9.1 સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ

આપણે ચોરસ અને લંબચોરસ સિવાય અનેક આકારો જોઈએ છીએ.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના આકારની જમીનનું ક્ષેત્રફળ તમે કેવી રીતે શોધશો?

ચાલો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની એક રીત શોધીએ.

શું સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા લંબચોરસમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય?

આકૃતિ 9.1(i) માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ગ્રાફ પેપર પર એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ દોરો. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ કાપી લો. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના એક શિરોબિંદુમાંથી વિરુદ્ધ બાજુ પર લંબ રેખા દોરો [આકૃતિ 9.1(ii)]. ત્રિકોણ કાપી લો. ત્રિકોણને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બીજી બાજુએ ખસેડો.

તમને કયો આકાર મળે છે? તમને લંબચોરસ મળે છે.

શું સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ બનેલા લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે?

હા, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $=$ બનેલા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ

લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ કેટલી છે?

આકૃતિ 9.2

આપણે જોઈએ છીએ કે બનેલા લંબચોરસની લંબાઈ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાયા જેટલી છે અને લંબચોરસની પહોળાઈ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ જેટલી છે (આકૃતિ 9.2).

હવે,

$ \begin{aligned} \text{ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ } & =\text{ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ } \\ & =\text{ લંબાઈ } \times \text{ પહોળાઈ }=l \times b \end{aligned} $

પરંતુ લંબચોરસની લંબાઈ $l$ અને પહોળાઈ $b$ અનુક્રમે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાયા $b$ અને ઊંચાઈ $h$ બરાબર છે.

આમ, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $=$ પાયા $\times$ ઊંચાઈ $=b \times h$.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની કોઈપણ બાજુને તેના પાયા તરીકે પસંદ કરી શકાય છે. તે બાજુ પર વિરુદ્ધ શિરોબિંદુમાંથી દોરેલ લંબને ઊંચાઈ (ઊંચાણ) કહેવામાં આવે છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD, DE$ માં

c $A B$ પર લંબ છે. અહીં $A B$ પાયો છે અને DE એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ છે.

આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં $ABCD, BF$ એ વિરુદ્ધ બાજુ AD પર લંબ છે. અહીં $AD$ પાયો છે અને $BF$ ઊંચાઈ છે.

નીચેના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણો ધ્યાનમાં લો (આકૃતિ 9.2).

આકૃતિ 9.3

આકૃતિઓમાં બંધાયેલા ચોરસ ગણીને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણોનું ક્ષેત્રફળ શોધો અને બાજુઓ માપીને પરિમિતિ પણ શોધો.

નીચેનું કોષ્ટક પૂર્ણ કરો:

તમે જોશો કે આ બધા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણોનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે પરંતુ પરિમિતિ જુદી જુદી છે. હવે, બાજુઓ $7 ~cm$ અને $5 ~cm$ વાળા નીચેના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણો ધ્યાનમાં લો (આકૃતિ 9.4).

આકૃતિ 9.4

આ દરેક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ શોધો. તમારા પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરો.

તમે જોશો કે આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણોનું ક્ષેત્રફળ જુદું જુદું છે પરંતુ પરિમિતિ સમાન છે.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, તમારે ફક્ત તેના પાયા અને અનુરૂપ ઊંચાઈ જાણવાની જરૂર છે.

આમ પ્રયાસ કરો

નીચેના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણોનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

(i)

(ii)

(iii) એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં $A B C D, A B=7.2 ~cm$ અને $C$ માંથી $A B$ પરનો લંબ $4.5 ~cm$ છે.

9.2 ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ

એક માળી ત્રિકોણાકાર બગીચાને ઘાસથી ઢાંકવાની કિંમત જાણવા માંગે છે.

આ કિસ્સામાં આપણે ત્રિકોણાકાર પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ જાણવાની જરૂર છે.

ચાલો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની એક રીત શોધીએ.

કાગળના ટુકડા પર એક વિષમબાજુ ત્રિકોણ દોરો. ત્રિકોણ કાપી લો. આ ત્રિકોણને બીજા કાગળના ટુકડા પર મૂકો અને સમાન માપનો બીજો ત્રિકોણ કાપો.

તેથી હવે તમારી પાસે સમાન માપના બે વિષમબાજુ ત્રિકોણો છે.

શું બંને ત્રિકોણ સર્વસંગત છે?

એક ત્રિકોણને બીજા પર એવી રીતે મૂકો કે તેઓ એકબીજા સાથે મેળ ખાતા હોય. તમારે બે ત્રિકોણોમાંથી એકને ફેરવવો પડશે.

હવે બંને ત્રિકોણોને એવી રીતે મૂકો કે અનુરૂપ બાજુઓની જોડી જોડાયેલી હોય જેમ કે આકૃતિ 9.5 માં દર્શાવ્યા છે.

શું આ રીતે બનેલી આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે?

દરેક ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ સાથે તુલના કરો.

ત્રિકોણોના પાયા અને ઊંચાઈની સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાયા અને ઊંચાઈ સાથે તુલના કરો.

તમે જોશો કે બંને ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. ત્રિકોણનો પાયો અને ઊંચાઈ અનુક્રમે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના પાયા અને ઊંચાઈ જેટલી છે.

દરેક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $=\frac{1}{2}($ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $)$

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(\text{ પાયો } \times \text{ ઊંચાઈ })(\text{ કારણ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ }=\text{ પાયો } \times \text{ ઊંચાઈ }) \\ & =\frac{1}{2}(b \times h)(\text{ અથવા } \frac{1}{2} b h, \text{ સંક્ષેપમાં }) \end{aligned} $

આમ પ્રયાસ કરો

1. વિવિધ પ્રકારના ત્રિકોણો સાથે ઉપરની પ્રવૃત્તિ કરો.

2. વિવિધ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણો લો. દરેક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણને તેના કોઈપણ વિકર્ણ સાથે કાપીને બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરો. શું ત્રિકોણો સર્વસંગત છે?

આકૃતિ (આકૃતિ 9.6) માં બધા ત્રિકોણો પાયા $AB=6 ~cm$ પર છે.

પાયા $AB$ ને અનુરૂપ દરેક ત્રિકોણની ઊંચાઈ વિશે તમે શું કહી શકો?

શું આપણે કહી શકીએ કે બધા ત્રિકોણોનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે? હા.

શું ત્રિકોણો સર્વસંગત પણ છે? ના.

આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે બધા સર્વસંગત ત્રિકોણોનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે પરંતુ ક્ષેત્રફળમાં સમાન ત્રિકોણો સર્વસંગત હોવા જરૂરી નથી.

આકૃતિ 9.6

આકૃતિ 9.7

પાયા $6 ~cm$ વાળા સ્થૂળકોણ ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો (આકૃતિ 9.7).

તેની ઊંચાઈ $A D$ છે જે શિરોબિંદુ $A$ માંથી દોરેલ લંબ છે અને ત્રિકોણની બહાર છે.

શું તમે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધી શકો છો?

ઉદાહરણ 1 એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની એક બાજુ અને અનુરૂપ ઊંચાઈ અનુક્રમે $4 ~cm$ અને $3 ~cm$ છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો (આકૃતિ 9.8).

ઉકેલ

આપેલ છે કે પાયાની લંબાઈ $(b)=4 ~cm$, ઊંચાઈ $(h)=3 ~cm$

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $=b \times h$

$ =4 ~સેમી \times 3 ~સેમી=12 ~સેમી^{2} $

ઉદાહરણ 2 ઊંચાઈ ’ $x$ ’ શોધો જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $24 ~cm^{2}$ હોય અને પાયો $4 ~cm$ હોય.

આકૃતિ 9.8

આકૃતિ 9.9

ઉકેલ

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $=b \times h$

તેથી, $24=4 \times x$ (આકૃતિ 9.9)

$ \text{ અથવા } \quad \frac{24}{4}=x \text{ અથવા } \quad x=6 ~સેમી $

તેથી, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $6 ~cm$ છે.

ઉદાહરણ 3 સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બે બાજુઓ $6 ~cm$ અને $4 ~cm$ છે. પાયા $CD$ ને અનુરૂપ ઊંચાઈ $3 ~cm$ છે (આકૃતિ 9.10). શોધો: (i) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ. (ii) પાયા $AD$ ને અનુરૂપ ઊંચાઈ.

ઉકેલ

(i) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $=b \times h$

$ =6 ~સેમી \times 3 ~સેમી=18 ~સેમી^{2} $

(ii)

$ \text{ પાયો }(b)=4 ~સેમી \text{, ઊંચાઈ }=x \text{ (માનો), } $

$ \text{ ક્ષેત્રફળ }=18 ~સેમી^{2} $

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $=b \times x$

$ \begin{aligned} & 18=4 \times x \\ & \frac{18}{4}=x \end{aligned} $

તેથી,

$ x=4.5 ~સેમી $

આમ, પાયા $AD$ ને અનુરૂપ ઊંચાઈ $4.5 ~cm$ છે.

આકૃતિ 9.10

ઉદાહરણ 4 નીચેના ત્રિકોણોનું ક્ષેત્રફળ શોધો (આકૃતિ 9.11).

(i) આકૃતિ 9.11

(ii)

ઉકેલ

(i) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times QR \times PS$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~સેમી \times 2 ~સેમી=4 ~સેમી^{2} $

(ii) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times MN \times LO$

$ =\frac{1}{2} \times 3 ~સેમી \times 2 ~સેમી=3 ~સેમી^{2} $

ઉદાહરણ 5 $BC$ શોધો, જો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $36 ~cm^{2}$ હોય અને ઊંચાઈ $A D$ $3 ~cm$ હોય (આકૃતિ 9.12).

ઉકેલ

ઊંચાઈ $=3 ~cm$, ક્ષેત્રફળ $=36 ~cm^{2}$

અથવા

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $ABC=\frac{1}{2} b h$

આકૃતિ 9.12

તેથી,

$ 36=\frac{1}{2} \times b \times 3 \text{ એટલે કે, } \quad b=\frac{36 \times 2}{3}=24 ~સેમી $

ઉદાહરણ 6 $\triangle PQR, PR=8 ~cm, QR=4$ માં $~cm$ અને $PL=5 ~cm$ છે (આકૃતિ 9.13). શોધો:

(i) $\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ

(ii) $QM$

ઉકેલ

(i) $QR=$ પાયો $=4 ~cm, PL=$ ઊંચાઈ $=5 ~cm$

આકૃતિ 9.13

ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $PQR=\frac{1}{2} b h$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~સેમી \times 5 ~સેમી=10 ~સેમી^{2} $

(ii) $PR=$ પાયો $=8 ~cm$

$ QM=\text{ ઊંચાઈ }=? $

ક્ષેત્રફળ $=10 ~cm^{2}$

$ \begin{matrix} \text{ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ } & =\frac{1}{2} \times b \times h & \text{ એટલે કે, } & & 10 & =\frac{1}{2} \times 8 \times h \\ h & =\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2.5 . & \text{ તેથી, } & QM & =2.5 ~સેમી \end{matrix} $

કસરત 9.1

1. નીચેના દરેક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

2. નીચેના દરેક ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

3. ખૂટતી કિંમતો શોધો:

4. ખૂટતી કિંમતો શોધો:

આકૃતિ 9.14

5. $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે (આકૃતિ 9.14). Q એથી SR પરની ઊંચાઈ QM છે અને Q એથી $P S$ પરની ઊંચાઈ QN છે. જો $S R=12 ~cm$ અને $Q M=7.6 ~cm$. શોધો:

(a) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ

(b) $QN$, જો $PS=8 ~cm$

6. $DL$ અને $BM$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $AD$ પરની ઊંચાઈઓ છે (આકૃતિ 9.15). જો

આકૃતિ 9.15 સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $1470 ~cm^{2}, AB=35 ~cm$ હોય અને $AD=$ $49 ~cm$ હોય, તો BM અને DL ની લંબાઈ શોધો.

7. $\triangle ABC$ $A$ પર કાટકોણ ત્રિકોણ છે (આકૃતિ 9.16). $AD$ એ $BC$ પર લંબ છે. જો $AB=5 ~cm$, $B C=13 ~cm$ અને $A C=12 ~cm$, તો $\triangle A B C$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો. $AD$ ની લંબાઈ પણ શોધો.

આકૃતિ 9.16

આકૃતિ 9.17

8. $\triangle ABC$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AB=AC=7.5 ~cm$ અને $BC=9 ~cm$ છે (આકૃતિ 9.17). $A D$ થી $A$ પરની ઊંચાઈ $B C$, $6 ~cm$ છે. $\triangle A B C$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો. $C$ થી $AB$ પરની ઊંચાઈ એટલે કે $CE$ કેટલી હશે?

9.3 વર્તુળો

એક રેસિંગ ટ્રેક બંને છેડે અર્ધવર્તુળાકાર છે (આકૃતિ 9.18).

જો એક એથ્લીટ રેસિંગ ટ્રેકની બે ફેરી લે તો તે દ્વારા કાપેલું અંતર તમે શોધી શકો છો? જ્યારે આકાર વર્તુળાકાર હોય ત્યારે તેની આસપાસનું અંતર શોધવાની રીત આપણે શોધવાની જરૂર છે.

આકૃતિ 9.18

9.3.1 વર્તુળનો પરિઘ

તાન્યાએ કાર્ડબોર્ડમાંથી વિવિધ કાર્ડ્સ, વક્ર આકારમાં કાપ્યા. તે આ કાર્ડ્સને સજાવટ માટે ફીતું લગાવવા માંગે છે. દરેક માટે તેને કેટલી લંબાઈની ફીતું જોઈએ? (આકૃતિ 9.19)

તમે આ આકૃતિઓ “સીધી” ન હોવાથી, રૂલરની મદદથી વક્રો માપી શકતા નથી.

આકૃતિ 9.20 તમે શું કરી શકો?

આકૃતિ 9.19(a) માં આકાર માટે જરૂરી ફીતાની લંબાઈ શોધવાની એક રીત અહીં છે. કાર્ડની ધાર પર એક બિંદુ ચિહ્નિત કરો અને કાર્ડને ટેબલ પર મૂકો. ટેબલ પર પણ બિંદુની સ્થિતિ ચિહ્નિત કરો (આકૃતિ 9.20).

હવે ચિહ્નિત બિંદુ ફરીથી ટેબલને સ્પર્શ કરે ત્યાં સુધી ટેબલ પર સીધી રેખા સાથે વર્તુળાકાર કાર્ડને ફેરવો. રેખા સાથેનું અંતર

આકૃતિ 9.21 માપો. આ જરૂરી ફીતાની લંબાઈ છે (આકૃતિ 9.21). તે ચિહ્નિત બિંદુથી પાછા ચિહ્નિત બિંદુ સુધી કાર્ડની ધાર સાથેનું અંતર પણ છે.

તમે વર્તુળાકાર વસ્તુની ધાર પર દોરડું મૂકીને તેની આસપાસ લઈને પણ અંતર શોધી શકો છો.

વર્તુળાકાર પ્રદેશની આસપાસનું અંતર તેનો પરિઘ તરીકે ઓળખાય છે.

આ કરો

બોટલ કેપ, ચૂડલું અથવા કોઈપણ અન્ય વર્તુળાકાર વસ્તુ લો અને તેનો પરિઘ શોધો.

હવે, શું તમે આ રીતે ટ્રેક પર એથ્લીટ દ્વારા કાપેલું અંતર શોધી શકો છો?

તેમ છતાં, દોરડા દ્વારા માપીને ટ્રેક અથવા કોઈપણ અન્ય વર્તુળાકાર વસ્તુની આસપાસનું અંતર શોધવું ખૂબ જ મુ