4.1 ஒரு மனதைப் படிக்கும் விளையாட்டு!

ஆசிரியர் கணிதத்தில் ஒரு புதிய பாடத்தைத் தொடங்கப் போவதாகவும், அது எளிய சமன்பாடுகள் என்றும் கூறியுள்ளார். அப்பு, சரிதா மற்றும் அமீனா ஆகியோர் ஆறாம் வகுப்பில் இயற்கணிதத்தில் கற்றதை மீண்டும் பார்த்துக் கொண்டனர். நீங்களும் பார்த்தீர்களா? அப்பு, சரிதா மற்றும் அமீனா ஆகியோர் மிகவும் உற்சாகமாக உள்ளனர், ஏனெனில் அவர்கள் ஒரு விளையாட்டை உருவாக்கியுள்ளனர், அதை அவர்கள் மனதைப் படிப்பவர் என்று அழைக்கிறார்கள், மேலும் அதை முழு வகுப்பிற்கும் வழங்க விரும்புகிறார்கள்.

ஆசிரியர் அவர்களின் உற்சாகத்தைப் பாராட்டி, அவர்களின் விளையாட்டை வழங்க அழைக்கிறார். அமீனா தொடங்குகிறாள்; அவள் சாராவிடம் ஒரு எண்ணை நினைத்து, அதை 4 ஆல் பெருக்கி, பெருக்கற்பலனுடன் 5 ஐக் கூட்டச் சொல்கிறாள். பின்னர், சாராவிடம் முடிவைச் சொல்லச் சொல்கிறாள். சாரா அது 65 என்று கூறுகிறாள். அமீனா உடனடியாக சாரா நினைத்த எண் 15 என்று அறிவிக்கிறாள். சாரா தலையசைக்கிறாள். சாரா உட்பட முழு வகுப்பும் ஆச்சரியப்படுகிறார்கள்.

இப்போது அப்புவின் முறை. அவன் பாலுவிடம் ஒரு எண்ணை நினைத்து, அதை 10 ஆல் பெருக்கி, பெருக்கற்பலனிலிருந்து 20 ஐக் கழிக்கச் சொல்கிறான். பின்னர் பாலுவிடம் அவனுடைய முடிவு என்னவென்று கேட்கிறான்? பாலு அது 50 என்று கூறுகிறான். அப்பு உடனடியாக பாலு நினைத்த எண்ணைச் சொல்கிறான். அது 7, பாலு அதை உறுதிப்படுத்துகிறான்.

அப்பு, சரிதா மற்றும் அமீனா வழங்கிய ‘மனதைப் படிப்பவர்’ எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை அனைவரும் அறிய விரும்புகிறார்கள். அது எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை நீங்கள் பார்க்க முடியுமா? இந்தப் பாடத்தையும் 12 ஆம் பாடத்தையும் படித்த பிறகு, விளையாட்டு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை நீங்கள் நன்றாக அறிந்து கொள்வீர்கள்.

4.2 ஒரு சமன்பாட்டை அமைத்தல்

அமீனாவின் உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம். அமீனா சாராவிடம் ஒரு எண்ணை நினைக்கச் சொல்கிறாள். அமீனாவுக்கு அந்த எண் தெரியாது. அவளுக்கு, அது எதுவாகவும் இருக்கலாம் $1,2,3, \ldots, 11, \ldots, 100, \ldots$ இந்த அறியப்படாத எண்ணை ஒரு எழுத்தால் குறிப்போம், எடுத்துக்காட்டாக $x$. நீங்கள் $y$ அல்லது $t$ அல்லது வேறு சில எழுத்துகளை $x$ இன் இடத்தில் பயன்படுத்தலாம். சாரா நினைத்த அறியப்படாத எண்ணைக் குறிக்க நாம் எந்த எழுத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் என்பது முக்கியமல்ல. சாரா எண்ணை 4 ஆல் பெருக்கும்போது, அவள் $4 x$ ஐப் பெறுகிறாள். பின்னர் அவள் பெருக்கற்பலனுடன் 5 ஐக் கூட்டுகிறாள், அது $4 x+5$ ஐத் தருகிறது. $(4 x+5)$ இன் மதிப்பு $x$ இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது. எனவே $x=1,4 x+5=4 \times 1+5=9$. இதன் பொருள் சாராவின் மனதில் 1 இருந்தால், அவளுடைய முடிவு 9 ஆக இருந்திருக்கும். இதேபோல், அவள் 5 ஐ நினைத்திருந்தால், $x=5,4 x+5=4 \times 5+5=25$; எனவே சாரா 5 ஐத் தேர்ந்தெடுத்திருந்தால், முடிவு 25 ஆக இருந்திருக்கும்.

சாரா நினைத்த எண்ணைக் கண்டறிய, அவளுடைய பதில் 65 இலிருந்து பின்னோக்கிச் செல்லலாம். $x$ ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது

$$ \begin{equation*} 4 x+5=65 \tag{4.1} \end{equation*} $$

சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, சாரா மனதில் வைத்திருந்த எண்ணை நமக்குத் தரும்.

இதேபோல் அப்புவின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். பாலு தேர்ந்தெடுத்த எண்ணை y என்று அழைப்போம். அப்பு பாலுவிடம் எண்ணை 10 ஆல் பெருக்கி, பெருக்கற்பலனிலிருந்து 20 ஐக் கழிக்கச் சொல்கிறான். அதாவது, $y$ இலிருந்து, பாலு முதலில் $10 y$ ஐப் பெறுகிறான், பின்னர் அங்கிருந்து $(10 y-20)$ ஐப் பெறுகிறான். முடிவு 50 என அறியப்படுகிறது.

எனவே,

$$ \begin{equation*} 10 y-20=50 \tag{4.2} \end{equation*} $$

இந்தச் சமன்பாட்டின் தீர்வு, பாலு நினைத்த எண்ணை நமக்குத் தரும்.

4.3 நாம் அறிந்தவற்றை மீண்டும் பார்ப்போம்

கவனிக்கவும், (4.1) மற்றும் (4.2) ஆகியவை சமன்பாடுகள். ஆறாம் வகுப்பில் சமன்பாடுகள் பற்றி நாம் கற்றதை நினைவுபடுத்துவோம். ஒரு சமன்பாடு என்பது ஒரு மாறியின் மீதான ஒரு நிபந்தனை. சமன்பாடு (4.1) இல், மாறி $x$; சமன்பாடு (4.2) இல், மாறி $y$.

மாறி என்பது மாறக்கூடிய, அதாவது மாற்றம் பெறக்கூடிய ஒன்றைக் குறிக்கிறது. ஒரு மாறி வெவ்வேறு எண் மதிப்புகளை எடுக்கும்; அதன் மதிப்பு நிலையானதல்ல. மாறிகள் பொதுவாக ஆங்கில எழுத்துக்களான $x, y, z, l, m, n, p$ போன்றவற்றால் குறிக்கப்படுகின்றன. மாறிகளிலிருந்து, நாம் கோவைகளை உருவாக்குகிறோம். கோவைகள் மாறிகளின் மீது கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் போன்ற செயல்பாடுகளைச் செய்வதன் மூலம் உருவாக்கப்படுகின்றன. $x$ இலிருந்து, நாம் $(4 x+5)$ என்ற கோவையை உருவாக்கினோம். இதற்காக, முதலில் $x$ ஐ 4 ஆல் பெருக்கி, பின்னர் பெருக்கற்பலனுடன் 5 ஐக் கூட்டினோம். இதேபோல், $y$ இலிருந்து, நாம் $(10 y-20)$ என்ற கோவையை உருவாக்கினோம். இதற்காக, $y$ ஐ 10 ஆல் பெருக்கி, பின்னர் பெருக்கற்பலனிலிருந்து 20 ஐக் கழித்தோம். இவை அனைத்தும் கோவைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

இவ்வாறு உருவாக்கப்பட்ட ஒரு கோவையின் மதிப்பு, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மாறியின் மதிப்பைப் பொறுத்தது. நாம் ஏற்கனவே பார்த்தபடி, $x=1,4 x+5=9$; $x=5,4 x+5=25$. இதேபோல்,

$ \begin{aligned} & x=15,4 x+5=4 \times 15+5=65 \\ & x=0,4 x+5=4 \times 0+5=5 ; \text{ மற்றும் பல. } \end{aligned} $

சமன்பாடு (4.1) என்பது மாறி $x$ மீதான ஒரு நிபந்தனை. இது $(4 x+5)$ என்ற கோவையின் மதிப்பு 65 என்று கூறுகிறது. இந்த நிபந்தனை $x=15$ ஆக இருக்கும்போது நிறைவேறுகிறது. இது சமன்பாடு $4 x+5=65$ க்கான தீர்வு. $x=5,4 x+5=25$ ஆக இருக்கும்போது 65 அல்ல. எனவே $x=5$ சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு அல்ல. இதேபோல், $x=0$ சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வு அல்ல. 15 ஐத் தவிர $x$ இன் வேறு எந்த மதிப்பும் $4 x+5=65$ என்ற நிபந்தனையை நிறைவேற்றாது.

முயற்சி செய்க

$(10 y-20)$ என்ற கோவையின் மதிப்பு $y$ இன் மதிப்பைப் பொறுத்தது. $y$ க்கு ஐந்து வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொடுத்து, ஒவ்வொரு $y$ க்கும் $(10 y-20)$ இன் மதிப்பைக் கண்டறிவதன் மூலம் இதைச் சரிபார்க்கவும். நீங்கள் பெறும் $(10 y-20)$ இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளிலிருந்து, $10 y-20=50$ க்கு ஒரு தீர்வு இருக்கிறதா என்று பார்க்கிறீர்களா? தீர்வு இல்லையென்றால், $y$ க்கு மேலும் மதிப்புகளைக் கொடுத்து, $10 y-20=50$ என்ற நிபந்தனை நிறைவேறுகிறதா என்று பாருங்கள்.

4.4 சமன்பாடு என்றால் என்ன?

ஒரு சமன்பாட்டில் எப்போதும் ஒரு சமக்குறி இருக்கும். சமக்குறி, அடையாளத்தின் இடது பக்கத்தில் உள்ள கோவையின் மதிப்பு (இடது பக்கம் அல்லது LHS) அடையாளத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள கோவையின் மதிப்புக்கு (வலது பக்கம் அல்லது RHS) சமம் என்பதைக் காட்டுகிறது. சமன்பாடு (4.1) இல், LHS $(4 x+5)$ மற்றும் RHS 65. சமன்பாடு (4.2) இல், LHS $(10 y-20)$ மற்றும் RHS 50.

LHS மற்றும் RHS க்கு இடையே சமக்குறி தவிர வேறு ஏதேனும் அடையாளம் இருந்தால், அது சமன்பாடு அல்ல. எனவே, $4 x+5>65$ சமன்பாடு அல்ல.

இது, $(4 x+5)$ இன் மதிப்பு 65 ஐ விட அதிகம் என்று கூறுகிறது.

இதேபோல், $4 x+5<65$ சமன்பாடு அல்ல. இது $(4 x+5)$ இன் மதிப்பு 65 ஐ விட குறைவு என்று கூறுகிறது.

சமன்பாடுகளில், RHS வெறும் ஒரு எண்ணாக இருப்பதை நாம் அடிக்கடி காண்கிறோம். சமன்பாடு (4.1) இல், அது 65 மற்றும் சமன்பாடு (4.2) இல், அது 50. ஆனால் இது எப்போதும் இவ்வாறு இருக்க வேண்டியதில்லை. ஒரு சமன்பாட்டின் RHS மாறியைக் கொண்ட ஒரு கோவையாக இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு

$ 4 x+5=6 x-25 $

சமக்குறியின் இடது பக்கத்தில் $(4 x+5)$ என்ற கோவையையும், வலது பக்கத்தில் $(6 x-25)$ என்ற கோவையையும் கொண்டுள்ளது.

சுருக்கமாக, ஒரு சமன்பாடு என்பது ஒரு மாறியின் மீதான ஒரு நிபந்தனை. இரண்டு கோவைகளும் சமமான மதிப்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதே அந்த நிபந்தனை. குறைந்தபட்சம் இரண்டு கோவைகளில் ஒன்று மாறியைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதைக் கவனிக்கவும்.

சமன்பாடுகளின் ஒரு எளிய மற்றும் பயனுள்ள பண்பையும் நாம் கவனிக்கிறோம். சமன்பாடு $4 x+5=65$ என்பது $65=4 x+5$ போன்றதே. இதேபோல், சமன்பாடு $6 x-25=4 x+5$ என்பது $4 x+5=6 x-25$ போன்றதே. இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் உள்ள கோவைகள் மாற்றப்பட்டால், ஒரு சமன்பாடு அப்படியே இருக்கும். சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் இந்தப் பண்பு பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1 பின்வரும் கூற்றுகளை சமன்பாடுகளின் வடிவத்தில் எழுதுக:

(i) மூன்று மடங்கு $x$ மற்றும் 11 இன் கூட்டுத்தொகை 32.

(ii) ஒரு எண்ணின் 6 மடங்கிலிருந்து 5 ஐக் கழித்தால், 7 கிடைக்கும்.

(iii) $m$ இன் ஒரு கால் பங்கு, 7 ஐ விட 3 அதிகம்.

(iv) ஒரு எண்ணின் மூன்றில் ஒரு பங்கு மற்றும் 5 இன் கூட்டுத்தொகை 8.

தீர்வு

(i) மூன்று மடங்கு $x$ என்பது $3 x$.

$3 x$ மற்றும் 11 இன் கூட்டுத்தொகை $3 x+11$. இந்தக் கூட்டுத்தொகை 32.

சமன்பாடு $3 x+11=32$.

(ii) எண் $z ; z$ என்று வைத்துக் கொள்வோம், இதை 6 ஆல் பெருக்கினால் $6 z$ கிடைக்கும்.

$6 z$ இலிருந்து 5 ஐக் கழித்தால், $6 z-5$ கிடைக்கும். இதன் விளைவு 7.

சமன்பாடு $6 z-5=7$ (iii) $m$ இன் ஒரு கால் பங்கு $\frac{m}{4}$.

இது 7 ஐ விட 3 அதிகம். இதன் பொருள் $(\frac{m}{4}-7)$ இன் வித்தியாசம் 3.

சமன்பாடு $\frac{m}{4}-7=3$.

(iv) எண்ணை $n$ என்று எடுத்துக் கொள்வோம். $n$ இன் மூன்றில் ஒரு பங்கு $\frac{n}{3}$.

இந்த மூன்றில் ஒரு பங்குடன் 5 ஐக் கூட்டினால் $\frac{n}{3}+5$. இது 8.

சமன்பாடு $\frac{n}{3}+5=8$.

எடுத்துக்காட்டு 2 பின்வரும் சமன்பாடுகளை கூற்று வடிவத்தில் மாற்றுக:

(i) $x-5=9$

(ii) $5 p=20$

(iii) $3 n+7=1$

(iv) $\frac{m}{5}-2=6$

தீர்வு

(i) $x$ இலிருந்து 5 ஐ எடுத்தால் 9 கிடைக்கும்.

(ii) ஒரு எண்ணின் ஐந்து மடங்கு $p$ என்பது 20.

(iii) மூன்று மடங்கு $n$ உடன் 7 ஐக் கூட்டினால் 1 கிடைக்கும்.

(iv) ஒரு எண்ணின் ஐந்தில் ஒரு பங்கான $m$ இலிருந்து 2 ஐக் கழித்தால் 6 கிடைக்கும்.

கவனிக்க வேண்டிய முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒன்று மட்டுமல்ல, பல கூற்று வடிவங்களைக் கொடுக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, மேலே உள்ள சமன்பாடு (i) க்கு, நீங்கள் இவ்வாறு சொல்லலாம்:

முயற்சி செய்க

ஒவ்வொரு சமன்பாடு (ii), (iii) மற்றும் (iv) க்கும் குறைந்தது ஒரு பிற வடிவத்தை எழுதுங்கள்.

$x$ இலிருந்து 5 ஐக் கழித்தால், 9 கிடைக்கும்.

அல்லது எண் $x$ என்பது 9 ஐ விட 5 அதிகம்.

அல்லது எண் $x$ என்பது 9 ஐ விட 5 அதிகம்.

அல்லது $x$ மற்றும் 5 க்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம் 9, மற்றும் பல.

எடுத்துக்காட்டு 3 பின்வரும் சூழ்நிலையைக் கவனியுங்கள்:

ராஜுவின் தந்தையின் வயது, ராஜுவின் வயதின் மூன்று மடங்கை விட 5 ஆண்டுகள் அதிகம். ராஜுவின் தந்தைக்கு 44 வயது. ராஜுவின் வயதைக் கண்டறிய ஒரு சமன்பாட்டை அமைக்கவும்.

தீர்வு

ராஜுவின் வயது நமக்குத் தெரியாது. அதை $y$ ஆண்டுகள் என்று எடுத்துக் கொள்வோம். ராஜுவின் வயதின் மூன்று மடங்கு $3 y$ ஆண்டுகள். ராஜுவின் தந்தையின் வயது $3 y$ ஐ விட 5 ஆண்டுகள் அதிகம்; அதாவது, ராஜுவின் தந்தைக்கு $(3 y+5)$ வயது. ராஜுவின் தந்தைக்கு 44 வயது என்றும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே,

$$ \begin{equation*} 3 y+5=44 \tag{4.3} \end{equation*} $$

இது $y$ இல் உள்ள ஒரு சமன்பாடு. இதைத் தீர்த்தால் ராஜுவின் வயது கிடைக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 4 ஒரு கடைக்காரர் மாம்பழங்களை இரண்டு வகையான பெட்டிகளில் விற்கிறார், ஒன்று சிறியது மற்றும் ஒன்று பெரியது. ஒரு பெரிய பெட்டியில் 8 சிறிய பெட்டிகள் மற்றும் 4 தனி மாம்பழங்கள் உள்ளன. ஒவ்வொரு சிறிய பெட்டியிலும் உள்ள மாம்பழங்களின் எண்ணிக்கையைத் தரும் ஒரு சமன்பாட்டை அமைக்கவும். ஒரு பெரிய பெட்டியில் உள்ள மாம்பழங்களின் எண்ணிக்கை 100 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு

ஒரு சிறிய பெட்டியில் $m$ மாம்பழங்கள் உள்ளன என்று வைத்துக் கொள்வோம். ஒரு பெரிய பெட்டியில் $m$ இன் 8 மடங்கை விட 4 அதிகம், அதாவது, $8 m+4$ மாம்பழங்கள் உள்ளன. ஆனால் இது 100 என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே

$$ \begin{equation*} 8 m+4=100 \tag{4.4} \end{equation*} $$

இந்தச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், ஒரு சிறிய பெட்டியில் உள்ள மாம்பழங்களின் எண்ணிக்கையைப் பெறலாம்.

பயிற்சி 4.1

1. அட்டவணையின் கடைசி நிரலை நிரப்புக.

2. அடைப்புக்குறிகளில் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பு, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு தீர்வாக உள்ளதா இல்லையா என சரிபார்க்கவும்:

(a) $n+5=19(n=1)$

(b) $7 n+5=19(n=-2)$

(c) $7 n+5=19(n=2)$

(d) $4 p-3=13(p=1)$

(e) $4 p-3=13(p=-4)$

(f) $4 p-3=13(p=0)$

3. சோதனை மற்றும் பிழை முறையில் பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:

(i) $5 p+2=17$

(ii) $3 m-14=4$

4. பின்வரும் கூற்றுகளுக்கு சமன்பாடுகளை எழுதுக:

(i) எண்கள் $x$ மற்றும் 4 இன் கூட்டுத்தொகை 9.

(ii) $y$ இலிருந்து 2 ஐக் கழித்தால் 8 கிடைக்கும்.

(iii) பத்து மடங்கு $a$ என்பது 70.

(iv) எண் $b$ ஐ 5 ஆல் வகுத்தால் 6 கிடைக்கும்.

(v) $t$ இன் மூன்றில் நான்கு பங்கு 15.

(vi) ஏழு மடங்கு $m$ உடன் 7 ஐக் கூட்டினால் 77 கிடைக்கும்.

(vii) ஒரு எண்ணின் கால் பங்கான $x$ இலிருந்து 4 ஐக் கழித்தால் 4 கிடைக்கும்.

(viii) 6 மடங்கு $y$ இலிருந்து 6 ஐ எடுத்துவிட்டால், 60 கிடைக்கும்.

(ix) $z$ இன் மூன்றில் ஒரு பங்குடன் 3 ஐக் கூட்டினால், 30 கிடைக்கும்.

5. பின்வரும் சமன்பாடுகளை கூற்று வடிவத்தில் எழுதுக:

(i) $p+4=15$

(ii) $m-7=3$

(iii) $2 m=7$

(iv) $\frac{m}{5}=3$

(v) $\frac{3 m}{5}=6$

(vi) $3 p+4=25$

(vii) $4 p-2=18$

(viii) $\frac{p}{2}+2=8$

6. பின்வரும் சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு சமன்பாட்டை அமைக்கவும்:

(i) இர்பான், பர்மித்திடம் உள்ள மார்பிள்களின் ஐந்து மடங்கை விட தனக்கு 7 மார்பிள்கள் அதிகம் உள்ளன என்று கூறுகிறார். இர்பானிடம் 37 மார்பிள்கள் உள்ளன. (பர்மித்தின் மார்பிள்களின் எண்ணிக்கை $m$ என எடுத்துக் கொள்ளவும்.)

(ii) லட்சுமியின் தந்தைக்கு 49 வயது. அவர் லட்சுமியின் வயதின் மூன்று மடங்கை விட 4 வயது அதிகம். (லட்சுமியின் வயது $y$ ஆண்டுகள் என எடுத்துக் கொள்ளவும்.)

(iii) ஆசிரியர் வகுப்பிற்குச் சொல்கிறார், அவர் வகுப்பில் ஒரு மாணவர் பெற்ற அதிகபட்ச மதிப்பெண், குறைந்தபட்ச மதிப்பெண்ணின் இரு மடங்கை விட 7 அதிகம். அதிகபட்ச மதிப்பெண் 87. (குறைந்தபட்ச மதிப்பெண் $l$ என எடுத்துக் கொள்ளவும்.)

(iv) ஒரு இருசமபக்க முக்கோணத்தில், உச்சிக் கோணம் எந்த ஒரு அடிக்கோணத்தின் இரு மடங்கு ஆகும். (அடிக்கோணம் $b$ டிகிரியில் இருக்கட்டும். ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரி என நினைவில் கொள்ளவும்).

4.4.1 ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்த்தல்

ஒரு சமத்துவத்தை எடுத்துக் கொள்வோம் $\quad 8-3=4+1$

சமத்துவம் (4.5) நிலைத்திருக்கிறது, ஏனெனில் அதன் இரு பக்கங்களும் சமம் (ஒவ்வொன்றும் 5 க்கு சமம்).

• இப்போது இரு பக்கங்களிலும் 2 ஐக் கூட்டுவோம்; இதன் விளைவாக

LHS $=8-3+2=5+2=7 \quad$ RHS $=4+1+2=5+2=7$.

மீண்டும் சமத்துவம் நிலைத்திருக்கிறது (அதாவது, அதன் LHS மற்றும் RHS சமம்).

எனவே ஒரு சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலும் ஒரே எண்ணைக் கூட்டினால், அது இன்னும் நிலைத்திருக்கும்.

• இப்போது இரு பக்கங்களிலிருந்தும் 2 ஐக் கழிப்போம்; இதன் விளைவாக,

LHS $=8-3-2=5-2=3$

RHS $=4+1-2=5-2=3$.

மீண்டும், சமத்துவம் நிலைத்திருக்கிறது.

எனவே ஒரு சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் ஒரே எண்ணைக் கழித்தால், அது இன்னும் நிலைத்திருக்கும்.

• இதேபோல், சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் ஒரே பூஜ்ஜியமற்ற எண்ணால் பெருக்கினாலோ அல்லது வகுத்தாலோ, அது இன்னும் நிலைத்திருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் 3 ஆல் பெருக்குவோம், நமக்குக் கிடைக்கும்

LHS $=3 \times(8-3)=3 \times 5=15, \quad$ RHS $=3 \times(4+1)=3 \times 5=15$.

சமத்துவம் நிலைத்திருக்கிறது.

இப்போது சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் வகுப்போம்.

LHS $=(8-3) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}$

RHS $=(4+1) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}=$ LHS

மீண்டும், சமத்துவம் நிலைத்திருக்கிறது.

வேறு எந்த சமத்துவத்தை எடுத்துக் கொண்டாலும், நாம் அதே முடிவுகளைக் காண்போம்.

இந்த விதிகளை நாம் கடைப்பிடிக்கவில்லை என்று வைத்துக் கொள்வோம். குறிப்பாக, ஒரு சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலும் வெவ்வேறு எண்களைக் கூட்டுவோம் என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்த விஷயத்தில் சமத்துவம் நிலைத்திருக்கவில்லை (அதாவது, அதன் இரு பக்கங்களும் சமமாக இல்லை) என்பதைக் காண்போம். எடுத்துக்காட்டாக, மீண்டும் சமத்துவம் (4.5) ஐ எடுத்துக் கொள்வோம்,

$ 8-3=4+1 $

LHS க்கு 2 ஐக் கூட்டவும், RHS க்கு 3 ஐக் கூட்டவும். புதிய LHS $8-3+2=5+2=7$ மற்றும் புதிய RHS $4+1+3=5+3=8$. சமத்துவம் நிலைத்திருக்கவில்லை, ஏனெனில் புதிய LHS மற்றும் RHS சமமாக இல்லை.

எனவே ஒரு சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலும் ஒரே எண்ணுடன் ஒரே கணிதச் செயல்பாட்டைச் செய்யத் தவறினால், சமத்துவம் நிலைத்திருக்காது.

மாறிகளைக் கொண்ட சமத்துவமே ஒரு சமன்பாடு.

இந்த முடிவுகள் சமன்பாடுகளுக்கும் செல்லுபடியாகும், ஏனெனில் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் மாறி ஒரு எண்ணை மட்டுமே குறிக்கிறது.

ஒரு சமன்பாடு ஒரு தராசு போன்றது என்று அடிக்கடி கூறப்படுகிறது. ஒரு சமன்பாட்டில் கணிதச் செயல்பாட்டைச் செய்வது, தராசின் தட்டுகளில் எடைகளைச் சேர்ப்பது அல்லது அகற்றுவது போன்றது.

ஒரு சமன்பாடு, அதன் இரு தட்டுகளிலும் சமமான எடைகள் உள்ள ஒரு தராசு போன்றது, அந்த சந்தர்ப்பத்தில் தராசின் கை சரியாக கிடைமட்டமாக இருக்கும். இரு தட்டுகளிலும் ஒரே எடைகளைச் சேர்த்தால், கை கிடைமட்டமாகவே இருக்கும். இதேபோல், இரு தட்டுகளிலிருந்தும் ஒரே எடைகளை அகற்றினால், கை கிடைமட்டமாகவே இருக்கும். மறுபுறம், தட்டுகளில் வெவ்வேறு எடைகளைச் சேர்த்தால் அல்லது வெவ்வேறு எடைகளை அகற்றினால், தராசு சாயும்; அதாவது, தராசின் கை கிடைமட்டமாக இருக்காது.

ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு நாம் இந்தக் கொள்கையைப் பயன்படுத்துகிறோம். இங்கே, நிச்சயமாக,

தராசு கற்பனையானது மற்றும் எண்களை எடைகளாகப் பயன்படுத்தலாம், அவை ஒன்றுக்கொன்று உடல் ரீதியாக சமநிலைப்படுத்தப்படலாம். இந்தக் கொள்கையை வழங்குவதன் உண்மையான நோக்கம் இதுவே. சில எடுத்துக்காட்டுகளை எடுத்துக் கொள்வோம்