9.1 ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਅਸੀਂ ਵਰਗ ਅਤੇ ਆਇਤਾਂ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਹੋਰ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਵੇਖਦੇ ਹਾਂ।

ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਜ਼ਮੀਨ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਵੇਂ ਪਤਾ ਕਰੋਗੇ ਜੋ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਵਿੱਚ ਹੈ?

ਆਓ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਲੱਭੀਏ।

ਕੀ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੀ ਆਇਤ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?

ਗਰਾਫ ਪੇਪਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਬਣਾਓ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9.1(i) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਨੂੰ ਕੱਟੋ। ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਵਿਰੁੱਧ ਪਾਸੇ ਤੱਕ ਲੰਬ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੋ [ਚਿੱਤਰ 9.1(ii)]। ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਕੱਟੋ। ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਓ।

ਤੁਹਾਨੂੰ ਕਿਹੜੀ ਸ਼ਕਲ ਮਿਲਦੀ ਹੈ? ਤੁਹਾਨੂੰ ਇੱਕ ਆਇਤ ਮਿਲਦੀ ਹੈ।

ਕੀ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਬਣਾਈ ਗਈ ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ?

ਹਾਂ, ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਬਣਾਈ ਗਈ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਕੀ ਹੈ?

ਚਿੱਤਰ 9.2

ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਣਾਈ ਗਈ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਆਧਾਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਅਤੇ ਆਇਤ ਦੀ ਚੌੜਾਈ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 9.2)।

ਹੁਣ,

$ \begin{aligned} \text{ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ } & =\text{ ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ } \\ & =\text{ ਲੰਬਾਈ } \times \text{ ਚੌੜਾਈ }=l \times b \end{aligned} $

ਪਰ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $l$ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ $b$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਆਧਾਰ $b$ ਅਤੇ ਉਚਾਈ $h$ ਦੇ ਬਿਲਕੁਲ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਆਧਾਰ $\times$ ਉਚਾਈ $=b \times h$।

ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਭੁਜਾ ਨੂੰ ਉਸਦਾ ਆਧਾਰ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵਿਰੁੱਧ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਉਸ ਭੁਜਾ ‘ਤੇ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਲੰਬ ਉਚਾਈ (ਉਚਾਈ) ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਵਿੱਚ $ABCD, DE$

c, $A B$ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੈ। ਇੱਥੇ $A B$ ਆਧਾਰ ਹੈ ਅਤੇ DE ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ।

ਇਸ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ $ABCD, BF$ ਵਿਰੁੱਧ ਭੁਜਾ AD ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੈ। ਇੱਥੇ $AD$ ਆਧਾਰ ਹੈ ਅਤੇ $BF$ ਉਚਾਈ ਹੈ।

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 9.2)।

ਚਿੱਤਰ 9.3

ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦੇ ਅੰਦਰਲੇ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਗਿਣ ਕੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਾਪ ਕੇ ਪਰਿਮਾਪ ਵੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਪੂਰੀ ਕਰੋ:

ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹੈ ਪਰ ਪਰਿਮਾਪ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹਨ। ਹੁਣ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ $7 ~cm$ ਅਤੇ $5 ~cm$ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 9.4)।

ਚਿੱਤਰ 9.4

ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ ਅਤੇ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰੋ।

ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹੈ ਪਰ ਪਰਿਮਾਪ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਉਸਦੇ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਚਾਈ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:

(i)

(ii)

(iii) ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ $A B C D, A B=7.2 ~cm$ ਅਤੇ $C$ ਤੋਂ $A B$ ‘ਤੇ ਲੰਬ $4.5 ~cm$ ਹੈ।

9.2 ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਇੱਕ ਮਾਲੀ ਘਾਹ ਨਾਲ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣਾਕਾਰ ਬਾਗ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਢੱਕਣ ਦੀ ਲਾਗਤ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਤਿਕੋਣਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।

ਆਓ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਲੱਭੀਏ।

ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਇੱਕ ਟੁਕੜੇ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਵਿਸਮਭੁਜ ਤਿਕੋਣ ਬਣਾਓ। ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਕੱਟੋ। ਇਸ ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਦੂਜੇ ਟੁਕੜੇ ‘ਤੇ ਰੱਖੋ ਅਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਸੇ ਆਕਾਰ ਦਾ ਤਿਕੋਣ ਕੱਟੋ।

ਇਸ ਲਈ ਹੁਣ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕੋ ਆਕਾਰ ਦੇ ਦੋ ਵਿਸਮਭੁਜ ਤਿਕੋਣ ਹਨ।

ਕੀ ਦੋਵੇਂ ਤਿਕੋਣ ਸਰਬੰਗਸਮ ਹਨ?

ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਨੂੰ ਦੂਜੇ ‘ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੋ ਕਿ ਉਹ ਮੇਲ ਖਾਣ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਦੋ ਤਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਘੁਮਾਉਣਾ ਪੈ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ ਦੋਵੇਂ ਤਿਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖੋ ਕਿ ਸੰਗਤ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਜੋੜੀ ਜੁੜ ਜਾਵੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9.5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਕੀ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣੀ ਆਕ੍ਰਿਤੀ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ?

ਹਰੇਕ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨਾਲ ਕਰੋ।

ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਨਾਲ ਕਰੋ।

ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਦੋਵਾਂ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਆਧਾਰ ਅਤੇ ਉਚਾਈ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਹਰੇਕ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\frac{1}{2}($ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $)$

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(\text{ ਆਧਾਰ } \times \text{ ਉਚਾਈ })(\text{ ਕਿਉਂਕਿ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ }=\text{ ਆਧਾਰ } \times \text{ ਉਚਾਈ }) \\ & =\frac{1}{2}(b \times h)(\text{ ਜਾਂ } \frac{1}{2} b h, \text{ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ }) \end{aligned} $

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. ਉਪਰੋਕਤ ਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਤਿਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ।

2. ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਲਓ। ਹਰੇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਨਾਲ ਕੱਟ ਕੇ ਦੋ ਤਿਕੋਣਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ। ਕੀ ਤਿਕੋਣ ਸਰਬੰਗਸਮ ਹਨ?

ਚਿੱਤਰ (ਚਿੱਤਰ 9.6) ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਤਿਕੋਣ ਆਧਾਰ $AB=6 ~cm$ ‘ਤੇ ਹਨ।

ਤੁਸੀਂ ਆਧਾਰ $AB$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਉਚਾਈ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਕੀ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹੈ? ਹਾਂ।

ਕੀ ਤਿਕੋਣ ਸਰਬੰਗਸਮ ਵੀ ਹਨ? ਨਹੀਂ।

ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਸ਼ਕਰਸ਼ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਰੇ ਸਰਬੰਗਸਮ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਪਰ ਬਰਾਬਰ ਖੇਤਰਫਲ ਵਾਲੇ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦਾ ਸਰਬੰਗਸਮ ਹੋਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 9.6

ਚਿੱਤਰ 9.7

ਅਧਿਕ-ਕੋਣ ਤਿਕੋਣ $ABC$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਦਾ ਆਧਾਰ $6 ~cm$ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 9.7)।

ਇਸਦੀ ਉਚਾਈ $A D$ ਹੈ ਜੋ ਸਿਖਰ $A$ ਤੋਂ ਲੰਬ ਹੈ ਅਤੇ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਬਾਹਰ ਹੈ।

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਚਾਈ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $4 ~cm$ ਅਤੇ $3 ~cm$ ਹਨ। ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 9.8)।

ਹੱਲ

ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਆਧਾਰ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $(b)=4 ~cm$, ਉਚਾਈ $(h)=3 ~cm$

ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=b \times h$

$ =4 ~cm \times 3 ~cm=12 ~cm^{2} $

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਉਚਾਈ ’ $x$ ’ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇਕਰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $24 ~cm^{2}$ ਹੈ ਅਤੇ ਆਧਾਰ $4 ~cm$ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 9.8

ਚਿੱਤਰ 9.9

ਹੱਲ

ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=b \times h$

ਇਸ ਲਈ, $24=4 \times x$ (ਚਿੱਤਰ 9.9)

$ \text{ ਜਾਂ } \quad \frac{24}{4}=x \text{ ਜਾਂ } \quad x=6 ~cm $

ਇਸ ਲਈ, ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀ ਉਚਾਈ $6 ~cm$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੀਆਂ ਦੋ ਭੁਜਾਵਾਂ $ABCD$ ਅਤੇ $6 ~cm$ ਹਨ। ਆਧਾਰ $4 ~cm$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਉਚਾਈ $CD$ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 9.10)। ਪਤਾ ਕਰੋ: (i) ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ। (ii) ਆਧਾਰ $3 ~cm$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਉਚਾਈ।

ਹੱਲ

(i) ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $AD$

$ =6 ~cm \times 3 ~cm=18 ~cm^{2} $

(ii)

$ \text{ ਆਧਾਰ }(b)=4 ~cm \text{, ਉਚਾਈ }=x \text{ (ਮੰਨ ਲਓ), } $

$ \text{ ਖੇਤਰਫਲ }=18 ~cm^{2} $

ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=b \times h$

$ \begin{aligned} & 18=4 \times x \\ & \frac{18}{4}=x \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ,

$ x=4.5 ~cm $

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਆਧਾਰ $=b \times x$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਉਚਾਈ $AD$ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 9.10

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 9.11)।

(i) ਚਿੱਤਰ 9.11

(ii)

ਹੱਲ

(i) ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $4.5 ~cm$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 2 ~cm=4 ~cm^{2} $

(ii) ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times QR \times PS$

$ =\frac{1}{2} \times 3 ~cm \times 2 ~cm=3 ~cm^{2} $

ਉਦਾਹਰਨ 5 $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times MN \times LO$ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੇਕਰ ਤਿਕੋਣ PQR ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $BC$ ਹੈ ਅਤੇ ਉਚਾਈ QS $ABC$ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 9.12)।

ਹੱਲ

ਉਚਾਈ $36 ~cm^{2}$, ਖੇਤਰਫਲ $A D$

ਜਾਂ

ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $3 ~cm$

ਚਿੱਤਰ 9.12

ਇਸ ਲਈ,

$ 36=\frac{1}{2} \times b \times 3 \text{ ਅਰਥਾਤ, } \quad b=\frac{36 \times 2}{3}=24 ~cm $

ਉਦਾਹਰਨ 6 ΔPQR ਵਿੱਚ $=3 ~cm$ $=36 ~cm^{2}$ ਅਤੇ $ABC=\frac{1}{2} b h$ (ਚਿੱਤਰ 9.13)। ਪਤਾ ਕਰੋ:

(i) ΔPQR ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

(ii) QM

ਹੱਲ

(i) ΔPQR ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = $\triangle PQR, PR=8 ~cm, QR=4$ ਆਧਾਰ $~cm$ ਉਚਾਈ $PL=5 ~cm$

ਚਿੱਤਰ 9.13

ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $\triangle PQR$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 5 ~cm=10 ~cm^{2} $

(ii) ΔPQR ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ = $QM$ ਆਧਾਰ $QR=$

$ QM=\text{ ਉਚਾਈ }=? $

ਖੇਤਰਫਲ $=4 ~cm, PL=$

$ \begin{matrix} \text{ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ } & =\frac{1}{2} \times b \times h & \text{ ਅਰਥਾਤ, } & & 10 & =\frac{1}{2} \times 8 \times h \\ h & =\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2.5 . & \text{ ਇਸ ਲਈ, } & QM & =2.5 ~cm \end{matrix} $

ਕਸਰਤ 9.1

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਹਰੇਕ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:

3. ਗੁੰਮ ਹੋਏ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:

4. ਗੁੰਮ ਹੋਏ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ:

ਚਿੱਤਰ 9.14

5. PQRS ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 9.14)। QM, Q ਤੋਂ SR ਤੱਕ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ ਅਤੇ QN, Q ਤੋਂ $87 ~cm^{2}$ ਤੱਕ ਦੀ ਉਚਾਈ ਹੈ। ਜੇਕਰ $31.4 mm$ ਅਤੇ $1256 mm^{2}$। ਪਤਾ ਕਰੋ:

(a) ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ PQRS ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

(b) QN, ਜੇਕਰ $22 ~cm$

6. DL ਅਤੇ BM ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ABCD ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ $170.5 ~cm^{2}$ ਅਤੇ $PQRS$ ‘ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਉਚਾਈਆਂ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 9.15)। ਜੇਕਰ

ਚਿੱਤਰ 9.15 ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $P S$ ਹੈ ਅਤੇ $S R=12 ~cm$ $Q M=7.6 ~cm$ ਹੈ, ਤਾਂ BM ਅਤੇ DL ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰੋ।

7. ΔABC, $PQRS$ ‘ਤੇ ਸਮਕੋਣ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 9.16)। AD, BC ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੈ। ਜੇਕਰ $QN$, $PS=8 ~cm$ ਅਤੇ $DL$, ਤਾਂ ΔABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। AD ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਵੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਚਿੱਤਰ 9.16

ਚਿੱਤਰ 9.17

8. ΔABC ਸਮਦੋਭੁਜੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ $BM$ ਅਤੇ $AB$ (ਚਿੱਤਰ 9.17)। A ਤੋਂ BC ਤੱਕ ਦੀ ਉਚਾਈ AD, $AD$ ਹੈ। ΔABC ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ। C ਤੋਂ AB ਤੱਕ ਦੀ ਉਚਾਈ, ਯਾਨੀ, CE ਕਿੰਨੀ ਹੋਵੇਗੀ?

9.3 ਚੱਕਰ

ਇੱਕ ਦੌੜ ਵਾਲਾ ਟਰੈਕ ਦੋਵੇਂ ਸਿਰਿਆਂ ‘ਤੇ ਅਰਧ-ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 9.18)।

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਖਿਡਾਰੀ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕ ਦੌੜ ਵਾਲੇ ਟਰੈਕ ਦੇ ਦੋ ਚੱਕਰ ਲਗਾਉਂਦਾ ਹੈ? ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਆਕ੍ਰਿਤੀ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਸਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਤਰੀਕੇ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 9.18

9.3.1 ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ

ਤਨਯਾ ਨੇ ਕਾਰਡਬੋਰਡ ਤੋਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਾਰਡ, ਵਕਰ ਆਕਾਰ ਵਿੱਚ ਕੱਟੇ। ਉਹ ਇਨ੍ਹਾਂ ਕਾਰਡਾਂ ਨੂੰ ਸਜਾਉਣ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਫੀਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਲਈ ਉਸਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਫੀਤੇ ਦੀ ਜ਼ਰੂਰਤ ਹੈ? (ਚਿੱਤਰ 9.19)

ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਰੂਲਰ ਦੀ ਮਦਦ ਨਾਲ ਵਕਰਾਂ ਨੂੰ ਨਾਪ ਨਹੀਂ ਸਕਦੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ “ਸਿੱਧੀਆਂ” ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 9.20 ਤੁਸੀਂ ਕੀ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਚਿੱਤਰ 9.19(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਸ਼ਕਲ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਫੀਤੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਪਤਾ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇੱਥੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਾਰਡ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਨਿਸ਼ਾਨ ਲਗਾਓ ਅਤੇ ਕਾਰਡ ਨੂੰ ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਰੱਖੋ। ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਸ਼ਾਨ ਲਗਾਓ (ਚਿੱਤਰ 9.20)।

ਹੁਣ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਕਾਰਡ ਨੂੰ ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਘੁਮਾਓ ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਨਿਸ਼ਾਨਿਤ ਬਿੰਦੁ ਮੁੜ ਮੇਜ਼ ਨੂੰ ਨਹੀਂ ਛੂਹਦਾ। ਰੇਖਾ ਦੇ ਨਾਲ ਦੂਰੀ ਨਾਪੋ

ਚਿੱਤਰ 9.21 ਇਹ ਲੋੜੀਂਦੇ ਫੀਤੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 9.21)। ਇਹ ਕਾਰਡ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ‘ਤੇ ਨਿਸ਼ਾਨਿਤ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਵਾਪਸ ਨਿਸ਼ਾਨਿਤ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਵੀ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਵਸਤੂ ਦੇ ਕਿਨਾਰੇ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਧਾਗਾ ਰੱਖ ਕੇ ਅਤੇ ਉਸਨੂੰ ਪੂਰਾ ਘੇਰ ਕੇ ਵੀ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।

**ਕਿਸੇ ਚੱਕਰਾਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਉਸਦਾ ਘ