ 9.3

చిత్రాలలో చుట్టబడిన చతురస్రాలను లెక్కించడం ద్వారా సమాంతర చతుర్భుజాల వైశాల్యాలను మరియు భుజాలను కొలవడం ద్వారా చుట్టుకొలతలను కనుగొనండి.

క్రింది పట్టికను పూరించండి:

ఈ సమాంతర చతుర్భుజాలన్నీ సమాన వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉన్నాయి కానీ వేర్వేరు చుట్టుకొలతలను కలిగి ఉన్నాయని మీరు కనుగొంటారు. ఇప్పుడు, భుజాలు $7 ~cm$ మరియు $5 ~cm$ ఉన్న క్రింది సమాంతర చతుర్భుజాలను పరిగణించండి (ఫిగ్ 9.4).

ఫిగ్ 9.4

ఈ సమాంతర చతుర్భుజాలలో ప్రతి ఒక్కదాని యొక్క చుట్టుకొలత మరియు వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. మీ ఫలితాలను విశ్లేషించండి.

ఈ సమాంతర చతుర్భుజాలు వేర్వేరు వైశాల్యాలను కలిగి ఉన్నాయి కానీ సమాన చుట్టుకొలతలను కలిగి ఉన్నాయని మీరు కనుగొంటారు.

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి, మీకు కేవలం సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భూమి మరియు దానికి సంబంధించిన ఎత్తు మాత్రమే తెలుసు ఉండాలి.

ప్రయత్నించండి

క్రింది సమాంతర చతుర్భుజాల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి:

(i)

(ii)

(iii) ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ABCD లో $A B C D, A B=7.2 ~cm$ మరియు A నుండి DC పైకి గీసిన లంబం $4.5 ~cm$.

9.2 త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం

ఒక తోటమాలి త్రిభుజాకార తోట మొత్తాన్ని గడ్డితో కప్పడానికి అయ్యే ఖర్చును తెలుసుకోవాలనుకుంటాడు.

ఈ సందర్భంలో మనకు త్రిభుజాకార ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం తెలుసు ఉండాలి.

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని పొందడానికి ఒక పద్ధతిని కనుగొందాం.

ఒక కాగితంపై ఒక విషమబాహు త్రిభుజాన్ని గీయండి. త్రిభుజాన్ని కత్తిరించండి. ఈ త్రిభుజాన్ని మరొక కాగితంపై ఉంచి, అదే పరిమాణంలో మరొక త్రిభుజాన్ని కత్తిరించండి.

కాబట్టి ఇప్పుడు మీ వద్ద ఒకే పరిమాణంలో రెండు విషమబాహు త్రిభుజాలు ఉన్నాయి.

రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానమా?

ఒక త్రిభుజాన్ని మరొక దానిపై అతికించండి, తద్వారా అవి సరిగ్గా సరిపోతాయి. మీరు రెండు త్రిభుజాలలో ఒకదాన్ని తిప్పవలసి రావచ్చు.

ఇప్పుడు రెండు త్రిభుజాలను ఫిగ్ 9.5లో చూపినట్లుగా సంబంధిత భుజాల జత కలిపినట్లు ఉంచండి.

ఈ విధంగా ఏర్పడిన పటం ఒక సమాంతర చతుర్భుజమా?

ప్రతి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యంతో పోల్చండి.

త్రిభుజాల భూమి మరియు ఎత్తును సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భూమి మరియు ఎత్తుతో పోల్చండి.

రెండు త్రిభుజాల వైశాల్యాల మొత్తం సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం అని మీరు కనుగొంటారు. త్రిభుజం యొక్క భూమి మరియు ఎత్తు వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క భూమి మరియు ఎత్తుకు సమానం.

ప్రతి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం $=\frac{1}{2}($ సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం $)$

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(\text{ భూమి } \times \text{ ఎత్తు })(\text{ ఎందుకంటే సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం }=\text{ భూమి } \times \text{ ఎత్తు }) \\ & =\frac{1}{2}(b \times h)(\text{ లేదా సంక్షిప్తంగా } \frac{1}{2} b h) \end{aligned} $

ప్రయత్నించండి

1. వేర్వేరు రకాల త్రిభుజాలతో పై కార్యకలాపాన్ని ప్రయత్నించండి.

2. వేర్వేరు సమాంతర చతుర్భుజాలను తీసుకోండి. ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజాన్ని దాని ఏ వికర్ణం వెంబడి కత్తిరించినా రెండు త్రిభుజాలుగా విభజించండి. త్రిభుజాలు సర్వసమానమా?

ఫిగ్ 9.6లోని పటంలో అన్ని త్రిభుజాలు భూమి $AB=6 ~cm$ పై ఉన్నాయి.

భూమి $AB$ కి సంబంధించిన ప్రతి త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు?

అన్ని త్రిభుజాలు వైశాల్యంలో సమానమని చెప్పగలమా? అవును.

త్రిభుజాలు సర్వసమానమూ కావా? కావు.

సర్వసమాన త్రిభుజాలన్నీ వైశాల్యంలో సమానం కానీ వైశాల్యంలో సమానమైన త్రిభుజాలు సర్వసమానం కావని మేము నిర్ధారించాము.

ఫిగ్ 9.6

ఫిగ్ 9.7

భూమి $6 ~cm$ ఉన్న అధికకోణ త్రిభుజం ABCని పరిగణించండి (ఫిగ్ 9.7).

దాని ఎత్తు $A D$ ఇది శీర్షం $A$ నుండి గీసిన లంబం త్రిభుజం వెలుపల ఉంటుంది.

మీరు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనగలరా?

ఉదాహరణ 1 ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఒక భుజం మరియు దానికి సంబంధించిన ఎత్తు వరుసగా $4 ~cm$ మరియు $3 ~cm$. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి (ఫిగ్ 9.8).

పరిష్కారం

ఇవ్వబడింది: భూమి యొక్క పొడవు $(b)=4 ~cm$, ఎత్తు $(h)=3 ~cm$

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం $=b \times h$

$ =4 ~cm \times 3 ~cm=12 ~cm^{2} $

ఉదాహరణ 2 ఎత్తు ’ $x$ ’ ను కనుగొనండి, సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం $24 ~cm^{2}$ మరియు భూమి $4 ~cm$ అయితే.

ఫిగ్ 9.8

ఫిగ్ 9.9

పరిష్కారం

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం $=b \times h$

అందువల్ల, $24=4 \times x$ (ఫిగ్ 9.9)

$ \text{ లేదా } \quad \frac{24}{4}=x \text{ లేదా } \quad x=6 ~cm $

కాబట్టి, సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఎత్తు $6 ~cm$.

ఉదాహరణ 3 సమాంతర చతుర్భుజం ABCD యొక్క రెండు భుజాలు వరుసగా $6 ~cm$ మరియు $4 ~cm$. భూమి $CD$ కి సంబంధించిన ఎత్తు $3 ~cm$ (ఫిగ్ 9.10). కనుగొనండి: (i) సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం. (ii) భూమి $AD$ కి సంబంధించిన ఎత్తు.

పరిష్కారం

(i) సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం $=b \times h$

$ =6 ~cm \times 3 ~cm=18 ~cm^{2} $

(ii)

$ \text{ భూమి }(b)=4 ~cm \text{, ఎత్తు }=x \text{ (అనుకోండి), } $

$ \text{ వైశాల్యం }=18 ~cm^{2} $

సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం $=b \times x$

$ \begin{aligned} & 18=4 \times x \\ & \frac{18}{4}=x \end{aligned} $

అందువల్ల,

$ x=4.5 ~cm $

అందువల్ల, భూమి $AD$ కి సంబంధించిన ఎత్తు $4.5 ~cm$.

ఫిగ్ 9.10

ఉదాహరణ 4 క్రింది త్రిభుజాల వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి (ఫిగ్ 9.11).

(i) ఫిగ్ 9.11

(ii)

పరిష్కారం

(i) త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times QR \times PS$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 2 ~cm=4 ~cm^{2} $

(ii) త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times MN \times LO$

$ =\frac{1}{2} \times 3 ~cm \times 2 ~cm=3 ~cm^{2} $

ఉదాహరణ 5 $BC$ ను కనుగొనండి, త్రిభుజం PQR యొక్క వైశాల్యం $36 ~cm^{2}$ మరియు ఎత్తు PS $3 ~cm$ అయితే (ఫిగ్ 9.12).

పరిష్కారం

ఎత్తు $=3 ~cm$, వైశాల్యం $=36 ~cm^{2}$

లేదా

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం $ABC=\frac{1}{2} b h$

ఫిగ్ 9.12

కాబట్టి,

$ 36=\frac{1}{2} \times b \times 3 \text{ అంటే, } \quad b=\frac{36 \times 2}{3}=24 ~cm $

ఉదాహరణ 6 ∆ PQR లో $~cm$ మరియు $PL=5 ~cm$ (ఫిగ్ 9.13). కనుగొనండి:

(i) ∆ PQR యొక్క వైశాల్యం

(ii) QM

పరిష్కారం

(i) $QR=$ భూమి $=4 ~cm, PL=$ ఎత్తు $=5 ~cm$

ఫిగ్ 9.13

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం $PQR=\frac{1}{2} b h$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 5 ~cm=10 ~cm^{2} $

(ii) $PR=$ భూమి $=8 ~cm$

$ QM=\text{ ఎత్తు }=? $

వైశాల్యం $=10 ~cm^{2}$

$ \begin{matrix} \text{ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం } & =\frac{1}{2} \times b \times h & \text{ అంటే, } & & 10 & =\frac{1}{2} \times 8 \times h \\ h & =\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2.5 . & \text{ కాబట్టి, } & QM & =2.5 ~cm \end{matrix} $

అభ్యాసం 9.1

1. క్రింది ప్రతి సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి:

2. క్రింది ప్రతి త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి:

3. తప్పిపోయిన విలువలను కనుగొనండి:

4. తప్పిపోయిన విలువలను కనుగొనండి:

ఫిగ్ 9.14

5. PQRS ఒక సమాంతర చతుర్భుజం (ఫిగ్ 9.14). QM అనేది Q నుండి SR కి ఎత్తు మరియు QN అనేది Q నుండి $P S$ కి ఎత్తు. $S R=12 ~cm$ మరియు $Q M=7.6 ~cm$ అయితే. కనుగొనండి:

(a) సమాంతర చతుర్భుజం PQRS యొక్క వైశాల్యం

(b) QN, $PS=8 ~cm$ అయితే

6. DL మరియు BM అనేవి వరుసగా సమాంతర చతుర్భుజం ABCD యొక్క భుజాలు $AB$ మరియు $AD$ పై ఎత్తులు (ఫిగ్ 9.15). సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం $1470 ~cm^{2}, AB=35 ~cm$ మరియు $AD=$ $49 ~cm$ అయితే, BM మరియు DL యొక్క పొడవులను కనుగొనండి.

7. ∆ ABC లో $A$ వద్ద లంబకోణం (ఫిగ్ 9.16). AD అనేది BC కి లంబంగా ఉంటుంది. $AB=5 ~cm$, $B C=13 ~cm$ మరియు $A C=12 ~cm$ అయితే, ∆ ABC యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. AD యొక్క పొడవును కూడా కనుగొనండి.

ఫిగ్ 9.16

ఫిగ్ 9.17

8. ∆ ABC సమద్విబాహు త్రిభుజం, $AB=AC=7.5 ~cm$ మరియు $BC=9 ~cm$ (ఫిగ్ 9.17). A నుండి BC కి ఎత్తు AD $6 ~cm$. ∆ ABC యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి. C నుండి AB కి ఎత్తు అంటే, CE ఎంత ఉంటుంది?

9.3 వృత్తాలు

ఒక రేసింగ్ ట్రాక్ రెండు చివర్లలో అర్ధవృత్తాకారంలో ఉంటుంది (ఫిగ్ 9.18).

ఒక అథ్లెట్ రేసింగ్ ట్రాక్ చుట్టూ రెండు సార్లు పరిగెత్తితే, అతను కవర్ చేసిన దూరాన్ని మీరు కనుగొనగలరా? ఒక ఆకారం వృత్తాకారంలో ఉన్నప్పుడు చుట్టూ ఉన్న దూరాలను కనుగొనడానికి మనకు ఒక పద్ధతి అవసరం.

ఫిగ్ 9.18

9.3.1 వృత్తం యొక్క పరిధి

తన్య వేర్వేరు కార్డులను, వక్ర ఆకారంలో, కార్డ్బోర్డ్ నుండి కత్తిరించింది. ఈ కార్డులను అలంకరించడానికి ఆమె వాటి చుట్టూ లేస్ (దారం) వేయాలనుకుంటుంది. ప్రతి ఒక్కదానికి ఆమెకు ఎంత పొడవు లేస్ అవసరం? (ఫిగ్ 9.19)

ఈ పటాలు “నేరుగా” లేవు కాబట్టి, మీరు వక్రతలను స్కేలు సహాయంతో కొలవలేరు.

ఫిగ్ 9.20 మీరు ఏమి చేయగలరు?

ఫిగ్ 9.19(a)లోని ఆకారానికి అవసరమైన లేస్ యొక్క పొడవును కనుగొనడానికి ఇక్కడ ఒక మార్గం ఉంది. కార్డ్ యొక్క అంచుపై ఒక బిందువును గుర్తించండి మరియు కార్డ్ను టేబుల్పై ఉంచండి. బిందువు యొక్క స్థానాన్ని టేబుల్పై కూడా గుర్తించండి (ఫిగ్ 9.20).

ఇప్పుడు గుర్తించిన బిందువు మళ్లీ టేబుల్ను తాకే వరకు వృత్తాకార కార్డ్ను టేబుల్పై ఒక సరళ రేఖ వెంబడి రోల్ చేయండి. రేఖ వెంబడి

ఫిగ్ 9.21 దూరాన్ని కొలవండి. ఇది అవసరమైన లేస్ యొక్క పొడవు (ఫిగ్ 9.21). ఇది గుర్తించిన బిందువు నుండి తిరిగి గుర్తించిన బిందువు వరకు కార్డ్ యొక్క అంచు వెంబడి ఉన్న దూరం కూడా.

మీరు వృత్తాకార వస్తువు యొక్క అంచుపై ఒక త్రాడు వేసి, దాని చుట్టూ తీసుకోవడం ద్వారా కూడా దూరాన్ని కనుగొనవచ్చు.

వృత్తాకార ప్రాంతం చుట్టూ ఉన్న దూరాన్ని దాని పరిధి అంటారు.

దీన్ని చేయండి

ఒక బాటిల్ క్యాప్, ఒక వంకర లేదా ఏదైనా ఇతర వృత్తాకార వస్తువును తీసుకొని దాని పరిధిని కనుగొనండి.

ఇప్పుడు, ఈ పద్ధతి ద్వారా ట్రాక్ లేదా ఏదైనా ఇతర వృత్తాకార వస్తువు చుట్టూ ఉన్న దూరాన్ని మీరు కనుగొనగలరా?

ఇంకా, త్రాడు ద్వారా కొలవడం ద్వారా ఇది చాలా కష్టంగా ఉంటుంది. అంతేకాకుండా, కొలత ఖచ్చితంగా ఉండదు.

కాబట్టి, సరళరేఖీయ పటాలు లేదా ఆకారాల కోసం మనకు ఉన్నట్లుగా, దీని కోసం మనకు కొన్ని సూత్రాలు అవసరం.

వృత్తాల వ్యాసం మరియు పరిధి మ