৪.১ এটা মগজু পঢ়াৰ খেল!

শিক্ষয়িত্রীয়ে কৈছে যে তেওঁ গণিতৰ এটা নতুন অধ্যায় আৰম্ভ কৰিব আৰু ইয়াৰ বিষয় হ’ব সৰল সমীকৰণ। আপ্পু, ছৰিতা আৰু আমিনাই ষষ্ঠ শ্ৰেণীৰ বীজগণিতৰ অধ্যায়ত শিকাখিনি পুনৰ চালে। আপুনি চালেনে? আপ্পু, ছৰিতা আৰু আমিনা উৎসাহিত কাৰণ তেওঁলোকে এটা খেল সাজি উলিয়াইছে যাক তেওঁলোকে মগজু পঢ়া বোলে আৰু ইয়াক গোটেই শ্ৰেণীৰ আগত উপস্থাপন কৰিব বিচাৰে।

শিক্ষয়িত্রীয়ে তেওঁলোকৰ উৎসাহৰ শলাগ লৈ খেলটো উপস্থাপন কৰিবলৈ আমন্ত্ৰণ জনায়। আমিনাই আৰম্ভ কৰে; তাই চাৰাক এটা সংখ্যা ভাবিবলৈ কয়, ইয়াক ৪ৰে পূৰণ কৰিবলৈ কয় আৰু উৎপন্নটোৰ লগত ৫ যোগ কৰিবলৈ কয়। তাৰ পিছত, তাই চাৰাক ফলাফলটো ক’বলৈ কয়। তাই কয় যে ই ৬৫। আমিনাই তৎক্ষণাত ঘোষণা কৰে যে চাৰাই ভবা সংখ্যাটো হ’ল ১৫। চাৰাই মূৰ দোঁৱায়। চাৰাকে ধৰি গোটেই শ্ৰেণীটো আচৰিত হৈ পৰে।

এতিয়া আপ্পুৰ পাল। সি বালুক এটা সংখ্যা ভাবিবলৈ কয়, ইয়াক ১০ৰে পূৰণ কৰিবলৈ কয় আৰু উৎপন্নটোৰ পৰা ২০ বিয়োগ কৰিবলৈ কয়। তাৰ পিছত সি বালুক সোধে যে তাৰ ফলাফলটো কিমান? বালুৱে কয় যে ই ৫০। আপ্পুৱে তৎক্ষণাত বালুৱে ভবা সংখ্যাটো কয়। ই হ’ল ৭, বালুৱে ইয়াক নিশ্চিত কৰে।

সকলোৱে জানিব বিচাৰে যে আপ্পু, ছৰিতা আৰু আমিনাই উপস্থাপন কৰা ‘মগজু পঢ়া’টো কেনেকৈ কাম কৰে। আপুনি ই কেনেকৈ কাম কৰে দেখিব পাৰেনে? এই অধ্যায় আৰু অধ্যায় ১২ অধ্যয়ন কৰাৰ পিছত, আপুনি খেলটো কেনেকৈ কাম কৰে ভালদৰে জানিব পাৰিব।

৪.২ এটা সমীকৰণ গঠন কৰা

আমিনাৰ উদাহৰণটো লওঁ আহক। আমিনাই চাৰাক এটা সংখ্যা ভাবিবলৈ কয়। আমিনাই সংখ্যাটো নাজানে। তাইৰ বাবে, ই যিকোনো সংখ্যা হ’ব পাৰে $1,2,3, \ldots, 11, \ldots, 100, \ldots$ এই অজ্ঞাত সংখ্যাটো এটা আখৰেৰে, ধৰক $x$, সূচাব পাৰি। আপুনি $y$ বা $t$ বা $x$ৰ সলনি আন কোনো আখৰ ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰে। চাৰাই ভবা অজ্ঞাত সংখ্যাটো সূচাবলৈ আমি কোনটো আখৰ ব্যৱহাৰ কৰোঁ তাত কোনো সমস্যা নাই। যেতিয়া চাৰাই সংখ্যাটো ৪ৰে পূৰণ কৰে, তাই $4 x$ পায়। তাৰ পিছত তাই উৎপন্নটোৰ লগত ৫ যোগ কৰে, যাৰ ফলত $4 x+5$ পোৱা যায়। $(4 x+5)$ৰ মান $x$ৰ মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। গতিকে যদি $x=1,4 x+5=4 \times 1+5=9$। ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল যদি চাৰাৰ মনত ১ থাকে, তেন্তে তাইৰ ফলাফল ৯ হ’লহেঁতেন। একেদৰে, যদি তাই ৫ ভাবিলেহেঁতেন, তেন্তে $x=5,4 x+5=4 \times 5+5=25$ৰ বাবে; গতিকে যদি চাৰাই ৫ বাছি লৈছিল, ফলাফলটো ২৫ হ’লহেঁতেন।

চাৰাই ভবা সংখ্যাটো উলিয়াবলৈ তাইৰ উত্তৰ ৬৫ৰ পৰা উল্টাকৈ কাম কৰোঁ আহক। আমি $x$ এনেকুৱা বিচাৰিব লাগিব যাতে

$$ \begin{equation*} 4 x+5=65 \tag{4.1} \end{equation*} $$

সমীকৰণটোৰ সমাধানে আমাক চাৰাই মনত ৰখা সংখ্যাটো দিব।

আহক একেদৰে আপ্পুৰ উদাহৰণটোলৈ চাওঁ। বালুৱে বাছি লোৱা সংখ্যাটোক y বুলি কওঁ। আপ্পুৱে বালুক সংখ্যাটো ১০ৰে পূৰণ কৰিবলৈ আৰু উৎপন্নটোৰ পৰা ২০ বিয়োগ কৰিবলৈ কয়। অৰ্থাৎ, $y$ৰ পৰা, বালুৱে প্ৰথমে $10 y$ পায় আৰু তাৰ পৰা $(10 y-20)$ পায়। ফলাফলটো ৫০ বুলি জনা আছে।

গতিকে,

$$ \begin{equation*} 10 y-20=50 \tag{4.2} \end{equation*} $$

এই সমীকৰণটোৰ সমাধানে আমাক বালুৱে ভবা সংখ্যাটো দিব।

৪.৩ আমি যি জানো তাৰ পুনৰালোচনা

মন কৰক, (৪.১) আৰু (৪.২) হ’ল সমীকৰণ। ষষ্ঠ শ্ৰেণীত সমীকৰণৰ বিষয়ে আমি যি শিকিছিলোঁ তাক মনত পেলাওঁ। এটা সমীকৰণ হ’ল এটা চলকৰ ওপৰত এটা চৰ্ত। সমীকৰণ (৪.১)ত, চলকটো হ’ল $x$; সমীকৰণ (৪.২)ত, চলকটো হ’ল $y$।

চলক শব্দটোৰ অৰ্থ হ’ল যি পৰিৱৰ্তন হ’ব পাৰে, অৰ্থাৎ সলনি হ’ব পাৰে। এটা চলকে বিভিন্ন সাংখ্যিক মান গ্ৰহণ কৰে; ইয়াৰ মান স্থিৰ নহয়। চলকক সাধাৰণতে বৰ্ণমালাৰ আখৰ যেনে $x, y, z, l, m, n, p$ আদিৰে সূচোৱা হয়। চলকৰ পৰা আমি ৰাশি গঠন কৰোঁ। ৰাশিবোৰ গঠন কৰা হয় চলকবোৰৰ ওপৰত যোগ, বিয়োগ, পূৰণ আৰু হৰণৰ দৰে ক্ৰিয়া সম্পাদন কৰি। $x$ৰ পৰা, আমি $(4 x+5)$ ৰাশিটো গঠন কৰিছিলোঁ। ইয়াৰ বাবে, প্ৰথমে আমি $x$ক ৪ৰে পূৰণ কৰিছিলোঁ আৰু তাৰ পিছত উৎপন্নটোৰ লগত ৫ যোগ কৰিছিলোঁ। একেদৰে, $y$ৰ পৰা, আমি $(10 y-20)$ ৰাশিটো গঠন কৰিছিলোঁ। ইয়াৰ বাবে, আমি $y$ক ১০ৰে পূৰণ কৰিছিলোঁ আৰু তাৰ পিছত উৎপন্নটোৰ পৰা ২০ বিয়োগ কৰিছিলোঁ। এইবোৰ সকলোৱে ৰাশিৰ উদাহৰণ।

এইদৰে গঠন কৰা ৰাশি এটাৰ মান নিৰ্বাচিত চলকৰ মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। আমি ইতিমধ্যে দেখিছোঁ, যেতিয়া $x=1,4 x+5=9$; যেতিয়া $x=5,4 x+5=25$। একেদৰে, যেতিয়া

$ \begin{aligned} & x=15,4 x+5=4 \times 15+5=65 \\ & x=0,4 x+5=4 \times 0+5=5 ; \text{ and so on. } \end{aligned} $

যেতিয়া

সমীকৰণ (৪.১) হ’ল চলক $x$ৰ ওপৰত এটা চৰ্ত। ই কয় যে $(4 x+5)$ ৰাশিৰ মান ৬৫। চৰ্তটো সন্তুষ্ট হয় যেতিয়া $x=15$। ই হ’ল সমীকৰণ $4 x+5=65$ৰ সমাধান। যেতিয়া $x=5,4 x+5=25$ আৰু ৬৫ নহয়। গতিকে $x=5$ সমীকৰণটোৰ সমাধান নহয়। একেদৰে, $x=0$ সমীকৰণটোৰ সমাধান নহয়। ১৫ৰ বাহিৰে $x$ৰ অন্য কোনো মানে চৰ্ত $4 x+5=65$ক সন্তুষ্ট নকৰে।

চেষ্টা কৰক

$(10 y-20)$ ৰাশিৰ মান $y$ৰ মানৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। $y$ক পাঁচটা ভিন্ন মান দি আৰু প্ৰতিটো $y$ৰ বাবে $(10 y-20)$ৰ মান উলিওৱাৰ দ্বাৰা ইয়াক পৰীক্ষা কৰক। আপুনি পোৱা $(10 y-20)$ৰ বিভিন্ন মানবোৰৰ পৰা, আপুনি $10 y-20=50$ৰ এটা সমাধান দেখিব পাৰেনে? যদি সমাধান নাথাকে, $y$ক অধিক মান দিবলৈ চেষ্টা কৰক আৰু চাওক চৰ্ত $10 y-20=50$ পূৰণ হয় নে নহয়।

৪.৪ সমীকৰণ কি?

এটা সমীকৰণত সদায় সমান চিন থাকে। সমান চিনটোৱে দেখুৱায় যে চিনটোৰ বাওঁফালৰ ৰাশিৰ মান (বাওঁপক্ষ বা LHS) চিনটোৰ সোঁফালৰ ৰাশিৰ মানৰ (সোঁপক্ষ বা RHS) সৈতে সমান। সমীকৰণ (৪.১)ত, LHS হ’ল $(4 x+5)$ আৰু RHS হ’ল ৬৫। সমীকৰণ (৪.২)ত, LHS হ’ল $(10 y-20)$ আৰু RHS হ’ল ৫০।

যদি LHS আৰু RHSৰ মাজত সমান চিনৰ বাহিৰে আন কোনো চিন থাকে, তেন্তে ই সমীকৰণ নহয়। গতিকে, $4 x+5>65$ সমীকৰণ নহয়।

ই কয় যে, $(4 x+5)$ৰ মান ৬৫তকৈ ডাঙৰ।

একেদৰে, $4 x+5<65$ সমীকৰণ নহয়। ই কয় যে $(4 x+5)$ৰ মান ৬৫তকৈ সৰু।

সমীকৰণত, আমি সঘনাই দেখোঁ যে RHS কেৱল এটা সংখ্যা। সমীকৰণ (৪.১)ত, ই ৬৫ আৰু সমীকৰণ (৪.২)ত, ই ৫০। কিন্তু ই সদায় এনেকুৱা হ’ব লাগিব নালাগে। সমীকৰণ এটাৰ RHS চলকটো থকা এটা ৰাশি হ’ব পাৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, সমীকৰণ

$ 4 x+5=6 x-25 $

ৰ বাওঁফালত ৰাশি $(4 x+5)$ আছে আৰু সমান চিনৰ সোঁফালত $(6 x-25)$ আছে।

চমুকৈ, সমীকৰণ হ’ল চলক এটাৰ ওপৰত এটা চৰ্ত। চৰ্তটো হ’ল যে দুটা ৰাশিৰ মান সমান হ’ব লাগিব। মন কৰক যে দুয়োটা ৰাশিৰ ভিতৰত অন্ততঃ এটাত চলকটো থাকিব লাগিব।

আমি সমীকৰণৰ এটা সৰল আৰু উপযোগী ধৰ্মও লক্ষ্য কৰোঁ। সমীকৰণ $4 x+5=65$ আৰু $65=4 x+5$ একে। একেদৰে, সমীকৰণ $6 x-25=4 x+5$ আৰু $4 x+5=6 x-25$ একে। যেতিয়া বাওঁফালৰ আৰু সোঁফালৰ ৰাশিবোৰ বিনিময় কৰা হয়, সমীকৰণটো একে থাকে। এই ধৰ্মটো সঘনাই সমীকৰণ সমাধান কৰাত উপযোগী।

উদাহৰণ ১ তলৰ উক্তিবোৰ সমীকৰণৰ ৰূপত লিখা:

(i) $x$ৰ তিনিগুণৰ লগত ১১ৰ যোগফল ৩২।

(ii) যদি আপুনি এটা সংখ্যাৰ ৬ গুণৰ পৰা ৫ বিয়োগ কৰে, আপুনি ৭ পায়।

(iii) $m$ৰ এক চতুৰ্থাংশ ৭তকৈ ৩ বেছি।

(iv) এটা সংখ্যাৰ এক তৃতীয়াংশৰ লগত ৫ যোগ কৰিলে ৮ পোৱা যায়।

সমাধান

(i) $x$ৰ তিনিগুণ হ’ল $3 x$।

$3 x$ আৰু ১১ৰ যোগফল হ’ল $3 x+11$। যোগফলটো ৩২।

সমীকৰণটো হ’ল $3 x+11=32$।

(ii) ধৰক সংখ্যাটো হ’ল $z ; z$, ৬ৰে পূৰণ কৰিলে হ’ল $6 z$।

$6 z$ৰ পৰা ৫ বিয়োগ কৰিলে, $6 z-5$ পোৱা যায়। ফলাফলটো ৭।

সমীকৰণটো হ’ল $6 z-5=7$। (iii) $m$ৰ এক চতুৰ্থাংশ হ’ল $\frac{m}{4}$।

ই ৭তকৈ ৩ বেছি। ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল পাৰ্থক্য $(\frac{m}{4}-7)$ হ’ল ৩।

সমীকৰণটো হ’ল $\frac{m}{4}-7=3$।

(iv) সংখ্যাটোক $n$ বুলি লওঁ। $n$ৰ এক তৃতীয়াংশ হ’ল $\frac{n}{3}$।

এই এক তৃতীয়াংশৰ লগত ৫ যোগ কৰিলে হ’ল $\frac{n}{3}+5$। ই ৮।

সমীকৰণটো হ’ল $\frac{n}{3}+5=8$।

উদাহৰণ ২ তলৰ সমীকৰণবোৰ উক্তি ৰূপত ৰূপান্তৰ কৰা:

(i) $x-5=9$

(ii) $5 p=20$

(iii) $3 n+7=1$

(iv) $\frac{m}{5}-2=6$

সমাধান

(i) $x$ৰ পৰা ৫ আঁতৰোৱাত ৯ পোৱা যায়।

(ii) এটা সংখ্যা $p$ৰ পাঁচগুণ হ’ল ২০।

(iii) $n$ৰ তিনিগুণৰ লগত ৭ যোগ কৰিলে ১ পোৱা যায়।

(iv) আপুনি এটা সংখ্যা $m$ৰ এক পঞ্চমাংশৰ পৰা ২ বিয়োগ কৰিলে ৬ পায়।

মন কৰিবলগীয়া কথা হ’ল যে দিয়া সমীকৰণ এটাৰ বাবে, কেৱল এটাই নহয়, বহুতো উক্তি ৰূপ দিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, ওপৰৰ সমীকৰণ (i)ৰ বাবে, আপুনি ক’ব পাৰে:

চেষ্টা কৰক

প্ৰতিটো সমীকৰণ (ii), (iii) আৰু (iv)ৰ বাবে অন্ততঃ এটা আন ৰূপ লিখা।

$x$ৰ পৰা ৫ বিয়োগ কৰক, আপুনি ৯ পাব।

বা সংখ্যাটো $x$ হ’ল ৯তকৈ ৫ বেছি।

বা সংখ্যাটো $x$ হ’ল ৯তকৈ ৫ৰে ডাঙৰ।

বা $x$ আৰু ৫ৰ মাজৰ পাৰ্থক্য হ’ল ৯, ইত্যাদি।

উদাহৰণ ৩ তলৰ পৰিস্থিতিটোলৈ চাওঁ:

ৰাজুৰ দেউতাৰ বয়স ৰাজুৰ বয়সৰ তিনিগুণতকৈ ৫ বছৰ বেছি। ৰাজুৰ দেউতাৰ বয়স ৪৪ বছৰ। ৰাজুৰ বয়স উলিয়াবলৈ এটা সমীকৰণ গঠন কৰা।

সমাধান

আমি ৰাজুৰ বয়স নাজানো। ধৰো ই $y$ বছৰ। ৰাজুৰ বয়সৰ তিনিগুণ হ’ল $3 y$ বছৰ। ৰাজুৰ দেউতাৰ বয়স $3 y$তকৈ ৫ বছৰ বেছি; অৰ্থাৎ, ৰাজুৰ দেউতাৰ বয়স $(3 y+5)$ বছৰ। ইয়াকো দিয়া আছে যে ৰাজুৰ দেউতাৰ বয়স ৪৪ বছৰ।

গতিকে,

$$ \begin{equation*} 3 y+5=44 \tag{4.3} \end{equation*} $$

ই হ’ল $y$ৰ সমীকৰণ। ই সমাধান কৰিলে ৰাজুৰ বয়স দিব।

উদাহৰণ ৪ এজন দোকানীয়ে দুধৰণৰ বাকচত আম বিক্ৰী কৰে, এটা সৰু আৰু এটা ডাঙৰ। এটা ডাঙৰ বাকচত ৮টা সৰু বাকচৰ আমৰ সংখ্যাৰ সমান আম আৰু ৪টা ঢিলা আম থাকে। প্ৰতিটো সৰু বাকচত থকা আমৰ সংখ্যা দিয়া সমীকৰণ এটা গঠন কৰা। ডাঙৰ বাকচ এটাত থকা আমৰ সংখ্যা ১০০ বুলি দিয়া আছে।

সমাধান

ধৰক এটা সৰু বাকচত $m$টা আম থাকে। এটা ডাঙৰ বাকচত $m$ৰ ৮ গুণতকৈ ৪ বেছি, অৰ্থাৎ, $8 m+4$টা আম থাকে। কিন্তু ইয়াক ১০০ বুলি দিয়া আছে। গতিকে

$$ \begin{equation*} 8 m+4=100 \tag{4.4} \end{equation*} $$

এই সমীকৰণটো সমাধান কৰি আপুনি এটা সৰু বাকচত থকা আমৰ সংখ্যা পাব পাৰে।

অনুশীলনী ৪.১

১. তালিকাখনৰ শেষ স্তম্ভটো পূৰণ কৰা।

২. বন্ধনীত দিয়া মানটো দিয়া সমীকৰণটোৰ সমাধান হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা:

(a) $n+5=19(n=1)$

(b) $7 n+5=19(n=-2)$

(c) $7 n+5=19(n=2)$

(d) $4 p-3=13(p=1)$

(e) $4 p-3=13(p=-4)$

(f) $4 p-3=13(p=0)$

৩. চেষ্টা আৰু ভুল পদ্ধতিৰে তলৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা:

(i) $5 p+2=17$

(ii) $3 m-14=4$

৪. তলৰ উক্তিবোৰৰ বাবে সমীকৰণ লিখা:

(i) সংখ্যা $x$ আৰু ৪ৰ যোগফল ৯।

(ii) $y$ৰ পৰা ২ বিয়োগ কৰিলে ৮ পোৱা যায়।

(iii) $a$ৰ দহগুণ হ’ল ৭০।

(iv) সংখ্যা $b$ক ৫ৰে হৰণ কৰিলে ৬ পোৱা যায়।

(v) $t$ৰ তিনিচতুৰ্থাংশ হ’ল ১৫।

(vi) $m$ৰ সাতগুণৰ লগত ৭ যোগ কৰিলে ৭৭ পোৱা যায়।

(vii) এটা সংখ্যা $x$ৰ এক চতুৰ্থাংশৰ পৰা ৪ বিয়োগ কৰিলে ৪ পোৱা যায়।

(viii) যদি আপুনি $y$ৰ ছয়গুণৰ পৰা ৬ আঁতৰায়, আপুনি ৬০ পায়।

(ix) যদি আপুনি $z$ৰ এক তৃতীয়াংশৰ লগত ৩ যোগ কৰে, আপুনি ৩০ পায়।

৫. তলৰ সমীকৰণবোৰ উক্তি ৰূপত লিখা:

(i) $p+4=15$

(ii) $m-7=3$

(iii) $2 m=7$

(iv) $\frac{m}{5}=3$

(v) $\frac{3 m}{5}=6$

(vi) $3 p+4=25$

(vii) $4 p-2=18$

(viii) $\frac{p}{2}+2=8$

৬. তলৰ ক্ষেত্ৰবোৰত সমীকৰণ গঠন কৰা:

(i) ইৰফানে কয় যে পৰমিতৰ থকা গুটিৰ পাঁচগুণতকৈ তাৰ ৭টা গুটি বেছি। ইৰফানৰ ৩৭টা গুটি আছে। (পৰমিতৰ গুটিৰ সংখ্যা $m$ বুলি লোৱা।)

(ii) লক্ষ্মীৰ দেউতাৰ বয়স ৪৯ বছৰ। তেওঁ লক্ষ্মীৰ বয়সৰ তিনিগুণতকৈ ৪ বছৰ ডাঙৰ। (লক্ষ্মীৰ বয়স $y$ বছৰ বুলি লোৱা।)

(iii) শিক্ষয়িত্রীয়ে শ্ৰেণীক কয় যে তাইৰ শ্ৰেণীৰ এজন ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে পোৱা সৰ্বোচ্চ নম্বৰটো হ’ল সৰ্বনিম্ন নম্বৰৰ দুগুণতকৈ ৭ বেছি। সৰ্বোচ্চ নম্বৰটো ৮৭। (সৰ্বনিম্ন নম্বৰটো $l$ বুলি লোৱা।)

(iv) এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজত, শীৰ্ষকোণটো যিকোনো ভূমিকোণৰ দুগুণ। (ভূমিকোণটো $b$ ডিগ্ৰী বুলি লোৱা। মনত ৰাখিব যে ত্ৰিভুজ এটাৰ কোণবোৰৰ যোগফল ১৮০ ডিগ্ৰী)।

৪.৪.১ এটা সমীকৰণ সমাধান কৰা

এটা সমতা $\quad 8-3=4+1$লৈ চাওঁ।

সমতা (৪.৫) বহিৰ্ভূত, কাৰণ ইয়াৰ দুয়োপক্ষ সমান (প্ৰতিটো ৫ৰ সমান)।

• আহক এতিয়া দুয়োপক্ষত ২ যোগ কৰো; ফলস্বৰূপে

LHS $=8-3+2=5+2=7 \quad$ RHS $=4+1+2=5+2=7$।

আকৌ সমতাটো বহিৰ্ভূত (অৰ্থাৎ, ইয়াৰ LHS আৰু RHS সমান)।

গতিকে যদি আমি সমতা এটাৰ দুয়োপক্ষত একে সংখ্যাটো যোগ কৰো, ই তথাপি বহিৰ্ভূত।

• আহক এতিয়া দুয়োপক্ষৰ পৰা ২ বিয়োগ কৰো; ফলস্বৰূপে,

LHS $=8-3-2=5-2=3$

RHS $=4+1-2=5-2=3$।

আকৌ, সমতাটো বহিৰ্ভূত।

গতিকে যদি আমি সমতা এটাৰ দুয়োপক্ষৰ পৰা একে সংখ্যাটো বিয়োগ কৰো, ই তথাপি বহিৰ্ভূত।

• একেদৰে, যদি আমি সমতাটোৰ দুয়োপক্ষক একে অশূন্য সংখ্যাৰে পূৰণ কৰো বা হৰণ কৰো, ই তথাপি বহিৰ্ভূত।

উদাহৰণস্বৰূপে, আহক সমতাটোৰ দুয়োপক্ষক ৩ৰে পূৰণ কৰো, আমি পাওঁ

LHS $=3 \times(8-3)=3 \times 5=15, \quad$ RHS $=3 \times(4+1)=3 \times 5=15$।

সমতাটো বহিৰ্ভূত।

আহক এতিয়া সমতাটোৰ দুয়োপক্ষক ২ৰে হৰণ কৰো।

LHS $=(8-3) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}$

RHS $=(4+1) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}=$ LHS

আকৌ, সমতাটো বহিৰ্ভূত।

যদি আমি আন যিকোনো সমতা লওঁ, আমি একে সিদ্ধান্তবোৰ পাম।

ধৰি লওঁ, আমি এই নিয়মবোৰ পালন নকৰোঁ। বিশেষকৈ, ধৰি লওঁ আমি সমতা এটাৰ দুয়োপক্ষত ভিন্ন সংখ্যা যোগ কৰোঁ। আমি এই ক্ষেত্ৰত দেখিম যে সমতাটো বহিৰ্ভূত নহয় (অৰ্থাৎ, ইয়াৰ দুয়োপক্ষ সমান নহয়)। উদাহৰণস্বৰূপে, আকৌ সমতা (৪.৫) লওঁ,

$ 8-3=4+1 $

LHSত ২ যোগ কৰোঁ আৰু RHSত ৩ যোগ কৰোঁ। নতুন LHS হ’ল $8-3+2=5+2=7$ আৰু নতুন RHS হ’ল $4+1+3=5+3=8$। সমতাটো বহিৰ্ভূত নহয়, কাৰণ নতুন LHS আৰু RHS সমান নহয়।

গতিকে যদি আমি সমতা এটাৰ দুয়োপক্ষত একে সংখ্যাৰে একে গাণিতিক ক্ৰিয়া কৰিবলৈ ব্যৰ্থ হওঁ, সমতাটো বহিৰ্ভূত নহ’ব পাৰে।

যি সমতাত চলক থাকে সেয়া হ’ল সমীকৰণ।

এই সিদ্ধান্তবোৰ সমীকৰণৰ বাবেও বৈধ, কাৰণ প্ৰতিটো সমীকৰণত চলকে কেৱল এটা সংখ্যাকহে প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।

সঘনাই এটা সমীকৰণক এটা ওজন কৰা মানদণ্ডৰ দৰে বুলি কোৱা হয়। সমীকৰণ এটাৰ ওপৰত গাণিতিক ক্ৰিয়া এটা কৰাটো ওজন কৰা মানদণ্ড এটাৰ পাতত্ৰবোৰত ওজন যোগ কৰা বা আঁতৰোৱাৰ দৰে।

এটা সমীকৰণ হ’ল এটা ওজন কৰা মানদণ্ডৰ দৰে যাৰ দুয়োপাতত্ৰত সমান ওজন আছে, যাৰ ক্ষেত্ৰত মানদণ্ডটোৰ বাহুটো সম্পূৰ্ণভাৱে আনুভূমিক। যদি আমি দুয়োপাতত্ৰত একে ওজন যোগ কৰোঁ, বাহুটো আনুভূমিক হৈ থাকে। একেদৰে, যদি আমি দুয়োপাতত্ৰৰ পৰা একে ওজন আঁতৰাওঁ, বাহুটো আনুভূমিক হৈ থাকে। আনহাতে যদি আমি পাতত্ৰবোৰত ভিন্ন ওজন যোগ কৰোঁ বা পাতত্ৰবোৰৰ পৰা ভিন্ন ওজন আঁতৰাওঁ, মানদণ্ডটো হেলনীয়া হয়; অৰ্থাৎ, মানদণ্ডটোৰ বাহুটো আনুভূমিক হৈ নাথাকে।

আমি সমীকৰণ এটা সমাধান কৰাৰ বাবে এই নীতিটো ব্যৱহাৰ কৰোঁ। ইয়াত, নিশ্চয়ভাৱে,

মানদণ্ডটো কাল্পনিক আৰু সংখ্যাবোৰ ওজন হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি যিবোৰ শাৰীৰিকভাৱে ইটোৰ সৈতে সিটোৰ ভাৰসাম্য ৰাখিব পাৰি। এই নীতিটো উপস্থাপন কৰাৰ প্ৰকৃত উদ্দেশ্য হ’ল এইটো। আহক কেইটামান উদাহৰণ লওঁ।

• সমীকৰণটোলৈ চাওঁ: $x+3=8$

আমি এই সমীকৰণটোৰ দুয়োপক্ষৰ পৰা ৩ বিয়োগ কৰিম।

নতুন LHS হ’ল $\quad x+3-3=x$ আৰু নতুন RHS হ’ল $8-3=5$

যিহেতু ইয়াই মানদণ্ডটোৰ ভাৰসাম্য নভাঙে, আমি পাইছোঁ

$$ \text{ New LHS = New RHS } $$

আমি কিয় ৩ বিয়োগ কৰিব লাগিব, আন কোনো সংখ্যা নহয়? ৩ যোগ কৰিবলৈ চেষ্টা কৰক। ই সহায় কৰিব নেকি? কিয় নহয়? ইয়াৰ কাৰণ হ’ল ৩ বিয়োগ কৰিলে LHS $x$লৈ হ্ৰাস পায়।

বা

$ x=5 $

যিটো আমি বিচাৰোঁ ঠিক তেনেকুৱা, সমীকৰণ (৪.৬)ৰ সমাধান।

আমি সঠিক নে নহয় নিশ্চিত কৰিবলৈ, আমি মূল সমীকৰণত $x=5$ বহুৱাম। আমি পাওঁ LHS $=x+3=5+3=8$, যিটো প্ৰয়োজন অনুসৰি RHSৰ সৈতে সমান।

সমীকৰণটোৰ দুয়োপক্ষত সঠিক গাণিতিক ক্ৰিয়া (অৰ্থাৎ, ৩ বিয়োগ কৰা) সম্পাদন কৰি, আমি সমীকৰণটোৰ সমাধানলৈ আহিলোঁ।

• আহক আন এটা সমীকৰণলৈ চাওঁ

$$ \begin{equation*} x-3=10 \tag{4.7} \end{equation*} $$

ইয়াত আমি কি কৰিব লাগিব? আমি দুয়োপক্ষত ৩ যোগ কৰিব লাগিব, এনেকৈ কৰিলে, আমি ভাৰসাম্য ৰাখিম আৰু LHSও কেৱল $x$লৈ হ্ৰাস পাব।

নতুন LHS $=x-3+3=x$, নতুন RHS $=10+3=13$

গতিকে, $x=13$, যিটো প্ৰয়োজনীয় সমাধান।

মূল সমীকৰণ (৪.৭)ত $x=13$ বহুৱাই আমি নিশ্চিত কৰোঁ যে সমাধানটো শুদ্ধ:

মূল সমীকৰণৰ LHS $=x-3=13-3=10$

ই প্ৰয়োজন অনুসৰি RHSৰ সৈতে সমান।

একেদৰে, আহক সমীকৰণবোৰলৈ চাওঁ

$$ \begin{align*} & 5 y=35 \tag{4.8}\\ & \frac{m}{2}=5 \tag{4.9} \end{align*} $$

প্ৰথম ক্ষেত্ৰত, আমি দুয়োপক্ষক ৫ৰে হৰণ কৰিম। ই আমাক LHSত কেৱল $y$ দিব

$ \text{ New LHS }=\frac{5 y}{5}=\frac{5 \times y}{5}=y, \quad \text{ New RHS }=\frac{35}{5}=\frac{5 \times 7}{5}=7 $

গতিকে,

$ y=7 $

ই হ’ল প্ৰয়োজনীয় সমাধান। আমি সমীকৰণ (৪.৮)ত $y=7$ বহুৱাই পৰীক্ষা কৰিব পাৰোঁ যে ই সন্তুষ্ট হয়।

দ্বিতীয় ক্ষেত্ৰত, আমি দুয়োপক্ষক ২ৰে পূৰণ কৰিম। ই আমাক LHSত কেৱল $m$ দিব

নতুন LHS $=\frac{m}{2} \times 2=m$। নতুন RHS $=5 \times 2=10$।

গতিকে, $m=10$ (ই হ’ল প্ৰয়োজনীয় সমাধান। আপুনি সমাধানটো শুদ্ধ নে নহয় পৰীক্ষা কৰিব পাৰে)।

ওপৰৰ উদাহৰণবোৰত দেখা পোৱা যায় যে, আমাক কৰিবলগীয়া ক্ৰিয়াটো সমীকৰণটোৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। আমাৰ চেষ্টা হ’ব সমীকৰণটোত থকা চলকটো পৃথক কৰা। কেতিয়াবা, এনেকৈ কৰিবলৈ আমাক একাধিক গাণিতিক ক্ৰিয়া সম্পাদন কৰিবলগীয়া হ’ব পাৰে। এই কথা মনত ৰাখি আহক আৰু কেইটামান সমীকৰণ সমাধান কৰোঁ।

উদাহৰণ ৫ সমাধান কৰা: (a) $3 n+7=25$

(b) $2 p-1=23$

সমাধান

(a) আমি সমীকৰণটোৰ LHSত চলক $n$ক পৃথক কৰিবলৈ ক্ৰমান্ব