9.1 متوازی الاضلاع کا رقبہ

ہم مربع اور مستطیل کے علاوہ بھی بہت سی اشکال دیکھتے ہیں۔

آپ ایک ایسی زمین کا رقبہ کیسے معلوم کریں گے جو متوازی الاضلاع کی شکل میں ہے؟

آئیے متوازی الاضلاع کا رقبہ معلوم کرنے کا طریقہ تلاش کریں۔

کیا متوازی الاضلاع کو مساوی رقبے والے مستطیل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے؟

گراف پیپر پر ایک متوازی الاضلاع بنائیں جیسا کہ شکل 9.1(i) میں دکھایا گیا ہے۔ متوازی الاضلاع کو کاٹ کر نکال لیں۔ متوازی الاضلاع کے ایک راس سے مخالف ضلع کے عموداً ایک لکیر بنائیں [شکل 9.1(ii)]۔ مثلث کو کاٹ کر نکال لیں۔ مثلث کو متوازی الاضلاع کے دوسری طرف منتقل کر دیں۔

آپ کو کیا شکل ملتی ہے؟ آپ کو ایک مستطیل ملتا ہے۔

کیا متوازی الاضلاع کا رقبہ بننے والے مستطیل کے رقبے کے برابر ہے؟

ہاں، متوازی الاضلاع کا رقبہ $=$ بننے والے مستطیل کا رقبہ

مستطیل کی لمبائی اور چوڑائی کیا ہے؟

شکل 9.2

ہم دیکھتے ہیں کہ بننے والے مستطیل کی لمبائی متوازی الاضلاع کے قاعدے کے برابر ہے اور مستطیل کی چوڑائی متوازی الاضلاع کی اونچائی کے برابر ہے (شکل 9.2)۔

اب،

$ \begin{aligned} \text{ متوازی الاضلاع کا رقبہ } & =\text{ مستطیل کا رقبہ } \\ & =\text{ لمبائی } \times \text{ چوڑائی }=l \times b \end{aligned} $

لیکن مستطیل کی لمبائی $l$ اور چوڑائی $b$ بالترتیب متوازی الاضلاع کے قاعدے $b$ اور اونچائی $h$ کے بالکل برابر ہیں۔

اس طرح، متوازی الاضلاع کا رقبہ $=$ قاعدہ $\times$ اونچائی $=b \times h$۔

متوازی الاضلاع کی کسی بھی ضلع کو اس کے قاعدے کے طور پر منتخب کیا جا سکتا ہے۔ مخالف راس سے اس ضلع پر گرایا گیا عمود اونچائی (ارتفاع) کہلاتا ہے۔ متوازی الاضلاع $ABCD, DE$ میں

c عمود ہے $A B$ پر۔ یہاں $A B$ قاعدہ ہے اور DE متوازی الاضلاع کی اونچائی ہے۔

اس متوازی الاضلاع میں $ABCD, BF$ مخالف ضلع AD پر عمود ہے۔ یہاں $AD$ قاعدہ ہے اور $BF$ اونچائی ہے۔

مندرجہ ذیل متوازی الاضلاعوں پر غور کریں (شکل 9.2)۔

شکل 9.3

متوازی الاضلاعوں کا رقبہ اشکال کے اندر گھیرے گئے مربعوں کو گن کر معلوم کریں اور نیز اضلاع کی پیمائش کر کے محیط معلوم کریں۔

مندرجہ ذیل جدول مکمل کریں:

آپ دیکھیں گے کہ ان تمام متوازی الاضلاعوں کے رقبے برابر ہیں لیکن محیط مختلف ہیں۔ اب، اضلاع $7 ~cm$ اور $5 ~cm$ والے مندرجہ ذیل متوازی الاضلاعوں پر غور کریں (شکل 9.4)۔

شکل 9.4

ان میں سے ہر متوازی الاضلاع کا محیط اور رقبہ معلوم کریں۔ اپنے نتائج کا تجزیہ کریں۔

آپ دیکھیں گے کہ ان متوازی الاضلاعوں کے رقبے مختلف ہیں لیکن محیط برابر ہیں۔

متوازی الاضلاع کا رقبہ معلوم کرنے کے لیے، آپ کو صرف متوازی الاضلاع کے قاعدے اور اس کے مطابق اونچائی جاننے کی ضرورت ہے۔

کوشش کریں

مندرجہ ذیل متوازی الاضلاعوں کا رقبہ معلوم کریں:

(i)

(ii)

(iii) ایک متوازی الاضلاع میں $A B C D, A B=7.2 ~cm$ اور $C$ سے $A B$ پر عمود $4.5 ~cm$ ہے۔

9.2 مثلث کا رقبہ

ایک باغبان جاننا چاہتا ہے کہ پورے مثلثی باغ کو گھاس سے ڈھکنے کی لاگت کتنی ہوگی۔

اس صورت میں ہمیں مثلثی علاقے کے رقبے کی ضرورت ہے۔

آئیے مثلث کا رقبہ معلوم کرنے کا طریقہ تلاش کریں۔

کاغذ کے ایک ٹکڑے پر ایک مختلف الاضلاع مثلث بنائیں۔ مثلث کو کاٹ کر نکال لیں۔ اس مثلث کو کاغذ کے دوسرے ٹکڑے پر رکھیں اور اسی سائز کا ایک اور مثلث کاٹ کر نکال لیں۔

تو اب آپ کے پاس ایک ہی سائز کے دو مختلف الاضلاع مثلث ہیں۔

کیا دونوں مثلث متطابق ہیں؟

ایک مثلث کو دوسرے پر اس طرح رکھیں کہ وہ مل جائیں۔ آپ کو شاید دو مثلثوں میں سے ایک کو گھمانا پڑے۔

اب دونوں مثلثوں کو اس طرح رکھیں کہ متطابق اضلاع کا ایک جوڑا مل جائے جیسا کہ شکل 9.5 میں دکھایا گیا ہے۔

کیا اس طرح بننے والی شکل ایک متوازی الاضلاع ہے؟

ہر مثلث کے رقبے کا متوازی الاضلاع کے رقبے سے موازنہ کریں۔

مثلثوں کے قاعدے اور اونچائی کا متوازی الاضلاع کے قاعدے اور اونچائی سے موازنہ کریں۔

آپ دیکھیں گے کہ دونوں مثلثوں کے رقبوں کا مجموعہ متوازی الاضلاع کے رقبے کے برابر ہے۔ مثلث کا قاعدہ اور اونچائی بالترتیب متوازی الاضلاع کے قاعدے اور اونچائی کے برابر ہیں۔

ہر مثلث کا رقبہ $=\frac{1}{2}($ متوازی الاضلاع کا رقبہ $)$

$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2}(\text{ قاعدہ } \times \text{ اونچائی })(\text{ چونکہ متوازی الاضلاع کا رقبہ }=\text{ قاعدہ } \times \text{ اونچائی }) \\ & =\frac{1}{2}(b \times h)(\text{ یا مختصراً } \frac{1}{2} b h) \end{aligned} $

کوشش کریں

1. اوپر والی سرگرمی مختلف قسم کے مثلثوں کے ساتھ آزمائیں۔

2. مختلف متوازی الاضلاع لیں۔ ہر متوازی الاضلاع کو اس کے کسی بھی قطر کے ساتھ کاٹ کر دو مثلثوں میں تقسیم کریں۔ کیا مثلث متطابق ہیں؟

شکل (شکل 9.6) میں تمام مثلث قاعدے $AB=6 ~cm$ پر ہیں۔

قاعدے $AB$ کے مطابق ہر مثلث کی اونچائی کے بارے میں آپ کیا کہہ سکتے ہیں؟

کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ تمام مثلثوں کا رقبہ برابر ہے؟ ہاں۔

کیا مثلث متطابق بھی ہیں؟ نہیں۔

ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ تمام متطابق مثلث رقبے میں برابر ہوتے ہیں لیکن رقبے میں برابر مثلث ضروری نہیں کہ متطابق ہوں۔

شکل 9.6

شکل 9.7

قاعدے $6 ~cm$ والے زاویہ منفرجہ مثلث $ABC$ پر غور کریں (شکل 9.7)۔

اس کی اونچائی $A D$ ہے جو راس $A$ سے عمود ہے اور مثلث کے باہر ہے۔

کیا آپ مثلث کا رقبہ معلوم کر سکتے ہیں؟

مثال 1 ایک متوازی الاضلاع کی ایک ضلع اور اس کے مطابق اونچائی بالترتیب $4 ~cm$ اور $3 ~cm$ ہیں۔ متوازی الاضلاع کا رقبہ معلوم کریں (شکل 9.8)۔

حل

دیے گئے ہیں کہ قاعدے کی لمبائی $(b)=4 ~cm$، اونچائی $(h)=3 ~cm$

متوازی الاضلاع کا رقبہ $=b \times h$

$ =4 ~cm \times 3 ~cm=12 ~cm^{2} $

مثال 2 اونچائی ’ $x$ ’ معلوم کریں اگر متوازی الاضلاع کا رقبہ $24 ~cm^{2}$ ہے اور قاعدہ $4 ~cm$ ہے۔

شکل 9.8

شکل 9.9

حل

متوازی الاضلاع کا رقبہ $=b \times h$

لہٰذا، $24=4 \times x$ (شکل 9.9)

$ \text{ یا } \quad \frac{24}{4}=x \text{ یا } \quad x=6 ~cm $

تو، متوازی الاضلاع کی اونچائی $6 ~cm$ ہے۔

مثال 3 متوازی الاضلاع $ABCD$ کی دو اضلاع $6 ~cm$ اور $4 ~cm$ ہیں۔ قاعدے $CD$ کے مطابق اونچائی $3 ~cm$ ہے (شکل 9.10)۔ معلوم کریں: (i) متوازی الاضلاع کا رقبہ۔ (ii) قاعدے $AD$ کے مطابق اونچائی۔

حل

(i) متوازی الاضلاع کا رقبہ $=b \times h$

$ =6 ~cm \times 3 ~cm=18 ~cm^{2} $

(ii)

$ \text{ قاعدہ }(b)=4 ~cm \text{, اونچائی }=x \text{ (فرض کریں)، } $

$ \text{ رقبہ }=18 ~cm^{2} $

متوازی الاضلاع کا رقبہ $=b \times x$

$ \begin{aligned} & 18=4 \times x \\ & \frac{18}{4}=x \end{aligned} $

لہٰذا،

$ x=4.5 ~cm $

اس طرح، قاعدے $AD$ کے مطابق اونچائی $4.5 ~cm$ ہے۔

شکل 9.10

مثال 4 مندرجہ ذیل مثلثوں کا رقبہ معلوم کریں (شکل 9.11)۔

(i) شکل 9.11

(ii)

حل

(i) مثلث کا رقبہ $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times QR \times PS$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 2 ~cm=4 ~cm^{2} $

(ii) مثلث کا رقبہ $=\frac{1}{2} b h=\frac{1}{2} \times MN \times LO$

$ =\frac{1}{2} \times 3 ~cm \times 2 ~cm=3 ~cm^{2} $

مثال 5 $BC$ معلوم کریں، اگر مثلث $ABC$ کا رقبہ $36 ~cm^{2}$ ہے اور اونچائی $A D$ $3 ~cm$ ہے (شکل 9.12)۔

حل

اونچائی $=3 ~cm$، رقبہ $=36 ~cm^{2}$

یا

مثلث کا رقبہ $ABC=\frac{1}{2} b h$

شکل 9.12

تو،

$ 36=\frac{1}{2} \times b \times 3 \text{ یعنی، } \quad b=\frac{36 \times 2}{3}=24 ~cm $

مثال 6 $\triangle PQR, PR=8 ~cm, QR=4$ میں $~cm$ اور $PL=5 ~cm$ ہے (شکل 9.13)۔ معلوم کریں:

(i) $\triangle PQR$ کا رقبہ

(ii) $QM$

حل

(i) $QR=$ قاعدہ $=4 ~cm, PL=$ اونچائی $=5 ~cm$

شکل 9.13

مثلث کا رقبہ $PQR=\frac{1}{2} b h$

$ =\frac{1}{2} \times 4 ~cm \times 5 ~cm=10 ~cm^{2} $

(ii) $PR=$ قاعدہ $=8 ~cm$

$ QM=\text{ اونچائی }=? $

رقبہ $=10 ~cm^{2}$

$ \begin{matrix} \text{ مثلث کا رقبہ } & =\frac{1}{2} \times b \times h & \text{ یعنی، } & & 10 & =\frac{1}{2} \times 8 \times h \\ h & =\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2.5 . & \text{ تو، } & QM & =2.5 ~cm \end{matrix} $

مشق 9.1

1. مندرجہ ذیل ہر متوازی الاضلاع کا رقبہ معلوم کریں:

2. مندرجہ ذیل ہر مثلث کا رقبہ معلوم کریں:

3. گمشدہ اقدار معلوم کریں:

4. گمشدہ اقدار معلوم کریں:

شکل 9.14

5. $PQRS$ ایک متوازی الاضلاع ہے (شکل 9.14)۔ QM، Q سے SR تک کی اونچائی ہے اور QN، Q سے $P S$ تک کی اونچائی ہے۔ اگر $S R=12 ~cm$ اور $Q M=7.6 ~cm$۔ معلوم کریں:

(a) متوازی الاضلاع $PQRS$ کا رقبہ

(b) $QN$، اگر $PS=8 ~cm$

6. $DL$ اور $BM$ بالترتیب متوازی الاضلاع $ABCD$ کی اضلاع $AB$ اور $AD$ پر اونچائیاں ہیں (شکل 9.15)۔ اگر

شکل 9.15 متوازی الاضلاع کا رقبہ $1470 ~cm^{2}, AB=35 ~cm$ ہے اور $AD=$ $49 ~cm$ ہے، تو BM اور DL کی لمبائی معلوم کریں۔

7. $\triangle ABC$، $A$ پر قائمہ الزاویہ ہے (شکل 9.16)۔ $AD$، $BC$ پر عمود ہے۔ اگر $AB=5 ~cm$، $B C=13 ~cm$ اور $A C=12 ~cm$، تو $\triangle A B C$ کا رقبہ معلوم کریں۔ نیز $AD$ کی لمبائی معلوم کریں۔

شکل 9.16

شکل 9.17

8. $\triangle ABC$ متساوی الساقین ہے جس میں $AB=AC=7.5 ~cm$ اور $BC=9 ~cm$ ہے (شکل 9.17)۔ $A D$ سے $A$ تک اونچائی $B C$، $6 ~cm$ ہے۔ $\triangle A B C$ کا رقبہ معلوم کریں۔ $C$ سے $AB$ تک اونچائی یعنی $CE$ کیا ہوگی؟

9.3 دائرے

ایک ریسنگ ٹریک دونوں سروں پر نصف دائرہ نما ہے (شکل 9.18)۔

کیا آپ ایک ایتھلیٹ کے ذریعے طے کی گئی دوری معلوم کر سکتے ہیں اگر وہ ریسنگ ٹریک کے دو چکر لگاتا ہے؟ ہمیں اس وقت دوری معلوم کرنے کا طریقہ تلاش کرنے کی ضرورت ہے جب شکل دائرہ نما ہو۔

شکل 9.18

9.3.1 دائرے کا محیط

تنيا نے گتے سے مختلف کارڈ، خمدار شکل میں کاٹے۔ وہ ان کارڈوں کو سجانے کے لیے ان کے گرد فیتہ لگانا چاہتی ہے۔ اسے ہر ایک کے لیے فیتے کی کتنی لمبائی درکار ہے؟ (شکل 9.19)

آپ فریموں کی مدد سے خم ناپ نہیں سکتے، کیونکہ یہ اشکال “سیدھی” نہیں ہیں۔

شکل 9.20 آپ کیا کر سکتے ہیں؟

یہاں شکل 9.19(a) میں درکار فیتے کی لمبائی معلوم کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ کارڈ کے کنارے پر ایک نقطہ نشان زد کریں اور کارڈ کو میز پر رکھیں۔ نقطہ کی پوزیشن میز پر بھی نشان زد کریں (شکل 9.20)۔

اب دائرہ نما کارڈ کو میز پر ایک سیدھی لکیر کے ساتھ اس وقت تک گھمائیں جب تک کہ نشان زد نقطہ دوبارہ میز کو نہ چھو لے۔ لکیر کے ساتھ

شکل 9.21 دوری ناپیں۔ یہ درکار فیتے کی لمبائی ہے (شکل 9.21)۔ یہ نشان زد نقطے سے واپس نشان زد نقطے تک کارڈ کے کنارے کے ساتھ دوری بھی ہے۔

آپ دوری دائرہ نما شے کے کنارے پر دھاگہ رکھ کر اور اسے پورا گھما کر بھی معلوم کر سکتے ہیں۔

دائرہ نما علاقے کے گرد کی دوری اس کا محیط کہلاتی ہے۔

یہ کریں

ایک بوتل کا ڈھکن، چوڑی یا کوئی اور دائرہ نما شے لیں اور اس کا محیط معلوم کریں۔

اب، کیا آپ اس طریقے سے ٹریک پر ایتھلیٹ کے ذریعے طے کی گئی دوری معلوم کر سکتے ہیں؟

پھر بھی، ڈوری کے ذریعے ناپ کر ٹریک یا کسی دوسری دائرہ نما شے کے گرد دوری معلوم کرنا بہت مشکل ہوگا۔ مزید برآں، پیمائش درست نہیں ہوگی۔

لہٰذا، ہمیں اس کے لیے کچھ فارمولے کی ضرورت ہے، جیسا کہ ہمارے پاس خطی اشکال یا شکلوں کے لیے ہے۔

آئیے دیکھتے ہیں کہ آیا دائرے کے قطر اور محیط کے درمیان کوئی تعلق ہے۔

مندرجہ ذیل جدول پر غور کریں: مختلف نصف قطر کے چھ دائرے بنائیں اور ڈوری کے ذریعے ان کا محیط معلوم کریں۔ نیز محیط کا قطر سے تناسب معلوم کریں۔

آپ اوپر والے جدول سے کیا نتیجہ اخذ کرتے ہیں؟ کیا یہ تناسب تقریباً ایک جیسا ہے؟ ہاں۔

کیا آپ کہہ سکتے ہیں کہ دائرے کا محیط ہمیشہ اس کے قطر سے تین گنا زیادہ ہوتا ہے؟ ہاں۔

یہ تناسب ایک مستقل ہے اور اسے $\pi$ (پائی) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس کی تقریبی قیمت $\frac{22}{7}$ یا 3.14 ہے۔

تو، ہم کہہ سکتے ہیں کہ $\frac{C}{d}=\pi$، جہاں ’ $C$ ’ دائرے کے محیط کو ظاہر کرتا ہے اور ’ $d$ ’ اس کا قطر۔

یا

$ C=\pi d $

ہم جانتے ہیں کہ دائرے کا قطر $(d)$ اس کے نصف قطر $(r)$ کا دوگنا ہے یعنی $d=2 r$

تو، $\quad C=\pi d=\pi \times 2 r \quad$ یا $\quad C=2 \pi r$۔

کوشش کریں

شکل 9.22 میں،

(a) کس مربع کا محیط زیادہ ہے؟

(b) کون سا زیادہ ہے، چھوٹے مربع کا محیط یا دائرے کا محیط؟

شکل 9.22

یہ کریں

ایک چوتھائی پلیٹ اور آدھی پلیٹ میں سے ہر ایک لیں۔ ان میں سے ہر ایک کو میز کی سطح پر ایک بار گھمائیں۔ ایک مکمل چکر میں کون سی پلیٹ زیادہ دوری طے کرتی ہے؟ میز کی سطح کی لمبائی ڈھکنے کے لیے کون سی پلیٹ کم چکروں کی تعداد لے گی؟

مثال 7 قطر $10 ~cm$ والے دائرے کا محیط کیا ہے؟ ($\pi=3.14$ لیں)؟

حل

دائرے کا قطر $(d)=10 ~cm$

دائرے کا محیط $=\pi d$

$ =3.14 \times 10 ~cm=31.4 ~cm $

تو، قطر $10 ~cm$ والے دائرے کا محیط $31.4 ~cm$ ہے۔

مثال 8 نصف قطر $14 ~cm$ والی دائرہ نما ڈسک کا محیط کیا ہے؟

$ (\text{ استعمال کریں } \pi=\frac{22}{7}) $

حل

دائرہ نما ڈسک کا نصف قطر $(r)=14 ~cm$

ڈسک کا محیط $=2 \pi r$

$ =2 \times \frac{22}{7} \times 14 ~cm=88 ~cm $

تو، دائرہ نما ڈسک کا محیط $88 ~cm$ ہے۔

مثال 9 ایک دائرہ نما پائپ کا نصف قطر $10 ~cm$ ہے۔ پائپ کے گرد ایک بار لپیٹنے کے لیے ٹیپ کی کتنی لمبائی درکار ہے $(\pi=3.14)$ ؟

حل

پائپ کا نصف قطر $(r)=10 ~cm$

ٹیپ کی درکار لمبائی پائپ کے محیط کے برابر ہے۔

پائپ کا محیط $=2 \pi r$

$ \begin{aligned} & =2 \times 3.14 \times 10 ~cm \\ & =62.8 ~cm \end{aligned} $

لہٰذا، پائپ کے گرد ایک بار لپیٹنے کے لیے درکار ٹیپ کی لمبائی $62.8 ~cm$ ہے۔

مثال 10 دی گئی شکل کا محیط معلوم کریں (شکل 9.23) ($\pi=\frac{22}{7}$ لیں)۔

حل

اس شکل میں ہمیں مربع کی ہر طرف نیم دائرے کا محیط معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔ کیا آپ کو مربع کا محیط بھی معلوم کرنے کی ضرورت ہے؟ نہیں۔ اس شکل کی بیرونی حد نیم دائرے سے بنی ہے۔ ہر نیم دائرے کا قطر $14 ~cm$ ہے۔

ہم جانتے ہیں کہ:

دائرے کا محیط $=\pi d$

نیم دائرے کا محیط $=\frac{1}{2} \pi d$

$ =\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 14 ~cm=22 ~cm $

ہر نیم دائرے کا محیط $22 ~cm$ ہے

لہٰذا، دی گئی شکل کا محیط $=4 \times 22 ~cm=88 ~cm$

شکل 9.23

مثال 11 سدھنشو نصف قطر $7 ~cm$ کی ایک دائرہ نما ڈسک کو دو برابر حصوں میں تقسیم کرتا ہے۔

ہر نیم دائرہ نما شکل والی ڈسک کا محیط کیا ہے؟ ($\pi=\frac{22}{7}$ استعمال کریں)

حل

نیم دائرہ نما ڈسک کا محیط معلوم کرنے کے لیے (شکل 9.24)، ہمیں معلوم کرنے کی ضرورت ہے

(i) نیم دائرہ نما شکل کا محیط

(ii) قطر

دیے گئے ہیں کہ نصف قطر $(r)=7 ~cm$۔ ہم جانتے ہیں کہ دائرے کا محیط $=2 \pi r$

تو، نیم دائرے کا محیط$=\frac{1}{2}\times 2 \pi r=\pi r$

$=\frac{22}{7}\times 7 ~cm=22 ~cm$

تو، دائرے کا قطر = $2r = 2 \times 7 cm = 14 cm$

اس طرح، ہر نیم دائرہ نما ڈسک کا محیط $=22 ~cm+14 ~cm=36 ~cm$

9.3.2 دائرے کا رقبہ

مندرجہ ذیل پر غور کریں:

• ایک کسان نے ایک کھیت کے مرکز میں نصف قطر $7 m$ کا ایک پھولوں کی کیاری کھودی۔ اسے کھاد خریدنے کی ضرورت ہے۔ اگر 1 مربع میٹر رقبے کے لیے $1 kg$ کھاد درکار ہے، تو اسے کتنی کھاد خریدنے چاہیے؟
• نصف قطر $2 m$ والی گول میز کی پالش کرنے کی لاگت ₹ 10 فی مربع میٹر کی شرح سے کتنی ہوگی؟

کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ ایسے معاملات میں ہمیں کیا معلوم کرنے کی ضرورت ہے، رقبہ یا محیط؟ ایسے معاملات میں ہمیں دائرہ نما علاقے کا رقبہ معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔ آئیے گراف پیپر کا استعمال کرتے ہوئے دائرے کا رقبہ معلوم کریں۔

شکل 9.25

گراف پیپر پر نصف قطر $4 ~cm$ کا ایک دائرہ بنائیں (شکل 9.25)۔ گھیرے گئے مربعوں کی تعداد گن کر رقبہ معلوم کریں۔

چونکہ کنارے سیدھے نہیں ہیں، اس لیے ہمیں اس طریقے سے دائرے کے رقبے کا ایک کچا تخمینہ ملتا ہے۔ دائرے کا رقبہ معلوم کرنے کا ایک اور طریقہ ہے۔

ایک دائرہ بنائیں اور دائرے کے آدھے حصے پر سایہ لگائیں [شکل 9.26(i)]۔ اب دائرے کو آٹھویں حصوں میں موڑیں اور موڑوں کے ساتھ کاٹیں [شکل 9.26(ii)]۔

(i)

(ii)

شکل 9.26

شکل 9.27

الگ ٹکڑوں کو اس طرح ترتیب دیں جیسا کہ شکل 9.27 میں دکھایا گیا ہے، جو تقریباً ایک متوازی الاضلاع ہے۔

جتنے زیادہ قطاع ہوں گے، ہم ایک مناسب متوازی الاضلاع کے قریب پہنچیں گے۔

جیسا کہ اوپر کیا گیا ہے اگر ہم دائرے کو 64 قطاعوں میں تقسیم کریں، اور ان قطاعوں کو ترتیب دیں۔ یہ تقریباً ایک مستطیل دیتا ہے (شکل 9.28)۔

شکل 9.28

اس مستطیل کی چوڑائی کیا ہے؟ اس مستطیل کی چوڑائی دائرے کا نصف قطر ہے، یعنی ’ $r$ ‘۔

چونکہ پورا دائرہ 64 قطاعوں میں تقسیم ہے اور ہر طرف ہمارے پاس 32 قطاع ہیں، مستطیل کی لمبائی 32 قطاعوں کی لمبائی ہے، جو محیط کا آدھا ہے۔ (شکل 9.28)

دائرے کا رقبہ $=$ اس طرح بننے والے مستطیل کا رقبہ $=l \times b$

$=($ محیط کا آدھا $) \times$ نصف قطر $=(\frac{1}{2} \times 2 \pi r) \times r=\pi r^{2}$

تو، دائرے کا رقبہ $=\pi r^{2}$

کوشش کریں

گراف پیپر پر مختلف نصف قطر کے دائرے بنائیں۔ مربعوں کی تعداد گن